física 2 torque e momento angular - - centro de estudos … · 2015-11-11 · veja tabela. 4....

Física 2 – Atividade 3 -Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação - MHS

Torque e Momento Angular - Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori

1

Momentos de Inércia:

1. Determine o momento de inércia de um triângulo de

base b e altura h em relação:

(a) ao eixo x da base;

(b) ao eixo y.

22 2

06

2

h

x x x

corpo

b h y m m hI y dm I y dy I

b hh

2

2

6y y

corpo

m bI x dm I

l h ydA l dy

b h

2. Determine o momento polar de inércia de

um disco de raio r. Encontre também Ix e Iy.

2

2 2

2

0 0

r

o o

corpo

mI dm I d d

r

2 23

2

0 02

r

o o

m m rI d d I

r

2

4x y

m rI I

3. Determine o momento de inércia da figura

plana em relação a cada eixo coordenado. Encontre o

raio de giração: xx

Ik

m e

y

y

Ik

m

7x

bk

3

5y

ak

4. Encontre Ix, Iy e I0 em cada caso:

(a)

(b)



2

5. Determine o momento polar de inércia IO e

o raio de giração da figura plana com respeito ao centro

P.

6. Determine o momento polar de inércia IO e

o raio de giração da figura plana com respeito ao centro

O.

7. Aplique o teorema dos eixos paralelos ou

teorema de Steiner: 2

O GI I m OG

para encontrar o momento de inércia em relação aos

eixos indicados:

(a)

(b)

8. Encontre o momento de inércia da figura

composta com respeito ao eixo x.

9. Determine o momento de inércia com

respeito à um eixo perpendicular à extremidade de uma

barra de massa m e comprimento L.

10. Encontre o momento de inércia das

figuras (triângulo equilátero de lado a) e massa m em

relação ao eixo CC’. (passando pelo centro de massa

G=C).

(a) (b)

.



3

Torque e momento angular. Energia de rotação.

1. Uma casca cilíndrica oca de raio R e massa

M rola sem deslizar com uma velocidade vCM ao longo

de uma superfície plana. Qual a sua energia cinética?

Dado: 2 21 1

2 2cm cmK M v I

2. Velocidade de um ioiô. Um ioiô é feito

enrolando-se um fio diversas vezes em torno de um

cilindro de massa M e raio R. Mantém-se presa a

extremidade enquanto o cilindro é liberado sem

velocidade inicial. O fio se desenrola, mas não desliza

nem se dilata à medida que o cilindro cai e gira. Use

considerações de energia para achar a velocidade do

centro de massa vCM do cilindro sólido depois que ele

caiu a uma distância h.

3. Competição entre corpos girando. Em uma

demosntração durante a aula de física, o professor faz

uma “competição” de vários corpos rígidos redondos:

cicllindro oco, cilindro sólido, aro, esfera oca e esfera

sólida. Deixando-os rolar do alto de um plano inclinado,

qual a forma do corpo que alcança primeiro a parte

inferior ?

Dados: Conservação da energia mecânica:

1 1 2 2K U K U

Dica: 2

cmI c M R Veja tabela.

4. Aceleração de uma esfera rolando. Uma esfera

de bliche sólida rola sem deslizar para baixo de uma

rampa ao longo de uma guia. O ângulo de inclinação da

rampa em relação à horizontal é . Qual é a aceleração

da bola? Considere a bola uma esfera homogênea

sólida, desprezando seus orifícios.

5. Trabalho e potência no movimento de

rotação. Podemos escrever:

tandW F ds ds R d

tandW F R d dW d 2

1

W d

dW d

ddW I d dW I d

dt

ddW I d

dt

dW I d

2

1

W I d

2 2

2 1

1 1

2 2totW I I

dW d

dt dt

P

Um anúncio fazendo propaganda da potência

desenvolvida pelo motor de um automóvel afirma que o

motor desenvolve 1.49.105W para uma rotação de 6000

rpm. Qual é o torque desenvolvido pelo motor?

6. A hélice da turbina de um motor a jato possui

momento de inércia 2.5 kg.m² em torno do eixo de

rotação. Quando a turbina começa a girar, sua

velocidade angular em função do tempo é dada por 2 3400 t rad s

(a) Calcule o momento angular da hélice em função

do tempo e ache seu valor em t = 3.0 s.

(b) Determine o torque resultante que atua sobre a

hélice em função do tempo e calcule seu valor para t =

3.0 s.



4

7. Uma grandeza análoga ao momento linear p de

uma partícula é o momento angular, que representamos

por L . Definimos como: L r p

Se um corpo de 2 kg possui vetor posição dado por:

ˆˆ ˆ2 3 5r i j k m

E vetor velocidade:

ˆˆ ˆ3 4 2v i j k m s

Determine seu momento angula L .

8. Uma pedra de 2.00 kg possui uma

velocidade horizontal com modulo de 12.0 m/s quando

esta no ponto P na Figura. (a) Nesse instante, qual é o

modulo, a direção e o sentido do seu momento angular

em relação ao ponto O ? (b) Caso a única força que

atue sobre a pedra seja seu peso, qual é a taxa de

variação (módulo, direção e sentido) do momento

angular nesse instante ?

9. Um patinador girando. Podemos

considerar as mãos e os braços esticados para fora de

um patinador que se prepara para girar como uma barra

delgada cujo eixo de giro passa pelo seu centro de

gravidade (Figura 14). Quando suas mãos e braços se

aproximam do corpo e se cruzam em torno do corpo

para executar o giro, as mãos e os braços podem ser

considerados um cilindro oco com parede fina. A massa

total das mãos e dos braços e igual a 8.0 kg. Quando

esticadas para tora, a envergadura é de 1.8 m; quando

torcidas, elas formam um cilindro de raio igual a 25 cm.

O momento de inércia das parles restantes do corpo em

relação ao eixo de rotação é constante e igual a 0,40 kg

m². Se sua velocidade angular inicial é de 0,40 rev/s,

qual é sua velocidade angular final ?

10. Qualquer um pode ser bailarino. Um professor

de física acrobata está de pé sobre o centro de uma mesa

girante, mantendo seus braços estendidos

horizontalmente com um haltere de 5.0 kg em cada

mão.

Ele está girando em torno de um eixo vertical

completando uma volta a cada 2.0 s. Calcule a nova

velocidade angular do professor quando ele aproxima os

dois halteres do seu estômago e discuta como isso

modifica a sua energia cinética. Seu momento de

inércia (sem os halteres) é igual a 3.0 kg.m² quando seus

braços estão distendidos para fora, diminuindo para 2.2

kg.m² quando suas mãos estão próximas do seu

estômago. Os halteres estão inicialmente a uma

distância de 1.0 m do eixo e a distância final é igual a

0.20 m. Considere o halteres como partículas.

11. A figura mostra 2 discos, um deles é o volante

de um motor e o outro é um disco ligado a um eixo de

transmissão. Seus momentos de inércia são IA e IB,

respectivamente; inicialmente eles estão girando com a

mesma velocidade angular A e B, respectivamente. A

seguir empurramos os dois discos um contra o outro

aplicando forças que atuam ao longo do eixo, de modo

que sobre nenhum dos dois discos surge torque em

relação ao eixo. Os discos permanecem unidos um

contra o outro e atingem uma velocidade angular final

. Deduza uma expressão para .



5

12. No exemplo anterior, suponha que o volante

A tenha massa de 2.0 kg, um raio de 0.20 m e uma

velocidade angular inicial de 200 rad/s. Calcule a

velocidade angular comum final depois que os discos

ficam em contato. A energia cinética se conserva nesse

processo?

13. Momento angular em uma ação policial.

Uma porta de largura 1 m e massa de 15 kg é articulada

com dobradiças em um dos lados de modo que possa

girar sem atrito em torno de um eixo vertical. Ela

inicialmente não está aberta. Um policial dá um tiro

com uma bala de 10 g e velocidade de 400 m/s

exatamente no canto da porta. Calcule a velocidade

angular da porta imediatamente depois que a bala

penetra na porta. A energia cinética se conserva?

14. Determinar, em cada caso, o momento angular

para as seguintes situações:

(a) um carro de 1200 kg percorre no sentido

anti-horário um círculo com 20 m de raio com

velocidade de 15 m/s.

(b) o carro mencionado desloca-se com

velocidade ˆ15v m s i sobre a reta y = y0 =20m,

paralela ao eixo x.

(c) um disco, no plano xy, com raio de 20 m e a

massa de 1200 kg, girando a 0.75 rad/s em torno do seu

eixo, que coincide com o eixo z.

15. A máquina de Atwood tem dois corpos de

massa m1 e m2 ( sendo m1 maior que m2), ligados por um

cordel de massa desprezível que passa por uma polia

cujos rolamentos não oferecem atrito. A polia é um

disco uniforme, de massa M e raio R. O cordel não

escorrega na polia. Determinar a aceleração angular da

polia e a aceleração dos dois corpos pela equação:

,

1

N

i ext

i

dL

dt

16. Um disco gira em torno de um eixo sem atrito,

que coincide com o respectivo eixo de simetria, com

velocidade angular inicial i, como mostra a figura. O

seu momento de inércia em relação ao eixo é I1. Num

certo instante, o disco cai sobre o outro, de momento de

inércia I2, montado sobre o mesmo eixo. Graças ao

atrito entre as duas superfícies em contato, os dois

discos atingem uma velocidade angular comum aos

dois, f. Calcular essa velocidade angular.

17. Um carrossel com 2 m de raio e 500 kg.m2 de

momento de inércia gira em torno de seu eixo, sem

atrito, completando uma volta a cada 5 s. Uma criança,

com 25 kg, está inicialmente no centro do carrossel e

depois caminha até a borda. Calcular a velocidade

angular que terá, então, o carrossel.

18. A criança mencionada no exemplo anterior

corre com velocidade 2.5 m/s sobre uma tangente à

beira da plataforma do carrossel, que está imóvel, e pula

para a plataforma. Calcular a velocidade angular final

da criança no carrossel.



6

19. Uma partícula de massa m descreve, com

velocidade v0, um círculo de raio r0 sobre a superfície de

uma mesa horizontal sem atrito. A partícula está presa a

um fio que passa por um buraco na mesa, no centro do

círculo. O fio é lentamente puxado para baixo, de modo

que a partícula acaba descrevendo um círculo de raio rf.

(a) Calcular a velocidade final em termos de r0, v0 e

rf.

(b) Calcular a tensão T no fio quando a partícula

descreve um círculo de raio rf em termos de m, r e do

momento angular 0 0 0L m v r .

(c) Calcule o trabalho feito pela partícula pela tensão

T, integrando T dr de r0 até rf. Dar a resposta em

termos de r0, rf e L0.

20. Uma barra de massa M e comprimento d pode

girar em torno de um eixo fixo a uma de suas

extremidades. Uma bola de massa plástica, com massa

m e velocidade v, atinge a barra a uma distância x do

eixo e fica grudada na barra.

Achar a razão entre a energia final e a energia inicial

do sistema.

Momento de inércia de figuras:



7

Lista e Trabalho:

1. Aplica-se uma força de 18 N a uma distância

rs = 7 cm do eixo central da catraca traseira de uma

bicicleta. Considere a roda de momento de inércia I =

M.R2 de raio R = 35 cm e massa M = 2.4 kg. Qual a

velocidade angular da roda após 5 s?

2. Uma haste de comprimento L e massa M está

pivotada em sua extremidade esquerda. O engaste está

ausente de atrito. Encontre: (a) a aceleração angular

imediatamente a haste ser solta e (b) a força FA exercida

no pivô nesse instante.

R: 3 12 4

g

ALF Mg

3. Um objeto de massa m está ligado por um fio

a uma polia que possui momento de inércia I e raio R. O

fio se movimenta sem se deslizar pela polia e não há

atrito. Encontre a tensão no fio e a aceleração do objeto.

R: 2

211

m g gT a

Im R

m RI

4. Dois blocos são conectados por uma corda e

passam por uma polia de raio R e momento de inércia I.

O bloco de massa m1 desliza sem atrito sobre uma

superfície horizontal; o bloco de massa m2 está

suspenso. Encontre a aceleração dos blocos e as tensões

T1 e T2 assumindo que a corda não desliza sobre a polia.

R: 1 22 2

1 2 1 2 1 22 2 2

1 1 2 2

Im

m m RI I I

m m m m m mR R R

a g T m g T m g

5. O máximo torque produzido por um motor

8.0-L V10 de um Dodge Viper 2002 é 675 N.m a 3700

rev/min. Encontre a potência desse carro operando nas

condições de máximo torque. (R: 262 kW).

6. A máxima potência produzida por um Dodge

Viper é 450 hp a 5200 ver/min. Qual é o torque do

motor quando operando na máxima potência?

(R: 616 N.m)

7. Uma bola de raio 11 cm e massa M = 7.2 kg

está rolando sem se deslizar sobre um plano horizontal

com velocidade de 2 m/s. Se ela sobre o plano inclinado

sem se deslizar e para a uma altura h, determine a altura

h atingida.

R:

27

10

ivh

g

8. Um taco atinge horizontalmente uma esfera

a uma distância x de seu centro. Encontre o valor de x

para o qual a bola vai rolar sem se deslizar. Expresse

sua resposta em termos do raio R da bola.



8

R:2

5

Rx

9. Uma bola sólida de massa m e raio R rola

sem deslizar-se sobre um plano inclinado de um ângulo

com a horizontal. Determine a aceleração do centro de

massa e a força de atrito.

R: 5 2

7 7cm ata g sen F m g sen

10. Uma esfera sólida, um cilindro sólido e um

aro são abandonados de uma altura h de um plano

inclinado. Determine a velocidade com que chegam ao

solo. (para cada objeto).

11. Uma máquina de Atwood possui duas

massas m1 = 500 g e m2 = 510 g conectadas por uma

corda de massa desprezível que passa por uma polia

(um disco uniforme de massa 50 g e raio 4 cm). A corda

não se desliza sobre a polia. Encontre a aceleração dos

objetos e as tensões que suportam as massas,

12. Uma máquina de Atwood possui duas

massas m1 e m2 (m1 > m2) conectadas por um fio. A

polia é um disco uniforme de massa M e raio R. O fio

não desliza sobre a polia. Aplique a relação:

i

i

dL

dt para o sistema constituído pelos dois

blocos, a polia e o fio para encontrar a aceleração

angular da polia e a aceleração linear dos blocos.

13. Encontre o momento angular L r p na

origem de um carro de massa m = 1200 kg que se move

em um círculo de raio 20 m com velocidade de 15 m/s.

O círculo está no plano xy, centrado na origem. Quando

visto de um ponto no eixo z o carro se move no sentido

anti-horário.

14. Um disco está girando com velocidade

angular inicial i em um sistema sem atrito sobre um

eixo de simetria. O momento de inércia em relação a

esse eixo é I1. Ela cai sobre um outro disco de momento

de inércia I2 que está inicialmente em repouso sobre o

mesmo eixo. Devido ao atrito, elas giram juntos.

Determine a velocidade angular comum dos dois discos.

(Aplicação: Os discos girando no eixo de

transmissão de um caminhão fazem colisões

inelásticas.)

15. Um carrossel com 2 m de raio e 500 kg.m2

de momento de inércia gira em torno de seu eixo, sem

atrito, completando uma volta a cada 5 s. Uma criança,

com 25 kg, está inicialmente no centro do carrossel e

depois caminha até a borda. Calcular a velocidade

angular que terá, então, o carrossel.



9

Trabalho e potência no movimento de rotação Podemos escrever:

tandW F ds ds R d

tandW F R d

dW d

2

1

W d

Podemos desenvolver:

dW d

ddW I d dW I d

dt

ddW I d

dt

dW I d

2

1

W I d

2 2

2 1

1 1

2 2totW I I

dW d

dt dt

P

16. Um anúncio fazendo propaganda da

potência desenvolvida pelo motor de um

automóvel afirma que o motor desenvolve

1.49.105W para uma rotação de 6000 rpm. Qual

é o torque desenvolvido pelo motor?

Solução:

PP

60006000

60f rpm Hz

100f Hz

2 2 100 200rad

fs

51.49 10

200

237N m 17. Um motor elétrico desenvolve um torque

constante de = 10 N.m sobre o esmeril montado no

seu eixo motor. O momento de inércia é I = 2.0 kg.m².

Sabendo que o sistema começa a se mover a partir do

repouso, calcule o trabalho realizado pelo motor em 8.0

s e a energia cinética no instante final. Qual a potência

média desenvolvida pelo motor?

Solução:

II

2

10

2

rad

s

t

5 8 40rad

s

2 21 12 40 1600

2 2K I K K J

2 21 15 8 160

2 2t rad

10 160 1600W W W J 1600

2008

WP P P W

t

A potência instantânea P = não é constante,

porque cresce continuamente. Porém podemos

calcular o trabalho total por: 2 2

1 1

t t

t t

W P dt W dt

2

1

8

0

10 5

t

t

W t dt tdt

82

0

50 16002

t

t

tW W J



10

MHS – Movimento Harmônico Simples

Pêndulo Simples e Energia Mecânica

1. A corda de um piano emite um dó médio

vibrando com uma freqüência primária igual a 220 Hz.

(a) Calcule o período e a freqüência angular,

(b) Calcule a freqüência angular de um soprano

emitindo um "dó alto", duas oitavas acima, que é igual a

quatro vezes a freqüência da corda do piano.

2. Um corpo é deslocado 0,120 m da sua posição de

equilíbrio e libertado com velocidade inicial igual a

zero. Depois de 0,800 s seu deslocamento é de 0,120 m

no lado oposto e ultrapassou uma vez a posição de

equilíbrio durante este intervalo. Ache:

(a) a amplitude, (b) o período, (c) a freqüência.

3. Ao projetar uma estrutura em uma região

propensa à ocorrência de terremotos, qual deve ser a

relação entre a freqüência da estrutura e a freqüência

típica de um terremoto? Por quê? A estrutura deve

possuir um amortecimento grande 01 pequeno?

4. Um corpo de massa desconhecida é ligado a uma

mola k cuja constante é igual a 120 N/m. Verifica-se

que ele oscila com um com uma freqüência igual a 6,00

Ache:

(a) o período, (b) a freqüência angular, (c) a massa

do corpo.

5. Um oscilador harmônico é feito usando-se um

bloco sem atrito de 0,600 kg e uma mola ideal cuja

constante é desconhecida. Verifica-se que ele oscila

com um período igual a 0,150 s. Ache o valor da

constante da mola.

6. Temos um oscilador harmônico possui massa de

0,500 kg e uma mola ideal cuja constante é igual a 140

N/m. Ache (a) o período, (b) a freqüência, (c) a

freqüência angular.

7. A corda de um violão vibra com uma freqüência

igual a 40 Hz. Um ponto em seu centro se move com

MHS com amplitude igual a 3,00 mm e um ângulo de

fase igual a zero.

(a) Escreva uma equação para a posição do centro

da corda em função do tempo;

(b) Quais são os valores máximos dos módulos da

velocidade e da aceleração do centro da corda? c) A

derivada da aceleração em relação ao tempo pode ser

chamada de "arrancada". Escreva uma equação para a

arrancada do centro da corda em função do tempo e

calcule o valor máximo do módulo da arrancada.

8. Um bloco de 2,00 kg sem atrito está presa a uma

mola leal cuja constante é igual a 300 N/m. Para t = O a

mola não está imprimida nem esticada e o bloco se

move no sentido negativo com 12,0 m/s. Ache:

(a) a amplitude, (b) o ângulo de fase. (Escreva uma

equação para a posição em função do tempo).

9. Repita o Exercício anterior, porém suponha que

para t = 0s o bloco possua velocidade -4,00 m/s e

deslocamento igual+0,200 m.

10. A extremidade da agulha de uma máquina de

costura se move com MHS ao longo de um eixo Ox com

uma freqüência igual a 2,5 Hz. Para t = 0 os

componentes da posição e da velocidade são +1,1 cm e -

15 cm/s.

(a) Ache o componente da aceleração da agulha

para t = 0.

(b) Escreva equações para os imponentes da

posição, da velocidade e da aceleração do ponto

considerado em função do tempo.

11.

x

Escreva as equações de x(t), v(t) e a(t).

12. Um certo pêndulo simples possui na Terra um

período igual a l,60 s. Qual é o período na superfície de

Marte onde g = 3,71 m/s2?

13. Escreva a equação diferencial do pêndulo

simples da figura e sua solução (t).



11

14.

Calcule o período, a freqüência angular para um

relógio típico.

15. MHS no motor de um carro. O movimento do

pistão no interior do motor de um carro é

aproximadamente um MHS. (a) Sabendo que o percurso

(o dobro da amplitude) é igual a 0,100 m e que o motor

gira com 3500 rev/min, calcule a aceleração do pistão

no ponto final do percurso, (b) Sabendo que a massa do

pistão é igual a 0,450 kg, qual é a força resultante

exercida sobre ele neste ponto? (c) Calcule a velocidade

e a energia cinética do pistão no ponto médio do

percurso, (d) Qual é a potência média necessária para

acelerar o pistão do repouso até a velocidade calculada

no item (c)? e) Se o motor gira com 7000 rev/min, quais

são as respostas das partes (b), (c) e (d)?

16. Um bloco de 2,00 kg sem atrito está presa a

uma mola leal cuja constante é igual a 300 N/m. Para t

= O a mola não está imprimida nem esticada e o bloco

se move no sentido negativo com 12,0 m/s. Ache:

(a) a amplitude,

(b) o ângulo de fase

(c) Escreva uma equação para a posição em função

do tempo. (d) Escreva v(t) e a(t) em função do tempo.

2

2 00

0

m

vx x

;

0

0

varctg

x

;

0mx t x sen t ; k

m ;

2T

17.

(a) Encontre as expressões para a posição,

velocidade e aceleração instantânea.



12

(b) Assumindo a massa do corpo 1 kg encontre

a energia cinética e potencial elástica para x = A e x = A

/2.

(c) Qual o valor da energia mecânica?

(d) Esboce os gráficos de Ec(t), Ek(t) e Em(t)

usando o programa disponível.

Oscilações amortecidas

1. A figura mostra um tipo de oscilação amortecida

e as curvas x(t) para dois casos de subamortecimento.

Discuta quais deles possui maior constante de

amortecimento c.

2.

Dados: 0

k

m ;

02cc m

Amortecimento supercrítico c > cc :

tt

BeAetx 21)(

; Com: 2

2

1,2 02 2

c c

m m

0 2 0

2 1

x vA

; 0 0 1

2 1

v xB

Amortecimento crítico c = cc : t

eBtAtx 0)()(

; 0A x ;

0 0 0B v x

Amortecimento subcrítico c < cc

2( ) cosc

tmx t e A t Bsen t

ou

2( ) ( )c

tm

mx t x e sen t

2

0 1c

cq

c

2

0 1c

cq

c

;

0

0 0

2

2

m xarctg

mv cx

;

2

2 0 0

0

2

2m

mv cxx x

m

Chamamos de período da vibração

amortecida: 2

Discuta os casos possíveis de amortecimento em função

da constante de amortecimento crítica cc e construa os

gráficos de posição x(t), velocidade v(t) e aceleração

a(t) para os seguintes osciladores livres, através do

programa do site www.claudio.sartori.nom.br:

http://www.claudio.sartori.nom.br/



13

(i) c = 0. i k (N/m) m(kg) x(t=0)

(m)

v(t=0)

(m/s)

1 400 1 0,50 1,00

2 1600 25 0,05 0,50

3 200 5 0,01 0,35

4 5000 12 0,25 0,50

Para cada caso, encontre:

(a) A freqüência f, a freqüência angular 0 ,o

período T.

(b) A velocidade máxima e a aceleração

máxima.

Construa os gráficos de posição x(t), velocidade

v(t) e aceleração a(t) para os seguintes amortecedores:

k (N

/m)

m(k

g)

c

(N.s

/m)

x(t=

0)=

x 0

(m)

v(t=

0)=

v 0

(m

/s)

1 400 1 8 0,50 1,00

2 400 1 40 0,50 1,00

3 400 1 80 0,50 1,00

4 1600 25 65 0,05 0,50

5 200 5 1200 0,01 0,35

6 5000 12 356 0,25 0,50

Para cada caso, encontre:

(a) A freqüência f, a freqüência angular 0 ,o

período T.

(b) A velocidade máxima e a aceleração

máxima.

3. A figura mostra a ponte de Tacoma

Narrows, destruída 4 meses e 6 dias após sua

inauguração, devido à vibrações de torção e

com freqüência de ressonância de

aproximadamente 0.2 Hz.

Faça uma pesquisa sobre esse caso na

internet comentando sobre a aplicação de

vibrações forçadas.

física 2 torque e momento angular - - centro de estudos … · 2015-11-11 · veja tabela. 4....

Documents