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Caderno de AtividadesAdministração

Disciplina Matemática Aplicada

Coordenação do CursoGrasiele Lourenço

AutoraAndrea Hamazaki Feitosa

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© 2012 Anhanguera PublicaçõesProibida a reprodução final ou parcial por qualquer meio de impressão, em forma idêntica,resumida ou modificada em língua portuguesa ou qualquer outro idioma. Diagramado no Brasil 2012

Como citar esse documento:

FEITOSA, Andrea Hamazaki. Matemática Aplicada. Valinhos, pp. 1-119, 2011. Disponível em: www.anhanguera.com. Acesso em: 01 fev. 2012.

ChancelerAna Maria Costa de Sousa

ReitoraLeocádia Aglaé Petry Leme

Pró-Reitor AdministrativoAntonio Fonseca de Carvalho

Pró-Reitor de GraduaçãoEduardo de Oliveira Elias

Pró-Reitor de ExtensãoIvo Arcangêlo Vedrúsculo Busato

Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-GraduaçãoLuciana Paes de Andrade

Diretor Geral de EAD José Manuel Moran

Diretora de Desenvolvimento de EAD Thais Costa de Sousa

Gerente Acadêmico de EAD Fábio Cardoso

Coordenadora de Controle Didático-Pedagógico EADGeise Cristina Lubas Grilo

Diretor da Anhanguera Publicações Luiz Renato Ribeiro Ferreira

Núcleo de Produção de Conteúdo e Inovações Tecnológicas

Diretora Carina Maria Terra Alves

Gerente de Produção Rodolfo Pinelli

Coordenadora de Processos Acadêmicos Juliana Alves

Coordenadora de Ambiente Virtual Lusana Verissimo

Coordenador de Operações Marcio Olivério

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Legenda de Ícones

Leitura Obrigatória

Agora é a sua vez

Vídeos

Links Importantes

Ver Resposta

Finalizando

Referências

Início

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Desde sua fundação, em 1994, os fundamentos da “Anhanguera Educacional” têm sido o principal motivo do seu crescimento. Buscando permanentemente a inovação e o aprimoramento acadêmico em todas as ações e programas, ela é uma Instituição de Educação Superior comprometida com a qualidade do ensino, pesquisa de iniciação científica e extensão, que oferecemos. Ela procura adequar suas iniciativas às necessidades do mercado de trabalho e às exigências do mundo em constante transformação. Esse compromisso com a qualidade é evidenciado pelos intensos e constantes investimentos no corpo docente e de funcionários, na infraestrutura, nas bibliotecas, nos laboratórios, nas metodologias e nos Programas Institucionais, tais como:

· Programa de Iniciação Científica (PIC), que concede bolsas de estudo aos alunos para o desenvolvimento de pesquisa supervisionada pelos nossos professores.

· Programa Institucional de Capacitação Docente (PICD), que concede bolsas de estudos para docentes cursarem especialização, mestrado e doutorado.

· Programa do Livro-Texto (PLT), que propicia aos alunos a aquisição de livros a preços acessíveis, dos melhores autores nacionais e internacionais, indicados pelos professores.

· Serviço de Assistência ao Estudante (SAE), que oferece orientação pessoal, psicopedagógica e financeira aos alunos.

· Programas de Extensão Comunitária, que desenvolve ações de responsabilidade social, permitindo aos alunos o pleno exercício da cidadania, beneficiando a comunidade no acesso aos bens educacionais e culturais.

A fim de manter esse compromisso com a mais perfeita qualidade, a custos acessíveis, a Anhanguera privilegia o preparo dos alunos para que concretizem seus Projetos de Vida e obtenham sucesso no mercado de trabalho. Adotamos inovadores e modernos sistemas de gestão nas suas instituições. As unidades localizadas em diversos Estados do país preservam a missão e difundem os valores da Anhanguera.

Atuando também na Educação a Distância, orgulha-se de oferecer ensino superior de qualidade em todo o território nacional, por meio do trabalho desenvolvido pelo Centro de Educação a Distância da Universidade Anhanguera - Uniderp, nos diversos polos de apoio presencial espalhados por todo o Brasil. Sua metodologia permite a integração dos professores, tutores e coordenadores habilitados na área pedagógica com a mesma finalidade: aliar os melhores recursos tecnológicos e educacionais, devidamente revisados, atualizados e com conteúdo cada vez mais amplo para o desenvolvimento pessoal e profissional de nossos alunos.

A todos bons estudos!

Prof. Antonio Carbonari NettoPresidente do Conselho de Administração — Anhanguera Educacional

Nossa Missão, Nossos Valores

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Sobre o Caderno de AtividadesCaro (a) aluno (a),

O curso de Educação a Distância acaba de ganhar mais uma inovação: o caderno de atividades digitalizado. Isso significa que você passa a ter acesso a um material interativo, com diversos links de sites, vídeos e textos que enriquecerão ainda mais a sua formação. Se preferir, você também poderá imprimi-lo.

Este caderno foi preparado por professores do seu Curso de Graduação, com o objetivo de auxiliá-lo na aprendizagem. Para isto, ele aprofunda os principais tópicos abordados no Livro-texto, orientando seus estudos e propondo atividades que vão ajudá-lo a compreender melhor os conteúdos das aulas. Todos estes recursos contribuem para que você possa planejar com antecedência seu tempo e dedicação, o que inclusive facilitará sua interação com o professor EAD e com o professor tutor a distância.

Assim, desejamos que este material possa ajudar ainda mais no seu desenvolvimento pessoal e profissional.

Um ótimo semestre letivo para você!

José Manuel Moran

Diretor-Geral de EAD

Universidade Anhanguera – Uniderp

Thais Sousa

Diretora de Desenvolvimento de EAD Universidade Anhanguera – Uniderp

Caro Aluno,

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Caro Aluno,Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada

à Administração, Economia e Contabilidade, do autor Afrânio Murolo e Giácomo

Bonetto, Editora Cengage, 2004, PLT 59.

Roteiro de Estudo Profª. ANDREA HAMAZAKI FEITOSAMatemática Aplicada

Tema 1REVISÃO DOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS

ícones:

Este roteiro tem como objetivo orientar seu percurso por meio dos materiais disponibilizados no Ambiente Virtual de Aprendizagem. Assim, para que você faça um bom estudo, siga atentamente os passos seguintes:

1. Leia o material didático referente a cada aula;

2. Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem.

3. Responda às perguntas referentes ao item “Habilidades” deste roteiro;

4. Participe dos encontros presenciais e tire suas dúvidas com o tutor presencial.

5. Após concluir o conteúdo dessa aula, acesse a sua ATPS e verifique a etapa que deverá ser realizada.

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Conteúdo

Nesta aula, você estudará:

• Os conceitos básicos de álgebra elementar, através da resolução de equações, fatoração e produtos notáveis.

• Representar geometricamente a reta dos números reais para futura apresentação de gráficos.

• Como realizar de forma correta as operações aritméticas fundamentais.

Habilidades

Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:

• Um grupo de pessoas saiu para almoçar em um restaurante, sendo que três delas são mulheres. A conta, dee R$72,00, foi inicialmente dividida entre todos, mas depois os homens resolveram que , por gentileza, as mulheres não deveriam pagar. Então cada homem contribuiu com mais R$4,00 e a conta foi paga. Quantas pessoas haviam no grupo?

• Em uma sala há 100 pessoas, sendo que 26 delas usam óculos. Sabe-se que 20% dos homens e 40% das mulheres dese grupo usam óculos. Quantos homens há na sala?

• A planta de um terreno está na escala . Se a frente desse terreno mede 4,5 cm, quanto vale na realidade?

AULA 1

Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem.

REVISÃO DOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS

No estudo deste tema, são abordadas situações-problema que contêm expressões numéricas envolvendo as operações aritméticas nos diversos conjuntos numéricos.Os conceitos da álgebra elementar são tratados a partir de expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração. As equações serão abordadas em situações simples de fácil compreensão.Para alcançar os objetivos propostos, acompanhe a seguir os conceitos matemáticos fundamentais:

I. Para que a revisão das operações aritméticas fique completa, é necessário, inicialmente, identificar os principais conjuntos numéricos:


Conteúdos e Habilidades

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{ }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,Ν = L ⇒ conjunto dos números naturais.{ }, 2, 1, 0, 1, 2,Ζ = − −L L ⇒ conjunto dos números inteiros.

, , , 0pQ p q sendo qq

= ∈Ζ ≠

⇒ℜ conjunto dos números racionais (são os números que podem ser

escritos como uma fração). ⇒ℜ conjunto formado pelos números racionais e irracionais.

Todos os números que não podem ser escritos como forma de fração, isto é, aqueles que têm infinitas casas decimais não periódicas ⇒ conjunto dos números irracionais.

II. A realização das operações aritméticas fundamentais torna-se possível pela aplicação das seguintes regras:

Adição e subtração de números inteiros1. Se os números têm o mesmo sinal, somam-se os valores absolutos das parcelas, e conserva-

se o sinal.Exemplos:2+6 = 8–8-9=–17

2. Se os números têm sinais diferentes, subtraem-se os valores absolutos, e o sinal do resultado é o mesmo do maior valor absoluto.Exemplos:–5+7=22–3=–1

Multiplicação e divisão de números inteiros1. Se os números tiverem o mesmo sinal, o produto e o quociente serão positivos.

Exemplos:Para a multiplicação ( ) ( )5 6 30+ ⋅ + = + epara a divisão ( ) ( )5 4 20− ⋅ − = +Para a multiplicação ( ) ( )5 4 20− ⋅ − = + epara a divisão ( ) ( )12 3 4− ÷ − = +

2. Se os números tiverem os sinais contrários, o produto e o quociente serão negativos.

Exemplos:

10

Para a multiplicação ( ) ( )5 2 10− ⋅ + = − epara a divisão ( ) ( )5 2 10− ⋅ + = −Para a multiplicação ( ) ( )5 2 10− ⋅ + = − epara a divisão ( ) ( )12 6 2− ÷ + = −

Potenciação de números inteiros1. Se o expoente for par, a potência será positiva.2. Se o expoente for ímpar, a potência será negativa.Exemplos:

( )( )( )( )

2

2

5

5

3 9

3 9

3 243

3 243

+ = +

− = +

+ = +

− = −

Operações com números racionais - Números que podem ser representados por frações Duas frações são denominadas equivalentes quando representam a mesma quantia do todo considerado.Exemplos:

2 14 2= ;

Frações equivalentes são aquelas em que , 0, 0a c com b db d= ≠ ≠

Para encontrar frações equivalentes: a cb d= , sendo d x b= ⋅ e d x b= ⋅

Operações com frações· Adição e Subtração·

, 0a c a c bb b b

±± = ≠ , 0, 0a c a c b d

b d b d±

± = ≠ ≠⋅

Exemplos:1) 1 3 5 18 23

6 5 30 30+

+ = = 2) 1 3 5 18 23

6 5 30 30+

+ = = 3) 1 3 5 18 136 5 30 30

− −− = =

· Multiplicação·

, 0, 0a c a c b db d b d

⋅⋅ = ≠ ≠

⋅

11

Exemplo:1 3 35 5 25⋅ =

·

· Divisão

, 0, 0a c a d ad b cb d b c bc÷ = ⋅ = ≠ ≠

Exemplo:

2 3 2 4 85 4 5 3 15÷ = ⋅ =

· Potenciação

· ( )

m n m n

m n m n

nm m n

a a aa a a

a a

+

−

+

⋅ =

÷ =

=·

Propriedades de potência de mesma base:

( )

m n m n

m n m n

nm m n

a a aa a a

a a

+

−

+

⋅ =

÷ =

=

Lembrando:Todo número elevado a zero é igual a um: 0 1a⇒ =

Se o expoente for negativo:

Expressões numéricas

Ordem das operações: quando existem várias operações em uma mesma expressão numérica, a primeira operação a ser realizada é a potenciação; depois, multiplicação; seguida de divisão; e, por último, a adição e a subtração (na ordem em que aparecem).

Exemplo:

3 6 5 2 4 3 30 2 4 3 15 4 16− + ⋅ ÷ + = − + ÷ + = − + + =

12

Sinais de associação: são sinais de associação os parênteses ( ), os colchetes [ ] e as chaves { }. Esses sinais indicam as prioridades das operações; isto é, deverão ser resolvidas primeiramente as que estiverem dentro dos parênteses, seguidas das que estiverem dentro dos colchetes e, finalmente, as que estiverem dentro das chaves.

Exemplo:

( ) ( ) ( ) [ ]224 2 8 32 1 3 24 6 32 16

4 2 2

⋅ − ÷ ÷ + = ⋅ − ÷ ÷ = = − ÷ = −

III. Para a compreensão dos fatos da álgebra elementar, é necessário entender que um número pode ser representado por uma letra com as mesmas propriedades operatórias. Portanto, uma expressão algébrica é toda sentença matemática que contenha letras, números ou ambos.

Exemplos: 42 ; 2 5; 8 3; 15 7x x x xy z+ − −

Para se simplificarem as expressões, devem ser obedecidas as seguintes regras operatórias:· Para se somarem ou subtraírem as expressões algébricas, reduzem-se termos semelhantes

(são semelhantes os termos que possuem a mesma parte literal).·

Exemplo: 5 2 7 3 6 3 20 8 11 5 27 5xy x y z xy x y z xy x y z+ + − + + + + = + + +

· Multiplicação·

6 3 94 2 8y y y⋅ = ⇒ Multiplicam-se os números (conhecidos como coeficientes da expressão), conserva-se a variável e somam-se os expoentes.

( ) ( )3 2 4 5 12 15 8 10x y xy x y+ ⋅ + = + + + ⇒ Aplica-se a propriedade distributiva.

· Divisão4 2 215 3 5x x x÷ = ⇒ Dividem-se os números (coeficientes) e conserva-se a variável, subtraindo-se seus

expoentes.

Produtos NotáveisAlguns casos de produtos notáveis:· Quadrado da soma/diferença de dois termos:·

( )2 2 22a b a ab b+ = + + ⇒ (quadrado do primeiro termo, mais a multiplicação do primeiro pelo segundo

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termo, mais o quadrado do segundo termo).⇒⇒ (quadrado do primeiro termo, menos a multiplicação do primeiro pelo

segundo termo, mais o quadrado do segundo termo).· Produto da soma pela diferença de dois termos:

( ) ( ) ( )2 2a b a b a b+ ⋅ − = − ⇒ (quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo).

FatoraçãoSignifica transformar em fatores uma determinada expressão.Casos de fatoração:

Fator comum em evidência: ( )ay by y a b+ = +Agrupamento: ( ) ( ) ( )( )ax ay bx by a x y b x y a b x y+ + + = + + + = + +

Trinômio do quadrado perfeito: ( )22 22a ab b a b+ + = +Diferença de quadrados: ( )2 2 ( )a b a b a b− = + −

IV. Equações. Resolver uma equação significa encontrar o valor da variável em uma sentença aberta. O que determina o grau da equação é o valor do maior expoente nela contido. Assim, se o expoente for 1, a equação será do primeiro grau, se o expoente for 2, a equação será do segundo grau, e assim sucessivamente.

Uma equação do primeiro grau, em sua forma genérica, é dada por: 0ax b+ = e sua resolução é dada

por: bxa−

= .

Exemplo:15 1 0 5 1

5x x x −+ = ⇒ = − ⇒ =

A equação em que o expoente é 2, conhecida como equação do segundo grau, tem em sua forma genérica: 2 0ax bx c+ + = . Pode ser resolvida pela fórmula de Báskara:

2 4 3 0x x− + =

Exemplo:

2 4 3 0x x− + = . Temos: a=1; b=–4 e c=3. Aplicando na fórmula:

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( ) ( )2

1

2

4 4 4 1 3 4 4 4 22 1 2 2

4 2 32

4 2 12

x

x

x

− − ± − − ⋅ ⋅ ± ±= = =

⋅+

= =

−= =

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Quer saber mais sobre o assunto? Então:

Acesse o site <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fundam.htm>.Nesse link, você encontra um resumo conceitual de todos os temas relacionados à Matemática necessários para os assuntos desenvolvidos neste curso. Acesso em 23/11/2011.

Visite o site <http://www.somatematica.com.br/soexercicios.php>. Esse site traz diversos exercícios de aritmética e álgebra elementar. Acesso em 23/11/2011.

LINKS IMPORTANTES

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fundam.htm

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Agora é a sua vezINSTRUÇÕES

Para uma aprendizagem eficiente serão necessários estudos individuais. Para facilitar a revisão do conteúdo, retome a leitura do item “Leitura Obrigatória” que resume conceitos importantes da disciplina e apresenta exemplos práticos que servem de roteiro para elaborar as atividades propostas.

Ponto de Partida

Para solucionar problemas como o que segue, é necessário o conhecimento de regras básicas operatórias para o conjunto de números racionais, resolução de equações e a discussão de suas soluções. Caso sinta dificuldade em resolvê-lo, retome os passos da revisão proposta e, ao final, tente novamente, comparando a sua solução com as respostas corretas que o tutor presencial apresentará.

Situação-problema: O Lucro L na venda de

um produto é dado por 2 20 4

5 5pL p= − −

(em

milhares de reais), sendo p o seu preço. Sabendo que o lucro, em determinado mês, foi de R$ 24 (em milhares de reais), descubra a que preço foi comercializado o produto no referido mês.

Agora é com você! Responda às questões a seguir para conferir o que aprendeu!

Calcule o valor das expressões exponenciais:

a) 32 b) ( )32− c) 52− d) 52−

e)

323

f) ( )232 g)

312

−

h)

7

4

33

i) 3 41 4 3

2−− −

j) 3 41 4 3

2−− −

Calcule:

a) ( ) 81 6 2

3122

5 * 5 5

5 * 5

−− − −

−

÷

b) ( ) 122 5 8

11 8

24

2 2 * 2

2 * 2

− −÷

Questão 01

Questão 02

Verifique seu desempenho nesta questão, clicando no ícone ao lado.


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Calcule o valor das expressões numéricas, expressando, ao final, a resposta em forma de fração, simplificando-a sempre que possível:

a) 3 45 7−

b) 3 4

5 7−

c) 112 9 3 3

7 5 5− + +

d) 3 31*

5 4

e) 3 31*

5 4

f) 1 33 * 1

4 7 − −

g) 1 33 * 1

4 7 − −

h) 4 1

5 2− ÷

i) 4 1

5 2− ÷

j) 5 1

2 4− − ÷

k) 8 9 7* * 4

7 2 3−

l) 1 1 1 2* 5

2 6 5 3 + ÷ −

m) 5 52 2 *

3 6 + ÷

n) 5 52 2 *

3 6 + ÷

o) 4 2 1* 3 8 * 25

7 7 2 − ÷ −

ASSUNTO: SUBSTITUIÇÃO NUMÉRICA

Calcule o valor da expressão numérica de acordo com o x dado:a) 3 2 1 ; 1y x x x= − + = − b)

3 4

1 ; 15 6x xy x= + − =

c) ( ) ( )3 21 1 1 ; 1y x x x= − + − + = − d) ( ) ( )

2 234 1* 1 1 ; 13 2

y x x x= − + ∗ − = e)

34 2 1 ; 23 2

x xy xx− +

= = −−

ASSUNTO: FUNÇÃO DE 1º GRAU

Duas pessoas, distantes 30 m, caminham uma em direção à outra. Uma pessoa caminhou 12 m para o sul; a outra, 5 m para o norte. Qual a distância que separa essas duas pessoas?a) 7 mb) 13 mc) 17 md) 60 me) 119 m


Questão 03

Questão 04


Questão 05


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O valor inicial de um carro é de R$ 25.000,00 e, a cada ano, esse é depreciado em R$ 1.562,50. Dado pela expressão V = 25.000 – 1.562,50 t, em que t é o número de anos passados após a compra. Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial?

A receita R é definida como preço de venda multiplicado pela quantidade vendida. Se uma determinada fábrica vende o seu produto ao preço de R$ 56,00, qual é a receita se são vendidas 40 unidades?

Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00, mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas, determine o custo total de 100 peças.

Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, 3.000 e 11.009 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês, e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares

por mês, a produção da fábrica B superará a produção de A a partir de qual mês?

ASSUNTO: TRINÔMIO DO QUADRADO PERFEITO

Assinale a resposta correta onde a expressão 16x² − 49 é equivalente:a) (4x + 7) (4x – 7) b) (4x + 7) (4x +7) c) (−4x – 7) (4x +7) d) 4x(4x + 7)e) 4x(4x – 7)



Questão 07


Questão 09


Questão 10


Questão 08

Questão 06FINALIZANDO

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Nessa aula, você viu os conceitos das operações fundamentais, os conceitos básicos de álgebra elementar, assim como a resolução de equações , fatoração e produtos notáveis. Entendeu que todos os conceitos estudados têm aplicações no nosso cotidiano, e para uma melhor compreensão e fixação dos exercícios e exemplos, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto.

Caro aluno, agora que o conteúdo dessa aula foi concluído, não se esqueça de acessar sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. Bons estudos!

FINALIZANDO

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Tema 2Conceito de Função e Função de Primeiro Grau

ícones:

Conteúdos e HabilidadesConteúdo


• O conceito de função matemática como uma relação estabelecida entre duas grandezas ou variáveis e a sua aplicação para a resolução de situações práticas nas áreas financeiras e administrativas.

• Por meio de exemplos práticos, os tipos e as características de uma função como função crescente, decrescente, limitada e composta.

• As funções de primeiro grau.

Habilidades


• Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é R$ 500. Além disso, ele recebe de comissão R$ 50 por produto vendido?

• O valor que iremos pagar no final do mês na conta de água e energia de nossas casas está em função (está dependendo) de quanto iremos gastar de 3m de água e quantos KW de energia consumidos durante o mês?

• Uma empresa de planos de saúde propõe a seus clientes as seguintes opções de pagamentos mensais:

Plano A: um valor fixo de R$110,00 mais R$20,00 por consulta dentro do período.

Plano B: um valor fixo de R$130,00 mais R$15,00 por consulta dentro do período.

Analisando os planos qual seria o mais vantajoso?


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AULA 2


Conceito de Função e Função de Primeiro Grau

Para se compreender o conceito de função, é necessário entender que essa “ferramenta” permite analisar o comportamento de duas grandezas ou variáveis interdependentes.Em um exemplo simples, o vendedor de materiais elétricos Carlos recebe salário de R$ 1.200,00 mais uma comissão de R$ 3,00 por material vendido. A função matemática que representa o salário de Carlos é dada por 1200 3S x= + , onde S representa o salário de Carlos e x , a quantidade vendida de material.

As grandezas ou variáveis relacionadas são salário e quantidade, sendo que o salário é dado em função da quantidade vendida de material.

Analisando-se esse exemplo, percebe-se que a função é crescente, pois quanto maior a quantidade de material vendida por Carlos (ou seja, x ) maior será o salário S de Carlos.

Outro exemplo: O valor inicial de um carro é de R$ 25.000,00 e, a cada ano, esse valor é depreciado em 10% do valor pago. A função matemática que representa o valor do carro é 25.000 2500V t= − , onde V representa o valor do carro e t , o tempo de uso do carro.

As grandezas ou variáveis relacionadas são valor e tempo, sendo que o valor do carro é dado em função do tempo.

Analisando esse exemplo, percebe-se que a função é decrescente, pois, à medida que o tempo aumenta, o valor deste carro tende a diminuir.

Uma função pode ser limitada, ou seja, o estudo pode ser realizado em um determinado período de tempo, ou a partir de um determinado custo, ou da limitação de capacidade produtiva.


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Exemplo: Em um posto de combustível, o preço da gasolina é de R$ 2,59 por litro. A função matemática que representa o valor a ser pago de combustível é 2,59V q= , onde V representa o valor a ser pago e q , a quantidade de litros abastecidos pelo consumidor.

As grandezas ou variáveis relacionadas são: valor e quantidade, sendo que o valor a ser pago pelo combustível é dado em função da quantidade de gasolina abastecida pelo consumidor. Supondo que o tanque de combustível de um carro comporte somente 52 litros e que o consumidor pretenda encher o tanque, mas sabe de antemão que no tanque existe ¼ de combustível, quanto seria o gasto deste consumidor para “completar” o tanque? Você poderá perceber que o consumidor irá gastar somente R$ 101,01.

Analisando-se esse exemplo, percebe-se que a função é limitada, pois o tanque de combustível tem uma capacidade máxima de armazenagem.

Para a aplicação de funções em áreas financeiras, administrativas ou contábeis, torna-se necessário conhecer o conceito de oferta, demanda, receita, custos, lucros, ponto de equilíbrio (break-even point), além de cálculos de juros simples.

DEMANDA: Seja U uma utilidade qualquer (bem ou serviço), e seja D a demanda ou procura de mercado desta utilidade a um preço P , isto é, a soma das quantidades que todos os compradores de mercados estão dispostos e aptos a adquirir ao preço P em determinado período de tempo (que pode ser um dia, uma semana, um mês etc.). Vale reforçar que a demanda ou procura a que se refere o texto é a de todos os compradores da utilidade, e não a de um comprador individual. Geralmente, é uma função do tipo D b aP= − , onde P corresponde à demanda ou procura da utilidade P ao seu preço. Já analisada anteriormente, tem-se uma função do tipo decrescente, pois um aumento nos preços faz com que a demanda ou procura da utilidade diminua.

OFERTA: Seja U uma utilidade qualquer (bem ou serviço) e seja S a oferta de mercado desta utilidade a um preço P , isto é, a soma das quantidades que todos os produtores estão dispostos e aptos a vender ao preço P em determinado período de tempo (que pode ser um dia, uma semana, um mês etc.). Vale ressaltar que a oferta a que se refere o texto é a de todos os produtores da utilidade e não a de um produtor individual. Geralmente, é uma função do tipo S aP b= + , onde S corresponde à oferta da utilidade P ao seu preço. Já analisada anteriormente, tem-se uma função do tipo crescente, pois um aumento nos preços faz com que a oferta da utilidade também tenda a aumentar.

PONTO DE EQUILIBRIO (break-even point): É o ponto onde a oferta e a demanda de uma

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determinada utilidade são iguais, ou seja, onde toda utilidade oferecida é vendida. Determina-se aqui o preço de equilíbrio de mercado (PE) para a dada utilidade. Portanto, é o preço para o qual a demanda e a oferta de mercado desta utilidade coincidem. A quantidade correspondente ao preço de equilíbrio é denominada quantidade de equilíbrio de mercado (QE).

RECEITA: Seja U uma utilidade qualquer (bem ou serviço) cujo preço de venda seja um preço unitário p . A função dada para a receita é , RT pq= onde p é o preço e q a quantidade da utilidade.

CUSTO: No exemplo a seguir, a tabela traz o custo para a produção de calças.

Quantidade (q) 0 10 20 40 100

Custo (C) R$ 120 150 180 240 420

Nota-se que, com um aumento de 10 unidades na quantidade, o custo aumentará R$ 30,00; se há um aumento de 20 unidades na quantidade, o custo aumenta em R$ 60,00; ou, ainda, com um aumento de 60 unidades, o custo aumenta em R$ 180,00. Conclui-se que uma variação na variável independente gera uma variação proporcional na variável dependente. É isso o que caracteriza uma função do 1° grau. Para uma melhor compreensão, podemos calcular a taxa de variação média, que

consiste em dividir a variação em C pela variação em q. Isto é, 30 60 180 310 20 60

m = = = = =L .

Neste exemplo, a razão 3m = dá o acréscimo no custo correspondente ao acréscimo de 1 unidade na quantidade. Nota-se, ainda, que, se não for produzida qualquer quantidade de calças, haverá um custo fixo de R$120,00. Tal custo é atribuído à manutenção de máquinas, impostos, despesas com folha de pagamento etc.

De modo geral, a função custo pode ser determinada com a fórmula v fC C C= + , onde vC é o custo variável e fC o custo fixo. Do exemplo aqui apresentado, a função custo relacionada é

3 120v fC C C q= + = + .LUCRO: para obter-se a função lucro de uma determinada utilidade (bem ou serviço) deve-se fazer: L R C= − , ou seja, o lucro é “receita menos custo”.

24


Acesse o site <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/financeira/matfin.htm>. Acesso em: 13 dez. 2011. Nesse site, você encontrará dicas e explicações detalhadas e exemplos sobre a matemática financeira.

Acesse o site <http://www.somatematica.com.br/financeira.php>. Acesso em: 13 dez. 2011. Nesse site,

você encontrará definições detalhadas sobre o estudo da matemática financeira.

LINKS IMPORTANTES

http://www.somatematica.com.br/financeira.php

25

unidade. Quantas unidades, aproximadamente, são o ponto de equilíbrio da empresa?a) zero.b) 200.c) 300.d) 600.e) 3.000.

Uma empresa fabrica e vende um produto. O Departamento de Marketing da empresa trabalha com a Equação da Demanda apresentada a seguir, onde YD e XD representam, respectivamente, o preço e a quantidade da demanda.

YD = –2XD + 10.100Como um primeiro passo para a elaboração do Plano de Produção dessa empresa, indique a opção que responde à pergunta:“Quantas unidades produzir, para o preço de $ 2.000,00?”

a) 5.000.b) 4.050.c) 5.100.d) 5.150.e) 5.200.

O gráfico a seguir descreve o estoque de blusas de uma loja:

Agora é a sua vez

Questão 01

Questão 02

INSTRUÇÕES

Observe no enunciado de cada questão as atividades que deverão ser realizadas de forma individual. Para auxiliar na resolução dos problemas propostos retome os conceitos específicos necessários em cada situação.

Ponto de Partida

O proprietário de uma fábrica de brinquedos verificou que o custo fixo da empresa era de R$ 5.600,00, e o custo unitário para a produção de cada unidade era de R$ 6,10. Determine a função custo C , dada por uma função de primeiro grau em relação ao número x de brinquedos fabricados.O que se pede neste problema é a relação matemática entre o número de brinquedos fabricados e seu custo. Caso ainda não lhe seja possível, sugere-se acompanhar as atividades a seguir propostas e, então, tentar novamente a sua resolução.


Suponha que o Guaíba Pôster, um pequeno varejista de pôsteres, tenha custos operacionais fixos de R$ 3.000,00, que seu preço de venda por unidade (pôster) seja de R$ 15,00, e seus custos operacionais variáveis sejam de R$ 5,00 por


Questão 03


26

42 7044 6046 30

e)Tamanho da blusa Quantidade

40 4042 4244 4446 46

O gráfico a seguir representa o valor (em R$) de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos meses.

Considerando-se t = 1 o mês de janeiro, t = 2 o mês de fevereiro, e assim sucessivamente, a média dos valores das ações é de:a) 2,90.b) 2,78.c) 3,01.d) 2,96.e) 2,99.

Questão 04

Observe:Para construir esse gráfico, o gerente fez inicialmente uma tabela com o resultado do levantamento do número de blusas de cada tamanho que havia no estoque. Assinale a alternativa que apresenta a tabela que o gerente pode ter feito.a)

Tamanho da blusa Quantidade40 3042 4044 6046 70

b)Tamanho da blusa Quantidade

40 3042 6044 7046 40

c)Tamanho da blusa Quantidade

40 3042 6044 4046 70

d)Tamanho da blusa Quantidade

40 40



27

Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou? Qual seria a tradução dessa situação por meio de duas equações:

a) 25

2 3 55x yx y+ =

+ =

b) 25

2 3 55x yx y− =

− =

c) 2 3 25

55x yx y+ =

+ =

d) 2 3 25

55x yx y+ =

+ =

e) n.d.a.

Entre 9h e 17h, Rita faz uma consulta pela internet das mensagens de seu correio eletrônico. Se todos os instantes desse intervalo são igualmente prováveis para a consulta, a probabilidade de ela ter iniciado o acesso ao seu correio eletrônico em algum instante entre 14h35min e 15h29min é igual a:a) 13,25%. b) 10,25%.c) 11,25%.d) 19,58%.e) 23,75%.

Uma pesquisa realizada com pessoas com idade maior ou igual a sessenta anos residentes na cidade de São Paulo, publicada na revista Pesquisa/Fapesp de maio de 2003, mostrou que, entre os idosos que nunca frequentaram a escola, 17% apresenta algum problema cognitivo (perda de memória, de raciocínio e de outras funções cerebrais). Se, entre 2.000 idosos pesquisados, um em cada cinco nunca foi à escola, o número de idosos pesquisados nessa situação e que apresentam algum tipo de problema cognitivo é:a) 168.b) 60.c) 40.d) 68.e) 50.

Um botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Ligando os pontos colocados por ele num gráfico, resulta a figura a seguir. Se for mantida sempre a relação entre o tempo e a altura, a planta terá, no 30º dia, uma altura igual a:

Questão 05


Questão 06


Questão 07


Questão 08

28

a) 4 cm.b) 5 cm.c) 3 cm.d) 6 cm.e) 30 cm.

Um pintor de uma casa pretende comprar tinta e verniz e dispõe de R$ 1.800,00. Na loja de Tintas “Dois Irmãos”, o litro da tinta custa R$ 40,00 e do verniz, R$ 30,00. Obtenha expressão da restrição orçamentária e a represente graficamente.

Um comerciante compra produtos ao preço unitário de R$ 5,00, gasta sua condução diária de R$ 45,00 e vende seu produto a R$ 8,00. Determine seu custo diário C em função da quantidade comprada q. Determine também a sua receita R em função da quantidade vendida q, que se supõe igual à quantidade comprada.



Questão 10

Questão 09

Além disso, expresse seu lucro diário L em função da quantidade q.


FINALIZANDO

29

Nessa aula, você viu os conceitos e aplicações das funções e da função de primeiro grau. Viu também como realizar a representação gráfica de uma função. Aprendeu como analisar, por meio de situações práticas, os conceitos de taxas de variação, função de receita, custo e lucro; ponto de equilíbrio, restrição orçamentária e juros simples. Entendeu que todos os conceitos estudados têm aplicações no nosso cotidiano. Para uma melhor compreensão e fixação das questões e exemplos, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto.


FINALIZANDO

30

Conteúdo


• A função do segundo grau, suas características e a sua aplicação para a resolução de problemas e situações nas áreas financeiras e administrativas.

• Como construir e analisar o gráfico da função de segundo grau.• Por meio de situações práticas, aplicadas às áreas de administração, os conceitos de receita,

custos, lucros, ponto de equilíbrio (break even point), além de outras situações, cujos modelos podem ser determinados por uma função de segundo grau.

Habilidades


• Ache um número que tenha sua raiz quadrada maior ou igual a dele mesmo?

• Elevei um número positivo ao quadrado, subtraí do resultado o mesmo numero e o que restou dividi ainda pelo mesmo número.O resultado que achei foi igual ao numero menos 1.

• Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 245m de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo.

Tema 3Função de Segundo Grau

ícones:



31

AULA 3

Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de

Aprendizagem.

Função de Segundo Grau

Ao estudar a função de segundo grau por meio de suas características, você poderá resolver problemas práticos, como o do conhecimento da receita, que relaciona o preço e a quantidade de produtos comercializados.

Pela interpretação do gráfico da função de segundo grau, denominada parábola (curva), você observará aspectos importantes, como sua concavidade, que depende do sinal de a , seus vértices e raízes.

Uma das situações práticas é a obtenção da função receita, quando consideramos o preço e a quantidade comercializada. Sabe-se que a receita R é dada por R p q= ⋅ , onde p representa o preço unitário e q , a quantidade comercializada do produto. Por exemplo: se o preço das bolas de uma marca variar de acordo com a relação 4 400p q= − + , pode-se, então, obter a receita para a venda de bolas pela equação 2( 4 400) 4 400R q q q q= − + ⇒ − + . Nessa parábola, convém observar alguns aspectos importantes associados à função 24 400R q q= − + :

Como o coeficiente de 2q , o número 4− , que, por ser negativo, implica ter a concavidade voltada para baixo.

O ponto em que a curva corta o eixo R é obtido fazendo 0q = , o que nos dá 24 0 400 0 0R = − ⋅ + ⋅ = .

Os pontos em que a curva corta o eixo q , ou raízes da função, são obtidos fazendo 0R = : 20 4 400 0 0 100R q q q ou q= ⇒ − + = ⇒ = = .


32

O vértice ( ) ( ). 50, 10.000v vV q R= = da parábola em que 50vq = é a média aritmética das raízes e 10.000vR = é a receita correspondente:

0 100 502vq +

= = . Substituindo em R , obtemos: 24 50 400 50 10.000vR = − ⋅ + ⋅ = .

Especificamente para esta função, o vértice é importante, pois informa a quantidade 50vq = que deve ser comercializada para que se tenha a receita máxima 10.000vR = . Embora se tenha obtido a coordenada 50vq = 50vq =pela média aritmética das raízes da função, existem outras maneiras de se encontrar tal coordenada. É importante lembrar que a coordenada 50vq = determina o eixo de simetria da parábola, isto é, quantidades maiores que 10.000vR = proporcionam receitas menores que 10.000vR =. Isto é natural, pois a receita está associada ao preço 4 400p q= − + , que decresce à medida que a demanda q aumenta.

Outra aplicação muito usada da função de segundo grau é a determinação do Lucro de uma empresa. Por exemplo: considerando-se a receita 24 400R q q= − + da venda de bolas e supondo-se o custo de produção C dado por 80 2.800C q= + , então o Lucro L da comercialização de bolas é

( )2 24 400 80 2800 4 320 2.800L R C L q q q L q q= − ⇒ = − + − + ⇒ = − + − .

Para a obtenção do gráfico, nota-se que:

Como o coeficiente de 2q é o número 4− , que, por ser negativo, implica ter a concavidade voltada para baixo.

O ponto em que a curva corta o eixo L é obtido fazendo 0q = , o que nos dá 24 0 320 0 2.800 2.800L = − ⋅ + ⋅ − = − .

Os pontos em que a curva corta o eixo q , ou raízes da função, são obtidos fazendo 0L = : 20 4 320 2.800 0 70 10L q q q ou q= ⇒ − + − = ⇒ = = .

O vértice ( ) ( ). 40, 3.600v vV q L= = da parábola em que 22vcoeficiente de qqcoeficiente de q

−=

⋅, ou seja,

( )320 40

2 4vq −= =

⋅ − e vL é o lucro correspondente, 24 40 320 40 2800 3.600vL = − ⋅ + ⋅ − = .

Com esses dados, pode-se verificar que o lucro é positivo 0L > quando se vendem entre 10 e 70 bolas. O lucro é zero quando se vendem 10 ou 70 bolas, e o lucro é negativo 0L < quando se vendem entre 0 e 10 bolas ou quantidades superiores a 70 bolas. A partir do vértice e do eixo de simetria, nota-se que, para a quantidade de 40 bolas, o lucro máximo é de 3.600 e que o lucro cresce para quantidades menores que 40 e decresce para quantidades maiores que 40.

33

A caracterização geral de uma função de segundo grau é dada por: ( ) 2y f x a x b x c= = ⋅ + ⋅ + , onde 0a ≠ .

Para a obtenção do gráfico, conhecido como parábola, observam-se os seguintes passos:

O coeficiente a determina a concavidade da parábola; se 0a > (positivo), a concavidade é voltada para cima e se 0<a (negativo), a concavidade é voltada para baixo.

O termo independente c dá o ponto em que a parábola corta o eixo y , e pode ser obtido fazendo

( ) 20 0 0 0x y f a b c y c= ⇒ = = ⋅ + ⋅ + ⇒ = .

Se existirem, os pontos em que a parábola corta o eixo x são dados pelas raízes da função, que são obtidas fazendo 0y = . Para a resolução dessa equação, utiliza-se a fórmula de Báskara, em que:

2bx

a− ± ∆

=⋅

, onde 2 4b a c∆ = − ⋅ ⋅ .

O número de raízes, ou pontos em que a parábola corta o eixo x , depende do ∆ :

Se 2 4b a c∆ = − ⋅ ⋅ for positivo, 0∆ > , têm-se duas raízes reais e distintas 2 2bx

a− − ∆

=⋅

e 2 2bx

a− − ∆

=⋅

.

Se 2 4b a c∆ = − ⋅ ⋅ for nulo, 0∆ = , têm-se duas raízes reais e iguais 02 2

b bxa a

− + −= =

⋅ ⋅.

Se 2 4b a c∆ = − ⋅ ⋅ for negativo, 0∆ < , não existem raízes reais.

O vértice da parábola é dado por ( ), ,2 4v v

bV x ya a

− −∆ = = ⋅ ⋅ .

Exemplos de Funções de Segundo Grau

1. O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por 2 14 32E t t= − − + , onde E é dado em kWh, e ao tempo associa-se 0t = a janeiro, 1t = a fevereiro, e

assim sucessivamente. Determine a quantidade de energia máxima consumida pela residência.Solução:

Os coeficientes da função são 1a = − , 14b = − e 32c = .

34

A concavidade é voltada para baixo, pois 0a < . A parábola corta o eixo E em 32c = , pois quando 0t = , temos 21 0 14 0 32 32E = − ⋅ − ⋅ + = . A parábola corta o eixo t quando 0E = , o que nos leva a: 2 14 32 0E t t= − − + = , cujas raízes, se existirem, são obtidas por Báskara: ( ) ( )22 4 14 4 1 32 324 0b a c∆ = − ⋅ ⋅ = − − ⋅ − ⋅ = ⇒ ∆ > .

Vamos obter duas raízes reais e distintas:

( )( )2

14 3242

2 2 1bt

a− − −− + ∆

= = = −⋅ ⋅ −

e ( )

( )2

14 3242

2 2 1bt

a− − −− + ∆

= = = −⋅ ⋅ −

Ou seja, a parábola corta o eixo t nos pontos 1 16t = e 2 2t = − .


bV x ya a

− −∆ = = ⋅ ⋅ , isto é:

( ) ( )( ) ( ) ( )14 324, , , 7, 81

2 4 2 1 4 1v vbV t Ea a

− −− −∆ − = = = = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − .

Para esse exemplo, a concavidade voltada para baixo associada ao eixo de simetria 7vt = indica que o consumo é crescente para os meses entre 0 e 7, e decrescente para os meses superiores a 7. Da mesma forma, o consumo máximo desta residência é de 81 kWh.

2. Um vendedor anotou as vendas de carro nos 30 dias em que trabalhou na loja, e notou que o número de vendas deste carro, dado por V em função de t (número de dias), pode ser obtido por

2 2 1V t t= − + . Vamos estudar como essa função se comporta.Os coeficientes da função são 1a = , 2b = − e 1c = . A concavidade é voltada para cima, pois 0a > . A parábola corta o eixo V em 1c = , pois, quando 0t = , temos 20 2 0 1 1V = − ⋅ + = . A parábola corta o eixo t quando 0V = , o que nos leva a: 2 2 1 0V t t= − + = , cujas raízes, se existirem, são obtidas por Báskara: ( )22 4 2 4 1 1 0 0b a c∆ = − ⋅ ⋅ = − − ⋅ ⋅ = ⇒ ∆ = .

Vamos obter duas raízes reais e iguais: ( )2 01

2 2 1bt

a− − +− + ∆

= = =⋅ ⋅

.

Ou seja, a parábola corta o eixo t nos pontos 1t = .


bV x ya a

− −∆ = = ⋅ ⋅ , isto é:

( ) ( ) ( )2 0, , , 1, 02 4 2 1 4 1v v

bV t Va a

− −− −∆ − = = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

35

Para esse exemplo, a concavidade é voltada para cima associada ao eixo de simetria 1vt = , ou seja, ao se esboçar o gráfico, ele irá “tocar” o eixo t neste ponto.

3. Em um ano, o valor v , de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos meses, indicados em t , é dado pela expressão 2 10 30v t t= − + . Sabendo que o valor da ação é dado em R$, como ficaria a análise do comportamento desta função? Veja a seguir:Os coeficientes da função são 1a = , 10b = − e 30c = . A concavidade é voltada para cima, pois 0>a . A parábola corta o eixo v em 30c = , pois, quando 0=t , temos

20 10 0 30 30v = − ⋅ + = . A parábola corta o eixo t quando 0v = , o que nos leva a:

2 10 30 0v t t= − + = , cujas raízes, se existirem, são obtidas por Báskara: ( )22 4 10 4 1 30 20 0b a c∆ = − ⋅ ⋅ = − − ⋅ ⋅ = − ⇒ ∆ < .

Não existem raízes reais, pois o discriminante é negativo, ou seja, a parábola não corta o eixo t . O vértice da parábola é dado por ( ), ,

2 4v vbV x ya a

− −∆ = = ⋅ ⋅ , isto é:

( ) ( ) ( ) ( )10 20, , , 5, 5

2 4 2 1 4 1v vbV t va a

− − − −− −∆ = = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .

Para esse exemplo, a concavidade é voltada para cima associada ao eixo de simetria 5vt = , indicando que o valor da ação é decrescente do momento em que a ação é negociada ( )0t = ao final do 5° mês ( )5t = , e crescente, do final do 5° mês ( )5t = ao final do 12° mês ( )12t = .

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Acesse o site <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/medio.htm>. Acesso em: 13 dez. 2011. Nesse site, você encontrará definições dos conceitos da teoria de conjuntos e relações e funções, além de uma série de exercícios com exemplos de aplicações.

Acesse o site <http://quimsigaud.tripod.com/equacaodo2grau/>. Acesso em: 13 dez. 2011. Nesse site, você encontrará definições dos conceitos das equações de segundo grau, além de uma série de exercícios com exemplos de aplicações.

Acesse o site <http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrauExercicios.aspx>. Acesso em: 13 dez. 2011. Nesse site, você encontrará exemplos e exercícios resolvidos das equações de segundo grau.

LINKS IMPORTANTES

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/medio.htm

http://quimsigaud.tripod.com/equacaodo2grau/

http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrauExercicios.aspx

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Agora é a sua vezINSTRUÇÕES

Observe, no enunciado de cada questão, as atividades que deverão ser realizadas de forma individual. Para auxiliar na resolução dos problemas propostos, retome os conceitos específicos necessários em cada situação.

Ponto de Partida

Além das aplicações anteriormente mencionadas, a análise financeira de um investimento pode ser realizada a partir de um modelo em que a função representa determinada aplicação, como uma função de segundo grau, como mostra o problema a seguir.

Situação-problema: Uma pessoa investiu em ações na bolsa durante um determinado período de tempo, em meses. O valor das ações variou de acordo com a função ( ) 22 8 20V t t t= − + . Considere 0t = o momento da compra das ações; 1t = após 1 mês, e assim por diante. Considere também o valor em milhares de reais. A partir desses dados, auxilie o investidor a acompanhar os movimentos das suas ações, analisando as seguintes questões:

a) Qual o valor desembolsado na compra?b) Se ele vender as ações depois de dois

meses terá lucro ou prejuízo?c) Em que meses as ações tiveram seus

maiores e menores valores?

d) De quantos meses o investidor necessita para recuperar o capital empregado?


O número N de apólices vendidas por um vendedor de seguros pode ser obtido pela expressão 22 28 64N t t= − + + , onde t representa o mês da venda. Qual o mês em que foi vendido o número máximo de apostas? a) 5.b) 4.c) 1.d) 7.e) 6.

O valor em reais (R$) de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias de pregão é dado pela expressão 2 3 2v t t= − +

. Considere 0t = o momento inicial de análise, 1t = após 1 dia, 2t = após 2 dias, e assim

sucessivamente. Para quais dias as ações são crescentes?a) 1,5 a 2.b) 1 a 1,5.c) 1 a 2.d) 0,25 a 1.e) 0,25 a 2.


Questão 01

Questão 02


38

produção máxima desse trabalhador?a) 500.b) 400.c) 100.d) 700.e) 600.

O preço de uma garrafa de vinho varia de acordo com a relação 2 400p q= − + , onde q representa a quantidade de garrafas comercializadas. Sabendo que a receita R é dada pela relação R p q= ⋅ , obtenha a função receita. Qual a quantidade de garrafas a ser comercializada para que a receita seja máxima?

Um comerciante de cosméticos compra sabonetes e creme para revenda, e tem um orçamento limitado para a compra. A quantidade de sabonetes é representada por x , a de creme por y , e a equação que nos dá a restrição orçamentária é 220 20 2000x y+ = . Expresse a quantidade de cremes em função da quantidade de sabonetes comprados. Em seguida, responda: se forem comprados seis sabonetes, quantos cremes é possível comprar?

Questão 03O lucro na venda, por unidade, de um produto depende do preço p em que ele é comercializado, e tal dependência é expressa por 2 9l p= − + . Qual o lucro para o preço, variando de 0 a 5?a) –9, –8, –5, 0, –7 e –16.b) 9, 10, 13, 18, 25 e 34.c) –9, –10, –13, –18, –25 e –34.d) –9, –8, –5, 0, 7 e 16.e) 9, 8, 5, 0, –7 e –16.[

O valor em reais (R$) de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias de pregão é dado pela expressão 2 3 2v t t= − +

. Considere 0=t o momento inicial de análise, 1t = após um dia, 2t = após dois dias, e assim

sucessivamente. Qual a variação percentual do valor da ação após 20 dias?a) 90%.b) 88%.c) 98%.d) 100%.e) 89%.

A produção de um funcionário, quando relacionada ao número de horas trabalhadas, leva à função 24 48 256P t t= − + + . Qual a


Questão 05


Questão 04


Questão06

Questão07



39

Para a comercialização de parafusos, um lojista nota que a receita é dada por 29 360R q q= − + e o custo é dado por 26 60 1125C q q= + + .Determine a equação do lucro e qual a quantidade comercializada de parafusos para que o lucro seja máximo.

O preço do trigo varia no decorrer dos meses,

de acordo com a função 2 10 240p t t= − + para o período de um ano; e 0t = o momento inicial de análise; 1t = após um mês; 2t = após dois meses; e assim sucessivamente. Determine o mês em que o preço é mínimo e qual seria esse preço.

Uma empresa produz detergente e sabonete líquido em uma das suas linhas de produção, sendo que os recursos são os mesmos para tal produção. As quantidades de detergentes e sabonetes líquidos produzidos podem ser representadas, respectivamente, por x e y . A interdependência dessas variáveis é dada por

245 45 405x y+ = . Aproximadamente, quanto se deve produzir de detergente para que tal quantidade seja igual à metade da quantidade de sabonete líquido? Considere que as quantidades são dadas em milhares de litros.


Questão 09


Questão10


Questão08

40

Nessa aula, você viu os conceitos e aplicações das funções e da função de segundo grau. Viu também como realizar a representação gráfica de uma função. Aprendeu como analisar, por meio de situações práticas, os conceitos de receita, custos, lucros, ponto de equilíbrio (break-even point), além de outras situações cujos modelos podem ser determinados por uma função de segundo grau. Entendeu que todos os conceitos estudados têm aplicações no nosso cotidiano. Para uma melhor compreensão e fixação dos exercícios e exemplos, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto.


FINALIZANDO

41

Tema 4 Função Exponencial

ícones:



• A função exponencial a partir do fator multiplicativo e em sua forma geral.• As aplicações da função exponencial no cálculo de juros compostos, na depreciação de uma

máquina e no crescimento populacional.• O logaritmo como uma operação inversa da potenciação e que permite conhecer o valor

desconhecido do expoente.

Habilidades


• Qual o montante gerado sobre um capital aplicado a uma determinada taxa de juros compostos.

• Qual o crescimento populacional de uma cidade em determinado período de tempo

• Quanto vale uma máquina após 10 anos de uso, com uma taxa depreciação de 2% ao ano, cujo valor pago no ato da compra foi de R$ 50.000,00?

AULA 4


42

Função Exponecial

Ao estudar a função exponencial por meio de suas características, você poderá resolver problemas

práticos, como cálculo de juros compostos. Nesta modalidade, o valor apurado a cada mês

incorpora-se ao capital. Assim, se um capital de R$ 1.200,00 for aplicado a juros de 10% ao mês, ao

final de um mês, o valor de R$ 120,00 será incorporado ao capital para o cálculo dos juros no mês

seguinte. Portanto, os juros serão calculados sobre R$ 1.320,00, gerando um valor de R$ 132,00. E

assim, sucessivamente, os valores podem ser calculados mês a mês.

No entanto, para um período indefinido, torna-se importante conhecer a função matemática que

possibilite estabelecer a relação entre o montante, o capital, a taxa de juros acumulados em um

período de tempo. Essa função é dada por ( )1 nM C i= ⋅ + , onde M definimos como montante, C é

o capital inicial, n a taxa (escrita de forma decimal) e n o tempo (período) de aplicação. Voltando ao

exemplo citado, pode-se obter a função exponencial por: ( ) ( )1 1200 1 0,12n nM C i= ⋅ + = ⋅ + .

De uma forma geral, a função exponencial é definida por ( ) ( ), 0 1xf x b a a e a= ⋅ > ≠ , sendo que

a variável é o expoente. Podem-se determinar os coeficientes a e b por meio de razões entre dois

valores conhecidos da função. Já a função exponencial pode ser determinada a partir de um fator

multiplicativo, para se obter o aumento percentual em uma quantidade. É importante ressaltar sua

utilidade nos aumentos sucessivos, na caracterização da base da função exponencial, bem como

nos decréscimos sucessivos, e a sua utilidade para estabelecer a depreciação de uma máquina no

decorrer do tempo. O fator multiplicativo, que é a base da função exponencial, é obtido simplesmente

pela soma de 1 à porcentagem de aumento escrita na forma decimal, isto é, 1100

ibase = + , onde i é

a taxa. E, para a obtenção da diminuição, basta diminuir 1 da porcentagem de diminuição escrita na

forma decimal, isto é, 1100

ibase = − , onde i é a taxa.

Um exemplo de função exponencial é dado quando se considera uma máquina cujo valor é

depreciado no decorrer do tempo a uma taxa fixa que incide sobre o valor da máquina no ano anterior.

Nessas condições, se o valor inicial da máquina é de R$ 35.000,00 e a depreciação é de 12% ao ano,


43

vamos obter o fator multiplicativo e, na sequência, a função que representa o valor da máquina ao

longo do tempo.

Usando o fator multiplicativo, obtemos: 121 1 0,88100 100

ibase = − = − = .

Como o valor inicial da máquina é de R$ 35.000,00, define-se, então, a função exponencial como:

( ) 35.000 0,88x xf x b a= ⋅ = ⋅ .

Outro exemplo de aplicação é o aumento populacional. Considere que uma cidade tem uma

população de 550.000 habitantes e cresce a uma taxa de 1,45% ao ano. Considerando como tempo

t, podemos encontrar a função que determina o aumento populacional P em função do tempo, isto é,

( )P f t= . Usando o fator multiplicativo 1,451 1 1,01100 100

ibase = + = + = , conseguimos determinar a função

exponencial: 550.000 1,01tP = ⋅ .

Existem outras maneiras de obtenção da função exponencial:

1° Caso: Identificando a evolução exponencial

Quando são fornecidos dados relativos às variáveis independentes ( )x e às correspondentes

variáveis dependentes ( )y período a período (isto é, dia a dia, mês a mês, ano a ano), deve-se dividir

a variável dependente pela variável dependente do período anterior e comparar os resultados.

Se os quocientes 32 4

1 2 3

yy yy y y

= = =L forem iguais, tem-se um fenômeno que pode ser representado

por uma função exponencial, sendo a base a da função xy b a= ⋅ o resultado das divisões assim

realizadas. Para a obtenção de b , utiliza-se um dos valores de ( )x , e substituem-se tais valores em xy b a= ⋅ , e, assim, se obtém b .

44

Considere este exemplo: a população de uma cidade nos anos de 2008 a 2011 é dada na tabela a

seguir.

Realizando-se as divisões, obtém-se:

960.159 1,017879916 1,02943.293

= ≅

960.159 1,017879916 1,02943.293

= ≅

977.361 1,017915783 1,02960.159

= ≅

Verificando-se que os resultados são iguais, tem-se neste exemplo uma função exponencial cuja base

é dada por 1,02a = ; o coeficiente b será obtido substituindo-se em xy b a= ⋅ o valor de 1,02a = em

um dos pares de valores de x e y dados, por exemplo, ( ) ( ), 8,926.758x y = , onde 8 representa o ano

de 2008.

8926.758 1,02790.979,0294 790.979

bb

= ⋅= ≅

Assim, a função exponencial da população é dada por 790.979 1,02xy = ⋅ .

2° Caso: Função Exponencial a partir de Dois Pontos

O procedimento consiste em substituir os dois pares de valores xaby ⋅= em que xaby ⋅= , formando

um sistema de duas equações e duas variáveis, cuja solução nos fornece os coeficientes b e b .

Por exemplo, em um armazém, os grãos de milho armazenados, com o tempo, começam a estragar,

sendo que a quantidade de grãos ainda em condições de consumo começa a decair segundo um

modelo exponencial. A tabela a seguir relaciona os dois momentos e as respectivas quantidades de

grãos em condições de uso.

45

Também é possível obter-se uma função exponencial que relaciona a quantidade

de grãos em função do ano de estocagem.

Pela tabela, verifica-se que o modelo é exponencial e que os pontos

( ) ( ), 2, 760x y = e ( ) ( ), 5, 580x y = satisfazem à equação xy b a= ⋅ ; então, substituindo:

2=x e 760y = em 2760xy b a b a= ⋅ ⇒ = ⋅

5=x e 580y = em 5580xy b a b a= ⋅ ⇒ = ⋅

Com isso, é obtido o sistema 5

2

580760

b ab a⋅

=⋅

, que se resolve dividindo a primeira equação pela segunda:

5

2

580760

b ab a⋅

=⋅

3 30,763158 0,763158 0,91a a a= ⇒ = ⇒ =

Substituindo-se 91,0=a em 2 760b a⋅ = , tem-se b: 20,91 760 918b b⋅ = ⇒ ≅ .

Assim, a função exponencial que fornece a quantidade de grãos sem função do tempo é dada por

918 0,91xy = ⋅ .

46


Acesse o site <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm>. Acesso em: 23 nov. 2011. Nesse site, você encontrará os conceitos de função exponencial de forma didática.

Acesse o site <http://www.alunosonline.com.br/matematica/funcao-exponencial.html>. Acesso em: 13 dez. 2011. Nesse site, você encontrará definição da função exponencial e uma série de exercícios com exemplos de aplicações.

Assista ao vídeo sobre função exponencial, disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=VTIXdWSJ_u0>. Acesso em: 13 dez. 2011. Nesse vídeo, você encontrará a definição de função exponencial, além de alguns exemplos.

LINKS IMPORTANTES

VÍDEOS IMPORTANTES

http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm

http://www.alunosonline.com.br/matematica/funcao-exponencial.html

http://www.youtube.com/watch?v=VTIXdWSJ_u0

http://www.youtube.com/watch?v=VTIXdWSJ_u0

47

e) R$ 1.308.083,64.

Uma máquina copiadora, após a compra, tem seu valor depreciado a uma taxa de 10,6% ao ano. Sabendo que o valor pode ser expresso por uma função exponencial e que o valor da compra é de R$ 97.000,00, obtenha o valor V como uma função dos anos x após a compra, e o valor da máquina após cinco anos.

a) 97.000 10,6xV = ⋅ e $197.277,53Rb) 97.000 9,6xV = ⋅ e $57.277,53R

c) 97.000 0,1060xV = ⋅ e $96.277,53R

d) 97.000 0,90xV = ⋅ e $77.277,53R

e) 97.000 0,90xV = ⋅ e $57.277,53R

Uma pessoa faz empréstimo de R$ 40.000,00, que será corrigido a uma taxa de 2,5% ao mês a juros compostos. Qual seria a equação que determina o montante M da dívida em função dos meses (tempo) x , isto é, ( )M f x= . E qual seria o montante da dívida após 16 meses?a) 40.000 1,025 ; 59.380,22xM = ⋅

b) 40.000 1,025 ; 59.380,22xM = ⋅c) 40.000 1,25 ; 1.421.085,22xM = ⋅

d) 40.000 1,025 ; 1.059.380,22xM = ⋅e) 40.000 1,025 ; 51.203,34xM = ⋅

Agora é a sua vez

Questão 01

Questão 03

INSTRUÇÕES

Observe, no enunciado de cada questão, as atividades que deverão ser realizadas individualmente. Para auxiliar na resolução dos problemas propostos, retome os conceitos específicos necessários em cada situação.

Ponto de Partida

Além das aplicações anteriormente mencionadas, a análise exponencial pode ser feita para a simulação do lucro obtido em uma aplicação financeira. Supondo que um investidor fará uma aplicação no valor de R$ 25.000,00 a juros compostos, com taxa de 2,5% ao mês, pergunta-se: após quantos meses essa aplicação dobrará o valor do capital?


O montante de aplicação financeira no decorrer

dos anos é dado por ( ) 120.000 1,09xM x = ⋅ , onde x representa o ano após a aplicação, e 0x = é o momento em que foi realizada a aplicação. Qual o montante, 10 anos após a aplicação?a) R$ 284.083,64.b) R$ 130.000,00.c) R$ 1.200.000,00.d) R$ 130.800,00.


Questão 02



48

Com base nesses dados, responda:a) Qual a função exponencial que relaciona a

quantidade consumida de água em função do tempo (ano)?

b) Qual o aumento percentual anual no consumo de água?

A população de uma cidade no decorrer dos anos de 2005 a 2008 é dada pela tabela a seguir:

Obtenha uma função que forneça a população como uma função do ano, considerando que o ano de 2001 foi o ano inicial e que, em 2001 a 2005, o crescimento da população foi similar ao da tabela.

O montante de uma dívida, no decorrer de t meses, é dado por ( ) 25.000 1,03tM t = ⋅ . Determine depois de quanto tempo o montante será de R$ 68.000,00

O preço médio dos componentes de um remédio aumenta conforme uma função exponencial. O preço médio inicial é de R$12,50, e a taxa percentual de aumento é de 1,10% ao mês. A função que determina o preço em função do tempo é dada por 12,50 1.011tP = ⋅ . Após quanto tempo o preço médio dos componentes duplicará?a) 10 meses.b) 50,36 meses.c) 65,36 meses.d) 63,36 meses.e) 73,36 meses.

Dada uma função exponencial 46,98 1,56xV = ⋅, determine qual o aumento percentual desta função.a) 50%.b) 40%.c) 56%.d) 76%.e) 98%.

Estudos mostram que é exponencial o consumo de água em uma cidade. Foram computados os valores de consumo após o início do estudo, e dois desses valores são dados na tabela a seguir:

Questão 07Verifique seu desempenho nesta questão, clicando no ícone ao lado.


Questão 04


Questão 08

Questão 05


Questão 06


49

Questão 09O valor de uma conta de celular é dado por uma tarifa fixa, mais uma parte que varia de acordo com o número de ligações. A tabela a seguir fornece os valores das contas dos últimos meses:

a) Determine a expressão que relaciona valor em função das ligações.

b) Identifique qual a tarifa fixa e o preço por ligação.

Uma cidade, no ano de 2006, tem 870.500 carros e, a partir de então, o número de carros cresce de forma exponencial a uma taxa de 10% ao ano.

a) Determine a função que relaciona o número de carros C em função do ano t , isto é, ( )C f t= .

b) Determine em quanto tempo vamos ter a quantidade de 1.100.000 carros, para o Governo poder estruturar-se para que o sistema rodoviário não entre em colapso.

Questão 10



50

Nessa aula, você viu os conceitos e aplicações da função exponencial. Viu também como identificar a função exponencial por meio de um fator multiplicativo. Aprendeu como analisar, com situações práticas, os conceitos de juros compostos, depreciação de uma máquina e crescimento populacional. Entendeu que todos os conceitos estudados têm aplicações no nosso cotidiano. Para uma melhor compreensão e fixação das questões e exemplos, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto.


FINALIZANDO


51

Tema 5Função Potência, Polinomial, Racional e Inversa

ícones:

Conteúdo


• Os conceitos matemáticos e seus desenvolvimentos na prática do dia a dia.• As Funções Potência, Polinomial, Racional e Inversa.• As funções racionais explorando algumas ideias relacionadas à teoria do limite.

Habilidades


• Ângela resolveu criar coelhos e comprou quatro casais. Na primeira gestação, cada um dos quatro casais gerou outros quatro casais, totalizando 16 coelhos. Qual seria o número de coelhos após quatro gestações?

• Qual a produção de um determinado produto, por exemplo, a produção de bolsa de uma determinada fábrica, considerando P a quantidade de bolsas produzidas e q a quantidade de capital aplicado na compra de equipamentos?

• Qual a receita obtida se aplicarmos certa quantia de valores em propaganda, onde a receita é dada

por ( ) 100 4005

xR xx+

=+

?


52

AULA 5


Função Potência, Polinomial, Racional e Inversa

FUNÇÃO POTÊNCIA

De uma forma geral a função potência é definida por ( ) ( ), 0ny f x k x k= = ⋅ ≠ , onde k e x são constantes. Embora o expoente possa assumir qualquer valor real, é interessante estudar três casos:

1° caso. Potências inteiras e positivas.

Exemplos: 8 7 3 240 , 24 , 90 0,44 , 600y x y x y x y x e y x= = = − = =Ao analisar o comportamento das potências inteiras e positivas de x nota-se que:

A) Potências ímpares:( 3 5 7, , , ,y x y x y x y x= = = = K ) são funções crescentes para todos os valores do domínio e seus gráficos são simétricos em relação à origem dos eixos. Nota-se ainda

que para 3 5, ,y x y x= = K os gráficos têm concavidade voltada para baixo (taxas decrescentes) quando 0x < e concavidade voltada para cima (taxas crescentes) quando 0>x . Para x y= , cujo gráfico é uma reta, a taxa é constante (não há concavidade).

B) Potências pares: ( 2 4 8 10, , , ,y x y x y x y x= = = = K ) são funções decrescentes para 0x < e crescentes para 0x > e seus gráficos são simétricos em relação ao eixo y.

2° caso. Potências fracionárias e positivas.

Exemplos: 1 2 4 1 23 5 7 5 76 , 4 , 9 0,12 , 60y x y x y x y x e y x= = = − = =

Você deve lembrar que a caracterização geral da função potência é dada por

, 0 0; 0pn q e p qq

= ≠ > > , onde , 0 0; 0pn q e p qq

= ≠ > > , para tanto, lembre-se de que pode


53

escrever a potência fracionária em forma de raiz, isto é, ( )

pqn pqy f x k x y k x y k x= = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ .

Por exemplo: 5

3 53y x y x= ⇒ = ou ainda 1

122y x y x y x= ⇒ = ⇒ = , lembre-se de que este último exemplo também é conhecido como raiz quadrada e é definida somente para 0x ≥. De modo análogo, inúmeras potências fracionárias de x são definidas somente se 0x ≥ .

As potências fracionárias são crescentes a taxas decrescentes se o expoente é maior do que 0 e menor do que 1 (concavidade para baixo) e crescente a taxas crescentes se o expoente é maior do que 1 ( concavidade para cima).

3° caso. Potências inteiras e negativas.

Exemplos: 2 32 3

1 110 ,10

y x ou y y x ou yx x

− −= = = =

As potências inteiras e negativas x são definidas para 0≠x , pois ao escrevê-las na forma de fração tem-se x como denominador.

Tais funções são conhecidas como hiperbólicas, pois seus gráficos no domínio x∈ℜ e 0x ≠ são hipérboles.

Potências negativas impares 1 3 5 7, , , ,y x y x y x y x− − − −= = = = K são funções decrescentes para todos os valores do domínio e, nos gráficos, os ramos de hipérbole são simétricos em relação à origem dos eixos. Note ainda que tem concavidade voltada para baixo (taxas decrescentes) quando

0<x e concavidade voltada para cima (taxas crescentes) quando 0>x .

Potências negativas pares 2 4 6 8, , , ,y x y x y x y x− − − −= = = = K são funções crescentes para 0x < , decrescentes para 0x > e, nos gráficos, os ramos de hipérbole são simétricos em relação ao

eixo y . Por ser a concavidade voltada para cima, as taxas são crescentes tanto para o crescimento como para o decrescimento da função.

Algumas aplicações das funções potência: no processo de produção de um produto são utilizados vários fatores como matéria-prima, energia, equipamentos, mão de obra e dinheiro. Tais fatores são chamados de insumos de produção. Na análise matemática da produção de um produto, é interessante estabelecer a quantidade produzida em correspondência com a quantidade de apenas um dos componentes do insumo, considerando fixas as demais quantidades de outros insumos.

54

Por exemplo, a quantidade produzida P , dependendo apenas da quantidade q de matéria-prima utilizada na produção, considerada fixa a quantidade de mão de obra disponível, de energia utilizada, de dinheiro disponível etc.

Resumindo, a quantidade produzida P depende apenas da quantidade q de um insumo, isto é, a produção pode ser escrita como função da quantidade de um insumo, nP k q= ⋅ . Em situações práticas, para alguns processos de produção nota-se que a produção é proporcional a uma potência positiva da quantidade de insumo, ou seja, nP k q= ⋅ , onde k e n são constantes positivas.

Por exemplo: em uma determinada fábrica, na produção de sacolas plásticas, considerando P a quantidade de sacolas produzidas e q a quantidade de capital aplicado na compra de equipamentos,

estabeleceu-se a função da produção 30,03P q= ( P medida em milhares de unidades e q em milhares de reais). Pode-se construir uma tabela que dá a produção para alguns valores de insumos aplicados na compra de equipamentos.

A partir da tabela acima, nota-se que aumentos de R$ 5.000,00 acarretam diferentes aumentos em P, portanto:

Analisando mais detalhadamente, percebe-se que para aumentos iguais em q , os aumentos em P

55

são cada vez maiores, ou seja, os aumentos em P são crescentes. Nessa situação, pode-se dizer que a função P cresce a taxas crescentes.

Em outro exemplo, verifica-se o crescimento a uma taxa decrescente: em uma determinada linha de produção, o número P de aparelhos telefônicos produzidos por um grupo de operadores que trabalham uma quantidade q de horas, estabeleceu-se uma função desta produção por

342.000P q=

. A partir dessa função consegue-se determinar uma tabela que nos dá a quantidade produzida em função de algumas horas trabalhadas.

Observa-se que a função 342.000P q= é crescente e que os aumentos de 2 horas em q acarretam

diferentes aumentos em P , como se vê na tabela a seguir:

Analisando mais detalhadamente, percebe-se que para aumentos iguais em q , os aumentos em P são cada vez menores, ou seja, os aumentos em P são decrescentes. Nessa situação, diz-se que a função P cresce a taxas decrescentes.

Outro exemplo prático da função polinomial é denominado Lei de Pareto, na qual se estuda a distribuição de rendas para os indivíduos de uma população de tamanho a . Notou-se que, na maioria dos casos, o número y de indivíduos que recebem uma renda superior a x é dado aproximadamente por

( )bay

x r=

−, onde r é a menor renda considerada para a população e b um parâmetro positivo

que varia de acordo com a população estudada.

Por exemplo, se a população estudada é de 1.500.000 habitantes , a renda mínima considerada for de

56

R$ 250,00 e o parâmetro 3,1=b , então o número de indivíduos y que tem renda superior a x é dado

por ( ) ( )1,3

1.500.000250b

ay yx r x

= ⇒ =− −

.

Se quiser uma estimativa de quantos indivíduos têm renda superior a R$ 1.200,00, basta fazer 1.200x = , assim:

( ) ( )1,31.500.000 1.500.000 202

74311.200 250bay y

x r= ⇒ = = ≅

− − habitantes.

FUNÇÃO POLINOMIAL

De um modo geral, pode-se definir a função polinomial da seguinte maneira: ( ) 1 2 2

1 2 2 1 0n n n

n n ny f x a x a x a x a x a x a− −− −= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +K , onde n N∈ e 0na ≠ .

Características:O número n é denominado o grau da função polinomial.Os coeficientes 6 5 4 3 25 7 2 9 10 8 9y x x x x x x= − + − + − + + →são números reais.

Exemplos:

6 5 4 3 25 7 2 9 10 8 9y x x x x x x= − + − + − + + → função polinomial de grau 6.

4 3 25 17 2 8 10y x x x x= + − − + → função polinomial de grau 4.( ) 3 27 9 20p t t t t= − + + função polinomial de grau 3.

Aplicação: o preço de um produto foi analisado no decorrer dos meses e constatou-se que pode ser aproximado pela função ( ) 3 27 9 20p t t t t= − + + , onde t representa o numero de meses. Construindo uma tabela para alguns meses, conseguiu-se:

Tempo t 0 1 2 3 4 5

Preço p 20 23 18 11 8 15

Note que para 1=t , tem-se o preço máximo do produto e em 4=t tem-se o preço mínimo. Mais adiante, você verá que esses pontos são denominados pontos de “máximo local” e “mínimo local”.

57

FUNÇÃO RACIONAL

Definição de uma função racional é dada por: ( ) ( )( )

P xy f x

Q x= = , onde ( )P x e ( )Q x são polinômios e

( ) 0Q x ≠ . Para analisar esta função, siga os seguintes passos:

1° passo. Analisar onde ( ) ( )( )

P xy f x

Q x= = é definida, investigando assim se há assíntotas verticais.

Se há assíntota vertical em ax = , analisar o comportamento da função quando ax → , ou seja,

estudar os limites laterais limx a+→

e limx a−→

.

2° passo. Descobrir onde ( ) ( )( )

P xy f x

Q x= =

corta o eixo y fazendo 0x = .

3° passo. Descobrir onde ( ) ( )( )

P xy f x

Q x= = corta o eixo x fazendo 0y = .

4° passo. Analisar o comportamento de ( ) ( )( )

P xy f x

Q x= = quando x →−∞ .


P xy f x

Q x= = quando x →+∞ .

Exemplo: Considerando a função que dá a receita R para certo produto em função da quantia x

investida em propaganda, foi estabelecido que: ( ) 200 5005

xR xx+

=+

. São apresentados os seguintes passos:

1° passo. Analisar onde 5 0 5x x+ ≠ ⇒ ≠ −

é definida, isto é: 5 0 5x x+ ≠ ⇒ ≠ − ,

Assim, ( )R x existe para 5x ≠ − , analise o comportamento de ( )xR quando 5−→x , ou seja, analise

os limites ( )xRx +−→ 5lim e ( )5lim

xR x−→−

. Para estimar os valores de ( )5lim

xR x+→−

, monte uma tabela tomando valores próximos a –5, porém maiores que –5.

58

Pela tabela, percebe-se que, quando 5x −→ − , tem-se ( )R x assumindo valores cada vez maiores. Conclui-se, então que ( )5

limx

R x+→−= −∞ .

Para estimar os valores de ( )5lim

xR x−→−

, monte uma tabela tomando valores próximos a –5, porém menores que –5.

Pela tabela, percebe-se que, quando 5x −→ − , tem-se ( )xR assumindo valores cada vez maiores. Conclui-se, então que ( )5

limx

R x+→−= +∞ .

Conclui-se que, a partir dos limites calculados, em 5−=x tem-se duas assíntotas verticais.

59

2° passo. Descobrir onde ( ) 200 5005

xR xx+

=+

corta o eixo y fazendo 0=x

Isto é, ( ) ( )200 500 200 0 5000 1005 0 5

xR x Rx+ ⋅ +

= ⇒ = =+ +

, assim ( )R x corta o eixo R em ( ) 1000 =R , em

termos práticos R$ 100.000,00 representa a receita quando nada é investido em propaganda.

3° passo. Descobrir onde ( ) 200 5005

xR xx+

=+

corta o eixo x fazendo ( ) 0R x = .

Isto é, 200 500 0 200 500 2,505

x x xx+

= ⇒ = − ⇒ = −+

. Assim, ( )R x corta o eixo x em 2,50x = − .

4° passo. Analisar o comportamento de ( ) 200 5005

xR xx+

=+

quando x →−∞ .

Monte uma tabela para investigar o limite ( )limx R x→−∞ :

Pelos cálculos, observa-se que, se x assume valores cada vez menores, ( )xR assume valores cada vez mais próximos de 200, então para ( )lim 200x R x→−∞ = .


P xy f x

Q x= =

quando x →+∞ .

60

Monte uma tabela para investigar o limite ( )limx R x→+∞ :

Pelos cálculos, observa-se que, se x assume valores cada vez maiores, ( )R x assume valores cada vez mais próximos de 200, então para ( )lim 200x R x→+∞ = . Em termos práticos, por maior que seja a quantidade investida em propaganda a receita obtida não ultrapassa o valor de R$ 200.000,00.

FUNÇÃO INVERSA

No início do Tema 2, a função de primeiro grau foi estudada em uma situação que relaciona o custo para a produção de q calças , onde conseguiu-se a função 3 120C q= + . Se for dada a quantidade q produzida, obtém-se o custo de produção. A partir de tal função pode-se obter outra função, em que, de maneira inversa, se é dado o custo C , obtém-se a quantidade q produzida. Para isso, basta “isolar” q na relação:

3 1203 1203 120

1203

C qq Cq C

Cq

= ++ == −

−=

A função 1203

Cq −= é conhecida como a função da função 3 120C q= + . Simbolicamente: ( )1q f C−=

61


Leia o artigo de Carlos Ramos de Souza-Dias, The intimate nature of oculomotor muscles contracture,

que trata sobre as características das células musculares e suas influências. Disponível em: <http://

www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0004-27492010000200022>. Acesso em: 20

dez. 2011.

LINKS IMPORTANTES

62

O custo variável 420vC q= , onde q representa a unidade de um produto e vC medidos em reais. Quais são os custos de produção para as quantidades de 0, 2, 3, 5, 9 ?

a) 0, 320.000, 1.620.000, 12.500.000, 131.220.000

b) 0, 40.960.000, 12.960.000, 100.000.000, 1.049.760.000c) 0, 32.000, 1.620.000, 1.2500.000, 131.200.000d) 0, 40.960, 12.960, 100.000, 1.049.760 .e) 0, 40.960, 12.960, 100.000, 1.049.760 .

Em uma empresa, no decorrer do expediente, para um grupo de colaboradores, nota-se que o número P de telefones montados é

de aproximadamente 47520P q= ⋅ , onde q

representa o numero de horas trabalhadas a partir do inicio do expediente. Quantas horas devem se passar, aproximadamente, desde o início do expediente para que sejam produzidos 5.200 telefones? a) 19 horas.b) 6,31 horas. c) 10 horas.d) 20 horas.e) 3,73 horas.

Agora é a sua vezQuestão 01INSTRUÇÕES

Observe no enunciado de cada questão as atividades que deverão ser realizadas de forma individual. Para auxiliar na resolução dos problemas propostos retome os conceitos específicos necessários em cada situação.

Ponto de Partida

Veja a importância do conhecimento do ponto de máximo e de mínimo de um polinômio. Imagine que uma empresa venda seus produtos de modo que o preço unitário dependa da quantidade de unidades adquiridas pelo comprador. Por exemplo, se, sob determinadas restrições, para cada x unidades vendidas o preço

unitário é de ( )50 x− reais, então a receita total obtida pela venda é de ( ) 250R x x x= −. Em economia, ( )R x é chamada função receita (preço unitário versus quantidades vendidas).

Uma análise da função receita permite tomar decisões acertadas no sentido de aperfeiçoar a lucratividade da empresa. Por exemplo, de acordo com a na função ( )R x acima, qual seria a receita máxima obtida com a venda de seus produtos?



Questão 02


63

indivíduos com renda superior a x é dado por

1,5

1.000.000yx

= , onde x é dado em reais por dia

(R$/dia). Qual o número de pessoas que tem renda entre R$ 25,00 e R$ 100,00 por dia?a) 100 pessoas.b) 1.000 pessoas.c) 700 pessoas.d) 7.000 pessoas.e ) 8.000 pessoas.

Dada a função 60.000 1,10xM = ⋅ , M = montante de uma aplicação financeira e x = ano após o ano de aplicação. Obtenha a função inversa explicando o seu significado.

O custo C na produção de um produto depende da quantidade q produzida e tal custo é dado

por 5 315 90 20C q q q= − + + , em que o custo é medido em milhares de reais e a quantidade em milhares de unidades. Construa uma tabela que dê o custo quando são produzidas 0, 1,2,...,9 e 10 unidades e depois determine as diferentes variações do custo C∆ para variações de mil unidades produzidas ( 1)q∆ = , com q de 0 a 1, 1 a 2, 2 a 3, ..., 9 a 10.

Em uma safra, a quantidade q ofertada pelos produtores e o preço p de uma fruta estão

relacionados de acordo com 5250.000q p= ⋅

, onde q é dada em quilos e p em reais por quilo (R$/kg). Qual o preço da fruta quando os produtores estão dispostos a ofertar 54.678 kg? a) R$ 1,45.b) R$ 1,25.c) R$ 1,09.d) R$ 1,04.e ) R$ 1,25.

Em uma fábrica, o número ( )0=x de peças

produzidas por um operário depende do número de horas trabalhadas a partir do início do turno ( )0=x e tal função e dada por 3 22 15y x x= − +Quantas peças foram produzidas na primeira e na terceira hora de trabalho?a) 13 e 31 peças.b) 13 e 37 peças.c) 31 e 37 peças.d) 13 e 44 peças.e) 44 e 81 peças.

Analisando a distribuição de rendas para um grupo particular, pela Lei de Pareto, estabeleceu-se que o número x de


Questão 04


Questão 05


Questão 06


Questão 07


Questão 03

64

Questão 08Os colaboradores de uma empresa recebem um salário mensal de acordo com a expressão S=900+15n, onde S representa o salário e n o número de horas extras mensais. Determine

( )1n f S−= e para que um colaborador dessa empresa consiga um salário mensal de R$ 1.680,00 quantas horas extras ele deverá trabalhar?

A receita R para certo produto, em função da quantia x investida em propaganda, é dada por ( ) 10 400

2xR xx+

=+

, onde tanto receita quanto quantia investida em propaganda são medidas em milhares de reais. Determine para quais valores de x a função existe e qual o valor de

limx→−∞ e limx→+∞ .

Em uma fábrica, o número y de peças produzidas por um operário depende do número de horas x trabalhadas a partir do início do turno ( )0x = e tal produção é dada por 3 220y x x= − + , onde x é dada em horas e y em unidades. Quais são os intervalos de crescimento (diferentes taxas) para a produção, de acordo com o tempo trabalhado a partir do inicio do turno, considerando a produção nas dez primeiras horas ?


Questão 09

Questão 10



FINALIZANDO

65

Nessa aula, foram tratados os conceitos relacionados à Função Potência, Polinomial, Racional e

Inversa. No Livro-Texto (Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade, do autor

Afrânio Murolo e Giácomo Bonetto, Editora Cengage, 2004 , PLT 59), esses conceitos encontram-

se no Capítulo 5. O Livro-Texto e os sites de pesquisa indicados ajudarão você a resolver, além dos

problemas propostos, os demais.


FINALIZANDO

66

Conteúdo


• O conceito de taxa de variação média e instantânea.• O conceito de derivada como a inclinação da reta tangente à curva num determinado ponto, ou

mesmo, como taxa de variação instantânea.• Como encontrar a equação da reta tangente à curva em um de seus pontos, bem como aplicar

o conceito de derivada em seus cálculos.

Habilidades


• Qual a taxa de variação da produção para intervalos de tempo?

• Qual a taxa de variação instantânea da função produção em um determinado instante?

• Estimar numericamente a demanda de um determinado produto.

Tema 6Conceito de Derivada

ícones:


AULA 6



67

Conceito de Derivada

TAXA DE VARIAÇÃO

TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA

Seja C o custo para a produção de uma quantidade q de bolsas, estabelecida por ( )C f q= . Para tal função uma variação na quantidade q de bolsas determina uma variação correspondente nos custos de produção e, portanto, pode-se definir a taxa de variação média, ou simplesmente, taxa de variação da variável dependente C , em relação a variável independente q , dada pela razão:

varvar

iação em Cmiação em q

=

Em tal exemplo, por se tratar de uma função de primeiro grau, é importante salientar que a taxa de variação média representa o coeficiente angular da reta que representa graficamente essa função. A equação de tal reta é dada por y mx b= + .

De fato, o conceito de taxa de variação média não é exclusividade da função de primeiro grau; ela pode ser obtida para qualquer função. Se y representa a variável dependente e x a variável independente, então a taxa de variação média de y em relação ao x é calculada pela razão:

varvarvar

iação em y ytaxa de iação médiaiação em x x

∆= =

∆

TAXA DE VARIAÇÃO EM UM INTERVALO

Seja P a quantidade de alimentos produzidos por operários em uma indústria em relação às horas x trabalhadas a partir do início do expediente e tal produção é dada por 2P x= , onde P é dada em toneladas.

O inicio do expediente é representado por 0=x , ou seja, 0 h. Determina-se, então, a taxa de variação


68

média da produção para o intervalo de 2 h até as 3 h e também das 3 h até as 4 h. Isto é, para 2 3x≤ ≤ e 3 4x≤ ≤ . De acordo com a definição dada anteriormente, pode-se dizer que a taxa de variação média é dada por:

varvarvar

iação em P Ptaxa de iação médiaiação em x x

∆= =

∆

Para o intervalo de 2 h a 3 h ( 2 3x≤ ≤ ).

( ) ( ) 2 23 2 3 2var 5 /3 2 1

f ftaxa de iação média ton h

− −= = =

−

Para o intervalo de 3 h a 4 h ( 3 4x≤ ≤ ).

( ) ( ) 2 24 3 4 3var 7 /3 2 1

f ftaxa de iação média ton h

− −= = =

−

Note que, com o passar do tempo, as taxas de variação médias da produção aumentam e como a produção é crescente, conclui-se que a produção é crescente às taxas crescentes.

A taxa de variação média sempre é calculada para intervalos da variável independente. Se escrever de maneira geral um intervalo a até b , a taxa de variação média é dada por:

( ) ( )varf b f a

taxa de iação médiab a−

=−

Para esse modo de definir a taxa de variação média, pode-se ainda considerar o “tamanho” do intervalo como sendo h , ou seja, abh −= . Ao isolar a, obtém-se hab += e o intervalo a até b , passa a ser de a até ha + . Então, pode-se escrever a taxa de variação média como:

( ) ( )varf a h f a

taxa de iação médiah

+ −=

TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTANEA

Você estudou até agora a variação da produção para intervalos de tempo, como 2 h até as 3 h ou ainda das 3 h até as 4 h, e a taxa de variação média em um intervalo foi útil para analisar o comportamento da produção, pois dizer que a produção está variando a uma taxa de 5ton/h, significa

69

que em uma hora, foram produzidas 5 toneladas. De modo análogo, dizer que a produção varia a uma taxa de 7ton/h significa que em uma hora, são produzidas 7 toneladas – produções essas referidas a intervalos de tempos distintos do processo de produção.

Mas, pode-se calcular taxa de variação em determinado instante? Por exemplo, pode-se calcular a produção exatamente para 5 horas?

Sim, é possível e será feito da seguinte forma: calculando várias taxas de variação médias para intervalos de tempo “muito pequenos”, cada vez mais próximos do instante 5x = .

Considere o instante 5x = , tome cálculos das taxas de variação média o intervalo de 5 até 5 h+ , onde h representa o tamanho do intervalo, então:

( ) ( )5 5var

f h ftaxa de iação média

h+ −

=

Fazendo 1,0=h , tem-se o intervalo 5 até 5 0,1+ .

( ) ( ) 2 25 0,1 5 5,1 5var 10.100,1

f ftaxa de iação média

h+ − −

= = =

Fazendo 5 0,01+ , tem-se o intervalo 5 0,01+ até 5 0,01+ .

( ) ( ) 2 25 0,01 5 5,01 5var 10.010,01


h+ − −

= = =

Fazendo 001,0=h , tem-se o intervalo 5 até 5 0,001+ .

( ) ( ) 2 25 0,001 5 5,001 5var 10.000,001


h+ − −

= = =

Assim, calcula-se as taxas de variação média para os intervalos de “5 até um instante pouco maior do que 5”. Note que todos os valores encontrados para h variando dentre 0,1, 0,01 e 0,001 os valores da taxa de variação estão cada vez mais próximo de 10.

Já para calcular as taxas de variação média para os intervalos de “5 até um instante pouco menor do que 5”, serão considerados valores negativos para h . Isto é:

Fazendo 0,1h = − , tem-se o intervalo 5 até 5 0,1− .

70

( ) ( ) 2 25 0,1 5 4,9 5var 9.900,1


h− − −

= = =−


( ) ( ) 2 25 0,01 5 4,99 5var 9,990,01


h− − −

= = =−


( ) ( ) 2 25 0,001 5 4,999 5var 9,9990,001


h− − −

= = =−

Você pode perceber que a taxa de variação média também se aproxima de 10.Então, para o instante 5x = tem-se:

var tan 10,00 /taxa de iação ins tânea ton h=

Considerando a taxa de variação instantânea assim definida, os três primeiros cálculos da taxa de variação média, com 0>h , resumem a tentativa de determinar o limite lateral

( ) ( )0

5 5lim 10

h

f h fh+→

+ −=

Os três últimos cálculos da taxa de variação média, com 0<h , resumem a tentativa de determinar o limite lateral:

( ) ( )0

5 5lim 10

h

f h fh−→

+ −=

Conclui-se então que:

( ) ( )0

5 5lim 10h

f h fh→

+ −=

Caso os limites laterais resultem em números diferentes, diz-se que o limite que dá origem aos limites laterais não existe, ou seja, a taxa de variação instantânea não existe.

71

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMO TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTANEA

A taxa de variação instantânea da função produção no instante 5x = é muito importante e também recebe o nome derivada da função produção no ponto 5x = . A taxa de variação instantânea é simbolizada, ou derivada, no ponto 5x = por ( )' 5f .

Assim, de um modo geral, a derivada de uma função em um ponto é a taxa de variação instantânea da função no ponto, ou seja,

( ) ( ) ( )'0limh

f a h f af a

h→

+ −=

72


Acesse o link <http://condigital.unicsulvirtual.com.br/conteudos/TaxasVariacao/saibamais.html>. Acesso em 12 dez. 2011. O site mostra dicas e explicações detalhadas sobre o estudo das taxas de variação médias. Acesse o link< http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/derivadas.pdf>. Acesso em 30 nov. 2011. O site traz dicas e explicações detalhadas sobre o estudo das taxas de variação instantânea, assim como exemplos de aplicações.

Assista ao vídeo sobre deverivada. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=Nwy4NILJDxw>. Acesso em 30 nov. 2011. Este vídeo mostra uma aula de derivada que irá auxiliá-lo nas resoluções dos exercícios.

LINKS IMPORTANTES

VÍDEOS IMPORTANTES

http://condigital.unicsulvirtual.com.br/conteudos/TaxasVariacao/saibamais.html

http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/derivadas.pdf

http://www.youtube.com/watch?v=Nwy4NILJDxw


73

d) 300.e) 700.

O custo C para a produção de uma quantidade q de componentes elétricos é representado pela função ( )C f q= . O custo é dado em reais (R$) e a quantidade é dada em milhares de unidades. Qual o significado de ( )' 10 5f = ?

a) Significa que a taxa de variação do custo é de R$ 5,00 milhares de reais para uma produção de 10 mil unidades.

b) Significa que a taxa de variação do custo é de R$ 10,00 milhares de reais para uma produção de 5 mil unidades.

c) Significa que a taxa de variação das unidades é de 5 milhares para um custo de R$ 10.000,00.

d) Significa que a taxa de variação do custo é decrescente para uma variação crescente nas unidades

e) N.d.a.

Para um produto, a receita R , em reais (R$), ao se comercializar a quantidade q , em unidades, é dada pela função 25 3.000R q q= − +. Determine a taxa de variação média para os intervalos 100 200q≤ ≤ ; 200 300q≤ ≤ .

Agora é a sua vez

Questão 01

Questão 03

INSTRUÇÕES

Para auxiliar na resolução dos problemas propostos retome os conceitos específicos necessários em cada situação.

Ponto de Partida

Uma fábrica tem seu custo total representado pela função

( ) 3 25 4 40 10.000C q q q q= − − + , onde q representa a quantidade produzida e C o custo total em reais. Para obter a equação do custo marginal, você deve encontrar a derivada dessa função. Determine o custo marginal assim como o custo marginal para uma produção de mil unidades?


Em uma indústria química, considerou-se a produção de sabão como função do capital investido em equipamentos e estabeleceu-se ( ) 25P q q= , onde a produção P é dada em

milhares de litros e o capital q investido é dado em milhares de reais. Determine a taxa de variação média para a produção no intervalo 6 8q≤ ≤ .a) 350.b) 35.c) 70.


Questão 02


74

Em uma linha de produção, o número P de aparelhos eletrônicos montados por um grupo de funcionários depende do número q de horas

trabalhadas em 142.000P q= , onde P é medida

em unidades montadas aproximadamente por dia. Estime numericamente a derivada da função para 1q = .

a) 2.000.b) 500.c) 8.000.d) 7.000.e) 125.

Dada a função 50.000 1,08xM = ⋅ , na qual M = montante de uma aplicação financeira e x = ano após o ano de aplicação. Determine a taxa de variação média para o intervalo 2 6q≤ ≤ ?

a) R$ 5.000,00.b) R$ 5.255,93.c) R$ 4.847,44.d) R$ 8.307,66.e) R$ 6.985,60.

A produção de um funcionário quando relacionada ao número de horas trabalhadas leva a função

24 48 256P t t= − + + . Utilizando ( )'P t , em que

a) Para o intervalo de 100 200q≤ ≤ , a taxa de variação média é de 1.500 unidades; para o intervalo de 200 300q≤ ≤ , a taxa de variação média é de 500 unidades.

b) Para o intervalo de 100 200q≤ ≤ , a taxa de variação média é de 500 unidades; para o intervalo de 200 300q≤ ≤ , a taxa de variação média é de 1.500 unidades.

c) Para o intervalo de 100 200q≤ ≤ , a taxa de variação média é de 1.450 unidades; para o intervalo de 200 300q≤ ≤ , a taxa de variação média é de 1.500 unidades.

d) Para o intervalo de 100 200q≤ ≤ , a taxa de variação média é de 5.500 unidades; para o intervalo de 200 300q≤ ≤ , a taxa de variação média é de 500 unidades.

e) Para o intervalo de 100 200q≤ ≤ , a taxa de variação média é de 14.500 unidades; para o intervalo de 200 300q≤ ≤ , a taxa de variação média é de 15.500 unidades.

Determine a equação da reta tangente à curva 22 5 7y x x= + − no ponto ( )0, 7− .

a) 5 7y x= − + .b) 5 7y x= − + .c) 7y x= − .d) 7y x= +e) 7y = − .


Questão 04



Questão 06


Questão 07

Questão 05

75

Em uma safra a quantidade q demandada pelos consumidores e o preço p de uma fruta estão relacionados de acordo com 2160.000q p−=, onde a demanda é dada em quilos e o preço em reais por quilo (R$/kg). Estime, numericamente, a derivada da demanda para

2,00p = . (Utilize para as estimativas do limite 0,1, 0,01, 0,001h h h= ± = ± = ± ; para tais

cálculos, considere todas as casas decimais da sua calculadora.)

O preço do trigo varia no decorrer dos meses

de acordo com a função 2 10 240p t t= − + para o período de um ano, onde 0t = representa o momento inicial de análise, 1t = após um mês,

2t = após dois meses e assim por diante. Determine, numericamente, a taxa de variação instantânea do preço para 10t = meses.


Questão 09



momento a produção é máxima e qual o valor dessa produção?

Questão 08


Em uma fábrica, o número y de peças produzidas por um operário depende do número de horas x

trabalhadas a partir do inicio do turno ( )0x = e tal produção é dada por 3 220y x x= + , onde x é dada em horas e y em unidades. Determine algebricamente a função de derivada de y em função de x .

Questão 10

76

Nessa aula, você viu o conceito de taxa de variação média e instantânea, assim como o conceito de derivada e estudou também o conceito de derivada como a inclinação da reta tangente à curva num determinado ponto. Aprendeu como encontrar a equação da reta tangente à curva em um de seus pontos, bem como aplicar o conceito de derivada em seus cálculos. O Livro-Texto e os sites de pesquisa indicados complementam-se para que você possa resolver todos os problemas propostos e os demais também.


FINALIZANDO

77

Tema 7Conceito de Derivada

ícones:

Conteúdo


• As técnicas de derivação e suas aplicações.• Os vários tipos de funções e suas maneiras de derivação.• Como analisar as aplicações da derivada.

Habilidades


• Qual a produção em toneladas de um cereal por hectare, em função da quantidade de um fertilizante usado no plantio?

• Qual a Elasticidade Preço da Demanda ou a Elasticidade Preço da Procura?

• Qual o montante de uma aplicação financeira após determinado ano de aplicação?


AULA 7


78

Conceito de Derivada

REGRAS DE DERIVAÇÃO

FUNÇÃO CONSTANTE

Seja a função ( )f x k= , onde k é uma constante; então a sua derivada será ( )' 0f x = . De modo simplificado tem-se: ' 0y k y= ⇒ =

Exemplo: Derive as funções:

a) 10.000y =

b) 23y = −

Solução:

a) '10.000 0y y= ⇒ =

b) '23 0y y= − ⇒ =

FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU

Seja a função ( )f x mx b= + , onde m é uma constante diferente de zero; então a sua derivada será

( )'f x m= . De modo simplificado, tem-se: 'y mx b y m= + ⇒ =


a) 10 7y x= +

b) 2 9y x= − +


79

Solução:

a) '10 7 10y x y= + ⇒ =

b) '2 9 2y x y= − + ⇒ = −

CONSTANTE MULTIPLICANDO FUNÇÃO

Seja a função ( ) ( )f x k u x= ⋅ , onde m é uma constante diferente de zero.Sendo ( )xu derivável, então a sua derivada será ( ) ( )' 'f x k u x= ⋅ . De modo simplificado tem-se:

( ) ( )' 'y k u x y k u x= ⋅ ⇒ = ⋅

Exemplo: Dada a função ( ) ( )6f x u x= ⋅ , onde ( ) 4 5u x x= + , obtenha ( )'f x . Solução: Se ( ) ( )6f x u x= ⋅ , então ( ) ( )' '6f x u x= ⋅ Para ( ) 4 5u x x= + , tem-se ( )' 4u x = . Logo,

( ) ( )' ' 6 4 24f x k u x= ⋅ = ⋅ =

SOMA OU DIFERENCA DE FUNÇÕES

Seja a função ( )f x obtida pela soma das funções ( )u x e ( )v x , isto é: ( ) ( ) ( )f x u x v x= + , sendo ( )v x e ( )v x deriváveis, então: ( ) ( ) ( )' ' 'f x u x v x= + .

De modo simplificado .

É possível proceder de modo análogo para a diferença de funções, ou seja, ( ) ( ) ( )f x u x v x= − , sendo ( )u x e ( )v x deriváveis, então: ( ) ( ) ( )' ' 'f x u x v x= + .

De modo simplificado ( ) ( ) ( )f x u x v x= + .

Exemplo: Dada a função ( ) ( ) ( )f x u x v x= + , onde ( ) 7 9u x x= + e ( ) 3 8v x x= + , obtenha ( )'f x .

Solução:

Se ( ) ( ) ( )' ' 'f x u x v x= + , então ( ) ( ) ( )' ' 'f x u x v x= + . Se ( ) 7 9u x x= + , então ( )' 7u x = e se

( ) 3 8v x x= + a sua derivada é ( )' 3v x = . Portanto ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ' 7 8 15f x u x v x f x= + ⇒ = + = .

80

POTÊNCIA DE x

Seja a função ( ) nf x x= , onde n é um número real; então a sua derivada será ' 1n ny x y n x −= ⇒ = ⋅ . De modo simplificado tem-se: ' 1n ny x y n x −= ⇒ = ⋅

Exemplo 01: Derive as funções:

a) 5y x=

b) 315y x=

c) 42y x= −

d) 65y x−=

Solução :

a) 5 ' 5 1 ' 45 5y x y x y x−= ⇒ = ⇒ =

b) 3 ' 3 1 ' 215 15 3 45y x y x y x−= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

c) 4 ' 4 1 ' 32 2 4 8y x y x y x−= − ⇒ = − ⋅ ⋅ ⇒ = −

d) ( )6 ' 6 1 ' 75 5 6 30y x y x y x− − − −= ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = −

Exemplo 02: Derive o polinômio ( ) 6 4 2 24 3 5 3 10 5p x x x x x x−= + + − + + .

Solução:

( ) 6 4 2 24 3 5 3 10 5p x x x x x x−= + + − + +

( ) ( )( )

' 6 1 2 1 2 1

1 5 3

4 6 5 2 3 2 10 0

24 10 6 10

p x x x x

p x x x x

− − − −

−

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + +

= + + +

FUNÇÃO EXPONENCIAL

81

Seja a função ( ) xf x a= , onde 0>a e 1a ≠ então a sua derivada será ( ) aaxf x ln' ⋅= . De modo simplificado, tem-se : ' lnx xy a y a a= ⇒ = ⋅


a) 2xy =

b) ( ) 20.000 1,08xM x = ⋅

Solução:

a) '2 2 ln 5x xy y= ⇒ = ⋅

b) ( ) ( ) ( )'20.000 1,08 20.000 1,08 ln1,08x xM x M x= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

FUNÇÃO EXPONENCIAL NA BASE e

Seja a função ( ) xf x e= , então a sua derivada será ( )' xf x e= . De modo simplificado tem-se: 'x xy e y e= ⇒ =


a) 20 xy e=

b) 4 4x ey e x e= − + +

Solução:

a) '20 20x xy e y e= ⇒ =

b) ' 1 ' 14 4 4 0 4x e x e x ey e x e y e ex y e ex− −= − + + ⇒ = − + + ⇒ = − +

LOGARITMO NATURAL

Seja a função ( ) lnf x x= , então a sua derivada será ( )' 1f xx

= . De modo simplificado tem-se:

82

' 1lny x yx

= ⇒ =


a) 10lny x=

b) 45,999 ln 200,23y M= ⋅ −

Solução:

a) ' '1 1010ln 10y x y yx x

= ⇒ = ⋅ ⇒ =

b) ' '1 45,99945,999 ln 200,23 45,999y M y yM M

= ⋅ − ⇒ = ⋅ ⇒ =

PRODUTO DE FUNÇÕES

Seja a função ( )xf obtida pela multiplicação das funções ( )xu e ( )xv , isto é: ( ) ( ) ( )f x u x v x= ⋅ , sendo ( )xu e ( )xv deriváveis, então: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'f x u x v x u x v x= ⋅ + ⋅ .

De modo simplificado ' ' 'y u v y u v u v= ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅

Exemplos: Derive:

a) ( ) ( ) ( )36 1 9f x x x= + ⋅ +

b) ( ) 4xf x e x= ⋅

Solução:

a) Considerando ( ) ( ) ( )f x u x v x= ⋅ , com ( )u x e ( )xv deriváveis, então: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'f x u x v x u x v x= ⋅ + ⋅ . Fazendo ( ) ( )6 1u x x= + , então ( )' 6u x = e ( )' 23v x x= , então ( )' 23v x x= . Substituindo em

( ) ( ) ( )( )( )

' 3 2

' 3 3 2

' 3 2

6 9 6 1 3

6 54 18 3

24 3 54

f x x x x

f x x x x

f x x x

= ⋅ + + + ⋅

= + + +

= + + , você obtém:

83

( ) ( ) ( )( )( )

' 3 2

' 3 3 2

' 3 2

6 9 6 1 3

6 54 18 3

24 3 54

f x x x x

f x x x x

f x x x

= ⋅ + + + ⋅

= + + +

= + +

b) Considerando ( ) ( ) ( )f x u x v x= ⋅ , com ( )xu e ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'f x u x v x u x v x= ⋅ + ⋅

deriváveis, então :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'f x u x v x u x v x= ⋅ + ⋅ . Fazendo ( ) xu x e= , então ( )' xu x e= e ( ) 4v x x= , então ( )' 34v x x= . Substituindo em ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'f x u x v x u x v x= ⋅ + ⋅ , você obtém:

( )( ) ( )

' 4 3

' 4 3

4

4

x x

x

f x e x e x

f x e x x

= ⋅ + ⋅

= +

QUOCIENTE DE FUNÇÕES

Seja a função ( )xf obtida pela multiplicação das funções ( )xu e ( )xv , isto é: ( )xu , sendo

( )xu e ( )xv deriváveis, então: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

' ''

2

u x v x u x v xf x

v x

⋅ − ⋅=

.

De modo simplificado ' '

'2

u v u vy u v yv

⋅ − ⋅= ⋅ ⇒ =

( ) 6 908

xf xx+

=+

.

Exemplos: Derive:

a) ( ) 6 908

xf xx+

=+

b) ( ) 7,5

3.000f xx

=

Solução:

a) Considerando ( ) ( )( )

u xf x

v x= , com ( )xu e ( )xv deriváveis, então : ( ) 6 90u x x= + .

Fazendo ( ) 6 90u x x= + , então ( )' 6u x = e ( ) 8v x x= + , então ( )' 1v x = . Substituindo em

84

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

' ''

2

u x v x u x v xf x

v x

⋅ − ⋅=

, você obtém:

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

'2

2

'2

6 8 6 90 1

86 48 6 90'

16 6442

16 64

x xf x

xx xf xx x

f xx x

⋅ + − + ⋅=

+

+ − −=

+ +−

=+ +

b) Considerando ( )xu , com ( )xu e ( )xv deriváveis, então: ( ) 3.000u x = .

Fazendo ( ) 3.000u x = , então ( )' 0u x = e ( )' 6,57,5v x x= , então ( )' 6,57,5v x x= . Substituindo em

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

' ''

2

u x v x u x v xf x

v x

⋅ − ⋅=

, você obtém:

( )( )

( )

( )

7,5 6,5'

27,5

6,5

15

' 8,5

0 3.000 7,5

22.500'

22.500

x xf xx

xf xx

f x x−

⋅ − ⋅=

−=

= −

FUNÇÃO COMPOSTA

Seja a função ( )xu obtida pela composição das funções ( )xu e ( )xv , isto é: ( ) ( )f x v u x = , sendo ( )xv e ( )xv deriváveis, então: ( ) ( ) ( )' ' 'f x v u x u x = ⋅ .

De modo simplificado ( ) ( )' ' 'y v u y v x u= ⇒ = ⋅

Exemplo: Derive ( ) ( )33 5f x x= + .

Solução:

85

Primeiramente, identifique a composição das funções em ( ) 3 5u x x= + , sendo ( ) 3 5u x x= + e

( ) ( )f x v u x = , de tal forma que, ( ) ( )f x v u x = , então: ( ) ( ) ( )' ' 'f x v u x u x = ⋅ .

Calculando ( )uv ', ou seja, obtendo ( )uv ' a partir de ( ) 3v u u= , então:

( )' 23v u u= . Lembrando que ( )uv ', escreve-se ( )uv ' em função de x :

( ) ( )2' 3 3 5v u x x = ⋅ + .

Deve calcular ( ) 3' =xu . Portanto, substituindo em ( ) ( ) ( )' ' 'f x v u x u x = ⋅ , tem-se:

( ) ( )( ) ( )( )

2'

' 2

' 2

3 3 5 3

9 9 30 25

81 270 225

f x x

f x x x

f x x x

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + +

= + +

A NOTAÇÃO DE LEIBNIZ

Para representar a derivada de ( )y f x= , você utilizou até o momento a notação 'y ou y . Será apresentada agora outra notação, que foi desenvolvida primeiramente pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) e que, por esse motivo, é conhecida como notação de Leibniz.A derivada de y em relação a x será representada por: dy .Você deve entender dy como um único símbolo e não como uma divisão de dy por dx . Por ora, tal símbolo, não deve ter significado se escrito isoladamente.

O símbolo dydx

é sugestivo, pois remete a divisão de uma “pequena” variação em x por uma “pequena” variação em x :

dydx

“lembra” y∆ (com y∆ e x∆ ”pequenos”).

De fato, na derivada ( ) ( ) ( )'0limh

f x h f xf x

h→

+ −= , ao considerar ( ) ( )y f x h f x∆ = + − e hx =∆ ,

reescreve-se ( )'0limh

yf xx→

∆=

∆ por:

( )'0limh

yf xx→

∆=

∆.

A notação de Leibniz é útil, pois, de certa forma, lembra que a derivada é obtida pela divisão de uma variação de y associada a uma variação em x quando a variação em x tende a zero.

86

Exemplo: Considere o custo C como função de uma quantidade produzida ( )C f q=, ou seja, ( )C f q= , na

qual o custo é dado em reais (R$) e a quantidade é dada em unidades. Usando a notação de Leibniz, represente a derivada do custo em relação à quantidade produzida. Solução: a derivada do custo será obtida pelo limite do quociente da variação do custo q∆ pela variação da quantidade q∆ , quando

dCdq , pela notação de Leibniz será escrita como dC

dq.

DERIVADA SEGUNDA E DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR

Dada uma função ( )f x , você obtém a derivada ( )'f x e tal função representa a taxa de variação de

( )xf . A derivada segunda de ( )xf é obtida simplesmente derivando a derivada ( )xf ' , ou, em outras palavras, a derivada segunda é a derivada da derivada da função.Simbolicamente: ( )'' ''y f x= .

Observação:( )xf ' conhecida como derivada primeira, ou derivada de primeira ordem de ( )xf .( )xf '' conhecida como derivada segunda, ou derivada de segunda ordem de ( )xf .( )xf ''' conhecida como derivada terceira, ou derivada de terceira ordem de ( )xf .( )xf n conhecida como derivada n-ésima, ou derivada de ordem n de ( )xf .

Exemplo: Dada a função ( ) 7f x x= , obtenha a derivada de quarta ordem.

Solução: Você deve derivar ( ) 7xxf = quatro vezes, ou seja, vai obter a sequência das derivadas de primeira, segunda, terceira e quarta de ( ) ( )7 ' 67f x x f x x= ⇒ = .

( ) ( )7 ' 67f x x f x x= ⇒ =

( ) ( ) ( )'' 6 '' 5 '' 57 7 6 42f x x f x x f x x= ⇒ = ⋅ ⇒ =

( ) ( ) ( )''' 5 ''' 4 ''' 442 42 5 210f x x f x x f x x= ⇒ = ⋅ ⇒ =

( ) ( ) ( )'''' 4 '''' 3 '''' 3210 210 4 840f x x f x x f x x= ⇒ = ⋅ ⇒ =

87


Acesse o site <http://www.somatematica.com.br/superior/derivada.php>. Acesso em 30 nov. 2011. Nesse site, você encontrará dicas e explicações detalhadas sobre o estudo das derivadas.

Acesse o site <http://www.colegioweb.com.br/matematica/derivada-de-funcoes.html>. Acesso em 30 nov. 2011. Nesse site, você encontrará dicas e explicações detalhadas sobre o estudo das derivadas de funções assim como mais alguns exemplos de aplicações.

Acesse o site <http://www.mundodosfilosofos.com.br/leibniz.htm#ixzz1fBLtCO5z>. Acesso em 30 nov. 2011. Nesse site, você encontrará mais detalhes da vida do matemático e filósofo Leibniz assim como a sua importante contribuição para a matemática.

Assista ao vídeo <http://www.youtube.com/watch?v=Nwy4NILJDxw>. Acesso em 30 nov. 2011. Esse vídeo mostra uma aula de derivada que irá auxiliá-lo nas resoluções dos exercícios.

LINKS IMPORTANTES

VÍDEOS IMPORTANTES

http://www.somatematica.com.br/superior/derivada.php

http://www.colegioweb.com.br/matematica/derivada-de-funcoes.html

http://www.mundodosfilosofos.com.br/leibniz.htm#ixzz1fBLtCO5z


88

10. ( )2

2

3 21

x xf xx+

=+

Qual a taxa de variação da reta tangente à curva ( ) 37f x x= , no ponto 5x = ?a) 525.

b) 875.

c) 42.875.

d) 1.728.

e) N.d.a.

Sabendo que o preço de um produto é dado por 5345P q= , onde q é dado em reais(R$) e q em

unidades. Determine a segunda derivada da função preço.

a) 1

'' 350P q−

= .

b) 2

'' 375P q= .

c) 2

'' 350P q= .

d) 1

'' 375P q−

= .

e) 1

'' 345P q−

= .

Agora é a sua vez

Questão 01

Questão 03

INSTRUÇÕES


Ponto de Partida

Determine a equação da reta tangente à curva da equação ( ) 3f x x= , no ponto 2x = .


Aplicando as regras de derivação, encontre a derivada das funções:1. ( ) 3 26 4 5 10f x x x x= − + +

2. ( ) 5 45 3 8f x x x x= + −

3. ( ) 7 26 8 20f x x x x= − +

4. ( ) ( ) ( )4 2 52 5 4 3f x x x x x= − ⋅ −

5. ( ) ( ) ( )4 2 52 5 4 3f x x x x x= − ⋅ −

6. ( ) ( ) ( )5 2 41 7 3f x x x x−= + ⋅ −

7. ( ) ( ) ( )5 2 41 7 3f x x x x−= + ⋅ −

8. ( ) 2

2 71

xf xx+

=+

9. ( )9

2

2 7xf xx x

− +=

+


Questão 02



89

A equação da reta tangente é dada por ( ) ( ) ( )00

'0 xxxfxfy −⋅+= , onde tal reta

passa pelo ponto ( )( )00 , xfxP = . Determine a equação da reta que passa pelo ponto

( )4,2=P da função ( ) 2xxf = .

Dada a definição de elasticidade como dy xEdx y

= ⋅ . Calcule o valor da elasticidade da procura 12 0,4q p= − ao nível de preço

5,00p = .

A função 24 0,2 5y x x= − + mede a produção em toneladas de um cereal por hectare, em função da quantidade de um fertilizante usado no plantio. Calcular e interpretar o valor da elasticidade da produção em relação ao uso do fertilizante, ao nível atual de 0,25 ton/ha.

Seja 2 31,05 10 0,02P K K K= + − a produção ( )P de uma empresa em função do insumo capital dP

dK . Calcule o produto marginal dPdK

e interprete em valor o nível 10K = .

Questão 07Para função ( )435 2y x x= + , determine a derivada, usando a regra da cadeia.

Usando as regras de derivação, encontre a derivada das seguintes funções:

1. ( ) 65.000 1,10M x = ⋅

2. ( ) 5 4lnxf x e x= +

Dada a função 50.000 1,08xM = ⋅ ,na qual x= montante de uma aplicação financeira e x = ano após o ano de aplicação. Determine a derivada da função e quanto será o montante após cinco anos de aplicação?a) ( ) ( )' 50.000 ln1,08 1,08xM x = ⋅ ⋅ e R$ 5.654,05.b) ( ) ( )' 50.000 ln1,08 1,08x xM x = ⋅ ⋅ e R$ 10.654,05.c) ( ) ( )' 50.000 ln1,08 1,08xM x = ⋅ ⋅ e R$ 4.155,90.d) ( ) ( )' 50.000 ln1,08 1,08xM x = ⋅ ⋅ e R$ 55.654,05.e) ( ) ( )' 50.000 ln1,08 1,08xM x = ⋅ ⋅ e R$ 50.654,05.


Questão 04



Questão 06

Questão 05



Questão 08

Questão 09


Questão 10


90

Nessa aula, você viu as técnicas de derivação e suas aplicações, reconheceu vários tipos de funções e suas formas de derivação e aprendeu a analisar as aplicações da derivada. O Livro-Texto e os sites de pesquisa indicados ajudarão você a resolver, além dos problemas propostos, os demais.


FINALIZANDO


91

Tema 8Aplicações das Derivadas no Estudo das Funções

ícones:



• Como identificar pontos críticos e estabelecer a relação de máximo e mínimo de uma função.

• Como relacionar o conhecimento às áreas administrativas e contábeis tendo uma visão de custos, receitas, demandas e elasticidade.

• Como aplicar o aprendizado de forma segura nas práticas do dia a dia.

Habilidades


• Qual o custo marginal de uma função Custo?

• Qual a receita marginal de uma função Receita? Ou Qual o lucro marginal dada uma função Lucro?

• Qual a propensão marginal considerando como Poupança = Renda – Consumo?

92

AULA 8


Aplicações das Derivadas no Estudo das Funções

MAXI E MÍNIMOS

No estudo de situações práticas ou fenômenos econômicos, administrativos e contábeis, é muito comum surgirem perguntas como: qual a quantidade que devo comercializar para que o lucro seja máximo? Qual a quantidade que devo estocar para que o custo de estoque seja mínimo? Quanto devo aplicar em propaganda para que a receita seja máxima?Nas perguntas citadas, se o lucro, custo, receita, forem funções, então as respostas dessas perguntas envolvem pontos especiais, como os pontos de máximo, de mínimo e ponto de inflexão.

MÁXIMO E MÍNIMOS LOCAIS

Para uma função ( )f x , diz-se que o ponto c é o ponto de máximo local se o valor ( )f c for o maior valor que a função assume para x em uma vizinhança de c . Se c é máximo local, então ( ) ( )f c f x≥ para todo x na vizinhança de c .

Para uma função ( )f x , diz-se que o ponto c é o ponto de mínimo local se o valor ( )f c for o menor valor que a função assume para x em uma vizinhança de c . Se c é mínimo local, então ( ) ( )f c f x≤ para todo x na vizinhança de c .

MÁXIMO E MÍNIMOS GLOBAIS

Para uma função ( )f x , diz-se que o ponto c é o ponto de máximo global se o valor ( )f c for o maior valor que a função assume para x do domínio da função. De modo análogo, para uma função ( )f x


93

, diz-se que o ponto x é o ponto de mínimo global se o valor ( )f c for o menor valor que a função assume para x do domínio da função. Se c é mínimo local, então ( ) ( )f c f x≤ para todo x na vizinhança de c .

DERIVADA E CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO

Uma propriedade muito importante que será utilizada para a análise das funções e construção de seus gráficos relaciona o sinal da derivada de uma função e o comportamento de tal função em um intervalo. Resumidamente você terá:

Se ( ) 0' >xf em um intervalo, então ( )xf é crescente nesse intervalo.

Se ( )' 0f x < em um intervalo, então ( )xf é decrescente nesse intervalo.

Se ( )' 0f x = em um intervalo, então ( )xf é constante intervalo.

PONTOS CRITICOS

Note que os pontos de máximo ou de mínimo ocorrem em pontos específicos chamados pontos críticos.

Um ponto c é chamado ponto crítico se ( )' 0f c = ou se ( )'f c não existir.

TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA

1° Passo: determine os pontos críticos de ( )' 0f x = - resolvendo a equação ( )' 0f x = ou encontrando os pontos onde ( )'f x não existe.

2° Passo: Marque os pontos críticos em uma reta numérica. Nos diferentes intervalos obtidos, escolha pontos para teste à direita e à esquerda de cada ponto crítico. Calcule a derivada primeira

nos diferentes pontos de teste, determinando seu sinal ( ' 0f > ) ou ( ' 0f < ). Nos pontos de teste

onde ( ( )' 0f x > ) tem-se ( )f x é crescente e, nos pontos de teste onde ( )' 0f x < ) tem-se ( )f x é decrescente.3° Passo: Analisando o crescimento ou decrescimento de à esquerda e à direita de cada ponto crítico conclui-se que o ponto é:

Máximo local – se nele a função passa de crescente para decrescente à medida que x aumenta.

Mínimo local – se nele a função passa de decrescente para crescente à medida que x aumenta.

94

Nem Máximo e nem Mínimo local – se antes e depois dela a função permanecer crescente ou decrescente.

Exemplo: Para usar o teste da derivada primeira na busca de máximos ou mínimos de

( ) 3 26 9 100p t t t t= − + + , deve-se primeiramente encontrar ( )' 23 12 9p t t t= − + . Seguindo o teste da derivada primeira:

1° Passo: determine os pontos críticos de ( )f x - resolvendo a equação ( )' 0p t = , isto é:

( )' 23 12 9 0 1 3p t t t t ou t= − + = ⇒ = =

Logo os pontos 1 3t e t= = são os pontos “candidatos” a máximo ou mínimo.

2° Passo: Marque os pontos críticos em uma reta numérica. Nos diferentes intervalos obtidos, escolha pontos para teste à direita e à esquerda de 1 3t e t= = . Aqui, serão escolhidos para teste os pontos

0, 2 5t t e t= = = , pois estão à direita e à esquerda dos pontos críticos.

0t = : ( ) ( ) ( ) ( )' 2 ' '0 3 0 12 0 9 0 9 0 0p p p p t= ⋅ − ⋅ + ⇒ = ⇒ > ⇒ crescente em 0t =2t = : ( ) ( ) ( ) ( )' 2 ' '2 3 2 12 2 9 2 3 0 0p p p p t= ⋅ − ⋅ + ⇒ = − ⇒ < ⇒ decrescente em 2t =

5t = : ( ) ( ) ( ) ( )' 2 ' '5 3 5 12 5 9 5 24 0 0p p p p t= ⋅ − ⋅ + ⇒ = ⇒ > ⇒ crescente em 5t =

3° Passo: Analisando o crescimento ou decrescimento à esquerda e à direita de cada ponto crítico conclui-se que o ponto é:O ponto 1t = é máximo local, pois a função dele passa de crescente para decrescente à medida que t aumenta.O ponto 3t = é mínimo local, pois a função dele passa de decrescente para crescente à medida que t aumenta.O valor de máximo local é conseguido substituindo 1t = na função ( )tp :( ) ( )3 2 3 26 9 100 1 1 6 1 9 1 100 104p t t t t p= − + + ⇒ = − ⋅ + ⋅ + =

O valor de mínimo local é conseguido substituindo 3t = na função ( )tp :( ) ( )3 2 3 26 9 100 1 3 6 3 9 3 100 100p t t t t p= − + + ⇒ = − ⋅ + ⋅ + =

FUNÇÕES MARGINAIS

CUSTO MARGINAL

95

Note que para cada nível de produção há um custo marginal, o que motiva a determinação da função Custo Marginal. Assim, em análises econômicas e administrativas, define-se a Função Custo Marginal

como a derivada da função custo e denota-se por: ( )'mgC C q= .

Exemplo: Se o custo é dado por ( ) 3 22 7 15 100C q q q q= + − + , então a função custo marginal será ( )' 26 14 15C q q q= + − .

Em diversas análises, economistas e administradores têm o interesse em lidar com o custo marginal, pois é interessante saber como variam os custos em determinados níveis de produção na medida em que ocorrem variações nas quantidades produzidas. Em outras palavras, além de conhecer os custos envolvidos em um nível de produção, também é importante saber a que taxa tal custo está variando nesse nível de produção.

RECEITA MARGINAL

A receita marginal nos dá a variação da receita correspondente ao aumento de uma unidade na venda de um produto. A função Receita Marginal é obtida pela derivada da Função Receita e é denotada por:

( )'mgR R q=

LUCRO MARGINAL

O lucro marginal nos dá a variação do lucro correspondente ao aumento de uma unidade na venda de um produto. A função Lucro Marginal é obtida pela derivada da Função Lucro e é denotada por:

( )'mgL L q= .

CUSTO MÉDIO MARGINAL

Considerando Custo Médio como ( )

me

C qC

q= , o custo médio marginal é obtido por meio da derivada

do custo médio e denotado por ( )'memg meC C q= .

Exemplo: Em um fábrica de móveis, o custo ao produzir q unidades de uma cadeira é dado ( ) 22 500 300C q q q= + + . Obtenha as funções custo marginal, custo médio e custo médio marginal:

96

Solução:a) Custo marginal será obtido derivando a função custo:

( )' 4 500mg mgC C q C q= ⇒ = +

b) Custo médio é obtido dividindo-se a função custo por q :

( ) 22 500 300 3002 500me

C q q qC qq q q

+ += = = + +

c) Custo médio marginal é obtido derivando a função custo médio:

' 22

3002 300 2mg mgme me meC C C q

q−= ⇒ = − = −

97


Acesse o site Wikilivros. Disponível em: <http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_1)/Aplica%C3%A7%C3%B5es_das_derivadas>. Acesso em 30 nov. 2011. O site mostra dicas e explicações detalhadas sobre as aplicações dos estudos das derivadas. Assim como alguns exemplos explicativos.

Leia o estudo Aplicações das derivadas ao estudo do gráfico de Funções. Disponível em: <http://www.aim.estt.ipt.pt/~manuela/AnMatI/Acetatos/ApliDerF.pdf>. Acesso em 30 nov. 2011. O site traz dicas e explicações detalhadas sobre a aplicação das derivadas nos estudos de gráficos de funções, assim como alguns exemplos explicativos.

Consulte o Blog Estudando Física. Disponível em: <http://elisiofisica.blogspot.com/2010/05/derivadas-exercicios-resolvidos.html>. Acesso em 30 nov. 2011. O site reúne dicas e exercícios resolvidos no estudo das derivadas.

LINKS IMPORTANTES

http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_1)/Aplica%C3%A7%C3%B5es_das_derivadas

http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_1)/Aplica%C3%A7%C3%B5es_das_derivadas

http://www.aim.estt.ipt.pt/~manuela/AnMatI/Acetatos/ApliDerF.pdf

http://www.aim.estt.ipt.pt/~manuela/AnMatI/Acetatos/ApliDerF.pdf

http://elisiofisica.blogspot.com/2010/05/derivadas-exercicios-resolvidos.html

http://elisiofisica.blogspot.com/2010/05/derivadas-exercicios-resolvidos.html

98

b) 0 e 0.

c) 10 e 2.000.

d) 30 e 6.000.

e) 15 e 3.000.

Na fabricação de um produto, o custo em reais, para produzir q unidades é dado por ( ) 3 20,30 9 108 300C q q q q= − + + . Determine o

custo marginal para produção de 12 unidades. a) $21,60Rb) $300,00Rc) $300,00Rd) $216,00Re) $31,60R

Em uma fábrica de ventiladores, a receita da venda de um tipo de ventilador é dada por ( ) 24 1600R q q q= − + , onde 0 800q≤ ≤ . Suponha

que o custo para a produção dos ventiladores

seja dado por ( ) 400 50.000C q q= + . Qual seria a quantidade que daria o lucro máximo?a) 250b) 600c) 200d) 200e)150

Agora é a sua vez

Questão 01

Questão 02


INSTRUÇÕES


Ponto de Partida

Toda quantidade comercializada gera uma receita que é dada por uma função. No caso, há ( ) 2500 25R q q q= − . Por intermédio dessa função, é possível encontrar uma quantidade a se comercializada para que a receita seja máxima. Observação: faça os testes da primeira e segunda derivada.


Dada a função ( ) 3 22 18 30 100f x x x x= − + + , usando teste da primeira derivada identifique os pontos de máximo e mínimo (local), se existirem, bem como os valores da função nesses pontos.

Dada a equação do lucro ( ) 3 230L q q q= − + lucro para quantidade q vendida, onde. A quantidade e o lucro máximo seriam respectivamente:a) 20 e 4.000.


Questão 03


Questão 04


99

O custo de para produzir x unidades é ( ) 20,03 0,02 55C x x x= + + reais, sendo a

produção diária igual a 20 unidades. Qual seria o custo adicional quando o nível de produção aumentar de 20 para 21 unidades?a) $2,50Rb) $6,00Rc) $3,00Rd) $2,00Re) $1,25R

A demanda para certo produto é dada por 500 25q p= − , onde p varia no intervalo

0 20p≤ ≤ . Determine a equação da elasticidade-preço demanda para cada preço, obtenha a elasticidade para os preços 5p = e 10p = e interprete os resultados.

Para certa população, a função consumo é dada por 7 2.100c y= + , onde y é a renda dos consumidores. Considerando como Poupança = Renda – Consumo, determine a função poupança s . Em seguida determine a propensão marginal a consumir e a propensão marginal a poupar.

Para certo produto, a demanda p e o preço p são relacionados por 50q p= − , com 0 50p≤ ≤

. Obtenha os intervalos de preços para os quais a demanda é inelástica, elástica e tem elasticidade unitária.

A demanda para certo produto é dada por 2 180.000q r= + , onde r é renda do consumidor.

Obtenha a elasticidade para as rendas 300r =, 600r = e 600r = e, conforme as elasticidades obtidas, interprete os resultados.

Em uma fábrica de peças automotivas, o preço de um tipo de peça é dado por 20 8.000p q= − +

, onde 0 4.000q≤ ≤ . Encontre os intervalos nos quais a receita marginal é positiva ou negativa.

Questão 05


Questão 06


Questão 07


Questão 08


Questão 09


Questão 10


100

Nessa aula, você viu como identificar pontos críticos e estabelecer a relação de máximo e mínimo de uma função. Viu também como relacionar o conhecimento às áreas administrativas e contábeis, tendo uma visão de custos, receitas, demandas e elasticidade. O Livro-Texto e os sites de pesquisa indicados ajudarão você a resolver, além dos problemas propostos, os demais.


FINALIZANDO

101

Equação do Segundo Grau. Disponível em: <http://quimsigaud.tripod.com/equacaodo2grau/>. Acesso em: 13 dez. 2011.

Matemática Didática. Disponível em: <http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrauExercicios.aspx>. Acesso em: 13 dez. 2011.

Matemática Essencial. Site. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/medio.htm>. Acesso em: 13 dez. 2011.

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo Augusto. Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2008.

SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da. Matemática: para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. 5. ed. São Paulo: Atlas, 1999.

REFERÊNCIAS

http://quimsigaud.tripod.com/equacaodo2grau/





102

GABARITO

TEMA 1Ponto de partidaResposta: No referido mês, o preço comercializado foi de R$40,00.

ASSUNTO: POTÊNCIA DE NÚMEROS

Questão 1Resposta:a) b) c)d) e) f) g) h) i) j)

Questão 2Resposta:a) b)

ASSUNTO: FRAÇÕES

Questão 3

Resposta:

a)

b)

88−

1

321

278

64

827

2551

16210289−

29

5

32929

2

10113

351

103

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

35581

2

2093

53

2853

1615

58−

10

8

79−

3145

511

240119

104

ASSUNTO: SUBSTITUIÇÃO NUMÉRICA

Questão 4

Resposta:

a) 2

b)

c) -3

d) 0

e)

ASSUNTO: FUNÇÃO DE 1º GRAU

Questão 5

Resposta: B.

Questão 6

Resposta: 8 anos.

Questão 7

Resposta: R$ 2.240,00.

3019

827

105

Questão 8

Resposta: R$ 58,00.

Questão 9

Resposta: setembro.

ASSUNTO: TRINÔMIO DO QUADRADO PERFEITO

Questão 10

Resposta: A.

TEMA 2Ponto de partida

Resposta:

Questão 1

Resposta: C.

Questão 2

Resposta: B.

Questão 3

Resposta: B.

Questão 4

Resposta: D.

( ) 560010,6 += xxR

106

Questão 5

Resposta: A.

Questão 6

Resposta: B.

Questão 7

Resposta: D.

Questão 8

Resposta: D.

Questão 9

Resposta: 40x+30y = 1800.

Questão 10

Resposta: C = 5q+45; R = 8q; L = 3q – 45.

TEMA 3

Ponto de partida

Resposta:

a) O valor desembolsado na compra foi de R$ 20 milhares de reais.

b) Se ele vender as ações depois de 2 meses, terá lucro de R$ 12 milhares de reais.

c) As ações tiveram seus maiores valores em abril, e os menores valores em fevereiro.

d) O investidor necessita de 4 meses para recuperar o capital empregado.

Questão 1

Resposta: D.

107

Questão 2

Resposta: A.

Questão 3

Resposta: E.

Questão 4

Resposta: E.

Questão 5

Resposta: B.

Questão 6

Resposta: e a receita máxima é de R$ 40.000,00.

Questão 7

Resposta: e 64 cremes.

Questão 8

Resposta: e Lucro máximo para a quantidade de 10 parafusos.

Questão 9

Resposta: Mês 5, e valor mínimo é de R$ 215,00.

Questão 10

Resposta: Devem-se produzir aproximadamente 2,76 milhares de litros.

qqR 4002 2 +−=

22

10020

202000 xxy −=−

=

112530015 2 −+−= qqL

108

Ponto de partida

Resposta: Após 23,45 meses.

Questão 1

Resposta: A.

Questão 2

Resposta: E.

Questão 3

Resposta: B.

Questão 4

Resposta: D.

Questão 5

Resposta: C.

Questão 6

Resposta:

a)

b) 300%

TEMA 4

xC 425,506.91 ⋅=

109

Questão 7

Resposta:

Questão 8

Resposta: Aproximadamente 34 meses.

Questão 9

Resposta:

a)

b) tarifa fixa de 6% e preço por ligação de R$ 3,94.

Questão 10

Resposta:

a) .

b) 2,46 anos.

Ponto de partida

Resposta : receita máxima de R$ 625 milhares de reais

Questão 1

Resposta : A

Questão 2

Resposta: E

tP 05,167,938.277 ⋅=

xL 06,194,3 ⋅=

tC 1,1500.870 ⋅=

TEMA 5

110

Questão 3

Resposta: E

Questão 4

Resposta: B

Questão 5

Resposta: D

Questão 6

Resposta : e seu significado é : essa função fornece o tempo M que deverá durar a aplicação para obter um montante M .

Questão 7

Resposta :

q ( milh.. unid.) C ( milh. De R$ )

0 20 1-0=11 96 2-1=12 112 3-2=13 128 4-3=1 020.11281148 =−

4 1.148 5-4=15 1.720 6-5=16 5.096 7-5=17 12.312 8-5=18 25.828 9-5=19 48.944 10-5=110 85.920

43,115ln49,10 −⋅= Mx

q∆ C∆762096 =−1696112 =−16112128 =−

572148.1720.1 =−

376.3720.1096.5 =−216.7096.5312.12 =−

516.13312.12828.25 =−116.23828.25944.48 =−

092.60828.25920.85 =−

111

Questão 8

Resposta : e deverá fazer 52 horas extras.

Questão 9

Resposta : A função existe para 2−≠x .

Para calcular −∞→xlim , monte a tabela:

x

-100 6,12-1.000 9.62

-1.000.000 9,999620-1.000.000.000 10,000000-1.000.000.000 10,000000

Veja que para valores cada vez menores de x , R assume valores próximos de 10, então

x

-100 13,725490-1.000 10.379242

-1.000.000 10,000380-1.000.000.000 10,000000-1.000.000.000 10,000000

Veja que para valores cada vez maiores de x , R assume valores próximos de 10, então .

Questão 10

Resposta:

15900−

=Sn

( )240010

++

=xxxR

10lim =−∞→x

( )240010

++

=xxxR

10lim =−∞→x

112

x ( horas ) y ( unidades ) y∆ ( produção a cada hora )

0 01 19 192 72 533 153 814 256 1035 375 1196 504 1297 637 1338 768 1319 891 12310 1.000 109

O intervalo de crescimento é de , pois com aumentos em x houve aumentos em yE intervalo de decrescimento é para 7>x , pois aumentos em y , os valores de y estão cada vez menores.

Resposta : Custo marginal:

Custo marginal de 1000 unidades é :

Questão 1

Resposta: C

Questão 2

Resposta: A

Questão 3

Resposta: A

70 << x

TEMA 6

( ) 40815 2' −−= qqqC

( )( ) 149919601000

40815'

2'

=

−−=

CqqqC

113

Questão 4

Resposta: A

Questão 5

Resposta: B

Questão 6

Resposta: B

Questão 7

Resposta: Valor máximo é de 400 unidades em 6 horas de trabalho.

Questão 8

Resposta: Estimativa é de -40.000.

Questão 9

Resposta:

A taxa de variação instantânea para é dada por

Para calcular tal taxa, o aluno deve estimar os limites laterais de acordo com:

Fazendo , obtém-se :


10=t( ) ( )

hfhfxeminstiaçãodeTaxa h

1010lim10.var 0−+

== →

1,0=h

( ) ( ) 10,101,0

101,010.var =−+

=ffinstiaçãodeTaxa

01,0=h

114


Fazendo 1,0−=h , obtém-se :


Fazendo 001,0−=h , obtém-se :

Isto significa que a variação instantânea para t=10 é de R$ 10,00.

Questão 10

Resposta : Por definição .Aplicando a função em ( ) hehx + , obtém-se

Logo :

Como então

001,0=h

( ) ( ) .001,10001,0

10001,010.var =−+

=ffinstiaçãodeTaxa

001,0−=h

( ) ( ) 90,91,0

101,010var =−

−−=

ffmédiaiaçãodeTaxa

( ) ( ) 99,901,0

1001,010var =−

−−=


( ) ( ) 999,9001,0

10001,010var =−

−−=


( ) ( ) ( )h

xyhxyxy h−+

= →0' lim

( ) ( ) ( ) ( )h

xhxh

xyhxyxy hh

22

00' 2020limlim −+

=−+

= →→

( ) ( ) hxh

hxhh

xhxhxxy hhh +=+

=−++

= →→→ 2lim2lim20220lim 0

2

0

222

0'

0lim →h ( ) xxy 2' =

115


Resposta :

Questão 01

Aplicando as regras de derivação, encontre a derivada das funções:

1) Resposta:

2) Resposta:

3) Resposta:

4) Resposta:

5) Resposta:

6) Resposta:

7) Resposta:

8) Resposta:

9) Resposta:

10) Resposta:

1612 −= xy

( ) 5818 2' +−= xxxf

( ) 81225 34' −+= xxxf

( ) 201642 6' +−= xxxf

( ) 61418 68' −+−= xxxf

( ) 2468' 451846178 xxxxxf +−−=

( ) 1632 23' −−= xxxf

( ) xxxxxf 1412321 324' +−+−= −−

( )12

214224

2'

+++−−

=xx

xxxf

( ) 234

98'

27142022

xxxxxxxf

++−−−−

=−−

( )12226

24

2'

+++−

=xxxxxf

116

Questão 2

Resposta: A

Questão 3

Resposta: A

Questão 4

Resposta:

Questão 5

1) Resposta:

2) Resposta:

Questão 6

Resposta: A

Questão 7

Resposta: 44 −= xy

Questão 8

Resposta: .

( ) 357911' 64528560.1900.1500.7 xxxxxxf ++++=

( ) ( ) xxM 10,110,1ln000.5' ⋅⋅=

( )x

exf x 45' +=

20,0−=E

117

Questão 9

Resposta: 1628,0=E ; interpretação : um aumento no uso do fertilizante corresponde a um aumento percentual menor na produção ( 16% )

Questão 10 )

Resposta: ; interpretação : ao nível , a tendência da produção é aumentar 25 vezes o

acréscimo em K .


Resposta : quantidade que tornaria a receita máxima é 10 unidades.

Questão 1

Resposta: Pontos são os candidatos

5=t Ponto de máximo e valor máximo local é 114.5=t Ponto de mínimo e valor mínimo local é 50.

Questão 2

Resposta: A

Questão 3

Resposta: A

Questão 4

Resposta: E

25=dKdP 10=K

51 == tet

118

Questão 5

Resposta: E

Questão 6

Resposta: ; 333,05 −=⇒= Ep significa que, para um aumento de 1% para o preço de

, a demanda diminuirá 0,33%.

significa que, para um aumento de 1% para o preço de , a demanda diminuirá 1%.

Questão 7

Resposta: 100.26 −−= ys ; propensão marginal a consumir: propensão marginal a poupar .

Questão 8

Resposta: Inelástica para , elástica para , elástica unitária

Questão 9

Resposta:

r ( )RE300 0,67400 0,94600 1,33

Para , tem-se a elasticidade 400=r significa que para um aumento de 1% para a renda a demanda aumentará 0,67%.

Para 400=r , tem-se a elasticidade significa que para um aumento de 1% para a renda a demanda aumentará 0,94%.

ppE

2550025−

−=

5=p333,010 −=⇒= Ep 10=p

6−=mgs7=mgc

250 <≤ p 5025 << p 25=p

300=r

94,0=E

119

Para , tem-se a elasticidade significa que para um aumento de 1% para a renda a demanda aumentará 1,33%.

Questão 10

Resposta: em 2000 <≤ q e em 000.4200 ≤< q .

600=r 33,1=E

0>mgR 0<mgR

cead 20131 administracao pa - administracao - matematica aplicada - nr (dmi848) caderno de...

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