�1

Conservaçãodomomentolinear-Colisões.

o Momentolineareasuaconservaçãoo Impulsoo Colisõeselásticaseinelásticaso Colisõesemduasdimensões

MomentoLinear

Momentolineardeumapartícula(ouumobjetoquepodeser modelado como uma partícula) de massa m semovendo com velocidade v é definido como sendo oprodutodamassapelavelocidade: p=mv

Ostermos“momento”e“momentolinear”serãousadosdemaneiraanálogaemnossasdiscussões

MomentoLinear,cont.

o Omomento linearéumaquantidadevetorialà Suadireçãoéamesmadavelocidadev

o AsdimensõesdemomentosãoML/T

o AsunidadesdemomentonoSIsãokg·m/s

o O momento pode ser expresso na forma de suascomponentescomo: px=mvx py=mvy pz=mvz

Newton chamou o produto de mv como a quantidade demovimentodapartículaA2aLeideNewtonpodeserusadapararelacionaromomentodapartículacomaforçaresultanteatuandosobreela

A taxa temporal damudança domomento linear de umapartícula é igual à força resultante atuando sobre apartícula

oEstaéaformanaqualNewtonapresentoua2aLeioÉumaformamaisgeraldoqueausadaanteriormenteoEstaformapermiteaalteraçãodemassa

( )d md dm mdt dt dt

Σ = = = =vv pF a

NewtoneoMomento

Considere um sistema de duaspartículas que exercem forças umasobre a outra, mas sobre o qual nãoatua nenhuma força externa: sistemaisolado.

Nãovamosnospreocuparcomotipode força que uma partícula exercesobre a outra. A força pode sergravitacional, elétrica, contato comonumacolisão,etc.

Também não faremos qualquerhipótese sobre se tais forças sãoconservativasounão.

Conservaçãodemomentoparaumsist.deduaspartículas

PelaterceiraleideNewton(açãoereação):

Omomentototaldosistemaseconserva!

Conservaçãodemomentolinear

Sempre que duas ou mais partículas em um sistemaisolado interagirem, o momento total do sistemapermaneceráconstante.

O momento do s i s t ema é c on se r vado . Nãonecessariamente o momento de uma partícula individualseráconservado.

Isto tambémnos diz que omomento total de um sistemaisoladoéigualaseumomentoinicial

A conservação do momento pode ser expressamatematicamenteporváriasmaneiras:

ptotal = p1 + p2 = constante p1i + p2i= p1f + p2f

Na forma de componentes, o momento total em cadadireçãoéindependentementeconservado:

pix = pfx piy = pfy piz = pfz

Conservaçãodomomentopodeseraplicadaasistemascomqualquernúmerodepartículas

Conservaçãodemomentolinear–Exemplo1Conhecedor da conservação do momento linear, umastronauta flutuando em uma nave espacial resolveatirar seu casaco para um lado para ir para o ladooposto. Assumindo que ele tenha 70 kg e que elejogue seu casaco de 1 kg a 20 m/s, qual será suavelocidade?

Conservação$de$momento$linear$–$Exemplo$1$Conhecedor"da"conservação"do"momento" linear,"um"astronauta" flutuando" em" uma" nave" espacial" resolve"aFrar" seu" casaco" para" um" lado" para" ir" para" o" lado"oposto." Assumindo" que" ele" tenha" 70" kg" e" que" ele"jogue" seu" casaco" de" 1" kg" a" 20" m/s," qual" será" sua"velocidade?"

Sistema Isolado→Δ!p = 0 ⇒

!pai +!pci =!paf +!pcf

!pai =!pci = 0 ⇒

!paf +!pcf = 0 ⇒ Direções Opostas

!paf =mavai!pci =mcvci

$%&

'&⇒ mavai +mcvci = 0

mava = −mcvc ⇒ va = −vcmcma

= −20 170

→!va = −0,29m/s i

ConservaçãodoMomentoLinear,exemplodoarqueiro

Oarqueiroestáempéemumasuperfíciesematrito(gelo). Consideramos o sistema como sendocompostopeloarqueirocomoarco(partícula1)eaflecha(partícula2):

o Nãoháforçasexternasnadireçãox,demodoqueosistemaéisoladoemtermosdemomentonadireçãox.

o Omomentototalantesdaflechaserlançadaé0.o Omomentototalapósaflechaserlançadaé p1f+p2f=0

Oarqueiro semoveránadireçãoopostaàdireçãoda flechaapós lançá-la.Devido ao fato do arqueiro ser muito mais pesado que a flecha, suaaceleraçãoevelocidadeserãomuitomenoresdoqueadaflecha.

ConservaçãodoMomento,exemplodaTerraAo considerar um sistema Terra-bola, onde a bola é solta nas proximidades da Terra,dissemosqueaenergiacinéticadaTerrapodeserdesprezada.Serámesmo?

Conservação$do$Momento,$exemplo$da$Terra$Ao" considerar" um" sistema" Terraebola," onde" a" bola" é" solta" nas" proximidades" da" Terra,"dissemos"que"a"energia"cinéFca"da"Terra"pode"ser"desprezada."Será"mesmo?"

Vamos&estabelecer&a&razão&da&energia&cinética&da&Terra&com&a&da&bola:

KT

Kb

=12mTvT

2

12mbvb

2 =mT

mb

!

"#

$

%&vTvb

!

"#

$

%&

2

Agora&vamos&considerar&a&conservação&do&momento&na&direção&vertical.O&momento&inicial&do&sistema&é&zero.&∴→momento&final&é&zero.

pi = pf &→ 0 =mbvb +mTvT &→vTvb= −

mb

mT

!

"#

$

%& &

KT

Kb

=mT

mb

!

"#

$

%& −

mb

mT

!

"#

$

%&

2

=mb

mT

Substituindo&valores&de&ordem&de&grandeza&para&as&massas,&temos:KT

Kb

=mb

mT

~ 1&kg1024 &kg

~10−24

ImpulsoPela segunda lei deNewton, sabemosqueomomentodeumapartícula éalteradonocasoemqueumaforçaresultantenãonulaatuesobreela.

Issopodeservistoclaramentereescrevendoasegundaleicomo:

i.e.seumaforçaFatuasobreapartículaduranteumintervalodetempodt,haveráumavariaçãonoseumomentodp=Fdt.

Se a força F varia no tempo (e se considerarmos um intervalo finito detempo),avariaçãonomomentoéobtidaintegrandoaequaçãoanterior

AintegraldoladodireitoéavariaçãodemomentoΔp

AintegraldoladoesquerdoéchamadadeimpulsodaforçaF

Portanto,temos

Este resultado nos diz que o impulso total da força resultante sobre umapartícula é igual à variaçãonomomentodapartícula e é conhecido comoTeoremadoImpulsoeMomento.EsteteoremaéequivalenteàsegundaleideNewton.

o Nocasodeumaforçaconstante,temos

o Demaneiraanáloga,oimpulsopodeserencontradocomosendooprodutodeumaforçamédiapeloseutempodeatuação

o  No"caso"de"uma"força"constante,"temos"

"

o  De"maneira"análoga,"o"impulso"pode"ser"encontrado"como"sendo"o"produto"de"uma"força"média"pelo"seu"tempo"de"atuação"

"

!F dt

ti

t f

∫ =!FΔt ⇒

!I =!FΔt

I = FΔt

Impulso–ExemploEmum testede resistência contra colisões, um carrode1500kgdemassaandandoa15m/scolidecomummuro.Apósacolisãoeleretrocedecomvelocidadede2,6m/s. Sabendo-se que o tempo de contato comomuro foi de 0,15 segundos, qual foi a força médiaexercidapelomurosobreocarro?

i

Dizemosquehouveuma colisãoquandodois corpos exercem forças

umsobreooutroduranteumintervalodetempomuitocurto.

Emumacolisão,asforçasenvolvidas(internasaosistema)sãomuito

maioresdoquequaisqueroutrasforçasqueajamsobreosistema.

Duasgalaxiasespiraisemcolisão.FotoNASA

Colisões-Introdução

• Ascolisõespodemseroresultadodecontatodireto

• Porém,acolisãonãoprecisaincluir

contatofísicoentreosobjetos• Aindaháforçassobreaspartículas• Estetipodecolisãopodeser

analisadodamesmamaneira

daquelequeenvolvecontatofísico

Jámostramosqueomomento totaldeumsistema isoladoantesdacolisãoéigualaomomentototalapósacolisão.

Omomentototaldosistemasempreseconserva,masnãonecessariamenteaenergia

cinéticatotal.

▪ ColisãoElástica Aenergiacinéticatotaldosistema é a mesma, antes e depois da

colisão.

▪ Colisão Inelástica A energia cinética total

dosistemanãoseconserva.

▪ ColisãoPerfeitamenteInelásticaOscorposque colidem mantêm-se grudados após a

colisão,formandoumúnicocorpo.Nãohá

conservaçãodaenergiacinética.

Tiposdecolisões

m1v1+m2

v2 = (m1+m2 )v f

v f =m1v1+m2

v2m1+m2

Colisão(Perfeitamente(Inelás:ca((

ColisãoPerfeitamenteInelástica

Umcarrode1800kgparadoemumsinaldetrânsitoéatingidoportrásporumcarrode900kg vindoaumavelocidadede20,0m/s.Qual avelocidade dos dois carros logo após a batida, considerando que oscarrosficarampresosumnooutro?

Exemplo

Um%carro%de%1800%kg%parado%em%um%sinal%de% trânsito%é%a/ngido%por%trás%por%um%carro%de%900%kg%vindo%a%uma%velocidade%de%20,0%m/s.%Qual%a%velocidade%dos%dois%carros%logo%após%a%ba/da,%considerando%que%os%carros%ficaram%presos%um%no%outro?%

Δ!p = 0 ⇔

!pi =!p f

m1.0+m2v2( ) = m1+m2( )v fv f =

m2v2m1+m2

v f =900×20

1800+900v f = 6,67 m/s

Exemplo%%

EmumexperimentodePênduloBalístico,umprojétilde5gramasincidesobreumblocode1,0kg,sendocompletamenteabsorvidoporele.Sabendo-sequedevidoàcolisãooblocoelevou-seem5centímetros:

a)Qualavelocidadeinicialdoprojétil? b)Quantodeenergiamecânicafoiperdida?

Exemplo–pêndulobalístico

%Em%um%experimento%de%Pêndulo%Balís/co,%um%projé/l%de%5%gramas%incide%sobre%um%bloco%de%1,0%kg,%sendo%completamente%absorvido%por%ele.%SabendoSse%que%devido%à%colisão%o%bloco%elevouSse%em%5%cenLmetros:%

%a)%Qual%a%velocidade%inicial%do%projé/l?%

%b)%Quanto%de%energia%mecânica%foi%perdida?%

Colisão Completamente Inelástica →m1v1i +m2v2i = (m1 +m2 )v f

v2i = 0 ⇒ v1i =m1 +m2m1

v f

v f = ?ΔUG +ΔK f = 0

(m1 +m2 )gh− 12

(m1 +m2 )v f2 = 0

v f = 2gh

v1i =m1 +m2m1

2gh

v1i =0,005+1,00, 005

2×9,8×0,05

v1i =199 m/s

ΔE = K f −Ki =12(m1 +m2 )v f

2 −12m1v1i

2

ΔE = −gh m2m1(m1 +m2 )→ΔE = −98,5 J

Exemplo(–(pêndulo(balís:co(

Tantoomomentoquantoaenergiacinéticasãoconservados

Colisõeselásticas

Tanto%o%momento%quanto%a%energia%ciné/ca%são%conservados%

m1v1i +m2v2i = m1v1 f +m2v2 f12m1v1i

2 +12m2v2i

2 =12m1v1 f

2 +12m2v2 f

2

Colisões(elás:cas(

(1) Conservação do Momento: m1v1i +m2v2i =m1v1 f +m2v2 f

(2) Conservação da Energia Cinética: 12m1v1i

2 +12m2v2i

2 =12m1v1 f

2 +12m2v2 f

2

!

"#

$#

(2)→m1 v1i2 − v1 f

2( ) =m2 v2 f2 − v2i

2( )m1 v1i − v1 f( ) v1i + v1 f( ) =m2 v2 f − v2i( ) v2 f + v2i( ) (a)

(1)→m1 v1i − v1 f( ) =m2 v2 f − v2i( ) (b)

(a)/(b)→ v1i + v1 f( ) = v2 f + v2i( )

Colisões(em(uma(dimensão(

INICIAL% FINAL%

(1) Conservação do Momento: m1v1i +m2v2i =m1v1 f +m2v2 f

(2) Conservação da Energia Cinética: 12m1v1i

2 +12m2v2i

2 =12m1v1 f

2 +12m2v2 f

2

!

"#

$#

(2)→m1 v1i2 − v1 f

2( ) =m2 v2 f2 − v2i

2( )m1 v1i − v1 f( ) v1i + v1 f( ) =m2 v2 f − v2i( ) v2 f + v2i( ) (a)

(1)→m1 v1i − v1 f( ) =m2 v2 f − v2i( ) (b)

(a)/(b)→ v1i + v1 f( ) = v2 f + v2i( )

Colisões(em(uma(dimensão(

INICIAL% FINAL%

Colisõeselásticasemumadimensão

Para uma colisão elástica unidimensional de duas partículas, aconservaçãodaenergiacinéticaedomomentolevaaduasequaçõeslineares:

A partir dessas duas equações é fácil isolar as velocidades finais emfunçãodasvelocidadesiniciais:

Para% uma% colisão( elás:ca( unidimensional( de( duas( parAculas,% a%conservação%da%energia%ciné/ca%e%do%momento%leva%a%duas%equações%lineares:%%%%%%%%A%par/r%dessas%duas%equações%é% fácil% isolar%as%velocidades%finais%em%função%das%velocidades%iniciais:%

m1v1i +m2v2i =m1v1 f +m2v2 fv1i + v1 f = v2i + v2 f

!"#

$#

v1 f =m1 −m2m1 +m2

"

#$

%

&'v1i +

2m2m1 +m2

"

#$

%

&'v2i

v2 f =2m1

m1 +m2

"

#$

%

&'v1i +

m2 −m1m1 +m2

"

#$

%

&'v2i

(

)

**

+

**

Equações%Fundamentais%da%Colisão%elás:ca%em%uma(dimensão(

Para% uma% colisão( elás:ca( unidimensional( de( duas( parAculas,% a%conservação%da%energia%ciné/ca%e%do%momento%leva%a%duas%equações%lineares:%%%%%%%%A%par/r%dessas%duas%equações%é% fácil% isolar%as%velocidades%finais%em%função%das%velocidades%iniciais:%

m1v1i +m2v2i =m1v1 f +m2v2 fv1i + v1 f = v2i + v2 f

!"#

$#

v1 f =m1 −m2m1 +m2

"

#$

%

&'v1i +

2m2m1 +m2

"

#$

%

&'v2i

v2 f =2m1

m1 +m2

"

#$

%

&'v1i +

m2 −m1m1 +m2

"

#$

%

&'v2i

(

)

**

+

**

Equações%Fundamentais%da%Colisão%elás:ca%em%uma(dimensão(

❑ Omomentoéconservadoemtodasasdireções❑ Usesubscritospara

o Identificaroobjetoo Indicarosvaloresinicialefinalo Ascomponentesdavelocidade

❑ Seacolisãoforelástica,useaconservaçãodeenergiacinéticacomoumasegundaequaçãoLembre-se,aequaçãomaissimplessópodeserusadaparasituaçãounidimensionais

Colisõesbidimensionais

1. Figuras: a. Façaduasfiguras,umarepresentandoosistemaantesdacolisão

eoutraparaosistemadepoisdacolisão.b. Estabeleçaumsistemadecoordenadas(deveserigualemambas

figuras). Em geral, é conveniente ter o eixo x coincidindo comumadasvelocidadesiniciais.

c. Desenhar e nomear todos os vetores de velocidade, incluindotodasasinformaçõesdadas.

2. Escrever as equações: a. Conservaçãodomomento:Escrevaaexpressãoparaomomento

total do sistemanadireção x antese apósa colisãoe iguale asduas. Repita omesmo procedimento para omomento total nadireçãoy.

Colisõesbidimensionais–estratégiaspararesoluçãodeproblemas

b.Condiçõesadicionais:o Se a colisão é inelástica, a energia cinética do sistema não é

conservada, e informações adicionais serão provavelmentenecessáriaspararesolveroproblema.

o Seacolisãoéperfeitamente inelástica,avelocidade finaldosdoisobjetossãoiguais.

o Seacolisãoéelástica,aenergiacinéticadosistemaéconservada.Igualaraenergiacinéticatotaldosistemaantesdacolisãocomaenergia cinética total do sistema após a colisão para obtermaisinformaçõessobrearelaçãoentreasvelocidades.

Emumacolisãoemduasdimensõesomomentoéconservadoisoladamenteparacadaumadasdireções.

Colisõesbidimensionais

Antes% Depois%

Em% uma% colisão% em% duas% dimensões% o% momento% é% conservado%isoladamente%para%cada%uma%das%direções.%

p1i +p2i =

p1 f +p2 f

Conservação de Momento

⇒p1ix + p2ix = p1 fx + p2 fxp1iy + p2iy = p1 fy + p2 fy

"#$

%$

m1v1ix +m2v2ix =m1v1 fx +m2v2 fxm1v1iy +m2v2iy =m1v1 fy +m2v2 fy

!"#

$#

Exemplo:%

m1v1i =m1v1 f cosθ +m2v2 f cosφ0 =m1v1 f sinθ +m2v2 f sinφ

Conservação do Momento

12m1v1i

2 =12m1v1 f

2 +12m2v2 f

2

Conservação da Energia

Colisões(bidimensionais(

Umcarrode1500kgandandoparaolestea25m/scolideemumcruzamentocomumavande2500kgandandoemdireçãoaonortecomumavelocidadede20,0m/s.Acheadireçãoemagnitudedavelocidadedosdestroçosdabatida,assumindoqueosveículospermanecemgrudadosdepoisdabatida.

mcvc = mc +mv( )vd cosθmvvv = mc +mv( )vd sinθ

⎧⎨⎪

⎩⎪

tanθ = mvvvmcvc

→ tanθ = 2500× 201500× 25

θ = 53,1!

vd =mvvv

mc +mv( )sinθ

vd =2500× 20

1500+ 2500( )sin53,1vd =15,6 m/s

Exemplo–batidaemumcruzamento

Emumjogodesinuca,umjogadorquerencaçaparumabola(2)conformemostradonafiguraaolado.Seoângulocomacaçapadocantoéde35º,comqualânguloqueabolabranca(1)vaiserdefletida?

Exemplo–colisõesdebolasdesinucaEm%um%jogo%de%sinuca,%um%jogador%quer%encaçapar%uma%bola%(2)%conforme%mostrado%na%figura%ao%lado.%Se%o%ângulo%com%a%caçapa%do%canto%é%de%35º,%com%qual%ângulo%que%a%bola%branca%(1)%vai%ser%defle/da?%

Conservação de Energia → 12m1v1i

2 =12m1v1 f

2 +12m2v2 f

2

Conservação de Momento→m1v1i =m1

v1 f +m2v2 f

"

#$

%$

m1 =m2⇒v1i2 = v1 f

2 + v2 f2

v1i =v1 f +

v2 f →v1i( )2 = v1 f +

v2 f( )2

#

$%

&%

v1i2 = v1 f

2 + v2 f2 + 2v1 f ⋅

v2 f →v1 f ⋅v2 f = 0

v1 f ⋅v2 f = v1 f v2 f cos(θ +35)→ cos(θ +35) = 0

θ +35= 90 ⇒ θ = 55

Exemplo(–(colisões(de(bolas(de(sinuca(Em%um%jogo%de%sinuca,%um%jogador%quer%encaçapar%uma%bola%(2)%conforme%mostrado%na%figura%ao%lado.%Se%o%ângulo%com%a%caçapa%do%canto%é%de%35º,%com%qual%ângulo%que%a%bola%branca%(1)%vai%ser%defle/da?%

Conservação de Energia → 12m1v1i

2 =12m1v1 f

2 +12m2v2 f

2

Conservação de Momento→m1v1i =m1

v1 f +m2v2 f

"

#$

%$

m1 =m2⇒v1i2 = v1 f

2 + v2 f2

v1i =v1 f +

v2 f →v1i( )2 = v1 f +

v2 f( )2

#

$%

&%

v1i2 = v1 f

2 + v2 f2 + 2v1 f ⋅

v2 f →v1 f ⋅v2 f = 0

v1 f ⋅v2 f = v1 f v2 f cos(θ +35)→ cos(θ +35) = 0

θ +35= 90 ⇒ θ = 55

Exemplo(–(colisões(de(bolas(de(sinuca(

Umprótonavelocidadede3,5x105m/scolidecomumprótonemrepouso.Depoisdacolisão,umdosprótonséespalhadoaumângulode37º.

a) Qualavelocidadefinaldecadaumdosdoisprótons?

b) Emqueânguloooutroprótonéespalhado?

Exemplo–espalhamentodepartículasUm%próton%a%velocidade%de%3,5%x%105%m/s%colide%com%um%próton%em%repouso.%

Depois%da%colisão,%um%dos%prótons%é%espalhado%a%um%ângulo%de%37º.%

a)  Qual%a%velocidade%final%de%cada%um%dos%dois%prótons?%

b)  Em%que%ângulo%o%outro%próton%é%espalhado?%

Reação:12 → a bConservação de Momento:→

!p1+!p2 =!pa +!pb

!p1 =mpv1i!p2 = 0

"#$

%$

!pa =mpva cosθ i +mpva sinθ j!pb =mpvb cosφ i +mpvb sinφ j

"#$

%$

mpv1 =mpva cosθ +mpvb cosφ

0 =mpva sinθ +mpvb sinφ

"#$

%$

v1 = va cosθ + vb cosφ0 = va sinθ + vb sinφ

"#$

%$

Conservação da Energia:

mpv12

2+mpv2

2

2=mpva

2

2+mpvb

2

2v1

2 = va2 + vb

2

Exemplo(–(espalhamento(de(parAculas(

v1 = va cosθ + vb cosφ (1)0 = va sinθ + vb sinφ (2)

v12 = va

2 + vb2 (3)

!

"#

$#

(1)→ v12 = va

2 cos2θ + vb2 cos2φ + 2vavb cosθ cosφ

(2)→ 0 = va2 sin2θ + vb

2 sin2φ + 2vavb sinθ sinφ

v12 = va

2 + vb2 + 2vavb cosθ cosφ + sinθ sinφ( )

v12 = va

2 + vb2 + 2vavb cos θ −φ( )

(3)→ 2vavb cos θ −φ( ) = 0cos θ −φ( ) = 0⇒θ −φ = 90

φ =θ − 90⇒ φ = −53

(1)× sinθ − (2)× cosθv1 sinθ = vb sinθ cosφ − sinφ cosθ( )v1 sinθ = vb sin(θ −φ)

vb = v1 sinθ = 3, 5×105 sin37

vb = 2,11×105 m/s

(1)× sinφ − (2)× cosφv1 sinφ = va sinφ cosθ − sinθ cosφ( )v1 sinφ = va sin(φ −θ )

va = −v1 sinφ = −3,5×105 sin(−53)

vb = 2,80×105 m/s