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AULA 14- A Dick DE MOMENTO ANGULAR
1 Momento angular total em M.Q
.
Come amos considerate um sistema de duos
particularsque miao interagem entre si
, pore 'm sujeitasao
mesmopotenciol central Vir ) . Neste cane,
ahamiltoniando sistema e-
simplexment
H = Hi t Hz
com Hi = LIM,
t Vert e Hz = L÷ t Viral .
Gaberones de aulos prana das que
[ In,
A , ] = O e I Ea,
Ha ] = o ⇒ I I l .,
m ..
.la
, ma > I
Obviamente,
uma vez que miao hoi interacts entrees
particular ① e ②,
[ E, ,
Hz ] = I I,
HD - O. tho sign -
f .
ca que o momento angular de cada particular i
conservator individual ment,
e potato tambim o
Momento angular total .
Consider mos agora o case em que as particulars
intra geneentire si atra
cisde um pete na al v Cli, -RTD :
IT,-I ,
I = V f x ,- x a ) '
t ly , - ya ) 2+ fz,
- zd ''
Neste case,
o hamiltonians do sistema e-
H = A,
t Hz t V ( IF-Tz I )
Agora ,IT, ,
H ] =IT,
WE-ri ) ], que em geral e-
diferente de zero . Veja Mos,
e. g. , para a component Liz
[ Liz,
v f it , -521 ) ] = I x. py,- y, px , ,
v CIF - ri ) ]
= x. I py, ,
v Cl ni - nil ) ] - y , I px, ,v Chi-521 ) ]
= - it fxizy.ve tri - ri I ) - y , ¥,
voi .- id ) ) .
Po de - se mostar que o mes mo vote para as
components de Iz. 1st signifier que .
em geral ,
a momento angular de cada particular ncis e- corner -
vado individual me rite .
Porin.
se definiens o operator memento
angular total
I =LT t LT
obteremos um operator aejas components scio
constant es de movimento . Por exempt ,
[ Lz,
H ] = I Liz t Laz,
H ] = [ Liz, Vtr, - It )) tf Laz
,vhni - sit )]
= - it I x.Iguchi - nil ) - y , ¥,
vein - rill )-ihfxzayevflr- nil ) - y , ¥ vein - nil ) )
2 2
2115- Tal ) = v' IIri - ri I = v
' Cx.2x , 2x , tr - ri I
e expresses si mi fares para as outa derivates.
[ Lz,
H ] = - gintz, { X , Cy,- y a ) - YiHe - x z ) t xz I - Cy,
- ya ) ]
- ya E - Cx .- xD ] }
= -it ,f÷ ,
fly ,- ya ) f x
,- xz ) - Cy,
- ya ) C x . - xz ) ) = o
Ati agora anumimos implicit ment que asparticularsestudadas min possum spin .Vamos considerate
agora uma cini ca part Tula com spin sujeita a une
pretended central Vili l ) . Neste case . a hamiltonian
do sistema e- dadopor
H = 210mL + Vfr ) + for ) I . 5
on deo itti mo terms i o chamade acopla mento spin -
oibita e for ) e- u ma fun scio contre cida de r up
significant f- siwrrremos quando tratarmos o citemo
de hidrogineo .
Mas o fate e- que neste case mm I nem5
e- constant de movimento,
i . e.,
[ Lz,
H ] = fer ) [ Lt.
Lx S x t Lys y t Lz Sz ]
= fin { I Lt,
Lx ] Sx t [ Lz, Ly ) S y )
it ¥↳= it fly Sx - ↳ Sy )
[ Sz,
H ] = fer ) I Sz.
Lx Sx t Ly Sy t Lz Sz )
= fir ) { Lx Tsz,
s x ) + Ly I Sz ,Sy ] )if
= - itfrnfhysx - ↳ Sy}
Entretanto,
se definirmos o memento angular total
F = I +5
as this components de I seiao constante de mon.
-
mento. Veja mos
, par exempt ,
[ Jz,H ] = I Lz
, H ] t I Sz,
H ]
= it fer ) {Ly Sx - Lx Sy) - it fer ) {Ly Sx - Lx Sy) = O
Nos do is cases ex posts acirma terms do is mementos
anguhares Je e Jaque cornuta m e centre ce mos o
espa.code estados Ej compost plos auto vetoes commsi
a
Jez,
J,
'
,Jaz e
522.
Entre tanto,
J , e Jz trio Fao cons -
tant es de movimento ( ou seja H new i diagonal em Ej ) .
Portanto. mosso problems agora i tentar constrain
,man -
do Ej ,uma mona base for mada
por auto vetoes de J'
e
Iz f que soir constant es de movimento ) .
2 A di caio de 2 spins 1/2 .
Sip I e 5. operators de spin de 2 particulars .A
base orto normal date espa,co e- I I Ei,
ED I,
{ I E , ,Ez ) ) = I It , t )
. It . -7 ,I -
,t > , I -
. - 7 ) .
Taisvetoes Rio auto vetoes de si,
S, z
,SE e Saz
,
satizfazen do
S ? I E , ,E z > = SE I E
, ,Ea ) = 3yh I E
, ,Ea )
St z I Ei .E z ) = Ei LI IE , , Ez )
S2z I Ei .E 2 ) =Es ta I Ei , Ez )
Si,
si,
Size Saz constrtu em um conjunto complete de
opera dores que cornuta m .
• Spin total
Vamos definin o spin total 5 come
5 = It 52
remos que .e. g. ,
[ Sx, Sy ] = [ Sext Sax
, Say + Say ]
= I Six,
S , y ] t [ Six, Say ] t [ Sax
,S , y ] t I S 2x , Say ]
To To
= it ( Si z t Szz ) = its Sz
O operator 5 e- obtido come
5=15,+52 )2
= S ! + sit 25, .52
Uma veg queI 5
,527=0 .
§,. 52 = S
, × Szxt Say Say t S e z Saz
lembrando que St = Sx ± isy ,
Sx = I ( St t S- )
e Sy = at ( St - s - ),
entire
ST . SI = I&it t S . - ) f s , + t Ss - )
- ¥ (sit - S, - ) f Sat - Se - )
+ S e z S2 Z
= I I #ttShifa- t
SIEt
5¥- 5¥t SITE- tSISI-¥ ) t S iz5225,
. Is = I ( s, + Sa - t Se - Sat ) t S iz 522
Agora ,note que
( voir f. car de exuviae mortar )
[ Sz,
S ? ] = [ Sz,
si ] = O
-15,
s ? ] .
. [ s'
,si ] - o
[ Sz,
S , z ] = [ St , Saz ] = O
Entretanto,
S?
miao cornuta com Si z e Sze
[ 5,
S. z ] = I sit Sit 25 . I
,S
, z ]
= 2 Is , × S a x t Si y Say t S , a Saz,
Si z )
= 2 I Six, Set ] Sz x t 2 I Say , Sit ] Say = - 2 it§, y S2 × - Six Say )
e resealfado analogo para Is ? Sez ] .
Contre amos a base co mum one conjunto Is ?,Si
,Sir
,Sir ) .
Mostra mos que as 4 operators si,
si,
5,
Sz tambour
cornuta m, potato sues auto vetoes
• mum aos opera -
does tontine pete - for man uma base, que seria
deferent do primeiro poi s S2 newcornuta com Size Saz .
Vamos were ver os bones vetoes como
si Is ,M > = Sits .m > = ft
'Is ,
m >
S2 I s,
M > = S ( St 15h21 s,
M >
Sz Is , M > = Mt Is,
M >
Vamos agora determiner as auto valores de Sz.
Sz I Ei ,ED = ( S , z t Saz ) I E
, , Ez ) = HI f E,
t Ez ) I E, ,
Ez )
portraits I e. . ED e- auto veto de Sz com auto valor
M = 12 ( E , t Ea )
Saber doque
E , e Es scio igneous a ± I,
entao M
deve assumed as valores - I,
O et I.
Os auto valines I I roio Wao degenerates , enquianto o
auto valor O i dupbamente degenerate : do is vetoes onto -
gonads entre si vivo associates a 14=0,
It,
- > e I -
,t >
,
e por toute
S z ( X ,It
,-7 t X , I - it > ) = O ( X ,
It,
-7 tha I - it > )
Na base I I E, ,
Er > I Sz i diagonal , padendo ur
represented por
Sz its ftoo ! !! )
• Diagonal zagato de 5
Usan doque
S2 = 5,2 t SI t 25 , z Saz t S , + Sz - t Si - S2 t
S2 It,
t > = ( It 't ÷ hit 2¥LI ) It ,t ) = 242 It ,
t )
5 I -
,- > = 2h21 -
,- >
S + It > = S - I -3=0,
St I - > = t It > e S - It > = thI - S
S 2 It ,-7 = (5,2 t SI t 25 , z Sz z t S , + Sa - t Si - Sz t ) It , -7
= I It 't ft 't 2 If - ta)] It ,- S t t
'I - it >
= t '
[ It ,- > t I - it > ]
S2 I -
,t > = htt-
, t > t t'
It ,- > = t ' It - it > t It , -7 ]
De forma que a matriz que represent I ma base
HE , EDI i
⇐at::::o)Spode see quebrada em 3 sub matrizes .
Do as delos,
rat auto vetoes de S2,
It,
t > e I -
, -7 . Terms entaoque
diagonalizes a submatingso = ( : : )
que represents S'
nvm sub espace 2 D co berto por
It,
- > e I - it >, que correspond em are sub espace de
Sz corn 14=0 .
Os automatons It' de Si soo obtidos a
partin da equaga-ocaractnistr.ca
det (So'
- th'
1) = O
det ( l ' -
fth,
If= o ⇒ t ' ft - H '
-t '
⇒
I - 21=0 ⇒ X CX - 2) = O i. µ-
- O
f = 2
Asim.
dethminamos autos do is auto values de S2
come sends O e at 2.
Portanto times 3 esta dos ajo auto valor de 5 e-
252,
e um estado cone auto valor O.
Uma veg que
5 It ,-7 = t 2 It
,-7 t t '
I -
,t > ( I I
5 I -
, t > = t 2I - it > t t 2 It , -7 (2)
lil ta ) results em
524t ,- > t I -
, t > ) = 2t2 ( It , -7 + I - it ) )Do rip , para o auto valor at ' limos o auto estado
normalizedo fz ( It,
- > t I -
,t > )
E fazenda I I ) - la )
S2 ( It ,- > - I -
, t > ) = O
e potato para o auto valor o terms o auto other
normalizedo ¥ ( It ,- > - I -
, t S) .
Uma hey que as automatons de 5 assume - os valores
O e242
,entao de 5 Is ,
M > = S f Stl ) 52 Is ,M > remos
que s pote name min as melons s = O e S -- I .
Para S = o ⇒ M = O
to , o ) = fan I It,-3 - I - it > ]
e para S - I → M = - l,
O, l
I i, I > = It
,t >
Ii::¥!' " ' ⇒
A familia de 3 vetoes 11 , M > constitute o que e-
chamade um triplets ; enquanto o actor to ,o > i
chamade de estado singlets .
Alternativa ment poderiamos astir os auto vetoes
Is,
m >
do subespacio s - i a part n da identification
I 1,
I > = It , t >
atuando o operator S -sobre I 1 , 17 . Da thoria genal
do momento angular tin harms determinate
J± I j ,m ) = tjljtil-mlmt.FI j ,
m t I >
As sine,
S - I 1 , D = KREFT I a, o > = rat In , o >
per outro lado,
S- = Si - t Sa -
S- I 1 ,
I > = ( Si -t Sz - ) It
,t >
= TV I - it > th I 's hat it - ICE - it It .- >
= t (I -
,t > t It ,
-7 )
Comparando as duos expression obtemos
I 1, O > = If ( It ,
- > t I -
,t > )
Atoando s - em 11,
o > obtemos
S - In ,o > = t ITI 1 ,
- I >
que por outro lado po de ser escrito come
S.
I 1 , o > = ( s , - t S z - ) ( It ,- > t I -
,t > )
= rat ftp.tzr.IT I -
,-7 t tV¥-z I -
. - > I= fast I -
,- >
Comparando,
obtemos I 1,
- D = I -
,- > .
O iinico estado to ,o > do subespa.co E Cs = o ) e
-
determinate a partin da imposisao de que tal estado
deva ser ontogonal aos outro 3 .
10,0 > = a It ,- > t pl -
, t >
< 0,0/0 , o > = 22 t p?
= I
(1,0/0.0) = 0 = ¥ I Lt ,- I t L - it I) I 2 It , -7 t p I -
, t ) ]= a t p i
. a = - p
ocseja a = af em,
entire
to , o > = I It ,- > - I -
,t > ]
on de X pode see end hi to I = O rem nenhum prejuizo ,
de forma que
to,
0 > = ¥ I It ,- > - I -
,t > ]
Desta forma ,ealailamos as 4 vetoes Is
,m > seem
preciser determiner a representative matric alpara s
?
ma base { I E, ,
E z > I .