Momento Angular

r

v

O

Ilustração 1: Movimento Uniforme

r’

O’

b

Momento Angular de uma Partícula

v2

r1’

O’

r2’

v1r1

O

r2

Ilustração 2: Movimento Circular Uniforme

Sistema de Partículas (Eq. do momento angular)

O

r1

r2

f

- f

F1

F2

( válido para qualquer ponto O inercial )

Outra apresentação dessa mesma equação…

O

CR

V rivi

Observação chave:

Outra apresentação dessa mesma equação…

Observação Chave:

Válido mesmo que C seja não-inercial

Equação de Movimento para a Rotação maisgeral

Caso particular da rotação pura (eixo fixo)

• O pode ser qualquer ponto no eixo fixo de rotação

• A componente de LO ao longo do eixo de rotação é IOw

• A componente de tOext ao longo do eixo de eixo de rotação é RFext

ꓕ(R é o braço de alavanca e Fꓕ é a componente de F ortogonal aoeixo e ao braço)

Tome a componente aolongo do eixo dos doislados da equação vetorial

Conservação de Momento Angular em rotação pura-1

O

C

w

O

C

w’

Mg

Mg

N N

LO = I w LO = I’ w’

tOext permanence nulo, então LO não muda

Conservação de Momento Angular em rotação pura-2

1. A componente do torque das forças externas (peso total e eixo) ao longo do eixo é nulo. O peso tem torque em relação a O, mas esse torque é ortogonal ao eixo (tende a tombar o eixo, não fazê-lo girar).

2. As forças do eixo também exercem torque, mas não na direção do eixo (o torque do eixo anula o torque do peso).

3. Usando LO = m (R x V) + LC para o disco preto, produz (mr2w/2) (R e Vseriam a posição e a velocidade do centro do disco em relação a O)

4. Portanto a componente do momento angular total (em relação a O) ao longo do eixo é (mr2/2)w.

(M+m)g

C

w

R

O

r

(M+m)g

Cw

R

O

W

1. A inversão do eixo de rotação do disco envolve forças internas e não é capaz de alterar o momento angular

2. Agora o centro do disco preto executa um MCU de raio R e velocidade angular W

3. A componente de LO ao longo do eixo agora é IO W + (mR2) W – (mr2/2) w (IO é o momento de inércia do corpo azul)

4. (mr2/2) w = IO W + (mR2) W – (mr2/2) w

5. Ω =𝑚𝑟2

𝐼𝑂+𝑚𝑅2

video: conservation of angular momentum

Caso particular do rolamento (rotação com eixo de direção fixa)

• No caso de objetos com eixo de simetria (discos, esferas, cilindros, etc.) o CM está ao longo do eixo de simetria

• O momento angular em relação a qualquer ponto no eixo de simetria é (ICw z) [z é um versor na direção do eixo]

• Como o eixo de rotação tem direção fixa (por hipótese) as forçasexternas só tem torque na direção do eixo de rotação

Equação vetorial vira escalar

LC de um corpo simétrico girando na direção do eixo de simetria

ri

vi

bi

C

ri x vi

LC aponta na direção do eixo de rotação/simetria

w

Obs: O momento angular em relação a qualquer outro ponto sobre o eixo de simetria também é esse

𝐳

Equações do rolamento

Mg

N

f

+

+

Problemas de rotação com eixo de direçãovariável

Problema do pião

Mg

f

LO

O

C

Z

Q

LO

tO

Z

w

Lo sinQ

tO dtW dt

vista de cima

|LO|=IC w

|tO|=Mgh sinQΩ =

𝑀𝑔ℎ

𝐼𝐶𝜔 quanto maior w, menor W

1. O CM descreve um MCU com velocidade angular W

2. Pensando em MA = Fext, que força externa produz a aceleração centrípeta do CM?

3. O pião funciona no gelo?

O movimento do CM do pião

Gyroscope tricks (0:55 em diante, quase vertical) Gyroscope tricks (1:10 em diante, quase horizontal)

Versão light do problema da motocicleta fazendouma curva: Disco rolando em uma curva

Rcw

Mgf

• Rc é raio da curva

• V é a velocidade do centro da roda(para dentro do slide)

• w é a velocidade angular da roda (no sentido mostrado ao lado)

• r é o raio da roda (suposta um disco uniforme)

• V = rw

QLOtO

Z

MgO

LO = LC + Mr x V

|LO| = (IC + Mr2) w = (3Mr2/2) w

V = rw IC = Mr2/2

Lo cosQ

tO dtW dt

vista ao longo do eixo da roda

C

r

|tO| = Mgr sinQ

Ω =𝜏𝑂

𝐿𝑂 cosΘ=

2𝑔 tanΘ

3𝑟𝜔=

2𝑔 tanΘ

3𝑉

1. CM descreve um MCU de raio Rc e velocidade angular W

2. Portanto V = RcW é outra expressão para a velocidade do CM (i.e. do centro da roda)

V = Rw

tanΘ =3𝑉2

2𝑔𝑅𝑐

Q = 0 (roda na vertical) apenas se Rc ꚙ(linha reta) ou se V 0 (fazendo a curvabem devagar)

Obs: essa fórmula exagera Q em relação ao que acontece de fato com uma motocicleta. Para Rc = 100 m e V = 300 km/h essa expressão prevê Q = 84,6o....