Física I

Energia de rotação

e o

momento de inércia

Profs.: Camilla Codeço e Marcello Barbosa

Coordenação: Malena Hor-Meyll e Thereza Paiva

Cadeira giratória – momentos de inércia e angular

Objetivos da aula

• Velocidade e aceleração angulares

• Funções horárias e Torricelli de rotação

• Energia de rotação e momento de inércia

• Momentos de inércia de vários corpos rígidos

• Momento angular e sua conservação

Velocidade e aceleração angulares vetoriais

Velocidade angular – MÓDULOPara um deslocamento tangencial

∆  𝑠 = 𝑟  ∆ 𝜃 𝑟∆  𝜃

a velocidade tangente média é

𝑣 =  ∆  𝑠∆  𝑡

= 𝑟 ∆  𝜃∆  𝑡

𝜔 =2𝜋𝑇

= 2𝜋𝑓 =𝑟𝑎𝑑

𝑠 

Definimos a velocidade ANGULAR instantânea

𝜔 = lim∆𝑡→0

∆  𝜃∆  𝑡

=𝑑 𝜃𝑑 𝑡

em unidades de

→𝑣 (𝑡) = ( ± )𝑣(𝑡)�̂�(𝑡)→𝜔 (𝑡) = →𝑟 × →𝑣 (𝑡)

�̂� = �̂� × �̂�

→𝜔 (𝑡) = ± 𝜔(𝑡)�̂�→𝑟 = 𝑟 �̂�

�̂� = (cos𝜃, sin𝜃, 0)�̂� = (−sin𝜃, cos𝜃, 0)

�̂� = (0,0, 1)

Definindo os unitários

𝜔(𝑡) =𝑣𝑟

= 𝜔0

Com estas definições anti-horário (+) ou horário (-)

Velocidade angular – DIREÇÃO

Velocidade angular – SENTIDO

O movimento circular uniforme

→𝜔

𝑡

𝜔(𝑡) = 𝜔0

𝜔(𝑡)

𝑡

𝜃(𝑡) = 𝜃0 + 𝜔0𝑡𝜃(𝑡)

𝛼(𝑡)

𝑡

MCU - Movimento Circular Uniformeme em 𝜃(𝑡)

aceleração angular é NULA no MCUvelocidade angular é CONSTANTE no MCU

T

2π

2T 3T

o ângulo cresce LINEARMENTE até 2π e PERIODICAMENTE a cada período T

Aceleração angular

Aceleração angular

a velocidade angular VARIA com o tempo e nos faz definir a ACELERAÇÃO ANGULAR

 ∆ 𝜔∆  𝑡

≠ 0

Na presença de aceleração tangencial

𝛼 = lim∆𝑡→0

∆  𝜔∆  𝑡

=𝑑 𝜔𝑑 𝑡

=𝑑2 𝜃𝑑 𝑡2

𝛼 =𝑟𝑎𝑑𝑠2

 em unidades de

Aceleração angular – MÓDULO, DIREÇÃO e SENTIDO

𝑡

𝛼(𝑡) = 𝛼0

𝑡

𝜃(𝑡) = 𝜃0 + 𝜔0𝑡 +12

𝛼0𝑡2

𝑡

MCUV - Movimento Circular Uniformeme Variado

aceleração angular é CONSTANTE no MCUV

velocidade angular AUMENTA LINEARMENTE no MCUV

o ângulo cresce QUADRATICAMENTE

no MCUV

𝜔(𝑡) = 𝜔0 + 𝛼0𝑡

Torricelli Torricelli

O momento de inércia e o momento angular

Energia cinética de rotação de corpos rígidosPara o elemento de massa em P

𝐾𝑃 =12

𝑚𝑃𝑣2𝑃

Somando sobre todos os possíveis P’s

𝐾 = ∑𝑖

12

𝑚𝑖𝑣2𝑖

Como a velocidade angular é a MESMA

𝐾 = ∑𝑖

12

𝑚𝑖𝑟2𝑖 𝜔2 =

12 (∑

𝑖

𝑚𝑖𝑟2𝑖 )𝜔2

Energia cinética de rotação e o momento de inérciaDefinimos o momento de inércia

De modo que a energia cinética fica

𝐾 =12

𝐼𝜔2

𝐼 = ∑𝑖

𝑚𝑖𝑟2𝑖

O momento de inércia faz, para rotações, o papel análogo da massa para translações

𝐼

Exemplo – reduzindo o por rotações2𝑔hAntes

𝐾𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = 0𝑈𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = 𝑚𝑔h

Depois

𝐾𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 =12

𝑚𝑣2 +12

𝐼𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝜔2

𝑈𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 = 0

𝐼𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 =12

𝑀𝑅2

Finalmente

𝜔 =𝑣𝑅e

𝑣 =2𝑔h

1 + 𝑀2𝑚

pois

O momento angular

Na ausência de forças externas

→𝑝 = 𝑚 →𝑣 →𝐿 = 𝐼 →𝜔

→𝐿 = 𝐼 →𝜔

é conservado !!!𝑑→𝑝𝑑𝑡

= 0

Na ausência de TORQUES externos

é conservado !!!𝑑→𝐿

𝑑𝑡= 0

𝐾𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 =𝑝2

2𝑚

→𝑝 →𝐿

𝐾𝑟𝑜𝑡 =𝐿2

2𝐼

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Volte ao slide “Objetivos da aula” e avalie se você compreendeu os conceitos. Por exemplo, pense se você é capaz de falar sobre eles ou explicá-los para uma outra pessoa.

Pense em perguntas sobre esses conceitos e as tragam para a aula

Não entendeu algo ou tudo? Calma! Assista o vídeo novamente, leia o livro texto e traga suas dúvidas para a aula.