Equações Diferenciais

1 Introdução ................................................................................................................................ 2

2 Soluções de uma equação diferencial ...................................................................................... 4

3 Classificação das Equações Diferenciais de 1ª Ordem ........................................................... 5

3.1 Equações Diferenciais Separáveis .................................................................................... 5

3.2 Equações Diferenciais Homogêneas ................................................................................ 7

3.2.1 Solução de equações diferenciais homogêneas ......................................................... 7

3.3 Equações Diferenciais Exatas ........................................................................................... 9

3.3.1 Método de solução .................................................................................................. 10

3.3.2 Fatores integrantes ................................................................................................... 12

4 Equações Diferenciais Lineares de Primeira ordem ............................................................. 15

5 Equações Diferenciais Não-Lineares de Primeira ordem ..................................................... 19

5.1 Equações de Bernoulli .................................................................................................... 19

6 Referências Bibliográficas .................................................................................................... 21

2

1 Introdução

Muitas vezes em física, engenharia e outros ramos técnicos, há necessidade de encontrar uma

função incógnita. Em muitos casos esta pesquisa leva a uma equação envolvendo derivadas (ou

diferenciais) da função incógnita. Tais equações envolvendo derivadas (ou diferenciais) são

chamadas equações diferenciais, em que a incógnita não é um número, mas uma função.

As equações diferenciais representam uma série de fenômenos tais como:

O crescimento de culturas de bactérias; →

Competitividade entre as espécies de um ecossistema,

Escoamento de fluidos em dutos,

O movimento dos planetas em torno do sol,

Trajetória de projeteis,

A formação do granizo na atmosfera,

Circulação sangüínea,

Movimento angular de ciclones,

Fenômenos de difusão,

Previsão de baixas em batalhas,

Jogos de guerra,

O formato de um ovo,

Mecanismos de transferência de calor,

A maré dos oceanos,

Ondas de choque,

A mudança diária da temperatura do vento,

Problemas de servos-mecanismos,

Evolução de uma epidemia devido a vírus,

Realimentação de sistemas, etc.

Exemplo: Lei de Resfriamento de Newton

A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo em

resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante

Tm do meio ambiente, na forma:

m

dTk T T

dt , k = constante

3

Um ovo a 98º C é colocado em uma pia contendo água a 18º C. Depois de 5 minutos a

temperatura do ovo é de 38º C. Suponha que durante o experimento a temperatura da água não

aumente apreciavelmente. Quanto tempo a mais será necessário para que o ovo atinja 20º C?

0

ln

=18 º C; 0 98 º C; 5 38 º C;

1 38 185 38 ln 0,277

5 98 18

1 20 1820 ln 13,3min

0,277 98 18

f

i

T tf m

m i mT

m i

T TdTk dt kt

T T T T

T T T

T k

T t t

Simbolicamente, uma equação diferencial pode ser escrita como:

( ), , ', '', ... , 0 ' ( )n dyF x y y y y onde y derivada de y em relação à x

dx

Se a função incógnita depende apenas de uma variável, temos uma equação diferencial

ordinária (EDO). Se depender de mais de uma variável, temos uma equação diferencial parcial

(EDP).

As expressões seguintes são alguns exemplos de equações diferenciais.

A. yxdx

dy 2 B. xdx

dysen C. 0

2

2

ydx

dyx

dx

yd

D. 032

4

2

2

3

32

dx

dy

dx

ydy

dx

ydx E. 22 dxyxdyex F. 0

2

2

2

2

t

u

x

u, u =

(x, t)

A ordem de uma equação diferencial é o número n que corresponde à ordem máxima das

derivadas da equação (máxima ordem Item D = 3).

O grau de uma equação diferencial é a maior potência da derivada de maior ordem (como

a ordem máxima é da equação D, seu grau é 1 e não 4 como era de se esperar).

Exemplos Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais.

(a) 07

3

2

2

dx

dy

dx

dy

dx

yd (b) 03

2

y

dx

dy

dx

dy

A Equação (a) é uma equação diferencial de primeiro grau de ordem 2 porque d2y/dx2 é a

derivada de maior ordem na equação e está elevada à primeira potência. Notar que a terceira

4

potência de dy/dx não tem influência no grau da Equação (a) porque dy/dx é de menor ordem que

d2y/dx2.

A Equação (b), por outro lado, é uma equação diferencial de segundo grau e primeira ordem;

dy/dx é a derivada de maior ordem (ordem 1) e 2 é a maior potência de dy/dx aparecendo na

equação.

2 Soluções de uma equação diferencial

As soluções de uma equação diferencial correspondem a uma família de curvas. Por

exemplo, dada a seguinte equação diferencial de ordem 1:

0 oudy x

xdx ydydx y

Por integração temos: 2 22 2 2 2 2 22

2 2

xdx ydy

x yx y R x y R

Isto é, uma família de circunferências centradas na origem diferenciadas pela constante R (raio).

Para equações diferencias de ordem superior teríamos tantas constantes quanto a ordem da

equação diferencial.

Teorema 1. Suponha que uma família de curvas no plano xy cuja equação é: ( , , ) 0x y C ,

onde C é uma constante. A ordenada y de uma destas curvas verifica uma equação diferencial de

primeira ordem, independente de C.

Exemplo: Seja uma família de curvas ( , , ) 0x y K na forma 2y Kx , isto é, uma família de

parábolas. Tomando a derivada em um ponto P qualquer, tem-se:

212 2 2 2 0

2

dy K dy dy dyydy Kdx K y y Kx y x x y

dx y dx dx dx

Isto é, a equação diferencial independe de K.

Uma solução particular pode ser obtida se forem dadas certas condições iniciais. Uma

condição inicial de uma equação diferencial é uma condição que especifica um valor particular

de y = y0, correspondente a um valor particular de x = x0. Isto é, se y = f(x) pode ser uma

solução da equação diferencial, então a função deve satisfazer a condição: y0 = f(x0). O problema

de ser dada uma equação diferencial com condições iniciais é chamado um problema de valor

inicial.

5

Exemplo: Mostre que 2xy Ce é uma solução para a equação diferencial ' 2 0y y e

encontre a solução particular determinada pela condição inicial 0 3y .

2   2   2

2 0 2

' 2 ' 2 2 2 0

0 3 (0) 3 3, ( ) 3

x x x

x

y Ce y y Ce Ce

y y Ce C y x e

3 Classificação das Equações Diferenciais de 1ª Ordem

Equações nas quais as variáveis podem ser separadas;

Equações homogêneas (todos os termos são do primeiro grau);

Equações lineares (onde y e y’ são do primeiro grau).

Todas as equações acima podem ser escritas na forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, onde M(x,y)

e N(x,y) são funções envolvendo as variáveis x e y. Para esse tipo de equação, pode-se juntar

todos os termos contendo x com dx e todos os termos contendo y com dy, obtendo-se uma

solução através de integração. Tais equações são ditas separáveis, e o método de solução é o

método de separação de variáveis. O método é descrito a seguir.

3.1 Equações Diferenciais Separáveis

Coloque a equação na forma diferencial na forma

M(x)dx + N(y)dy = 0 ou M(x)dx = - N(y)dy

CdyyNdxxM )()( .

Exemplo 01 Reescreva a equação diferencial de primeiro grau 2 3'– 2 0yx y xy na forma da

Equação

2 3 2 3

2 3

2 3 2

'– 2 0 2 0

12 0   2

dyyx y xy x y xy dx

dx

dy dxx ydy xy dx

x y y x

Neste exemplo, M(x) = -2/x e N(y) = 1/y2.

Exemplo 2 Determinar a solução geral da equação diferencial x2yy’ – 2xy3 = 0.

6

2 2

2

2 1 1 20

1 2 1integrando 2ln 2ln 2ln 1 2 ln 0

dx dy dy dxx y y x

dy dx C x C y Cxy x y

Exemplo 3 Resolver a equação diferencial 1

'2

x

yy .

2 2 2

arctan   arctan

1 1 1

ln arctan   , onde x C x C

dy y dy dx dy dxC

dx x y x y x

y x C y e y ke k e

Exercícios: Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.

3-1. 02 dxyxdy

1

lny

Cx

3-2. 02

y

e

dx

dy x

3xy ke

3-3. 03 23 xydydxyx

Cy

x

3-4. 03 xx edx

dye

arccos seny x c

3-5. 0xdy ydx

3 ² 2 ³y x C

3-6. 031 2 dydxyx

2y 3k x

3-7. 0cossec ecydxxdy

1

²2 sen

yx C

3-8. 21 – 0x dy dx

3

arctan 1xy k e

3-9. y

x

dx

dy 2

3 3 xy e k

3-10. 21 0 x dy xdx

22 xy e C

3-11.

32

x

xy

dx

dy

2

sen6

xy C

3-12. 22221 yxyx

dx

dy

arctany x C

3-13. 0cos3 xydx

dy

1

2 2ln 1y x C

3-14. yxe

dx

dy

3

arctan3

xy x C

7

3-15. 0sec13 2 dyyedxtgye xx

1ln

xy

e C

3-16. 022 dyyxydxxyx

22

21

k xy

x

3-17. 2 4; 1 1dy

x y ydx

1³

2 ³y

x

3-18. 2

2;  0 4

dy xy

dx y x y

2 =4 2 xy e

3-19. 2 0; 0 2x dyye y

dx

2

² ln ² 1 16y x

3-20. 2 ; 1 1x dy ydx y

1

y x

xe

3.2 Equações Diferenciais Homogêneas

Algumas equações que não são separáveis podem vir a sê-lo mediante uma mudança de

variáveis. Isso funciona para equações da forma y’ = f(x,y), onde f é uma função homogênia, e f

pode ser escrita como uma função ' , enão varia sesubstituirmos edy x

y f x kx y kydx y

Exemplos:

(1) f(x,y) = x2–3xy+5y2

f(kx,ky) =(kx)2 – 3(kx)(ky) +5(ky)2= k2x2–3k2 xy+5k2y2

f(kx,ky) = k2[ x2–3xy+5y2] = k2 f(x,y) função homogênea de grau dois.

(2) f(x,y) =x3+y3+1

f(kx,ky) = (kx)3+ (ky)3+1 k3 f(x,y) função não é homogênea.

OBS: Muitas vezes uma função homogênea pode ser reconhecida examinando o grau de cada

termo.

Exemplos: (1) f(x,y) = 6xy3 – x2y2 A função é homogênea de grau quatro.

(2) f(x,y) = x2 – y A função não é homogênea, pois os graus dos dois termos são

diferentes.

3.2.1 Solução de equações diferenciais homogêneas

8

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

é chamada homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo

grau.

Para resolver uma equação diferencial homogênea pelo método de separação de variável, basta

fazer a mudança de variáveis dada pelo Teorema a seguir.

Teorema Mudança de Variáveis para Equações Homogêneas

Se M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é homogênea, então ela pode ser transformada em uma

equação diferencial cujas variáveis são separáveis pela mudança de variável y=ux onde u é uma

função diferenciável de x e dy/dx =u + xdu/dx.

OBS: São válidas também as substituições x = yu e dx=ydu + udy.

Exemplo: Resolva (x2 + y2)dx + (x2 – xy)dy = 0

2 2 2

22 2

2 2 2 3

2

e   

– 0

– 0

1 1 1 0

1 1– 0

1 0

1

1ln

1

2ln 1 ln ln

ln 1

y ux dy udx xdu

x y dx x xy dy

x ux dx x x ux udx xdu

u x dx x u udx x u du

u dx x u du

u dxdu

u x

u dxdu C

u x

u u x C

x y y

C x x

Exercícios

Resolva a equação diferencial homogênea dada.

3-21.

x

yxy

2'

²x C x y

3-22. )yx(2

y'y

² 2x ky y

3-23. yx

yxy

'

² 2 ²x xy y k

3-24. xy

yxy

2'

22

² ²x kx y

9

3-25. 22

'yx

xyy

2

22

x

yy Ce

3-26.

x

yxy

23'

² 3y kx x

3-27. /2 0; 1 0y xxdy xe y dx y

ln ² 1y

xe x

3-28. sec 0; 1 0y

x y dx xdy yx

1y

xy e

3-29. 2 0; 1 1y dx x x y dy y

arcsen lny x x

3-30. 2 2 0; 1 0y x y dx xdy y

1sen lny x

x

3.3 Equações Diferenciais Exatas

Embora a equação y dx + x dy = 0 seja separável e homogênea, podemos ver que ela é também

equivalente à diferencial do produto de x e y; isto é

y dx + x dy = d(xy) = 0, integrando xy = c.

Se z = f(x,y) é uma função com derivadas parciais contínuas em uma região R do plano xy, então

sua diferencial total é

f f

dz dx dyx y

(1)

E se f(x,y) = c, então 0f f

dx dyx y

(2)

Exemplo 1 Se x2 – 5xy + y3 = c, então por (2)

(2x –5y)dx + (-5x +3y2)dy = 0 ou 2

5 2

5 3

dy y x

dx x y

.

Note que a equação anterior não é separável nem homogênea.

Uma equação diferencial

M(x,y)dx + N(x,y)dy

é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de

alguma função f(x,y). Isto é:

10

( , ) ( , ) e ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) 0

( , ) ( , ) 0 ( , )

f x y M x y f x y N x yy x

ou d f x y f x y dy f x y dxx y

f x y f x y f x y cx y

Exemplo 2 A equação x2y3 dx + x3y2 dy = 0 é exata, pois

3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2

2 3 3 2 3 3

( )   ( ) 3 e ( ) 3

3 3 , seesomentese

d x y x y dx x y dy x y dx x y x y dx x yx x

x y x y x y C

Teorema Critério para uma Diferencial Exata

Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma

região R definida a < x < b, c < y < d. Então, uma condição necessária e suficiente para que

M(x,y)dx + N(x,y)dy=0, seja uma diferencial exata é x

N

y

M

.

3.3.1 Método de solução

Dada a equação M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Mostre primeiro que x

N

y

M

.

Depois suponha que yxMx

f,

Integrando, considerando y=cte, obtém-se:

, ( , )f x y M x y dx g y , onde g(y) é a constante de integração.

Derivando f(x,y) com relação a y e supondo f/y = N(x,y)

( , ) ( , ) ,

= , ( , )

= , ( , )

, ( , ) , ( , )

f x y M x y dx g y N x yy y y

g y N x y M x y dxy y

g y N x y M x y dx dyy

f x y M x y dx N x y M x y dx dyy

11

Executando os cálculos acima chega-se a f(x,y) = c.

Exemplo 3 Resolva 2xy dx + (x2 – 1) dy = 0.

2

2

2 2 2

2 2

, 2 e , –1 2 . .

Pelo teorema anterior, existe uma fun o , , tal que 

, , 2 , 2

, , –1 1

, –1

M NM x y xy N x y x x E D exata

y x

çã f x y

f x y M x y xy f x y xydx g y x y g yx

f x y x g y N x y g y x x g y yy y y

f x y x y y y x C y

2 –1

C

x

Exemplo 4 Resolva o problema de valor inicial

2 2cos sen – 1 0, 0 2x x xy dx y x dy y

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

, cos sen – e , 1

2 . .

, , , ,

, cos sen – 1 cos sen –

1, cos 1 cos 1 2

2

M x y x x xy N x y y x

M Nxy E D exata

y x

f x y M x y dx N x y M x y dx dyy

f x y x x xy dx y x x x xy dx dyy

f x y x y x C x y x C K

y

2 2 2

2

2 2 2 2

2

(0) 2 cos 0 2 0 1 1 4 5

cos 5cos 1 5

1

K K K

xx y x y

x

Exercícios. Verifique se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontre sua solução geral.

3-31. 2 3 2 3 0x y dx y x dy

² 3 ²x xy y C

3-32. 0x xye dx e dy

xye C

3-33. 2 2 23 10 6 2 10 0y xy dx xy x y dy

3 ² 5 ² ² 2xy x y y C

3-34. 2cos 2 cos 2 0x y dx x y dy

sen 2 x y C

12

3-35. 3 2 34 6 4 6 0x xy dx y xy dy

não é exata

3-36. 2 222 2 0xy xyy e dx xye dy

2xye

não é exata

3-37. 0)(1

22

ydxxdy

yx

arctanx

Cy

3-38. 0)()( 22

ydyxdxe yx

Ce.2

1 22 yx

3-39.

0)(

1 22

2

dyxdxy

yx

não é exata

3-40. cos tan 0ye xy ydx x xy dy

senye xy C

3-41. ln( 1) 2 0; 2 41

ydx x y dy y

x

ln 1 ² 16y x y

3-42. 2 2

1( ) 0; 4 3xdx ydy y

x y

5yx 22

3-43. 2 2

1( ) 0; 0 4xdx ydy y

x y

² ² 16x y

3-44. 3 (sen 3 cos3 ) 0; 0xe ydx ydy y

3 sen3 0xe y

3-45. 2 22 tan 5 sec 0; 0 0x y dx x y dy y

² tan 5 0x y x

3-46. 2 2 2 0; 3 1x y dx xydy y

3

² 123

xxy

3.3.2 Fatores integrantes

Algumas vezes, é possível converter uma equação diferencial não exata em uma equação

exata multiplicando-a por uma função (x,y) chamada fator de integração. Porém, a equação

exata resultante:

(x,y)M(x,y)dx + (x,y)N(x,y)dy = 0

Pode não ser equivalente à original no sentido de que a solução para uma é também a solução

para a outra. A multiplicação pode ocasionar perdas ou ganhos de soluções.

Exemplo Se a equação diferencial

2y dx + x dy = 0 (Não é uma equação exata)

for multiplicada pelo fator integrante (x,y) = x, a equação resultante

2xy dx + x2 dy = 0 (Equação exata)

13

é exata, ou seja, 2M N

xy x

.

Pode ser difícil encontrar um fator integrante. No entanto, existem duas classes de

equações diferenciais cujos fatores integrantes podem ser encontrados de maneira rotineira -

aquelas que possuem fatores integrantes que são funções que dependem apenas de x ou apenas

de y. O Teorema a seguir, que enunciaremos sem demonstração, fornece um roteiro para

encontrar esses dois tipos especiais de fatores integrantes.

Teorema Fatores Integrantes

Considere a equação diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0.

1. Se 1

, – , ( , )

M x y N x y h xN x y y x

é uma função só de x, então

( )h x dx

e é um

fator integrante.

2. Se 1

, – , ( , )

N x y M x y k yM x y x y

é uma função só de y, então

( )k y dy

e é um

fator integrante.

Exemplo 1 Encontre a solução geral da equação diferencial (y2 – x) dx + 2y dy = 0.

A equação dada não é exata, pois 2 e 0M N

yy x

. Entretanto, como

0

1, – ,

( , )

12 – 0 1

2

M x y N x y h xN x y y x

y h x xy

Temos que dxxhe

)(= xdx

ee 1 é um fator integrante. Multiplicando a equação dada por ex,

obtemos a equação diferencial exata

(y2ex – x ex) dx + 2yex dy = 0

cuja solução é obtida da seguinte maneira:

14

2

2 2

2

, e , 2

, , , ,

, 2

, 0

x x x

x x x x x

x x x

M x y y e x e N x y ye

f x y M x y dx N x y M x y dx dyy

f x y y e x e dx ye y e x e dx dyy

f x y y e x e e

Outra forma de encontrar o fator integrante é em E. D. na forma:

M(x,y) = y. f(x,y) e N(x,y) = x. g(x,y), então

1,

, ,x y

xM x y yN x y

Exemplo 2 Resolva 2dy xy y

dx x

.

2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

– – 1– 0

1 1 1,

, , 1–

1 1 11– 0 1– 0 . .

1 1 1, 1– e , ,

, , , ,

,

xy y dx xdy y xy dx xdy

x yxM x y yN x y xy xy yx x y

y xy dx xdy xy dx dy E D exatax y x y xy

M x y xy N x y M x yx y xy y x y

f x y M x y dx N x y M x y dx dyy

f x y

1 1ln ln

lnx C K y

yx x Kx

Exercícios

Encontre o fator integrante que é função apenas de x ou apenas de y, e use-o para encontrar a

solução geral da equação diferencial dada.

3-47. ydx - (x + 6y2)dy = 0

FI: 1/y² (x/y) – 6y = C

3-48. (2x2y – 1)dx + x3dy = 0

FI: 1/x² (y/x) – x² = C

3-49. (2x3 + y)dx - xdy = 0

FI: 1/x² (y/x) + 5x = C

3-50. y2dx + (xy - 1)dy = 0

FI: e-x e-x (y² - 5x² - 10x – 10) = C

3-51. (5x2 - y)dx + xdy = 0 3-52. (x2 +2x + y)dx + 2dy = 0

15

FI: cos x y sen x + x sen x + cos x = C FI: x -1 x²y – ln x = C

3-53. (5x2 – y2)dx + 2ydy = 0

FI: (1/y) xy – ln y = C

3-54. 2ydx + (x – sen y )dy = 0

FI: 2x

e 2x

e (2y + 2x² - 4x + 8) = C

3-55. (x + y)dx + tgxdy = 0

FI: (1/ y ) x. y + cos y = C

3-56. (-2y3 + 1)dx + (3xy2 + x3)dy = 0

FI: x -3 x -2y³ + y - (1/ 2x²) = C

4 Equações Diferenciais Lineares de Primeira ordem

Definimos a forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n como,

-1

-1 1 0-1( )

n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y g x

dx dx dx .

A linearidade significa que todos os coeficientes na x são funções de x somente e que y

e todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência.

Quando n = 1, a equação linear é de primeira ordem:

1 0 1( ) ou

( )

dya x a x y g x a x

dx

dyP x y Q x

dx

Procuramos uma solução para a equação acima em um intervalo no qual as funções P(x) e Q(x)

são contínuas. Rescrevendo na forma:

( ) 0P x y Q x dx dy

Podemos sempre encontrar uma função (x) para equações lineares, isto é:

( ) 0x P x y Q x dx x dy

é uma equação diferencial exata. Neste caso:

16

( )

ln

P x dx

x P x y Q x dx x dyy x

dx x P x

dx

d xP x dx x P x dx

x

x e

Portanto, (x) é um fator de integração para a equação linear. Note que não precisamos

usar uma constante de integração pois a equação diferencial não se altera se multiplicarmos

todos os temos por uma constante. Para (x) 0, é contínua e diferenciável.

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

mas ( )

portanto ( ). ( )

( )

P x dx P x dx P x dx

P x dxP x dx P x dx P x dx P x dx

P x dx P x dx P x dx P x dx

P x dx P x d

dyP x y Q x

dx

dye e P x y Q x e

dx

d dy d dyye e y e e yP x e

dx dx dx dx

dye Q x e ye Q x e dx C

dx

y Q x e dx C e

aSolução da ED linear de1 . ordemx

Esta solução pode ser obtida diretamente pelo método Método de Lagrange. Resolve-se a

equação considerando Q(x)=0, e obtendo-se y(x)=Af(x), com A=Cte. Depois, substitui-se A por

uma função A(x) e resolve a equação completa, e então obtém-se o valor de A(x).

( ) ( ) 0 ( ) ln ( ) ln ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P x dx

P x dx P x dx P x dx

P x dx P x dx

P x dx P x dx P x d

d dy x P x y x y x P x dx y x P x dx A y x Ae

dx y

A A x

d d dy x A x e y x A x e e A x

dx dx dx

d dy x A x P x e e A x

dx dx

dA x P x e e A x P x A x e

dx

( ) ( )

( )

x

P x dx P x dx

P x dx P x dx

Q x

dA x Q x e A x Q x e dx C

dx

y x Q x e dx C e

17

Exemplo 1: Encontre a solução geral de 64 xdyx y x e

dx .

4 4

5 5

( ) ( )

4 ln 4 ln 4

4 4

4 4( ) e ( )

( )

4( ) ln e

x x

P x dx P x dx

x x

x x x

dyy x e P x Q x x e

dx x x

y Q x e dx C e

P x dx dx x e x e xx

y xe dx C x xe e C x

Pelo Método de Langrange

14 4 4

4 3 4

3 4 4 5

4

40 4 ln 4 ln ln ln ln

( ); 4

44 x x x x x

x x

dy dy dxy y x A y Ax y Ax

dx x y x

dy dAA A x y Ax A x x

dx dx

dA dAx A x Ax x e xe A xe dx C xe e C

dx x dx

y xe e C x

Exemplo 2: Um corpo de massa m, afunda em um fluido e sofre a resistência deste. Como as

velocidades são pequenas, a resistência é proporcional à velocidade na forma f=Bv. Determine a

velocidade do corpo.

( ) ( )

Da segunda lei de Newton

( ) ( )

( ) e ( ) ( )

( ) ( )

(0) 0 velocidade inicial nula

(0)

B B B Bm m m m

t t t tP t dt P t dt

d d BF ma m v t P f mg Bv t v v g

dt dt m

dy B BP t y Q t P t Q t g P t dt t

dt m m

mgv t Q t e dt C e ge dt C e e C e

B

v

mgv

B

0

( ) 1

, ( )

Bm

t

mgC C

B

mgv t e

B

mg PQuando t v t

B B

Exemplo 3 Uma esfera de diâmetro D e massa m, com velocidade inicial de translação v0, é

desacelerada pela ação do ar. Se a força de resistência do ar fR=CD2v, onde C é uma constante e

D2 refere-se a área de seção transversal da esfera em relação ao movimento. Calcule o

comportamento da velocidade e do deslocamento da esfera.

18

2

2

2

22

2 2

( ) ( )

0

0

0

2

( ) ( ) 0

( ) e ( ) 0 ( )

( ) ( ) , (0)

( )

( ) ( )

(0) 0

CDm

CDm

CDm

R

tP t dt P t dt

t

t

d d CDF ma m v t f CD v t v v

dt dt m

dy CD CDP t y Q t P t Q t P t dt t

dt m m

v t Q t e dt C e Ce v C v

v t v e

mva trajetória é x t v t dt E e E

CD

mx E

C

2

002 2

( ) 1CD

mtmv

v x t eD CD

Exemplo 3 Calcule a corrente elétrica que circula em um circuito composto por uma fonte

V=V0 cos(wt), onde w é a frequencia angular, conectada em série com um resistor R e um

capacitor C.

0 0

0 0

2

2

2

0

2 2

( )( ) ( ) 0, mas ( )

1 1 1cos e ( ) cos ( )

1( ) cos cos sen

1

1( ) cos sen

1

t

t t t

q t dE t Ri t i q t

C dt

V Vdq tq wt P t Q t wt P t dt

dt RC R RC R

V Veq t wt e dt C e wt w wt C e

R Rw

Vq t wt w wt

w R

0 0

22 2

20

2

00

( 0) 0 ( ) sen cos11

1( ) ( ) cos sen

1

, 0 0

( ) ( ) 1

t

t

t

t t

Ce A w

V Vq t C q t A wt wt e

A Rw R

Vdi t q t A wt A wt e

dt A R

Se a fonte não depender do tempo w e A

Vi t e e q t CV e

R

Exercícios

Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.

4-1.

3

3 5

5

1

2

x

x x

dyy e

dx

y e Ce

4-2.

2

2 3

3 x

x x

dyy e

dx

y e Ce

4-3.

3

7 4

32

12 7

14 ³

dy yx

dx x

y x x Cx

19

4-4.

225

³ 5 ²

dy yx

dx x

y x x Cx

4-5.

2

3

31

2 (3 2 )x

xx

dyxy e x

dx

y e Ce

4-6.

2 23 (3 1)x

x

dyx y e x

dx

y e C

4-7.

2 4

4

4

3 ³

x

x

dy ydx x e dx

y x e C

4-8. 3

2 23

1:

3

x

dy x ydx x dx

R y Ce

4-9.

6

6 5

5 4

:

xdy ydx x x dx

R y x x Cx

4-10.

3

3 ; 0 1

1– +

3 9

x

dy x y dx y

xy Ce

4-11.

2 2(1 ) 2 3

³

1 ²

x dy xydx x dx

x Cy

x

4-12.

tan sen

sen² sec

2

dyy x x

dx

xy C x

4-13.

2 4

5

2 7

135

5 ²

dyx xy x

dx

y x x Cx

4-14

2 32 5

5² ln ²

3

dyx xy x

dx

y x x x Cx

4-15.

2

2

3 ; 0 2

3 1

x

x x

dyy e y

dx

y e e

4-16.

2

23

3; (1) 3

ln2

dy yx y

dx x

xy x x C

4-17.

cosec cot

3

2 2

1

sen

dyx y x

dx

y

y xx

4-18.

2 3

42

2

2 ( 4)

41:

8

dyx y x

dx

xR y C

x

5 Equações Diferenciais Não-Lineares de Primeira ordem

5.1 Equações de Bernoulli

A equação diferencial

( ) ( ) ( ) ( )ndy x P x y x Q x y x

dx

em que n é um número real qualquer, é uma equação não-linear, chamada de equação de

Bernoulli. Dividindo por ( )ny x , obtém-se:

20

1

1

a

(1 ) ( 1)1

1

(1 ) (1 ) Equação linear de1 ordem

( ) (1 )

n n

n n

n P x dx n P x dxn

dyy Py Q

dx

dw dyfazendo w y n y

dx dx

dwn Pw n Q

dx

y x n Q x e dx C e

Exemplo: resolva 21dyy xy

dx x

Comparando com ndyPy Qy

dx verificamos que

1; e 2P Q x n

x .

(1 ) ( 1)1

1 ln ln

2

( ) (1 ) ln

( )

1( )

n P x dx n P x dxn

x x

dxy x n Q x e dx C e P x x

x

y x xe dx C e dx C x x x C

y xx C

Exercícios

Resolva a equação diferencial de Bernoulli dada.

5-1. y’ + 3x2y = x2y3

32 2 1

3

xy Ce

5-2. yy’ – 2y2 = ex

42²

3

x xy e Ce

5-3. y’ - y = x3 3 y

223 23 3

1(4 18 54 81)

4

x

y Ce x x x

5-4. y’ + 2xy = xy2

2

2

1 xy

ke

5-5. y’ +

x

1y = x y

21

5

Cy x

x

5-6. 2' lnxy y y x

1

lny

x C

21

6 Referências Bibliográficas

BRONSON, R. Moderna Introdução às Equações Diferenciais.

BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores

de Contorno.

EDWARDS, C. H. Jr. e PENNEY, David E. Equações Diferenciais Elementares e Problemas

de Valores de Contorno.

GUIDORRIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de Cálculo (vol. 2).

ZILL, Dennis G. e CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais. (vol 1)

SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica (vol 2)

LARSON, Hostetler & Edwards. Cálculo com Geometria Analítica (vol 2).

STEWART, James. Cálculo (vol 2).

KREIDER, D.L. e Outros. Equações Diferenciais.