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Física 1Mecânica

Sandra Amato

Instituto de Física - UFRJ

Momento Linear

01/10/2014

(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 1 / 33

effete

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Outline

1 Momento Linear


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Momento Linear

No estudo de sistemas de partículas, uma grandeza que serábastante útil para descrever o movimento é o Momento Linear.Essa é uma grandeza extremamente importante pois em algumascircunstâncias ela é conservada. Junto com a Lei de Conservaçãode Energia, a Lei de Conservação do Momento Linear ajuda adescrever uma quantidade enorme de processos físicos, já tendolevado a grandes descobertas e invenções.


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Momento Linear

O Momento Linear (p) de uma partícula é definido por:

p m vPodemos expressar a Segunda Lei de Newton para umapartícula em termos de p:

F m a mdvdt

d mvdt

dpdt

Segunda Lei de Newton

Fdpdt

A Resultante das Forças que atuam sobre uma partícula é igual àtaxa de variação do momento linear


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Momento Linear

p m vVemos que p é um vetor que tem a mesma direção e sentido de v‹ tangente à trajetória.

Esta equação pode ser escrita em 3 componentes:

px mvx py mvy pz mvz

Sua unidade no SI é kg.m/s(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 5 / 33

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Momento Linear de um sistema de partículas

O momento linear total de um sistema de partículas é definidocomo:

P p1 p2 pn

P m1v1 m2v2 mnvn

P M VCM

Derivando esta equação:

dPdt

M ACM


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P p1 p2 pn

P m1v1 m2v2 mnvn

P M VCM


dPdt

M ACM


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P p1 p2 pn

P m1v1 m2v2 mnvn

P M VCM


dPdt

M ACM


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Conservação do Momento Linear

dPdt

Fext

O momento linear de um sistema se conserva quandoa soma das forças externas que atuam sobre ele fornulaNote que não é necessário que não haja forças externas, acondição é que a soma se anule.

Assim como a Lei de Conservação da Energia, a Lei deConservação do Momento Linear é mais geral que a MecânicaNewtoniana, ela continua válida na física de partículassubatômicas (Mecânica Quântica) e a altas velocidades (Teoriada Relatividade).


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dPdt

Fext

O momento linear de um sistema se conserva quandoa soma das forças externas que atuam sobre ele fornulaNote que não é necessário que não haja forças externas, acondição é que a soma se anule.

Assim como a Lei de Conservação da Energia, a Lei deConservação do Momento Linear é mais geral que a MecânicaNewtoniana, ela continua válida na física de partículassubatômicas (Mecânica Quântica) e a altas velocidades (Teoriada Relatividade).


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dPdt

Fext P M VCM

Vemos que se Fext 0 ‹ P é constante ‹ VCM constante:

Se Fext 0 o CM permanece em repouso ou MRU.

Essa é uma equação vetorial, portanto pode ser decomposta em 3componentes:

dPx

dtFext

xdPy

dtFext

ydPz

dtFext

z

Vemos que se apenas uma das componentes da resultante dasforças se anular, teremos a conservação do momento linear nessadireção correspondente e não nas outras.


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Aplicação

Um par de partículas de massas m1 e m2 ligadas por uma mola écolocado sobre uma superfície horizontal. Inicialmente o sistemaé mantido em repouso com a mola comprimida. O que acontecequando soltamos as partículas?

a) na ausência de atrito. Qual se moverá com maior velocidade?A energia mecânica se conserva?b) com coeficiente de atrito igual para os dois. Consideremassas iguais e massas diferentes.


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a) Na ausência de atrito, as forças externas são o peso e anormal, que se anulam: P se conserva.

Pantes Pdepois 0 m1v1 m2v2

v1m2

m1v2

se m1 m2 v1 v2 ‹ a partícula de maior massa se movecom menor velocidade.

Como não há atrito (força dissipativa) a energia mecânica seconserva e o sistema permanecerá nesse movimento oscilatórioindefinidamente, com o CM sempre em repouso.


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b) As forças de atrito valem m1g e m2g e tem sentidosopostos.

Se as massas são iguais Fext 0 e ‹ P se conserva, o CMcontinua parado, e v1 v2

Se m1 m2 ‹ Fext 0 ‹ P não se conserva.Fext MACM o centro de massa passa a se mover.

Como há atrito (força dissipativa) a energia mecânica não seconserva e a amplitude do movimento oscilatório irá diminuir atéo sistema parar.


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Exemplo

(Ex. Halliday) Um astronauta de massa ma está flutuandodentro de uma nave espacial. Ele quer se mover, e pra isso lançaseu casaco, de massa mc com velocidade vc em uma certadireção. Qual será a sua velocidade? Suponhama 70kg mc 1kg vc 20m s . Como varia sua energiacinética?


aheadToothaches

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Tenos que is collar mm like wondered do convenient :

x ao longo da tangent do MCU e positive no

Senti do em que o case - e'

atinado .

A resultant ohas for qas extends some o sistema

astronauts + casaco I perpendicular ao moviweuto

E FIT =o ⇒Pse e- rate ⇒ Van = ate = 0

0 = Ma Va + me Va

Va = - M= We = - 1×20 = 0.3 m/s

70Ma

Como 0 astronauts I bem mais Massimo que o

casaeo,

siege veloeiolade e- bem Menor

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Recuo de Arma de fogo

Um canhão de massa M dispara uma bala de massa m nadireção horizontal com velocidade v em relação ao canhão. Ocanhão está montado de forma a que possa recuar livremente.Qual a velocidade V de recuo do canhão em relação à Terra?Suponha m 72kg M 1300kg v 55m s


mMV Ted era

snoozes


considering o si stems contra t bole

÷Tse [ E 't=o Pm se comma

Pi =O Pg = MV + m Vbt

% = Vbc + Vct = V + ✓

0 = MV + m ( vtv )

V = - mv.

Mt in

✓ = - 2.9 m / b

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Barco Pessoa

Um remador de massa m , sentado na popa de uma canoa demassa M e comprimento L conseguiu trazê-la para uma posiçãoque está parada perpendicularmente à margem de um lago, quenesse ponto forma um barranco, com a proa encostada numaestaca, onde o remador quer amarrar a canoa. Ele se levanta ecaminha até a proa, o que leva a canoa a afastar-se da margem.Chegando à proa, ele consegue, esticando o braço, alcançar atéuma distância de 80cm. Ele consegue amarrar o barco? Se não,quanto falta?Suponha m 75kg M 150kg L 3m



E FELT= o => Pse se eonswa

,Van se cover -

ra . Van to ⇒ Xcn =ate

.

M

mm= Xm = M 42 + ml0

Xcm-

m ! M + m.rex

4 × Xcn = md + M ( 42 td )d m

-

Mt n

ignalomolo os do's

Myz+ m L = nd + M¥+ Ma

D= in L=

75×3 =

1m⇐

- M 150 +75

⇒ win consign ,faltan so on

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Barco Pessoa(s)

Duas pessoas, de massas m1 e m2 estão em um barco de massaM , que flutua em um lago de águas tranquilas. A primeira estáremando no centro e a outra na proa, a uma distância d docentro. Depois de um tempo elas trocam de lugar. De quanto obarco se deslocará? Suponham1 80kg m2 120kg M 60kg d 2m



m , MZ

tmz M (

n -=\an = Ma 0 t Mix Of M2

&/M+m , tmz

Xcn = M se t mz N + mi (d+~)/M+m

, + mz

Mzd = (M tmz t m , ) a + mid

R = MZ -

if d= 0.308 -

M + ml + mi

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Um canhão montado sobre uma carreta apontado em umadireção que faz um ângulo de 30 com a horizontal, atira umabala de 50kg, cuja velocidade na boca do canhão é de 300m/s. Amassa total do canhão e da carreta é de 5 toneladas.a) Calcule a velocidade de recuo inicial da carretab) Se o coeficiente de atrito cinético é 0,7, de que distância acarreta recua?



. 0=300 Mb = 50kgOi .

Vb = 30 nuts Me = 5 × 103 kg

E. Feet= 0 = > Pm se conserve

I

them se conserve = > Xeon = 0

0 = Mb Vbse + Me Ven

Ven = - Mb Tba= - 50 × 300 cos 30

= - 2.com/s-e 5 × 103

b) he = 0.7 fat =µ .N = Me me g

Wfat = A K

- fat d = 0 - 12 me VE2

d = 2- = 0 .

48 me

2 a 10×0.7

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(Hal 9.39) Uma caldeira explode, partindo-se em três pedaços.Dois pedacos, de massas iguais, são arremessados em trajetóriasperpendiculares entre si, com a mesma velocidade de 30m/s. Oterceiro pedaço tem uma massa de três vezes a de um dos outrospedaços. Qual a sua velocidade logo após a explosão?



on

3miPants = 0 se comma

€1m 30 mls

- -

- - pois E Fat =othou

, ,in a :

O =-3m Nn + 30 -

Use = 10 m/s

in

y :

o =3m Vy -

30 in

Vy = 10 -Is

D= 450 : o tennis peeledfez - ain go on e 350 can falter

- dos autos dais .

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(Hal 9. 43) Uma bala de 3,5g é disparada horizontalmente contradois blocos que se encontram em repouso em uma superfícieplana sem atrito. A bala atravessa o primeiro bloco, de massa1,2kg e fica encravada no segundo bloco de massa 1,8kg. Comisso, os blocos adquirem velocidade de 0,63m/s e 1,4m/srespectivamente. Desprezando a massa removida do primeirobloco pela bala, determine:a) a velocidade da bala após sair do primeiro blocob) a velocidade inicial da bala.



m M, Mz @

M = 3.5T Mz = 1,8kgMe = 1,2kg Vn , = 0.63Mt

-- > Vmz = 1,6 mA

�1��2�

20 m✓bn = M, Vrt m Vbz

- > = - >

�3� @ �3�

MY+m✓bz=MYV , +(m+MDuz

Vbz =3.5×153+1.8

× p .

4 = 721

in3.5×10-3

b) Vs , = MnVrtm✓= =937 - Is

m

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(Hal 9.20) Um projétil é disparado por um canhão com umavelocidade inicial de 20m/s. O ângulo de disparo é 60 comrelação à horizontal. Quando chega ao ponto mais alto datrajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massasiguais. Um dos fragmentos, cuja velocidade imediatamente apósa explosão é zero, cai verticalmente. A que distância do canhão ooutro fragmento atinge o solo, supondo que o terreno seja plano ea resistência do ar possa ser desprezada.


A free que age so bn o cm ohmante to do o tempo e- a forge

gravitational .

New ease particular ,em que

en grenade explode no pronto

me's alto, ¥ mm fog unto can

' perpendicular mute, use

µ fmmto aims memeta de do X an gas isle entire -

chase Como as uses

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1.5 Xon .

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mailing .

Nahma, ✓y=o = > 0= Voy - ft ⇒

tI2°G== 1.77 s

9.8

X= Xo + Vox Zth = 20 sen 60 × 2×1.77 = 35.4

° whole fragments wins a 35.4 + 35T =53.1 -

2


To = so cos so I + - son 60 j - 1 s

innovate went antes e depois o mouth Le

conserveem se i

a m + mvk ⇒ Uk

= 2 vie-

F.Zm Use = m×O

/-

t , in = 20 - Is

/ €my :O = no +mvj⇒ viaMyif . pl m : x= se

,+ vkt y=

yy,

- ±gt2precisanos encounter z e yo .

Des - evo °

movimento da granola ants don exploresNo ports wais alto if =o

if = Voy - gt ⇒ 0 = so an Go - 9.8 t ⇒ t= 1.771

o

x,

=

Kitbat → x

, = to × 1.77 = 17.7 -

y , =#'Ivoyt - tzg th = 15.3 -

>n= 53.1in

voltamdo -

as of . p/m :n= i 7.7 twt -

tfi 15.3 - tgE2= ) t -- 1.76 s

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(Hal 9.18) Deixa-se cair uma pedra em t 0. Uma segundapedra, com uma massa duas vezes maior que a da primeira, élargada do mesmo ponto em t 100ms.(a) Qual a posição do CM das duas pedras em t 300ms?Suponha que nenhuma das duas pedras chegou ao chão.b) Qual a velocidade do CM do sistema nesse momento?


Escreva a equação de movimento do CM e da velocidade do CM em função do tempo

•-Eme.a-t-fgggog3t3#ggsgs3-h←

•


¥02 m m I'm = [ Feet

3 nihon = . 3mg J

on TAin = - gj Jin = In - gtjIn = I + It - ÷ g Ej

T.

?Yom

=Yiz+Y2÷=Yjn#Yi = - £gt2 = - ztq ( ioo

×i53)2= - Eg 152

t.hn = - f of 152 = - 0.018

in n

Join = m.iii.ms#_=mI >= -it

h , + m 2 3 m 3

v, = - get = - grooms

3= . g , , .

)

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(Hal 9.15) Um homem de massa m está pendurado em umaescada de corda presa a um balão de massa M . O balão estáparado em relação ao solo.a) Se o homem começa a subir a escada com velocidade v emrelação ao à escada, em que direção e com que velocidade (emrelação à Terra) o balão vai se mover?b) Qual será o movimento depois que o balão parar de subir?


By


[ Feet= o ⇒ Fate

,Tin ate

Von0 = M ✓ + m Vu , Vnt = Vue + Vet

v V

M V = - in Vut = - MV

-

m ✓

V = - m V- ( pl bonito )

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a b C

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a) 9 cm b) 8 cm c) 5 cm d) 10 cm e) 6 cm

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