momento angular - fma.if.usp.brfma.if.usp.br/~passos/momentoangular.pdf · momento angular 1 regras...

Momento Angular

1 Regras de comutacao do momento angular

e rotacoes.

1.1 Como representamos rotacoes no espaco tridimen-sional. Matriz de rotacao.

Considere um vetor ~V cujas componentes numa dada base sao (Vx, Vy, Vz).

Quando rodamos o vetor ~V ele se transforma no vetor ~V ′ cujas componentessao (V x, V y, V z). As componentes de ~V e ~V´ estao relacionadas por umatransformacao ortogonal, V x

V y

V z

= R

VxVyVz

(1)

com R uma matriz ortogonal

RTR = RRT = 1

pois a rotacao deixa invariante a magnitude do vetor,

| ~V ′|2 = |~V |2

Para determinarmos a matriz R consideremos um sistema de coordenadasOx′y′z′ que roda com o vetor ~V ′ (ver figura 1).

Por construcao as componentes de ~V ′ no sistema rodado Ox′y′z′, sao iguaisas componentes de ~V no sistema fixo, Oxyz:

~V ′ =∑j

Vj~e′j

~V =∑j

Vj~ej

Mas de

V ′j = ~ej · ~V ′ =∑k

(~ej · ~e′k

)Vk

e da definicao da matriz de rotacao, equacao (1),

1

V ′j =∑k

RjkVk

deduzimos uma expressao para os elementos da matriz de rotacao

R =

~e1 · ~e′1 ~e1 · ~e′2 ~e1 · ~e′3~e2 · ~e′1 ~e2 · ~e′2 ~e2 · ~e′3~e3 · ~e′1 ~e3 · ~e′2 ~e3 · ~e′3

Vamos agora considerar o caso particular de uma rotacao de φ em torno

do eixo Oz:

Rz(φ) =

cosφ −senφ 0senφ cosφ 0

0 0 1

Por permutacao ciclica temos que:

Rx(φ) =

1 0 00 cosφ −senφ0 senφ cosφ

e

Ry(φ) =

cosφ 0 senφ0 1 0

−senφ 0 cosφ

No caso de rotacoes infinitesimais essas matrizes de rotacao tem a seguinte

expansao, ate a segunda ordem no angulo de rotacao ε :

Rz(ε) =

1− ε2

2−ε 0

ε 1− ε2

20

0 0 1

Rx(ε) =

1 0 0

0 1− ε2

2−ε

0 ε 1− ε2

2

Ry(ε) =

1− ε2

20 ε

0 1 0

−ε 0 1− ε2

2

Ate a segunda ordem em ε temos que

Rx(ε)Ry(ε) =

1− ε2

20 ε

ε2 1− ε2

2−ε

−ε ε 1− ε2

2

e

Ry(ε)Rx(ε) =

1− ε2

2ε2 ε

0 1− ε2

2−ε

−ε ε 1− ε2

Dessas equacoes concluımos que, ate segunda ordem em ε :

Rx(ε)Ry(ε)−Ry(ε)Rx(ε) =

0 −ε2 0ε2 0 00 0 0

= Rz(ε2)− 1

Desse resultado podemos concluir que:

1. Rotacoes infinitesimais (ate a primeira ordem em ε) comutam.

2. Ate a segunda ordem em ε temos que :

Rx(ε)Ry(ε)−Ry(ε)Rx(ε) = Rz(ε2)− 1 (2a)

Ry(ε)Rz(ε)−Rz(ε)Ry(ε) = Rx(ε2)− 1 (2b)

Rz(ε)Rx(ε)−Rx(ε)Rz(ε) = Ry(ε2)− 1 (2c)

3

1.2 Parametrizacao da matriz de rotacao.

Uma matriz real 3x3 tem nove elementos independentes. Se a matriz e orto-gonal seus elementos devem satisfazer as equacoes∑

l

RljRlk = δjk (3)

Como as equacoes (3) sao simetricas nos ındices j e k, temos seis equacoesrelacionando os elementos da matriz de rotacao R:∑

l

R2lj = 1 j = 1, 2, 3

∑l

RljRlk = 0 j > k

Desse modo R tem tres elementos independentes. Existem duas parame-trizacoes padroes para a matriz de rotacao, uma em funcao das componentesdo eixo de rotacao e do angulo de rotacao e a outra em funcao dos angulosde Euler.

1. Parametrizacao em funcao das componentes do eixo de rotacaoe do angulo de rotacao

Exercıcio 1: Se ~n e um versor na direcao do eixo de rotacao e φ oangulo de rotacao, mostre que ~V ′ e ~V estao relacionados pela expressao:

~V ′ = ~V cosφ+ ~n(~V · ~n)(1− cosφ) + (~n× ~V )senφ (4)

Da figura 2 vemos que,

~V ′ =−→OP +

−→PQ

~V =−→OP +

−→PS

−→OP= (~V · ~n)~n

Como os vetores−→PS,

−→PT e

−→PQ tem o mesmo modulo, segue que:

−→PQ=

−→PS cosφ+

−→PT senφ

Mas −→PT= ~n×

−→PS

4

−→PS= ~V − (~V · ~n)~n = ~n× (~V × ~n)

−→OP= (~V · ~n)~n

Entao

~V ′ = (~V · ~n)~n+ [(~n× ~V )× ~n]cosφ+ (~n× ~V )senφ

e finalmente

~V ′ = ~V cosφ+ ~n(~V · ~n)(1− cosφ) + (~n× ~V )senφ

Em termos das suas componentes a equacao (4) pode ser escrita como,

V ′j =∑k

RjkVk

com

Rjk = δjkcosφ+ njnk(1− cosφ)−∑l

εjklnlsenφ

No limite de uma rotacao infinitesimal, os elementos da matriz derotacao sao dados por

Rjk = δjk − ε∑l

εjklnl

que pode ser interpretado como o elemento jk da matriz

R = 1− iε~I · ~n = 1− iε∑l

Ilnl

onde o elemento jk da matriz Il e igual a

(Il)jk = −iεjkl

Desse modo vemos que as matrizes hermiteanas Ix, Iy e Iz sao iguais a

5

Ix =

0 0 00 0 −i0 i 0

, Iy =

0 0 i0 0 0−i 0 0

, Iz =

0 −i 0i 0 00 0 0

Uma rotacao finita pode ser expressa como uma sucessao de rotacoesinfinitesimais:

R(~n, φ) = limN→∞

(1− i φN~I · ~n)N = e−iφ

~I·~n (5)

lembrando que

limN→∞

(1 +α

N)N = eα

Dada a expressao (5) para a matriz de rotacao, segue das equacoes (2)que as matrizes Il, l = x, y, z nao comutam, pois

[Ix, Iy] = iIz

[Iy, Iz] = iIx

[Iz, Ix] = iIy

2. Angulos de EulerConsidere a rotacao de um corpo rıgido. Fixamos a posicao de umcorpo rıgido, determinando a orientacao de um sistema de coordenadasfixo no corpo rıgido, em relacao a um sistema de coordenadas fixo noespaco. Para isto introduzimos os angulos de Euler, definidos comomostrado abaixo:

(a) Uma rotacao de um angulo α, 0 ≤ α < 2π, em torno do eixo Oz,que transforma o sistema fixo no espaco Oxyz no sistema Ox′y′z′ .

(b) Uma rotacao de um angulo β, 0 ≤ β < 2π, em torno do eixo Oy′ ,que transforma o sistema Ox′y′z′ no sistema Ox′′y′′z′′ .

(c) Uma rotacao de um angulo γ, 0 ≤ γ < 2π, em torno do eixo Oz′′ ,que transforma o sistema Ox′′y′′z′′ no sistema fixo no corpo rıgidoOx′′′y′′′z′′′ .

6

A matriz de rotacao e dada pelo produto das tres rotacoes na ordem especi-ficada (ver figura 3)

R(α, β, γ) = Rz′′(γ)Ry′(β)Rz(α)

Das figuras 3 e 4 podemos mostrar que:

Ry′(β) = Rz(α)Ry(β)R−1z (α) (6a)

Rz′′(γ) = Ry′(β)Rz′(γ)R−1y′ (β) (6b)

Usando as equacoes 6b e 6a temos que:

R(, β, γ) = Ry′(β)Rz′(γ)Rz(α)

= Ry′(β)Rz(α)Rz(γ)

= Rz(α)Ry(β)Rz(γ)

7

1.3 Rotacoes na Mecanica Quantica.

Como rotacoes, em geral, muda o sistema fısico, o vetor de estado corres-pondente ao sistema rodado e diferente do vetor de estado do sistema naorodado. Assim dada uma rotacao R no espaco tridimensional associamos umoperador unitario no espaco de vetores de estado tal que

|α >R= D(R)|α >, D†(R)D(R) = D(R)D†(R) = 1

onde |α >R e o vetor de estado que resulta da rotacao de R do vetor deestado |α >.Para construir o operador unitario D(R) vamos primeiramente considerar olimite de rotacoes infinitesimais. Nesse limite

D(~n, dφ) = 1− idφ~J · ~nh

onde ~J e o operador momento angular do sistema (gerador das rotacoes)Exercicio 2quest: Determine Dz(ε) para uma partıcula de spin zero.

Dado|Ψ >R= D(R)|Ψ >

temos, pelas propriedades geometricas das rotacoes que a probabilidade deachar a partıcula no ponto ~x no estado rodado e igual a probabilidade deachar a partıcula no ponto R−1~x, no estado nao rodado,

|ΨR(~x)|2 = |Ψ(R−1~x)|2

Por uma escolha de fase temos que

ΨR(~x) = Ψ(R−1~x)

ou

< ~x|D(R)|Ψ >= Ψ(R−1~x)

Considerando uma rotacao infinitesimal em torno do eixo Oz temos que

R−1z (ε)

xyz

=

x+ εy−εx+ y

z

8

Ate primeira ordem em ε, Ψ(R−1~x) e dado por:

Ψ(R−1~x) = Ψ(x+ εy,−εx+ y, z)

= Ψ(~x) + ε

(y∂Ψ

∂x− x∂Ψ

∂y

)= Ψ(~x)− i ε

h

(xh

i

∂Ψ

∂y− y h

i

∂Ψ

∂x

)= < ~x|

[1− i ε

h(xpy − ypx)

]|Ψ >

Comparando com o termo a esquerda temos que:

Dz(ε) = 1− i εhLz

que e o resultado esperado pois Lz e o gerador das rotacoes em torno do eixoOz.Na Mecanica Quantica o momento angular e a soma do momento angularorbital e do spin. O spin esta associado ao movimento rotacional de um graude liberdade intrinseco puramente quantico. Entao

~J = ~L+ ~S

onde ~S e o spin da partıcula.Para uma partıcula com spin o momento angular num sistema de referenicano qual a partıcula esta em repouso e diferente de zero e igual ao spin da

partıcula, ~S.Assim vemos que, analogamente ao caso de translacoes e deslocamentos notempo, onde os geradores sao respectivamente, o momento ~p e o hamiltonianoH,

T (d~a) = 1− i~p · d~ah

U(dt) = 1− iHhdt

no caso de uma rotacao infinitesinal temos

D(~n, dφ) = 1− i(~J · ~n)

hdφ

pois o operador momento angular e o gerador das rotacoes.Uma rotacao finita em torno de um eixo ~n e dada pela composicao sucessiva

9

de rotacoes infinitesimais,

D(~n, φ) = limN→∞

1− i

(~J · ~n

)h

φ

N

N

lembrando que

limN→∞

(1 +

α

N

)N= eα

achamos a seguinte expressao para D(~n, φ):

D(~n, φ) = e−iφ( ~J·~n)h

As rotacoes formam um grupo, o grupo ortogonal de dimensao tres, SO(3).Um conjunto de elementos formam um grupo se:

1. O produto de dois elementos do grupo, e outro elemento do grupoR1R2 = R3.

2. A cada elemento do grupo existe o seu inverso tal que o produto e oelemento identidade R1R

−11 = 1.

3. O elemento identidade e um elemento do grupo R11 = 1R1 = R1.

4. o produto e associativo R1(R2R3) = (R1R2)R3 = R1R2R3.

Como a matriz unidade e uma matriz ortogonal, o produto de duas matrizesortogonais e uma matriz ortogonal, a inversa de uma matriz ortogonal e umamatriz ortogonal e o produto de matrizes e associativo, as matrizes ortogo-nais de dimensao tres formam um grupo, O(3).A correspondencia entre rotacoes no espaco tridimensional e operadores unitariosno espaco de vetores de estado preserva as propriedades de grupo

Identidade: R11 = 1R1 = R1 ⇒ D(R)1 = 1D(R) = D(R), 1 = D(0)

Completeza: R1R2 = R3 ⇒ D(R1)D(R2) = D(R3)

Inversa: R−1R = RR−1 = 1 ⇒ D(R−1)D(R) = D(R)D(R−1) = 1

Associatividade: R1(R2R3) = (R1R2)R3 = R1R2R3 ⇒ D(R1)[D(R2)D(R3)] =[D(R1)D(R2)]D(R3) = D(R1)D(R2)D(R3)

Vamos agora mostrar que as componentes do operador momento angular

10

que,como consequencia das rotacoes serem nao-comutativas,as componen-tes do operador momento angular sao tambem nao-comutativa

Vamos agora retornar as relacoes de comutacao, eq(2), para as matrizesde rotacao. O analogo para os operadores de rotacao e:

D (Rx(ε)) D (Ry(ε))− D (Ry(ε)) D (Rx(ε)) = D(Rz(ε

2))− 1

Ate segunda ordem em ε essa equacao fica igual a:1− iε Jxh

+1

2

(−iεJxh

)21− iε Jy

h+

1

2

(−iεJyh

)2+

−

1− iε Jyh

+1

2

(−iεJyh

)21− iε Jx

h+

1

2

(−iεJxh

)2 = −iε2 Jz

h

que e igual a,

−

(JxJy − JyJx

)h2 ε2 = −iε2 Jz

h

dando, [Jx, Jy

]= ihJz

Analogamente [Jy, Jz

]= ihJx[

Jz, Jx

]= ihJy

Essas relacoes de comutacao podem ser escritas como[Jj, Jk

]= i∑l

εjklJl

e sao as relacoes de comutacao fundamentais para o operador momento an-gular.

11

2 Partıcula de spin 1/2 e rotacoes finitas.

2.1 Operador de rotacao para uma partıcula de spin1/2.

A menor dimensao para a qual as relacoes de comutacao do operador mo-mento angular sao realizadas e N = 2.Os operadores de spin, usando a representacao dos operadores de spin nabase de auto-estados de S3, sao:

Sx = |+ >< +|Sx|+ >< +| + |+ >< +|Sx|− >< −| +

= +|− >< −|Sx|+ >< +| + |− >< −|Sx|− >< −|

e

Sx =h

2(|+ >< −| + |− >< +|)

Analogamente

Sy = ih

2(−|+ >< −| + |− >< +|)

Sz =h

2(|+ >< +| − |− >< −|)

com [Sj, Sk

]= i∑l

εjklSl

Seja |α > um vetor de estado generico definido no espaco bidimensional deuma partıcula de spin 1/2. Considere a rotacao de um angulo φ em torno doeixo Oz desse estado,

|α >R= D (Rz(φ)) |α >Para mostrar que esse operador realmente roda o vetor de estado, vamoscalcular o valor medio das componentes do operador spin no estado rodado.Metodo 1: usamos a forma especıfica dos operadores de spin, valida parauma partıcula de spin 1/2.

R < α|Sx|α >R=< α|eiφSzh Sxe

− iφSzh |α >

Mas

eiφSzh Sxe

− iφSzh = e

iφSzhh

2(|+ >< −| + |− >< +|)e−

iφSzh

=h

2

(eiφ|+ >< −| + e−iφ|− >< +|

)= cosφ

h

2(|+ >< −| + |− >< +|)− senφih

2(−|+ >< −| + |− >< +|)

= cosφSx − senφSy

12

Desse modo o valor medio de Sx no estado rodado esta relacionado com ovalor medio no estado nao-rodado pela equacao

R < α|Sx|α >R= cosφ < α|Sx|α > −senφ < α|Sy|α >

Procedendo de modo analogo calculamos o valor medio no estado rodado deSy e Sz:

R < α|Sy|α >R= senφ < α|Sx|α > +cosφ < α|Sy|α >

R < α|Sz|α >R=< α|Sz|α >

Metodo 2: Vamos usar a formula de Baker-Campbell-Hausdorff,

eABe−A = B + [A, B] +1

2![A, [A, B]] +

1

3![A, [A, [A, B]]] + · · ·

e as regras de comutacao do operador momento angular para calcularmos

eihφSz Sxe

− ihφSz

Pela formula de BCH temos:

eihφSz Sxe

− ihφSz = Sx+

iφ

h[Sz, Sx]+

1

2!

(iφ

h

)2

[Sz, [Sz, Sx]]+1

3!

(iφ

h

)3

[Sz, [Sz, [Sz, Sx]]]+· · ·

que, usando as regras de comutacao do operador momento angular fica iguala

eihφSz Sxe

− ihφSz = Sx

(1− φ2

2+ · · ·

)− Sy

(φ− φ3

3!+ · · ·

)= Sxcosφ − Sysenφ

De um modo analogo podemos mostrar que

eihφSz Sye

− ihφSz = Sxsenφ + Sycosφ

eihφSz Sze

− ihφSz = Sz

indicando que os dois metodos chegam ao mesmo resultado.Note que no metodo 2 usamos somente as relacoes de comutacao do operadormomento angular, indicando que essas relacoes sao validas para qualquermomento angular.

13

As equacoes que relacionam o valor medio das componentes do operador spinno estado rodado e no nao-rodado poder ser escritas como R < α|Sx|α >R

R < α|Sy|α >R

R < α|Sz|α >R

=


0 0 1

< α|Sx|α >< α|Sy|α >< α|Sz|α >

onde podemos identificar a matriz do termo a direita como a matriz derotacao de um angulo φ em torno do eixo Oz, Rz(φ). Assim vemos queo operador de rotacao quando aplicado no vetor de estado |α >, roda o valor

medio de ~S de um angulo φ em torno do eixo Oz. Em outras palavras o valor

medio de ~S se comporta como um vetor por rotacoes

R < α|Sk|α >R=∑l

Rkl < α|Sl|α >

ou como |α > e um vetor de estado generico

D†(R)SkD(R) =∑l

RklSl

Operadores que se transformam como o momento angular sao chamados de

operadores vetoriais. Se ~A e um operador vetorial vale a relacao

D†(R)AkD(R) =∑l

RklAl

Ate agora tudo tem sido como esperado. Mesmo assim vamos examinar maisde perto a acao do operador D(Rz(φ)) no vetor de estado |α >.Expandindo o vetor de estado |α > na base de autoestados de Sz,

|α >= |+ >< +|α > + |− >< −|α.

temos que

|α >R= e−ihφSz |α >= e−i

φ2 |+ >< +|α > + e−i

φ2 |− >< −|α >

O aparecimento do angulo φ2

tem uma consequencia interessante. Considereuma rotacao de 2π do estado |α >:

|α >Rz(2π)= −|α >

Assim vemos que o vetor de estado rodado de 2π difere do vetor de estado naorodado por um sinal menos. Esse sinal menos nao tem efeito no calculo devalores medios e probabilidades. O efeito do sinal menos pode ser detectadoem experiencias de interferometria de neutrons que verificaram a predicao daMecanica Quantica.

14

Precessao de spin revisitada

A hamiltoniana de um eletron (partıcula de spin meio) na presenca de umcampo magnetico uniforme e dada por

H = − e

mec~S · ~B = ωSz

com

ω =|e|Bmec

O operador de evolucao temporal deste sistema

U(t, 0) = e−iHth = e−i

ωtSzh

e precisamente o operador de rotacao em torno do eixo Oz (direcao do campomagnetico) de um angulo igual a ωt.Se inicialmente o eletron esta no estado |α >, o vetor de estado no instantet e igual a :

|α, t >= e−iωtSzh |α >= e−i

ωt2 |+ >< +|α > +ei

ωt2 |− >< −|α >

Desse modo vemos pela equacao (7) que o valor medio do spin no instantet esta relacionado com o valor medio no instante inicial por uma rotacao deum angulo igual a ωt em torno do eixo Oz, indicando que o valor medio de

~S precessa em torno do eixo Oz com velocidade angular ω. Depois de umintervalo de tempo igual a

Tprecessao =2π

ω

o valor medio de ~S retorna ao valor original mas o vetor de estado adquiriuum sinal menos. O vetor de estado retorna ao seu valor original somente noinstante

Tvetor de estado =4π

ω

15

2.2 Formalismo de Pauli. Matrizes de spin de Pauli.

Para uma partıcula de spin 1/2 uma base no espaco de vetores de estado edada pelos auto-estados de Sz com autovalores ±h/2:

Sz|+ >=h

2|+ > , Sz|− >= − h

2|− >

Dado um estado generico |α > podemos expandi-lo na base de auto-estadosde Sz:

|α >= |+ >< +|α > + |− >< −|α >

A matriz coluna de dimensao dois que e a representacao do vetor de es-tado |α >, na base de auto-estados de Sz e denominada de espinor de duascomponentes

χα =

(< +|α >< +|α >

)=< +|α >

(10

)+ < −|α >

(01

)=< +|α > χ++ < −|α > χ−

A representacao das componentes do operador de spin na base de auto-estados de Sz esta relacionada com as matrizes de spin de Pauli, σk, pelarelacao

< j|Sk|l >=h

2(σk)jl j, l = ±

Explicitamente

σx =

(0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

)O valor medio das componentes do operador de spin num estado |α > podeser expresso em termos de χ e σk:

< α|Sk|α >=(< +|α >∗< −|α >∗

) h2σk

(< +|α >< −|α >

)=h

2χ†ασkχα

As matrizes de spin de Pauli tem as seguintes propriedades

1. {σj, σk} = 2δjk1

2. [σj, σk] = 2i∑l

εjklσl, que e uma consequencia das relacoes de co-

mutacao

[Sj, Sk] = ih∑l

εjklSl

3. σ†k = σk ; detσk = −1 ; Tr(σk) = 0

16

Agora provaremos a identidade

(~σ · ~a)(~σ ·~b

)= ~a ·~b+ i~σ ·

(~a×~b

)onde ~a e ~b sao vetores.~σ · ~a e uma matriz 2× 2 dada por:

~σ · ~a = σ1a1 + σ2a2 + σ3a3 =

(a3 a1 − ia2

a1 + ia2 −a3

)Entao

(~σ · ~a)(~σ ·~b

)=

∑j,k

σjajσkbk

=∑j,k

ajbk

(1

2{σj, σk}+

1

2[σj, σk]

)

=∑j,k

ajbk

(δjk1 + i

∑l

εjklσl

)= ~a ·~b1 + i

(~a×~b

)· ~σ

Em particular se ~b = ~a e as componentes de ~a sao numeros reais; temos:

(~σ · ~a)2 = |~a|21

Matriz de rotacao para uma partıcula de spin 1/2.

A representacao do operador de rotacao D(~n, φ),

D(~n, φ) = e−iφ~S·~nh

na base de auto-estados de Sz e a matriz

D(~n, φ) = e−iφ2~σ·~n

como (~σ · ~n)2 = 1 vemos que

(~σ · ~n)k =

{1, se k e par~σ · ~n, se k e impar

17

Entao podemos escrever

e−iφ2~σ·~n =

∞∑k=0

(−iφ

2

)2k(~σ · ~n)2k

(2k)!+

∞∑k=0

(−iφ

2

)2k+1(~σ · ~n)2k+1

(2k + 1)!

=∞∑k=0

(−1)k(φ/2)2k

(2k)!1 − i(~σ · ~n)

∞∑k=0

(−1)k(φ/2)2k+1

(2k + 1)!

= cos

(φ

2

)1− i(~σ · ~n)sen

(φ

2

)Explicitamente, a matriz 2x2 de rotacao e igual a

e−iφ2~σ·~n =

(cos(φ2

)− isen

(φ2

)nz −isen

(φ2

)(nx − iny)

−isen(φ2

)(nx + iny) cos

(φ2

)+ isen

(φ2

)nz

)que e a representacao do operador de rotacao na base de auto-estados de Sz,parametrizada pelo angulo de rotacao e eixo de rotacao.Dado e−iφ

2~σ · ~n podemos calcular o espinor do estado rodado em funcao do

nao-rodado.Se |α >R= e−i

φh~S·~n|α >, temos que

χR = e−iφ2~σ·~nχ

Exercıcio 3: Ache a representacao do operador de rotacao na base de auto-estados de Sz, parametrizada pelos angulos de Euler. D(α, β, γ) e igual a:

D(α, β, γ) = D(Rz(α))D(Ry(β))D(Rz(γ))

A representacao desse operador na base de auto-estados de Sz e igual a

D(α, β, γ) = e−iα2σze−i

β2σye−i

γ2σz

=

(e−i

α2 0

0 eiα2

)(cos(β2

)−sen

(β2

)sen

(β2

)cos(β2

) )(e−i

γ2 0

0 eiγ2

)=

(e−i

(α+γ)2 cos

(β2

)−e−i

(α−γ)2 sen

(β2

)ei

(α−γ)2 sen

(β2

)ei

(α+γ)2 cos

(β2

) )

Como uma aplicacao de rotacoes vamos calcular o autovetor de(~S, ~n)

com

autovalor h/2: (~S, ~n)|~n; + >=

h

2|~n; + >

18

onde ~n e o vetor de componentes (senθcosφ, senθsenφ, cosθ)

Exercıcio 4: Mostre que D†(R)~S · ~aD(R) = ~S · ~a′ onde ~a′ = R−1~aProva:

D†(R)~S · ~aD(R) =∑j

D†(R)SjD(R)aj

=∑j,k

RjkSkaj

=∑k

Sk∑j

(RT )kjaj

= ~S · ~a′

para RT = R−1 c.q.d.

Vamos mostrar que |~n; + > e dado pela rotacao de θ em torno do eixo Oy ede φ em torno do eixo Oz, do estado |z; + >.Seja

Sz|z; + >=h

2|z; + >

Do exerıcio 4 vemos que

D(Rz(φ)Ry(θ))~S · ~ezD†(Rz(φ)Ry(θ)) = ~S · ~n

com nxnynz

= Rz(φ)Ry(θ)

001

=


0 0 1

cosθ 0 senθ0 1 0

−senθ 0 cosθ

001

=


0 0 1

senθ0

cosθ

=

cosφsenθsenφsenθcosθ

Entao a equacao de autovalores para Sz pode ser escrita como:

D(Rz(φ)Ry(θ))SzD†(Rz(φ)Ry(θ))D(Rz(φ)Ry(θ))|z; + >=

h

2D(Rz(φ)Ry(θ))|z; + >

19

que e igual a (~S · ~n

)|~n; + >=

h

2|~n; + >

com|~n; + >= D(Rz(φ)y(θ))|z; + >

O espinor do estado |~n; + > pode ser calculado pela equacao(< +|~n; + >< −|~n;− >

)= e−i

φ2σze−i

θ2σy

(10

)=

(e−i

φ2 0

0 eiφ2

)(cos θ

2−sen θ

2

sen θ2

cos θ2

)(10

)

=

(e−i

φ2 cos θ

2

eiφ2 sen θ

2

)

em concordancia com o resultado obtido pela diagonalizacao do operador ~S·~n.

20

Auto-estados e autovalores do operador momento angular

Dada as componentes do operador momento angular,

~J = Jx~ex + Jy~ey + Jz~ez

que satisfazem as relacoes de comutacao[Jj, Jk

]= ih

∑l

εjklJl

podemos mostrar que [~J2, Jj

]= 0

onde ~J2 = J2x + J2

y + J2z

Prova:[~J2, Jj

]=∑k

[J2k , Jj

]=∑k

(Jk

[Jk, Jj

]+[Jk, Jj

]Jk

)= ih

∑k,l

εjkl

(JlJk + JkJl

)= 0

pois os termos da soma sao antisimetricos na troca k ↔ l. Desse modo ~J2

e uma das componentes de ~J , por exemplo ~Jz sao observaveis compatıveis epodem ter autovetores simultaneos,

~J2|a, b >= a|a, b >

Jz|a, b >= b|a, b >Para determinar os possıveis valores de a e b e conveniente definir os opera-dores nao hermiteanos de levantamento e abaixamento

J± = Jx ± iJy J†+ = J−

Esses operadores satisfazem as seguintes relacoes de comutacao:[J+, J−

]= 2hJz[

Jz, J±

]= ±hJ±

Para determinar o significado fısico de J± vamos examinar a acao de Jz nosestados J±|a, b >:

JzJ±|a, b > =[Jz, J±

]|a, b > +J±Jz|a, b >

= ±hJ±|a, b > +bJ±|a, b >= (b± h)J±|a, b >

21

Em outras palavras se J+(J−) age num auto-estado de Jz, o vetor de estadoresultante ainda e um auto-estado de Jz, com o autovalor acrescido (decres-cido) de h.Por outro lado a acao de J± nao muda o autovalor de J2

J2J±|a, b >= J±J2|a, b >= aJ±|a, b >

22

Autovalores de J2 e Jz

Usando a definicao dos operadores de levantamento e abaixamento podemosescrever o operador J2 como

J2 =1

2

(J+J− + J−J+

)+ J2

z = J−J+ + hJz + J2z = J+J− − hJz + J2

z

Vamos calcular o valor medio de ~J2 − J2z nos autoestados simultaneos de ~J2

e Jz

< a, b| ~J2 − J2z |a, b > = < a, b|1

2

(J+J− + J−J+

)|a, b >

=1

2

(||J−|a, b > ||2 + ||J+|a, b > ||2

)= a− b2

o que implica na desigualdade

a− b2 ≥ 0

Desse modo deve existir um bmax tal que

J+|a, bmax >= 0

Essa equacao e equivalente a equacao

J−J+|a, bmax >=(J2 − hJz − J2

z

)|a, bmax >= (a−hbmax−b2

max)|a, bmax >= 0

Como |a, bmax > nao e um vetor de estado nulo, isto e possıvel somente se:

a = bmax(bmax + h)

Do mesmo modo deve existir um bmin tal que

J−|a, bmin >= 0

Essa equacao e equivalente a equacao

J+J−|a, bmin >=(J2 + hJz − J2

z

)|a, bmin >= (a+hbmin−b2

min)|a, bmin >= 0

Como |a, bmin > nao e um vetor de estado nulo, isto so e possıvel se

a = bmin(bmin − h)

23

Comparando as duas expressoes para a, temos que

bmax = −bmin

oubmax = bmin − h

Como bmax > bmin a solucao aceitavel e

bmax = −bmin

com bmax positivo Os valores permitidos de b estao definidos no intervalo

−bmax ≤ b ≤ bmax

Note que o estado | bmax > pode ser obtido pela aplicacao sucessiva do ope-rador J+ no estado |a, bmin >. Desse modo devemos ter:

bmax = bmin + nh , n inteiro

que resulta em

bmax =n

2h = jh

com j = n2.

Essa equacao mostra que os possıveis autovalores de ~J2 sao iguais a

a = h2j(j + 1)

com j um inteiro ou semi inteiro.Escrevendo os autovalores de Jz como;

b = mh

vemos que eles sao iguais a (para um dado j existem 2j + 1 autovalores)

m = −j,−j + 1, . . . , j − 1, j

Resumindo, os autovalores de J2 e Jz sao

~J2|j,m >= h2j(j + 1)|j,m >

~Jz|j,m >= hm|j,m >

onde j e um inteiro ou semi-inteiro e para um dado j existem 2j+ 1 possıveisautovalores de Jz definidos no intervalo

−j ≤ m ≤ j

24

Autoestados do operados momento angular

Dado o estado de projecao maxima (mınima) podemos contruir os auto-

estados de ~J2 e Jz pela aplicacao sucessiva dos operadores J−(J+).i) Cosifere o estado de maxima projecao,

J+|j, j >= 0

Da relacao

J−|j,m+ 1 >= h√

(j +m+ 1)(j −m)|j,m >

segue que

|j,m >=1√

(j +m+ 1)(j −m)

J−h|j,m+ 1 >

A aplicacao sucessiva dessa relacao mostra que

|j,m > =(J−/h)j−m√

(j +m+ 1)(j +m+ 2) · · · (j +m+ j −m)×

× 1√(j −m)(j −m− 1) · · · (j −m− (j − (m+ 1)))

|j, j >

e

|j,m >=

√(j +m)!

2j!(j −m)!

(J−h

)(j−m)

|j, j >

ii) Considere o estado de mınima projecao

J−|j,−j >= 0

Da relacao

J+|j,m− 1 >= h√

(j −m+ 1)(j +m)|j,m >

segue que

|j,m >=1√

(j +m)(j −m+ 1)

(J+/h

)|j,m− 1 >

A aplicacao sucessiva dessa relacao mostra que

|j,m > =(J+/h)j+m√

(j +m)(j +m− 1) · · · (j +m− (j +m− 1))×

× 1√(j −m+ 1)(j −m+ 2) · · · (j −m+ j +m)

|j,−j >

25

Elementos de matriz das componentes do operador momento

angular nos auto-estados de ~J2 e Jz

Seja os auto-estados de ~J2 e Jz:

~J2|j,m >= h2j(j + 1)|j,m >

Jz|j,m >= hm|j,m >

Entao valem as relacoes

< j′,m′| ~J2|j,m >= h2j(j + 1)δjj′δmm′

< j′,m′|Jz|j,m >= hmδjj′δmm′

Para calcular os elementos de matriz dos operadores J± vamos determinar a

acao desses operadores na base de auto-estados de ~J2 e Jz.Comecando com J+:

J+|j,m >= c+|j,m+ 1 >

Calculando a norma:

< j,m|J−J+|j,m >= |c+|2 =< j,m|J2−hJz−J2z |j,m >= h2(j(j+1)−m−m2)

Assim

|c+|2 = h2(j(j + 1)−m(m+ 1)) = h2(j −m)(j +m+ 1)

Escolhendo a fase de tal modo que c+e um mınimo real temos que

J+|j,m >= h√

(j −m)(j +m+ 1)|j,m+ 1 >

De um modo analogo:

J−|j,m >= c−|j,m− 1 >

< j,m|J+J−|j,m >= |c−|2 =< j,m|J2+hJz−J2z |j,m >= h2(j(j+1)+m−m2)

Assim

|c−|2 = h2(j(j + 1)−m(m− 1)) = h2(j +m)(j −m+ 1)

Como no caso anterior escolhendo a fase de tal modo que c− e real temos

J−|j,m >= h√

(j +m)(j −m+ 1)|j,m− 1 >

Finalmente determinamos os elementos de matriz:

< j′,m′|J±|j,m >= h√

(j ∓m)(j ±m+ 1)δjj′δm±1,m′

27

Representacao do operador de rotacao na base de auto-estados deJz

A representacao do operador de rotacao na base de auto-estados de jz e umamatriz cujos elementos sao:

< j′,m′|D(R)|j,m >=< j′,m′|e−iφh~J ·~n|j,m >= δjj′D

jm′m(R)

onde

Djm′m(R) =< j,m′|e−i

φh~J ·~n|j,m >

Os elementos de matriz com j′ 6= j sao nulos porque D(R)|j,m > continua

sendo um auto-estado de ~J2 com autovalor j

~J2D(R)|j,m >= D(R) ~J2|j,m >= h2j(j + 1)D(R)|j,m >

pois[~J2, D(R)

]= 0 que decorre diretamente do fato de ~J2 comutar com

qualquer componente de ~J . A matriz Djm′m(R) de dimensao (2j+ 1)× (2j+

1) e uma representacao irredutivel do grupo das rotacoes . Isto significaque dado um espaco vetorial que e uma representacao de D(R) podemosdecompo-lo numa soma direta de representacoes irrdutıveis.As matrizes de rotacao sao uma representacao do grupo de rotacoes

R −→ Dj(R)

satisfazendo as propriedades

1. R3 = R2R1 ⇒ D(R3) = D(R2)D(R1)⇒ Djmm′(R3) =

∑m′′Djmm′′(R2)Dj

m′′m′(R1)

2. R−1R = 1⇒ D(R−1)D(R) = 1⇒∑m′′Djm′m′′(R

−1)Djm′′m(R) = δm′m

Dj e uma matriz unitaria:

Djm′m′′(R

−1) = (Dj)−1m′m′′(R) = Dj∗

m′′m′(R)

Para exibir o significado fısico da matriz de rotacao vamos considerar arotacao do estado |j,m >:

|j,m >R= D(R)|j,m >=∑m′

|j,m′ > Djm′m(R)

Assim vemos que Djm′m(R) e a amplitude de probabilidade de achar o sistema

no estado |j,m′ > no estado rodado se o estado nao-rodado e |j,m >.

28

Os elementos da matriz Dj parametrizados pelos angulos de Euler sao iguaisa

Djm′m(α, β, γ) =< j,m′|e−i

αhJze−i

βhJye−i

γhJz |j,m >= e−i(m

′α+mγ) < j,m′|e−iβhJy |j,m >

Note que a unica parte nao trivial e a rotacao de β em torno do eixo Oy.Introduzindo a matriz

djm′m(β) =< j,m′|e−iβhJy |j,m >

podemos escrever

Djm′m(α, β, γ) = e−i(m

′α+mγ)djm′m(β)

Calcule d1(β)Para uma partıcula de spin 1 temos que

Jyh

(Jyh− 1

)(Jyh

+ 1

)= 0 ou

J3y

h3 =Jyh

Dessa relacao seque que (Jyh

)2m

=J2y

h2 , m ≥ 1

(Jyh

)2m+1

=Jyh, m ≥ 1

Nesse caso temos

e−iβhJy =

∞∑k=0

(−iβ)2k

(2k)!

(Jyh

)2k

+∞∑k=0

(−iβ)2k+1

(2k + 1)!

(Jyh

)2k+1

= 1 +∞∑k=1

(−1)kβ2k

(2k)!

J2y

h2 − i∞∑k=0

(−1)k

(2k + 1)!β2k+1 Jy

h

= 1− (1− cosβ)J2y

h2 − isenβJyh

Calculando a matriz que representa Jy na base de auto-estados de Jz, deter-minamos d1(β) 0 −

√2i 0√

2i 0 −√

2i

0√

2i 0

29

Momento angular orbital

O operador momento angular orbital e dado por

~L = ~r × ~p

E facil mostrar que as componentes do operador momento angular orbitalsatisfazem as relacoes de comutacao do operador momento angular, dado queas componentes do operador posicao e do operador momento satisfazem asrelacoes de comutacao canonicas.Exercıcio 5: Mostre que se [xj, xk] = [pj, pk] = 0 e [xj, pk] = ihδjk entao:

[Lj, Lk] = ih∑l

εjklLl

Na representacao das posicoes a acao do operador momento angular orbitale dada por

< ~x|~L|Ψ >= −ih(~r × ~∇)Ψ(~r)

Lembrando que o operador gradiente em coordenadas esfericas e dado por

~∇ = ~er∂

∂r+ ~eθ

1

r

∂

∂θ+ ~eφ

1

rsenθ

∂

∂φ

e que~r = r~er

temos que

< ~x|~L|Ψ >= −ih(~eφ∂

∂θ− ~eθ

1

senθ

∂

∂φ)Ψ(r, θ, φ)

De~er = senθcosφ~ex + senθsenφ~ey + cosθ~ez

~eθ = cosθcosφ~ex + cosθsenφ~ey − senθ~ez~eφ = −senφ~ex + cosφ~ey

encontraremos a acao das componentes do operador momento angular orbitalna representacao das posicoes

< ~x|Lx|Ψ >=< ~x|~ex · ~L|Ψ >= −ih(−senφ ∂

∂θ− cotgθcosφ ∂

∂φ

)Ψ(r, θ, φ)

< ~x|Ly|Ψ >=< ~x|~ey · ~L|Ψ >= −ih(cosφ

∂

∂θ− cotgθsenφ ∂

∂φ

)Ψ(r, θ, φ)

30

< ~x|Lz|Ψ >=< ~x|~ez · ~L|Ψ >= −ih ∂∂φ

Ψ(r, θ, φ)

Como L± = Lx ± iLy segue imediatamente que

< ~x|L+|Ψ >= heiφ(∂

∂θ+ icotgθ

∂

∂φ

)Ψ(r, θ, φ)

< ~x|L−|Ψ >= −he−iφ(∂

∂θ− icotgθ ∂

∂φ

)Ψ(r, θ, φ)

Para determinarmos a acao de ~L2 usamos a relacao

~L2 = L2x + L2

y + L2z =

1

2

(L+L− + L−L+

)+ L2

z = L+L− − hLz + L2z

obtendo

< ~x|~L2|Ψ >= −h2

(∂2

∂θ2+ cotgθ

∂

∂θ+

1

sen2θ

∂2

∂φ2

)Ψ(r, θ, φ)

Esses resultados mostram que o operador momento angular orbital age ape-nas nas variaveis angulares. Desse modo a funcao de onda dos auto-estados

simultaneos de ~L2 e Lz

~L2|l,m >= h2l(l + 1)|l,m >

~Lz|l,m >= hm|l,m >

pode ser escrita como o produto de uma funcao de onda radial e uma angular

< ~x|l,m >= R(r)Ylm(θ, φ)

com a funcao de onda angular, Ylm(θ, φ), que e deniminada de harmonicosesfericos satisfazendo as equacoes

−i∂Ylm(θ, φ)

∂φ= mYlm(θ, φ)

−(∂2

∂θ2+ cotgθ

∂

∂θ+

1

sen2θ

∂2

∂φ2

)Ylm(θ, φ) = l(l + 1)Ylm(θ, φ)

Vamos procurar solucoes que sejam o produto de uma funcao de θ e de umafuncao de φ

Ylm(θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ)

31

com

−i∂Φ

∂φ= mΦ(φ)

cuja solucao eΦ(φ) = eimφ

A unicidade da funcao de onda impoe que

Φ(φ+ 2π) = Φ(φ)

que e igual aei2πm = 1

Desse modo m deve ser um inteiro e por conseguinte l tambem e um inteiro.Com isto a equacao para Θ(θ) se reduz a(

∂2

∂θ2+ cotgθ

∂

∂θ+ l(l + 1)− m2

sen2θ

)Θ(θ) = 0

A solucao dessa equacao diferencial e dada por

Θ(θ) = Cl|m|P|m|l (cosθ), para m ≥ 0

onde P|m|l (x) e a funcao associada de Legendre

P|m|l (x) = (1− x2)|m|/2

d|m|

dx|m|Pl(x)

onde Pl(x) e o polinomio de Legendre de ordem l

Pl(x) =(−1)l

2ll!

dl

dxl(1− x2)l

Vemos entao que os harmonicos esfericos sao dados, por uma escolha de faseapropriada, por:

Ylm(θ, φ) = Cl|m|P|m|l (cosθ)eimφ (8a)

Yl−m(θ, φ) = (−1)|m|Y ∗l|m|(θ, φ) (8b)

A constante de normalizacao Cl|m| e determinada impondo a condicao denormalizacao

2π∫0

π∫0

|Ylm(θ, φ)|2senθdθdφ = 1

que resulta em

Cl|m| = (−1)|m|

√2l + 1

4π

(l − |m|)!(l + |m|)!

(veja fim da secao)

32

Paridade dos harmonicos esfericos

Por uma reflexao em torno da origem, ~r → −~r temos que

r → r, θ → π − θ, φ→ φ+ π

AssimYlm(π − θ, φ+ π) = Clme

im(φ+π)P|m|l (−cosθ)

Pl(x) e uma funcao de paridade l + |m| e eim(φ+π) = (−1)meimφ, entao

Ylm(π − θ, φ+ π) = (−1)l+m+|m|Ylm(θ, φ) = (−1)lYlm(θ, φ)

33

Harmonicos esfericos como elementos da matriz de rotacao

Seja um estado |l,m > cuja funcao de onda e

< ~x|l,m >= R(r)Ylm(θ, φ) =< r|R >< ~n|l,m >

onde ~n e um vetor unitario especificado pelos angulos θ e φ.De

< ~x|D(R)|l,m >=< R−1~x|l,m >

temos que< ~n|D(R)|l,m >=< R−1~n|l,m >

ou< R−1~n|l,m >=

∑m′

< ~n|l,m′ >< l,m′|D(R)|l,m >

ouYlm(R−1~n) =

∑m′

Ylm′(~n)Dlm′m(R)

Ylm(R~n) =∑m′

Ylm′(~n)Dlm′m(R−1)

Finalmente chegamos a expressao

Ylm(R~n) =∑m′

Ylm′(~n)Dl∗mm′(R)

Vamos considerar ~n como um vetor unitario na direcao Oz e ~n′ = R~n umvetor especificado pelos angulos θ e φ

~n′ = Rz(φ)Ry(θ)~n n′xn′yn′z

=


0 0 1

cosθ 0 senθ0 1 0

−senθ 0 cosθ

001

Entao

Ylm(θ, φ) =∑m′

Ylm′(0, φ′)Dl∗

mm′(φ, θ, 0)

Mas

Ylm′(0, φ′) =

√2l + 1

4πδm′0

resultando em

Ylm(θ, φ) =

√2l + 1

4πDl∗m0(φ, θ, 0)

34

Estados estacionarios de uma hamiltoniana esfericamentesimetrica

SejaH = T + V

uma hamiltoniana esfericamente simetrica

[H, Lk] = 0 , k = x, y, z

isto e

H =~p2

2m+ V (

√x2 + y2 + z2)

Neste caso H, ~L2 e Lz sao observaveis compatıveis e podemos achar auto-estados simetricos desses observaveis

H|E, l,m >= E|E, l,m >

~L2|E, l,m >= h2l(l + 1)|E, l,m >

Lz|E, l,m >= hm|E, l,m >

na representacao das posicoes a equacao de Schrodinger para os estados es-tacionarios pode ser escrita como(

− h2

2m~∇2 + V (r)

)Ψ(r, θ, φ) = EΨ(r, θ, φ)

O operador Laplaciano em coordenadas esfericas pode ser escrita como

~∇2 =∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r+

1

r2

(∂2

∂θ2+ cotgθ

∂

∂θ+

1

sen2θ

∂2

∂φ2

)=

∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r−

~L2

h2r2

Entao a equacao de Schrodinger se reduz a:[− h2

2m

(∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r

)+

~L2

2mr2+ V (r)

]ΨElm(r, θ, φ) = EΨElm(r, θ, φ)

ΨElm(r, θ, φ) e o produto de uma funcao de r com um harmonico esferico

ΨElm(r, θ, φ) = REl(r)Ylm(θ, φ)

com a funcao de onda radial satisfazendo a equacao[− h2

2m

(∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r

)+h2l(l + 1)

2mr2+ V (r)

]REl(r) = EREl(r)

35

A normalizacao dos harmonicos esfericos e da funcao de onda dos estadosestacionarios leva a seguinte condicao de normalizacao para a funcao de ondaradial

∞∫0

dr r2|REl(r)|2 = 1

Entao podemos escrever a expressao dos harmonicos esfericos valida paraqualquer m como

Ylm(θ, φ) = clmP|m|l (cosθ)eimφ

comclm = cl|m| se m > 0

clm = (−1)|m|cl|m| se m < 0

36

3 Adicao de dois momentos angulares

Antes de estudar a teoria da adicao de dois momentos angulares e util consi-derar um exemplo simples: como adcionar o spin de duas partıculas de spin1/2.

3.1 Duas partıculas de spin 1/2

O espaco de vetores de estado do sistema e dado pelo produto direto doespaco de vetores de estado de cada partıcula do sistema. Uma base noespaco produto direto e dada pelo produto direto dos vetores da base paracada partıcula do sistema.Para uma partıcula de spin 1/2 o espaco de vetores de estado e bidimensionale os auto-estados de S2

1(S22), S1z(S2z) define uma base no espaco de vetores

de estado de cada partıcula

S21 |1/2,m1 >1=

3

4h2|1/2,m1 >1

S1z|1/2,m1 >1= hm1|1/2,m1 >1

S22 |1/2,m2 >2=

3

4h2|1/2,m2 >2

S2z|1/2,m2 >2= hm2|1/2,m2 >2

Desse modo uma base para as duas partıculas de spin 1/2 e dada por

|1/2, 1/2;m1,m2 >= |1/2,m1 >1 ⊗|1/2,m2 >2, m1,m2 = ±1

2

Desse modo vemos que o espaco produto direto tem dimensao quatro e umabase e dada por: |1/2, 1/2; 1/2, 1/2 >, |1/2, 1/2; 1/2,−1/2 >, |1/2, 1/2;−1/2, 1/2 >e |1/2, 1/2;−1/2,−1/2 >O spin total do sistema e dado por

~S = ~S1 + ~S2

que deve ser entendido como

~S = ~S1 ⊗ 12 + 11 ⊗ ~S2

onde 1 no primeiro (segundo) termo e o operador identidade no espaco dapartıcula 2(1).Naturalmente temos que:[

S1j, S1k

]= ih

∑l

εjklS1l

37

[S2j, S2k

]= ih

∑l

εjklS2l

[~S2

1 , S1k

]= 0,

[~S2

2 , S2k

]= 0[

S1j, S2k

]= 0

Como uma consequencia direta das propriedades de comutacao das compo-nentes do operador spin de cada partıcula segue que o spin total satisfaz asregras de comutacao do operador momento angular,[

Sj, Sk

]= ih

∑l

εjklSl

e que

~S2 = ~S21 + ~S2

2 + 2 ~S1 · ~S2

eSz = S1z + S2z

satisfazem as seguintes relacoes de comutacao[~S2, Sz

]=[~S2, ~S2

1

]=[~S2, ~S2

2

]= 0[

Sz, ~S21

]=[Sz, ~S

22

]=[~S2

1 , ~S22

]= 0

Com isto vemos que os observaveis ~S21 , S1z, ~S

22 , S2z e ~S2

1 , ~S22 , ~S2 e Sz sao

observaveis compatıveis e um vetor de estado generico no espaco de veto-res de estado do sistema no espaco de vetores de estado do sistema de duaspartıculas de spin 1/2 pode ser expandido numa base de auto-estados si-

multaneos de ~S21 , S1z, ~S

22 , S2z e ~S2

1 , ~S22 , ~S2 e Sz.

No primeiro caso essa base de vetores de estado e a base produto direto,definida anteriormente:

|1/2, 1/2; 1/2, 1/2 >= |1/2, 1/2 >1 ⊗|1/2, 1/2 >2

|1/2, 1/2; 1/2,−1/2 >= |1/2, 1/2 >1 ⊗|1/2,−1/2 >2

|1/2, 1/2;−1/2, 1/2 >= |1/2,−1/2 >1 ⊗|1/2, 1/2 >2

|1/2, 1/2;−1/2,−1/2 >= |1/2,−1/2 >1 ⊗|1/2,−1/2 >2

38

No segundo caso os auto-estados simultaneos de ~S21 , ~S2

2 , ~S2 e Sz sao:

|1/2, 1/2; s = 1,m = 1 >= |1/2, 1/2; 1/2, 1/2 > (9a)

|1/2,1/2;s=1,m=0>= 1√2

(|1/2,1/2;1/2,−1/2>+|1/2,1/2;−1/2,1/2>) (9b)

|1/2, 1/2; s = 1,m = −1 >= |1/2, 1/2;−1/2,−1/2 > (9c)

|1/2,1/2;s=0,m=0>= 1√2

(|1/2,1/2;1/2,−1/2>−|1/2,1/2;−1/2,1/2>) (9d)

onde s e m sao os autovalores de ~S2 e Sz:

~S2|1/2, 1/2; s,m >= h2s(s+ 1)|1/2, 1/2; s,m >

Sz|1/2, 1/2; s,m >= hm|1/2, 1/2; s,m >

O estado |1/2, 1/2; 1/2, 1/2 > tem maxima projecao do spin total, m = 1, epor conseguinte tem o maximo valor de s, s = 1.O estado |1/2, 1/2; 1, 0 > e dado pela acao de S− no estado |1/2, 1/2; 1, 1 >:

|1/2, 1/2; 1, 0 >=S−

h√

2|1/2, 1/2; 1, 1 >

Como S− = S1− + S2− temos que

|1/2, 1/2; 1, 0 >=1

h√

2

(S1−|1/2, 1/2 >1 ⊗|1/2, 1/2 >2 +|1/2, 1/2 >1 ⊗S2−|1/2, 1/2 >2

)De J±|j,m >= h

√(j ∓m)(j ±m+ 1)|j,m± 1 > segue que

S1+|1/2, 1/2 >1= 0, S1−|1/2, 1/2 >1= h|1/2,−1/2 >1

S1+|1/2,−1/2 >1= h|1/2, 1/2 >1, S1−|1/2,−1/2 >1= 0

Entao temos que

|1/2, 1/2; 1, 0 > =1√2

(|1/2,−1/2 >1 ⊗|1/2, 1/2 >2 +

1√2|1/2, 1/2 >1 ⊗|1/2,−1/2 >2

)=

1√2|1/2, 1/2; 1/2,−1/2 > +

1√2|1/2, 1/2;−1/2, 1/2 >

O estado com s = 1, m = −1 e obtido pela acao de S− no estado acima emostra-se facilmente que coincide com o estado (9c). Note que os estados dabase produto direto, |1/2, 1/2;m1,m2 > sao auto-estados de Sz com autovalorm = m1 +m2.

Sz|1/2, 1/2;m1,m2 >= h(m1 +m2)|1/2, 1/2;m1,m2 >

39

Para um dado m os possıveis valores de s devem satisfazer a condicao s ≥ |m|.No nosso caso existem dois estados com m = 0, |1/2, 1/2; 1/2,−1/2 > e|1/2, 1/2;−1/2, 1/2 >.A combinacao linear da equacao (9b) tem s = 1, m = 0. O estado ortogonalao estado (9b), mostrado na equacao (9d), tem necessariamente s = 0, m = 0.Desse modo vemos que quando adiciona-mos o spin de duas partıculas despin 1/2, os possıveis valores do spin total do sistema sao s = 1 e s = 0, commultiplicidade 1.Os coeficientes da expansao dos vetores da base de auto-estados simultaneos

de ~S21 , ~S2

2 , ~S2 e Sz numa combinacao linear de vetores da base de auto-estados

simultaneos de ~S21 , S1z, ~S

22 e S2z mostrados na equacao (9) e um exemplo dos

coeficientes de Clebsch-Gordan sao os elementos da matriz que transforma abase |1/2, 1/2;m1,m2 > na base |1/2, 1/2; s,m >.

40

Teoria da adicao do momento angular

Vamos considerar dois operadores momento angular que agem em espacos

diferentes ~J1 e ~J2.Esses operadores satisfazem as regras de comutacao do operador momentoangular: [

J1j, J1k

]= ih

∑l

εjklJ1l[J2j, J2k

]= ih

∑l

εjklJ2l

e o comutador de um par de operadores que agem em espacos diferentes enulo [

J1j, J2k

]= 0

O momento angular total do sistema e

~J = ~J1 + ~J2

que, mais rigorosamente, e igual a

~J = ~J1 ⊗ 12 + 11 ⊗ ~J2

Como uma consequencia direta das regras de comutacao de ~J1 e ~J2, ~J natu-ralmente satisfaz as regras de comutacao do operador momento angular[

Jj, Jk

]= ih

∑l

εjklJl

Temos a opcao de escolher duas bases diferentes para os vetores de estadodo sistema

1. Auto-estados simultaneos de ~J21 , J1z, ~J

22 , J2z:

~J21 |j1, j2;m1,m2 >= h2j1(j1 + 1)|j1, j2;m1,m2 >

J1z|j1, j2;m1,m2 >= hm1|j1, j2;m1,m2 >

~J22 |j1, j2;m1,m2 >= h2j2(j2 + 1)|j1, j2;m1,m2 >

J2z|j1, j2;m1,m2 >= hm2|j1, j2;m1,m2 >

que e a base dada pelo produto direto dos vetores da base de auto-estados de cada momento angular,

|j1, j2;m1,m2 >= |j1,m1 >1 ⊗|j2,m2 >2

41

Autovalores de ~J2 e Jz e a ordem de sua degenerescencia

O que primeiramente precisamos determinar sao os possıveis autovalores de

~J2 e Jz e a ordem de sua degenerescencia. Primeiramente note que cadaestado |m1,m2 > e um auto-estadode Jz com autovalores mh = (m1 +m2)h

Jz|m1,m2 >= h(m1 +m2)|m1,m2 >

Para cada valor de m, j tem que satisfazer a desigualdade j ≥ |m|. Paradeterminar os possıveis valores de j vamos considerar a degenerescencia dosubespaco do autovalor m.Note que o maximo valor de m e, m = j1 + j2. Existe apenas um vetorde estado com esse autovalor que e o vetor de estado |j1, j2 >= |j1, j1 >1

⊗|j2, j2 >2. Como sonsequencia o maior valor de j e j = j1 + j2 e o vetor de

estado |j1, j2 >e necessariamente um auto-estado de ~J2 e Jz com autovaloresiguais a j1 + j2.

|j1 + j2, j1 + j2 >= |j1, j2 >

Na base produto direto, |m1,m2 >, existe apenas dois vetores de estadocom autovalores de Jz igual a j1 + j2 − 1, que sao os estados |j1 − 1, j2 > e|j1, j2− 1 >. Desse modo temos dois estados linearmente independentes comautovalor de Jz igual a j1 + j2 − 1, um desses estados tem momento angularigual a j1 +j2 que e dado pela acao do operador de abaixamento J− no estado|j1+j2, j1+j2 >. O estado ortogonal ao estado com j = j1+j2 em = j1+j2−1tem o menor possıvel valor de j para esse valor de m, j1 + j2− 1. Do mesmomodo vemos facilmente que existe tres estados linearmente independentescom m = j1 +j2−2, que sao: |j1−2, j2 >, |j1−1, j1−1 > e |j1, j2−2 >. Doisvetores de estado linearmente independentes tem j = j1 +j2, j = j1 +j2−1 esao dados pela acao do operador de abaixamento nos dois estados linearmenteindependentes com j = j1 + j2 e j = j1 + j2 − 1 e m = j1 + j2 − 1.O terceiro estado ortogonal a esses dois estados tem o menor valor de jcompatıvel com esse valor de m, j = j1 + j2−2.Nos podemos continuar nesseprocesso mas e claro que a degenerescencia de Jz nao crece indefinidamente.Por exemplo para m = −(j1 +j2), que e o menor valor possıvel para m, existeapenas um vetor de estado, | − j1,−j2 >. Para j1 ≥ j2 a degenerescenciamaxima e 2j2 + 1 como ilustrado nos exemplos discutidos abaixo.Para os valores de j1 = 2, j2 = 1 temos:

m 3 3 1 0 -1 -2 -3(m1,m2) (2,1) (1,1) (0,1) (-1, 1) (-2,1) (-2,0) (-2,-1)

(2,0) (1,0) (0,0) (-1,0) (-1,-1)(2,-1) (1,-1) (0,-1)

D 1 2 3 3 3 2 1d 3 3,2 3,2,1 3,2,1 3,2,1 3,2 3

43

Para os valores de j1 = 2, j2 = 1/2 temos:m 5/2 3/2 1/2 -1/2 -3/2 -5/2

(m1,m2) (2,1/2) (1,1/2) (0,1/2) (-1, 1/2) (-2,1/2) (-2,-1/2)(2,-1/2) (1,-1/2) (0,-1/2) (-1,-1/2)

D 1 2 2 2 2 1j 5/2 5/2,3/2 5/2,3/2 5/2,3/2 5/2,3/2 5/2

Essa degenerescencia de ordem 2j − 2 + 1 no autovalor m esta associada aos2j2 + 1 estados com o mesmo autovalor de m e com j igual a j1 + j2, j1 + j2−1, · · · , j2 − j1.Resumindo os possıveis valores de j sao,

j = j1 + j2, j1 + j2 − 1, · · · , |j1 − j2|

e eles ocorrem apenas uma vez.

Para um dado autovalor de ~J2, j, existe 2j + 1 auto-estados de Jz comautovalores iguais a j, j − 1, · · · ,−j.A dimensionalidade do espaco de vetores de estado produto direto e, por umacontagem na base {|j1, j2;m1,m2 >} igual a N = (2j1 + 1)(2j2 + 1).Fazendo esta contagem na base |j,m >, para cada autovalor de j existem2j + 1 estados . Considerando j1 > j2, o numero total dos estados e igual a

N =

j1+j2∑j1−j2

(2j+1) =1

2(2j1−2j2 +1+2j1 +2j2 +1)(2j2 +1) = (2j1 +1)(2j2 +1)

Os elementos da matriz de transformacao que relaciona a base {|j1, j2;m1,m2 >} com a base {|j1, j2; j,m >}sao os coeficientes de Clebsch-Gordan

|j1, j2; j,m >=∑m1,m2

|j1, j2;m1,m2 >< j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m >

Cj1m1

j2m2

jm =< j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m >

Os coeficientes de Clebsch-Gordan sao elementos de uma matriz unitaria∑m1,m2

< j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m >∗< j1, j2;m1,m2|j1, j2; j′,m′ >= δj,j′δm,m′

∑j,m

< j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m >< j1, j2;m′1,m′2|j1, j2; j,m >= δm1,m′1

δm2,m′2

Os coeficientes de Clebsch-Gordan se anulam a menos que

m = m1 +m2

e|j1 − j2| ≤ j ≤ j1 + j2

44

Coeficientes de Clebsch-Gordan e matrizes de rotacao

Considere o operador de rotacao do sistema, que e o produto direto dosoperadores de rotacao para cada um dos subsistemas

D(R) = D1(R)⊗ D2(R)

onde

D1(R) = e−iφh~J1·~n, D2(R) = e−

iφh~J2·~n

D(R) = e−iφh~J ·~n

A representacao do operador de rotacao do sistema na base produto direto|j1, j2;m1,m2 > e o produto direto da representacao do operador de rotacaopara cada um dos sistemas

< j1, j2;m1,m2|D(R)|j1, j2;m′1,m′2 >= Dj1

m1m′1(R)Dj2

m2m′2(R)

Essa representacao e redutıvel pois por uma transformacao unitaria dos esta-dos da base, que e a transformacao para a base de auto-estados simultaneos

de ~J2, Jz, ~J21 , ~J2

2 , a matriz fica diagonal em blocos

< j1, j2; j,m|D(R)|j1, j2; j′,m′ >= δjj′Djmm′(R)

Na notacao de teoria de grupos essa decomposicao e escrita como

Dj1(R)⊗ Dj2(R) = D(j1+j2)(R)⊕ D(j1+j2−1)(R)⊕ · · · D|j1−j2|(R)

Em termos dos elementos da matriz de rotacao nos temos a seguinte expansao

Dj1m1m′1

(R)Dj2m2m′2

(R) =

j1+j2∑j=|j1−j2|

∑mm′

< j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m > ×

× Djmm′(R) < j1, j2; j,m′|j1, j2;m′1,m

′2 >

D(R) =

Dj1+j2(R)

Dj1+j2−1(R). . .

D|j1−j2|(R)

45

Desigualdade de Bell

Considere um sistema consistindo de dois subsistemas. Seja {|φn >1} umabase no espaco de vetores de estado do subsistema 1 e {|χn >2} uma baseno espaco de vetores de estado do sistema 2.Uma base no espaco de vetores de estado do sistema constituıdo dos doissubsistemas e dada pelo produto direto dos vetores de cada base

{|φn >1 ⊗|χk >2}

Um vetor generico do sistema pode ser expresso em termos dos vetores dabase

|Ψ >=∑n,k

cnk|Φnk >=∑n,k

cnk|φn >1 ⊗|χk >2

A probabilidade de achar o subsistema 1 no estado |φn >1 e o subsistema 2no estado |χk >2 e

Pnk = |cnk|2 = | < φn, χk|Ψ > |2

A probabilidade de que o subsistema 1 esteja no estado |φn >1 independen-temente do estado do subsistema 2 e

Pn =∑k

Pnk =∑k

|cnk|2 =∑k

| < φn, χk|Ψ > |2

Do mesmo modo, a probabilidade do subsistema 2 estar no estado |χk >2

independentemente do estado do subsistema 1 e

Pk =∑n

Pnk =∑n

|cnk|2 =∑n

| < φn, χk|Ψ > |2

Essas probabilidades podem ser escritas como:

Pnk =< Ψ|φn, χk >< φn, χk|Ψ >=< Ψ|Pnk|Ψ >

Pn =∑k

< Ψ|φn, χk >< φn, χk|Ψ >=< Ψ|PΦn1⊗ 12|Ψ >

Pk =∑n

< Ψ|φn, χk >< φn, χk|Ψ >=< Ψ|11 ⊗ Pχk2|Ψ >

Exemplo: Duas partıculas de spin 1/2 no estado de spin total igual a zero:

|0 >=1√2|z+ >1 ⊗|z− >2 +

1√2|z− >1 ⊗|z+ >2

46

|0 >=1√2|z+, z− > +

1√2|z−, z+ >

Prove que

| <~b+ |~a+ > |2 = cos2 θab2

=1 + cosθab

2

onde θab e o angulo entre as direcoes ~a e ~b

~a = (cosφasenθa, senφasenθa, cosθa)

~b = (cosφbsenθb, senφbsenθb, cosθb)

cosθab = ~a ·~b = cosφacosφbsenθasenθb + senφasenφbsenθasenθb + cosθacosθb

cosθab = (cosφacosφb + senφasenφb)senθasenθb + cosθacosθb

cosθab = cos(φa − φb)senθasenθb + cosθacosθb

|~n+ >= cosθ

2|z+ > +sen

θ

2eiφ|z− >

<~b+ |~a+ >= cosθa2cos

θb2

+ senθa2sen

θb2ei(φa−φb)

| <~b+|~a+ > |2 = cos2 θa2cos2 θb

2+sen2 θa

2sen2 θb

2+2sen

θa2cos

θa2sen

θb2cos

θb2cos(φa−φb)

De cos2α = 1+cos(2α)2

e sen2α = 1−cos2α2

e sen2α = 2senαcosα, temos que

| <~b+|~a+ > |2 =1

4[(1 + cosθa)(1 + cosθb) + (1− cosθa)(1− cosθb)]+

1

2senθasenθbcos(φa−φb)

| <~b+ |~a+ > |2 =1

2(1 + cosθacosθb + senθasenθbcos(φa − φb))

| <~b+ |~a+ > |2 =1

2(1 + cosθab) = cos2 θab

2

Exercıcio: a) Calcule diretamente a matriz de rotacao de um angulo β emtorno do eixo Oy′ onde ~ny′ = (−senα, cosα, 0).b)Mostre que R~ny′ (β) = Rz(α)Ry(β)R−1

z (α).c)A expressao da matriz de rotacao parametrizada em termos da direcao doeixo de rotacao ~n e do angulo de rotacao φ e:

R =

cosφ+ n21(1− cosφ) n1n2(1− cosφ)− n3senφ n1n3(1− cosφ) + n2senφ

n2n1(1− cosφ) + n3senφ cosφ+ n22(1− cosφ) n2n3(1− cosφ)− n1senφ

n3n1(1− cosφ)− n2senφ n3n2(1− cosφ) + n1senφ cosφ+ n3(1− cosφ)

47

Entao R~ny′ (β) e igual a

R =

cosβ + sen2α(1− cosβ) −cosαsenα(1− cosβ) cosαsenβ−cosαsenα(1− cosβ) cosβ + cos2α(1− cosβ) senαsenβ

−cosαsenβ −senαsenβ cosβ

b) Temos queRz(α) =

cosα −senα 0senα cosα 0

0 0 1

, Ry(β) =

cosβ 0 senβ0 1 0

−senβ 0 cosβ

.

Entao

Rz(α)Ry(β)R−1z (α) =


0 0 1

cosβ 0 senβ0 1 0

−senβ 0 cosβ

cosα senα 0−senα cosα 0

0 0 1

=


0 0 1

cosβcosα cosβsenα senβ−senα cosα 0−senβcosα −senβsenα cosβ

=

cos2αcosβ + sen2α cosβcosαsenα− senαcosα cosαsenβcosβcosαsenα− cosαsenα sen2αcosβ + cos2α senαsenβ

−senβcosα −senβsenα cosβ

= R~ny′ (β)

Exercıcio 2:Dada a matriz de rotacao

R =1

4

3 1√

6

1 3 −√

6

−√

6√

6 2

a)Calcule o angulo de rotacao.b)Determine o eixo de rotacao.a)

Tr(R) = 1 + 2cosφ

Tr(R) = 2

Entao

cosφ =1

2−→

φ = π

3

ouφ = 2π − π

3

b) Na rotacao, o eixo de rotacao fica invariante

R

nxnynz

=

nxnynz

48

1

4

3 1√

6

1 3 −√

6

−√

6√

6 2

nxnynz

=

nxnynz

−1 1

√6

1 −1 −√

6

−√

6√

6 −2

nxnynz

= 0

−nx + ny +√

6nz = 0

−√

6nx +√

6ny − 2nz = 0

−nx + ny +√

6nz = 0

−nx + ny −√

6

3nz = 0

nz = 0

nx = ny

~n e um vetor unitarion2x + n2

y + n2z = 1

nx = ny =1√2

Entao

~n =

(1√2,

1√2, 0

)

49

momento angular - fma.if.usp.brfma.if.usp.br/~passos/momentoangular.pdf · momento angular 1 regras...

Documents