1/ 38

Física 1Mecânica

Sandra Amato

Instituto de Física - UFRJ

Informações GeraisVetores

14/03/2018

(Vetores) Física 1 14/03/2018 1 / 36

2/ 38

Outline

1 Informações Gerais do curso

2 Introdução

3 Vetores

(Vetores) Física 1 14/03/2018 2 / 36

3/ 38

Informações Gerais do curso

Professora: Sandra Amato, sandra@if.ufrj.br, sala A-318Coordenadores: Bruno de Paula e Rodrigo Sacramento –fisica1@if.ufrj.br

Site do Curso: http://fisica1.if.ufrj.brCronograma, ementa, turmas, monitoria, lista de exercícios,

guia do estudante, salas de prova e Avisos Importantes

Livros-texto: M. NussenzveigSears & Zemansky, Young & Freedman

(Vetores) Física 1 14/03/2018 3 / 36

4/ 38(Vetores) Física 1 14/03/2018 4 / 36

5/ 38

Bibliografia

Física I - MecânicaSears & Zemansky, Young & Freedman - 12a. EdiçãoCurso de Física Básica 1 - MecânicaH. Moysés Nussenzweig - Ed. Edgar Blücher LTDAFundamentos de Física - Volume 1 - MecânicaHalliday-Resnick-Walker8a. Edição - LTC Grupo GENFísica - Um curso universitário - Volume 1 - MecânicaMarcelo Alonso & Edward J. Finn - Ed. Edgar BlücherFísica 1Halliday-Resnick - Krane4a. Edição - LTC

(Vetores) Física 1 14/03/2018 5 / 36

6/ 38

Critério de Avaliação

Três Provas – P1, P2 e P3 Obrigatórias.Questões de Múltipla escolha e discursivas.Realizadas de 17:15 às 19:15Se faltar a uma delas, a segunda chamada (SC) substitui essanota. Se faltar a mais de uma, reprovado com média 0,0Ponto Extra (PE) na média: 3 testes opcionais (TA1, TA2,TA3) realizados no AVA (TA) INSCREVAM-SE.PE = TA1 + TA2 + TA3 pode valer até 0,3 na média.Média final:

MFP1 P2 2 P3

4PE

Se MF 5,0 : APROVADOSe MF 5 0 : REPROVADOPresença obrigatória em 75% do curso (7 faltas)

(Vetores) Física 1 14/03/2018 6 / 36

7/ 38

Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA)

Plataforma moodle:http://ambientevirtual.nce.ufrj.br/Siga as instruções do site para se cadastrar.Além dos testes, possui informações importantes:Cronograma, avisos, forum de dúvidas, arquivos das aulas,material complementarTestes no AVA (TA):

Cada TA possui 4 questões objetivas. Pode valer 0,1, casoacerte 3 ou, zero caso contrário.disponíveis para serem feitos durante um período de 2diasApós iniciados haverá um número máximo de 1 horacorrida para serem completadosAs questões serão sorteadas entre os alunos

(Vetores) Física 1 14/03/2018 7 / 36

8/ 38

Informações Gerais do curso

Vista de Prova deve ser solicitada através de formulário

Segunda Chamada (SC)

Para alunos que faltarem a apenas 1 provaDeve ser entregue justificativa médica aoscoordenadores antes da realização da provaA nota da SC substitui a da prova que o aluno faltou.Horário: 10h

Alunos com Inscrição irregular

Procurar a sua secretaria de graduação e regularizar a situaçãono SIGA. Só após a regularização é que sua nota será divulgada.

Datas das ProvasP1: 16/4 17:15h P2: 16/5 17:15hP3: 20/6 17:15h SC: 12/7 10:00h

(Vetores) Física 1 14/03/2018 8 / 36

9/ 38

Ementa

VetoresCinemática 1D (Cap 2)Cinemática 2D e 3D (Cap 3)Leis de Newton (Cap 4 e 5)

P1

Trabalho e Energia Mecânica (Cap 6 e 7)Momento Linear e ImpulsoSistema de Partículas e Colisões (Cap 8 e 9)

P2

Rotação e Momento Angular (Cap 11)Dinâmica de corpo rígido, Rolamento (Cap 12)

P3(Vetores) Física 1 14/03/2018 9 / 36

10/ 38

Dicas para o Sucesso

Estudar muito, desde hoje, lendo o livro e fazendo osexercícios recomendados.Na página do curso serão colocadas listas de exercícios.Aprenda os conceitos e não tente decorar resoluções deproblemas.Use a monitoria para tirar suas dúvidas imediatamente.Confira os diversos horários disponíveis.Existe também monitoria online no AVA.grupos de estudo podem ajudar

(Vetores) Física 1 14/03/2018 10 / 36

11/ 38

Sobre estes slides

Não use estes slides como fonte de estudos. Eles são um guiaapenas para a aula, não tem preocupação com formalismos,LEIA O LIVRO.Os slides estarão em http://sites.if.ufrj.br/sandra (quetambém pode ser acessado através do site de Física 1)Créditos: Algumas figuras destes slides foram feitas pelosprofessores Armando Aleixo e Elvis Amaral, outras retiradasdos livros recomendados ou da internet.

(Vetores) Física 1 14/03/2018 11 / 36

12/ 38

Introdução

A Mecânica trata da análise do movimento de corpos materiais.Na Física 1 vamos nos restringir à mecânica clássica newtoniana, na qualconsideramos apenas corpos macroscópicos com velocidades beminferiores à velocidade da luz.CINEMÁTICA: Descrição do movimento, dados a posicão, velocidade eaceleração em um instante de tempo, podemos determinar onde apartícula estará em um outro tempo qualquer.DINÂMICA: Causas do movimento, conhecendo a massa e “vizinhança”do objeto em questão, ou seja, as forças que atuam sobre ele, podemosdeterminar sua aceleração e assim descrever seu movimento.Algumas grandezas envolvidas na descrição do movimento são escalares :

tempo, massa,...

outras necessitam de informações como direção e sentido - grandezasvetoriais:

posição, velocidade, ...

(Vetores) Física 1 14/03/2018 12 / 36

13/ 38

Introdução

A Mecânica trata da análise do movimento de corpos materiais.Na Física 1 vamos nos restringir à mecânica clássica newtoniana, na qualconsideramos apenas corpos macroscópicos com velocidades beminferiores à velocidade da luz.CINEMÁTICA: Descrição do movimento, dados a posicão, velocidade eaceleração em um instante de tempo, podemos determinar onde apartícula estará em um outro tempo qualquer.DINÂMICA: Causas do movimento, conhecendo a massa e “vizinhança”do objeto em questão, ou seja, as forças que atuam sobre ele, podemosdeterminar sua aceleração e assim descrever seu movimento.Algumas grandezas envolvidas na descrição do movimento são escalares :tempo, massa,...outras necessitam de informações como direção e sentido - grandezasvetoriais:

posição, velocidade, ...

(Vetores) Física 1 14/03/2018 12 / 36

14/ 38

Introdução

A Mecânica trata da análise do movimento de corpos materiais.Na Física 1 vamos nos restringir à mecânica clássica newtoniana, na qualconsideramos apenas corpos macroscópicos com velocidades beminferiores à velocidade da luz.CINEMÁTICA: Descrição do movimento, dados a posicão, velocidade eaceleração em um instante de tempo, podemos determinar onde apartícula estará em um outro tempo qualquer.DINÂMICA: Causas do movimento, conhecendo a massa e “vizinhança”do objeto em questão, ou seja, as forças que atuam sobre ele, podemosdeterminar sua aceleração e assim descrever seu movimento.Algumas grandezas envolvidas na descrição do movimento são escalares :tempo, massa,...outras necessitam de informações como direção e sentido - grandezasvetoriais: posição, velocidade, ...

(Vetores) Física 1 14/03/2018 12 / 36

15/ 38

Sistema de Coordenadas

Para descrever o movimento precisamos primeiramente escolher umreferencial (observador), que será representado aqui pelos eixos cartesianos.Devemos também escolher a origem.

Descrever o movimento significa dizer em que posição o objeto estará emqualquer instante de tempo, ou seja, queremos determinar o vetor posiçãor t . Podemos também obter os vetores velocidade v t e aceleração a t .Precisamos de duas ferramentas matemáticas básicas:

VETORES e CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

(Vetores) Física 1 14/03/2018 13 / 36

16/ 38

Vetores

Queremos descrever o deslocamento de uma partícula ao ir doponto A ao ponto B. Precisamos de uma grandeza que tenhamódulo direção e sentido.O vetor deslocamento r é representado por uma seta que seorigina no ponto A e aponta para o ponto B.Este vetor nada nos diz sobre a trajetória da partícula. Todos oscaminhos conectando A a B correspondem ao mesmo vetordeslocamento.

(Vetores) Física 1 14/03/2018 14 / 36

17/ 38

Vetores

Para representar um vetor, usaremos uma única letra comuma seta em cima, p.ex. v . (Alguns livros usam a letra emnegrito sem a seta v )O vetor nulo é representado por 0.O módulo de um vetor é representado por v

A direção e sentido podem ser apresentadas graficamente:

,ou especificando seu ângulo em relação a algum eixo dereferência: 30 acima da horizontalou utilizando os vetores unitários de um sistema dereferência: r 2 3

(Vetores) Física 1 14/03/2018 15 / 36

18/ 38

Propriedades dos Vetores

Para que uma grandeza seja um vetor, não basta ter módulo,direção e sentido.Ela deve obedecer a um certo número de propriedades:

Igualdade de VetoresDois vetores são iguais quando possuem

mesmo módulo, direção e sentido

(Vetores) Física 1 14/03/2018 16 / 36

19/ 38

Adição de Vetores - Método Gráfico

O símbolo “ + ” não tem o mesmo significado que na álgebra.Temos que levar em conta a direção e o sentido dos vetores.

(Vetores) Física 1 14/03/2018 17 / 36

→

a

si

→

s ,a

→

:→

. .

a

20/ 38

Propriedades da Adição

ComutatividadeA B B A

AssociatividadeA B C A B C

(Vetores) Física 1 14/03/2018 18 / 36

s a

s a →→ →

s a

:→

. .

. .→ →

s s→ →

→ →

→ →

21/ 38

Propriedades da Adição

Vetor Oposto

A A 0

Subtração

A B A B

(Vetores) Física 1 14/03/2018 19 / 36

→

→

- → →

→→

→ → →

→

22/ 38

Multiplicação por um escalar

Sendo um escalar positivo, o vetor A terá a mesma direção esentido que A, e seu módulo será A . Se 0 , o sentido deA será oposto ao de A.

Um vetor A dividido pelo seu módulo, resulta em um vetorunitário de mesma direção e sentido que A.

AA

A

(Vetores) Física 1 14/03/2018 20 / 36

23/ 38

Componentes de um Vetor

Se quisermos fazer operações com vetores onde é necessário umamelhor acurácia, ou em 3 dimensões, o método geométrico deadição não é adequado. Nesses casos (muito mais comuns)faremos uso de projeções de vetores em um sistema decoordenadas.

Essas projeções são chamadas de componentes de um vetor.

Iniciaremos com coordenadas cartesianas e duas dimensões.

(Vetores) Física 1 14/03/2018 21 / 36

24/ 38

Componentes de um Vetor

O vetor A pode ser expresso como a soma de dois vetores Ax eAy .Ax (sem a seta) é a componente do vetor A na direção do eixo x .Podemos ver que:

Ax A cos Ay A sen

Note que as componentes podem ter sinal negativo.O módulo e a direção do vetor A são dados por:

A A2x

A2y

tan Ay Ax

(Vetores) Física 1 14/03/2018 22 / 36

→ →

→

25/ 38

Vetores Unitários

Os vetores são comumente descritos em termos de vetoresunitários ao longo dos eixos cartesianos. Os vetores unitários têmo propósito de especificar a direção do vetor.

A Ax Ay Ax Ay

(Vetores) Física 1 14/03/2018 23 / 36

^

^

^

→

^

^

26/ 38

Em 3 dimensões

A Ax Ay Az Ax Ay Azk

A A2x

A2y

A2z

(Vetores) Física 1 14/03/2018 24 / 36

27/ 38

Adição de Vetores por componentes

R A B Ax Ay Bx By

R Ax Bx

Rx

Ay By

Ry

r1 3 2 r2 1 3 r1 r2 4 1(Vetores) Física 1 14/03/2018 25 / 36

→

→

→

28/ 38

Multiplicação de vetores

Produto de um escalar por um vetor. vetorProduto escalar entre dois vetores. escalarProduto vetorial. vetor (veremos mais tarde)

Produto de um escalar por um vetor

se A Ax Ay A Ax Ay

Ex:r 3 4 2r 6 8

(Vetores) Física 1 14/03/2018 26 / 36

29/ 38

Produto Escalar de Vetores

Produto Escalar

A B A B cos com 0

(Vetores) Física 1 14/03/2018 27 / 36

30/ 38

Produto Escalar de Vetores

Algumas propriedades:Comutatividade: A B B A

Módulo de um vetor: A A A2 cos 0 A

2A

2

ortogonalidade: A B A B 0Ax A Ay A e Az k A

1 0 k 00 1 k 0

k 0 k 0 k k 1 (1)

Sendo A Ax Ay Azk e B Bx By Bzk temos

A B AxBx AyBy AzBz (2)

(Vetores) Física 1 14/03/2018 28 / 36

31/ 38

Exercícios

1 Um carro viaja 50 km para leste, 30 km para o norte e 25 kmem uma direção 30 a leste do norte. Represente osmovimentos do carro em um diagrama vetorial e determine ovetor deslocamento total do veículo em relação ao ponto departida. Qual seu módulo e direção?

2 Sejam os vetores A 2 3 k e B 4 2 k . Determine:(a) A B (b) Ax (c) A B (d) A (e) o ângulo entre A e B .

3 Uma roda de 45 cm de raio rola sem deslizar num pisohorizontal. P é um ponto pintado na borda da roda. Notempo t1, P está no ponto de contato entre a roda e o piso.Num tempo posterior t2, a roda descreveu meia rotação.Qual é o vetor deslocamento de P entre os instantes t1 e t2?

(Vetores) Física 1 14/03/2018 29 / 36

P P

P.IQ#

32/ 38

1 Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos num plano:4 m para sudoeste, 5 m para leste e 6 m numa direção 60 aonorte do leste. Tome o eixo y na direção norte e o eixo x nadireção leste e calcule (a) as componentes dos 3deslocamentos, (b) as componentes dos deslocamentosresultantes, (c) o módulo e orientação do deslocamentoresultante.

2 Seja um cubo de aresta a e um sistema de eixos OXYZ comorigem em um vértice do cubo e eixos ao longo de trêsarestas. Escreva na base de unitários do sistema de eixos osvetores com ponto inicial no vértice na origem e pontos finaisnos demais vértices.

(Vetores) Física 1 14/03/2018 30 / 36

33/ 38

1 Discutir a aceleração da gravidade

2 Discutir força de atrito3 Um bloco encontra-se em repouso sobre um plano inclinado

posto na superfície da Terra.Desenhe o diagrama de forças que agem sobre o blocoIndique claramente onde estão as forças de reação àsforças colocadas no item anterior.A força resultante que o bloco exerce sobre o planoinclinado é:(I)P (II) Fat N (III) Fat N (IV)N (V) P

(Vetores) Física 1 14/03/2018 31 / 36

plano bloco égamut

Boom egg

34/ 38

Um bloco de massa m está em repouso sobre uma mesa fixa em um elevadoracelerado verticalmente para cima. Sobre o bloco atuam a força normal decontato N e a força peso P .

Marque com um X as afirmativas falsas, justificando as suas respostas:

( ) A força resultante sobre o bloco é R N P .( ) A força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O vetor componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y

é sempre Ry Ny Py .( ) O vetor componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y

é sempre Ry Ny Py .( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésempre Ry Ny Py .( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésempre Ry N P .

(Vetores) Física 1 14/03/2018 32 / 36

Verdadeiro ou Falsoreemphasised

35/ 38

Um bloco de massa m está sobre um plano inclinado liso que forma um ângulocom a horizontal. Sobre bloco atuam a força normal N e a força peso P .

Marque com um X as afirmativas falsas justificando as suas respostas.

( ) A força resultante sobre o bloco é R N P .( ) A força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P .( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésempre Ry Ny Py .( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésempre Ry Ny Py .( ) A componente da força peso na direção x é P sen .( ) O vetor normal é N P cos .( ) O vetor normal é N P cos .( ) O vetor normal é N P cos .

(Vetores) Física 1 14/03/2018 33 / 36

Verdadeiro ou FalsotNgaogo_eraESefsBtffhfef

36/ 38

Um carro viaja 50 km para leste, 30 km para o norte e 25 km em uma direção30 a leste do norte. Represente os movimentos do carro em um diagramavetorial e determine o vetor deslocamento total do veículo em relação ao pontode partida. Qual seu módulo e direção?

(Vetores) Física 1 14/03/2018 34 / 36

A £ = 50 kmi

775

'

= zokuf

E'

= 25 sen 30 i + 25 cos 30 fipo of = Its

'

+ E

^= ( 50+25 sense)i + ( 30+25 cos 30 ) f

= 62.5 km I + 51.6 km f

I £ I= 62.52+51.6-7 = 81 km

) O

> > tg O = dy_ = 0.8 O = 40 .

dx

37/ 38

Sejam os vetores A 2 3 k e B 4 2 k . Determine: (a) A B

(b) Ax (c) A B (d) A (e) o ângulo entre A e B .

(Vetores) Física 1 14/03/2018 35 / 36

a) In'

- 5 = ( 2- C- a )) i + §- 2) j + (1 - f- i ) ) £ = 6 i + J +2£

b) En = 2 i

e) if'

. 5>

= 2×1-4 ) + 3×2 + 1 x ( - 1) = -8+6-1=-3

d) At.

i = An = 2

*= 2 i + 3J tk

5'

= - Ga + of -k

A→ . D= 1 E'

1 15'

1 cos O

A- '

. 5

'= Ax Bx + Ay By + Az Bz

cos O = An Bx + AY By + Az By | # 1

= g+q+|M = m ' 15 1= l6+4+T= if

tabcost = - 8 + 6 -

1- 3 = - 0 . 17

-

=-

F4 .if 17.1

38/ 38

Uma roda de 45 cm de raio rola sem deslizar num piso horizontal. P é umponto pintado na borda da roda. No tempo t1, P está no ponto de contatoentre a roda e o piso. Num tempo posterior t2, a roda descreveu meia rotação.Qual é o vetor deslocamento de P entre os instantes t1 e t2?

(Vetores) Física 1 14/03/2018 36 / 36

P P

P→>

III =tTR)2t@R# = 1412+9-7 = 167.2cm

DID tgo = 21=0.64 0=32.5- TR

€

33/ 38

1 Discutir a aceleração da gravidade

2 Discutir força de atrito3 Um bloco encontra-se em repouso sobre um plano inclinado

posto na superfície da Terra.Desenhe o diagrama de forças que agem sobre o blocoIndique claramente onde estão as forças de reação àsforças colocadas no item anterior.A força resultante que o bloco exerce sobre o planoinclinado é:(I)P (II) Fat N (III) Fat N (IV)N (V) P

(Vetores) Física 1 14/03/2018 31 / 36

plano bloco éBeef eggsBarefooted

EatN→

F'

34/ 38

Um bloco de massa m está em repouso sobre uma mesa fixa em um elevadoracelerado verticalmente para cima. Sobre o bloco atuam a força normal decontato N e a força peso P .

Marque com um X as afirmativas falsas, justificando as suas respostas:

( ) A força resultante sobre o bloco é R N P .( ) A força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O vetor componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y

é sempre Ry Ny Py .( ) O vetor componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y

é sempre Ry Ny Py .( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésempre Ry Ny Py .( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésempre Ry N P .

(Vetores) Física 1 14/03/2018 32 / 36

Verdadeiro ou Falso

^

E = Tv'

+ I'

veto component : Ej = it y+ Pj

A component de [ we diwcoio

J e' o neo

' dulo de Ky

lrTl=n÷tP,÷n- P

y.aowadaaasaaoaaeg.ir

F

F

: -

V

35/ 38

Um bloco de massa m está sobre um plano inclinado liso que forma um ângulocom a horizontal. Sobre bloco atuam a força normal N e a força peso P .

Marque com um X as afirmativas falsas justificando as suas respostas.

( ) A força resultante sobre o bloco é R N P .( ) A força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P .( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésempre Ry Ny Py .( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésempre Ry Ny Py .( ) A componente da força peso na direção x é P sen .( ) O vetor normal é N P cos .( ) O vetor normal é N P cos .( ) O vetor normal é N P cos .

(Vetores) Física 1 14/03/2018 33 / 36

Verdadeiro ou Falso

E '=F' + F'

y

As components da t.4.mn -

R - = Pseue

tante satNt - •

Ry = N - Puoo

PEINnYn++Bpa }{Y÷&Pseuo io

•

ry=o = > n= Poo

Py =

- Paso, # 1 = r-z+ry#I Pseno

odoo3oa_fooedoaa3sdvgoednE-.F

V

F

F

F

V

F

F

F

F