entropia e a segunda lei da termodinÂmica: uma …(young & freedman, 2003, p.222) essa desordem...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO DE FÍSICA

MONOGRAFIA DE FINAL DE CURSO

ENTROPIA E A SEGUNDA LEI DATERMODINÂMICA: UMA ABORDAGEMALTERNATIVA PARA O ENSINO MÉDIO

Por : MÁRCIO ALBERTO DE BRITO TELES

DRE: 103116534

Orientador

Prof. Br. Francisco Arthur Braun Chaves

I

RIO DE JANEIRO - RJ / 2010J. F. U. F- R- J-

B I B L I O T E C AREGISTR. DATA

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, que me ofereceu a oportunidade de

viver.

Aos meus pais, pelo amor, carinho e paciência,

A minha esposa, pelo apoio.

Aos professores, pela luz do conhecimento.

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho aos meus amigos, colegas de

profissão e àqueles que contribuem com as reflexões sobre

a educação.

SUMARIO

INTRODUÇÃO»... 5

CAPITULO I - RETROSPECTIVA HISTÓRICA DOS CONCEITOS

RELACIONADOS À FÍSICA TÉRMICA 8

l.l.Panorama Histórico da Entropia Estatística 8

CAPITULO II - REVISÃO DOS PRINCIPAIS TÓPICOS

RELACIONADOS À TERMODINÂMICA

ESTATÍSTICA.. 13

1.1. Grandezas e Variáveis extensivas e intensivas.. 13

1.2. Limite Termodinâmico 13

Í.3. Descrição Estatística de uni Sistema Físico: caso

discreto 14

1.4. Descrição Estatística de um Sistema Físico: caso continuo , 18

1.5. Descrição Estatística do Equilíbrio Térmico........... 18

1.6. A hipótese Fundamental de Boltzmann..... 23

1.7. Distribuição de Boltzmann - Reservatório Térmico..... 23

CAPITULO III - ENTROPIA 27

1.1. Conceituando Entropia.... 27

1.1.1. Formulando entropia microscopicameníe 29

1.2. Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica.... 35

CAPITULO IV - AULA PROPOSTA 38

1.1. Aula l - Uma forma alternativa de conceituar entropia 38

1.1.1. Uma forma alternativa de relacionar entropia com a Segunda Lei

da Termodinâmica 45

1.1.2.Contextualizando o conceito de entropia com alguns fenômenos

naturais. ... 49

CONSIDERAÇÕES FINAIS..., 50

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 51

INTRODUÇÃO

"Um grafite anônimo em uma parede do café

Pecan em Austim, Texas, nos EUA, tinha escrito:

"O tempo é a forma que Deus criou de evitar que

as coisas acontecessem todas ao mesmo tempo ". O

tempo também possui um sentido - algumas coisas

acontecem em uma certa seqüência e nunca

poderiam acontecer de forma natural em uma

seqüência invertida. Por exemplo, um ovo que caiu

por acidente se espatifa em uma taça. O processo

inverso, de um ovo espatifado voltando a ser um

ovo inteiro e saltando para cima até uma mão

aberta, nunca acontecerá naturalmente ~ mas por

que não? Por que esse processo não pode ser

invertido, como uma fita de vídeo passada de trás

para frente?"

(HALLIDAY & RESNICK, Fundamentos da

Física, 2001, p. 189)

Na tentativa de explicação de certos fenômenos, em particular o que foi

exemplificado na citação acima, os pensadores, filósofos e cientistas começaram a

arquitetar certos conceitos e teorias consideradas importantíssimas para a evolução da

ciência e em particular da Física. Dentre elas podemos citar a criação do conceito

denominado entropia1.

A formulação do conceito de entropia pode ser considerado como um dos

grandes avanços da ciência. Pois, possibilitou que fosse constituída parte da base teórica

da termodinâmica2, de certos processos (fenômenos) ditos irreversíveis e o alicerce da

mecânica estatística.

Devido à importância de tal conceito, o presente trabalho possui como

principal objetivo, o de revelar aos alunos, particularmente os de ensino médio, uma

1 Entropia: do grego em (em) e trope (transformação) que indica algo em transformação. (Covolan,Dissertação de Mestrado, 2004)2 Termodinâmica é a ciência que resume nosso conhecimento sobre as possibilidades de obter, converter eutilizar a energia. (Tronconi e outros, 1991)

6

forma alternativa de conceituar entropia e sua íntima relação com a 2° Lei da

Termodinâmica, segundo aspectos estatísticos e probabiiísticos. Pois, foi constatado que

o referido conceito encontra-se mal formulado e compreendido de forma totalmente

errônea, por boa parte dos alunos do ensino médio, devido principalmente, a dificuldade

que o professor encontra para explicar o conceito de Entropia e sua relação com a

Segunda Lei da Termodinâmica.

Isto se deve, principalmente, a uma continuação do "tradicionalismo

educacional", ou seja, a importância dada à memorização dos conteúdos escolares por

parte dos estudantes. Com isso, tornou-se importante a descoberta de uma prática

pedagógica direcionada para um aprendizado verdadeiramente significativo.

No intuito de subsidiar o trabalho docente, foi proposta uma aula versando

sobre a conceituação da entropia, segundo a visão probabilística de Boltzmann, a

relação desta com a Segunda Lei da Termodinâmica e, por fim, uma tentativa de

contextualização do conceito de entropia com alguns fenômenos naturais que ocorrem

no cotidiano dos alunos.

Dentro deste contexto, estaremos a seguir apresentando a estrutura de

elaboração deste trabalho.

Inicialmente, no capítulo I, apresentamos uma revisão bibliográfica, que

serviu de base para a elaboração da aula. Essa revisão tem inicio com uma elaboração

da evolução histórica dos conceitos ligados a Física Térmica estatística, culminando

com a criação do conceito de entropia, realizado por Boltzmann. Posteriormente, no

capitulo H, foi realizada uma pequena passagem pela termodinâmica estatística,

principalmente da descrição estatística de um sistema físico e do equilíbrio térmico no

âmbito probabilístico, além de visualizarmos como Boltzmann verificou sua hipótese

fundamental e sua distribuição para o caso de um reservatório térmico. Já no capítulo

III, foi formuíado o conceito de entropia microscopicamente e analisada sua relação

com a 2° Lei da Termodinâmica. No capítulo IV, encontra-se disposta a aula proposta e,

por fim, foram realizadas as considerações finais.

Desta forma, na construção deste trabalho procurou-se da melhor forma

possível dar suporte bibliográfico ao docente por ocasião da confecção de suas aulas e

fazer com que os alunos adquirissem ao menos o mínimo, das competências e

habilidades a serem desenvolvidas em Física, particularmente, no que se refere ao

conceito de Entropia e sua relação com a Segunda Lei da Termodinâmica. Pois,

verifica-se que tais competências e habilidades (Representação e comunicação,

Investigação e compreensão e Contextualização sócio-cultural) mencionadas pelo

Parâmetros Curriculares Nacionais, na atuai conjuntura educacional, tornam-se

praticamente impossível de serem adquiridas pelos alunos.

Por fim, espera-se que ao término das duas aulas propostas, os alunos

consigam atingir as habilidades e competências, sugeridas pelo PCN, da seguinte forma:

Na área da representação e comunicação.

• Expressar-se corretamente utilizando a linguagem física adequada e

elementos de sua representação simbólica. Apresentar de forma clara e objetiva o

conhecimento aprendido, através de tal linguagem.

Na área da Investigação e compreensão:

• Desenvolver a capacidade de investigação física. Classificar, organizar,

sistematizar. Identificar regularidades. Observar, estimar ordens de grandeza,

compreender o conceito de medir, fazer hipótese, testar.

Na área da Contextualização sócio-cultural:

• Reconhecer a Física enquanto construção humana, aspectos de sua história e

relações com o contexto cultural, social, político e econômico.

CAPITULO I

RETROSPECTIVA HISTÓRICA DOS CONCEITOS RELACIONADOS A

FÍSICA TÉRMICA

1.1 - Panorama Histórico da Entropia Estatística

O conceito de entropia está associado à desordem molecular de um

sistema, que pode ser exemplificado no seguinte exemplo:

"Quando misturamos uma tinta com água, o

sistema inicialmente possui uma relativa ordem

(baixa entropia) e os fluídos estão separados e

podem ser distinguidos. O estado final depois de

ocorrer a mistura completa é mais desordenado

(entropia mais alta) porque as partículas da água

e as partículas da tinta são distribuídas ao acaso e

os dois fluidos não podem ser distinguidos. Fazer a

água se separar espontaneamente da tinta, um

processo com diminuição de entropia, nunca seria

possível"

(YOUNG & FREEDMAN, 2003, p.222)

Essa desordem molecular, como uma forma alternativa de apresentar o

conceito de entropia, segundo um caráter probabilistico da segunda lei da

termodinâmica, foi sugerido pelo físico e matemático escocês James Clerk Maxwell

(1831-1879) em uma carta que escreveu, em dezembro de 1867, para o físico inglês

Peter Guthrie Tait (1831-1901), na qual relatava a seguinte situação, conforme descrito

abaixo:

"O célebre físico escocês James Clerk Maxwell

(1831-1879) formulou, em 1871, um experimento

teórico que violaria a segunda lei da

termodinâmica, indicando o caráter estatístico do

conceito de entropia proposto por Clausius em

1864. Ele imaginou um ser microscópico

9

inteligente que teria a capacidade de, por meio de

uma portinhola entre dois recipientes contendo

gás, controlar a passagem das moléculas, só

deixando passar as moléculas rápidas num sentido

e só as moléculas lentas em sentido contrário. Com

isso, ele conseguiria, ao fim de certo tempo, ter de

um lado apenas moléculas rápidas fé portanto, gás

numa temperatura mais elevada) e, do outro lado,

apenas as moléculas lentas (e portanto gás numa

temperatura mais baixa). Esse ser hipotético,

conhecido como demônio de Maxwell, estaria, sem

dispêndio de energia, ordenando o sistema e,

conseqüentemente, diminuindo sua entropia, indo

de encontro a tendência natural para a desordem,

isto é, para o aumento de entropia^

(RAMALHO, NICOLAU, TOLEDO, 2003,

p. 170).

Outro enfoque dado ao raciocínio probabilístico para a compreensão da

entropia foi apresentado pelo físico e químico austríaco Johann Joseph Loschmidt

(1821-1895) ern 1876. Ele afirmava que se as velocidades da partícula de um gás

mudassem de sinal num dado instante t = T, elas percorreriam trajetórias inversas,

atingindo em t = 2r o mesmo estado em que se encontravam no instante inicial t = 0. Se

a entropia aumentasse no primeiro caso, a reversibilidade impiicaria uma evolução na

qual a entropia diminuiria. Tal afirmação ficou conhecida posteriormente como o

paradoxo da irreversibilidade (www.seara.ufc.br/folclore/folclore93.htm - José Maria

Bassalo - Curiosidades de Física).

Finalmente, a formalização da teoria das probabilidades na segunda lei da

termodinâmica foi realizada pelo físico austríaco Ludwig Edward Boltzmann (1844-

1906). Em 1866, Boltzmann idealizou um modelo mecânico no qual considerou que as

partículas de um gás se deslocavam em órbitas periódicas e, com isso, deduziu uma

3 Esse "demônio" foi "exorcizado" em 1951, quando o físico francês Leon Nicolas Brillouin (1889-1969)demonstrou que o decréscimo de entropia resultante das ações do "demônio de Maxwell" poderia sersuperado pelo aumento de entropia na escolha entre as velocidades lentas e rápidas das moléculas(www.seara.ufc.br/folclore /folclore 93. hnn - José Maria Bassalo - Curiosidades de Física).

10

expressão analítica para a entropia que dependia do período do deslocamento das

partícuks ern suas órbitas, e que aumentava com o tempo. No entanto, esse modelo foi

altamente criticado, inclusive por Clausius. Em seguida, ern 1868, Boltzmann idealizou

outro modelo mecânico para a entropia ao admitir que em um gás ideal, composto de

um grande número (N) de moléculas, as interações entre elas, ou seja, as colisões entre

as moléculas gerariam um estado de movimento desordenado entre elas, denominado

"caos molecular". Logo, para Boltzmann, a energia total (E) nas N moléculas seria

constante e poderia ser distribuída de diversas formas, nos denominados microestados

(wvyw.seara.ufc.br/folclore/foiciore93.htm - José Maria Bassalo - Curiosidades de

Física),

No entanto, Boltzmann com seu modelo mecânico não podia explicar o

"paradoxo da irreversibilidade" proposto por Loschmidt. Em conseqüência de tal fato,

Boltzmann propôs que todos os microestados, chamados por ele de complexions

(configurações), possuem a mesma probabilidade (P). E, denominou de macroesíado ao

estado no qual uma molécula específica tem energia sr. Com isso, Bolízmann concluiu

que a probabilidade Pr de um macroestado é proporcional ao número de microestados,

nos quais a energia remanescente E - sr é distribuída entre as N - l moléculas restantes,

ou seja, Pr oc exp (-sr / K. T )4, onde K é a energia cinética, ou seja, proporcional à uma

função decrescente da energia dos níveis. Com isso, Boltzmann considerou o número W

(inicial da palavra alemã WahrschemUchkeit, que significa probabilidade) como sendo o

número de configurações (microestados) distintas de um macroestado envolvendo suas

N (N = n0 + nj + n2 + na + ...) moléculas, onde no representa o número de moléculas com

energia (Os), nj representa o número de moléculas com energia (lê), n2 representa o

número de moléculas com energia (2e),... e nr com energia (re), onde e é uma constante

positiva e re < E e, pelo princípio da conservação do numero de partículas e da energia,

deveremos ter:r r

N = S n; Q E = £ i n, ei = O í - O

Para calcular W, Boltzmann utilizou o raciocínio combinatório, ou seja,

ele considerou que: W (n0, nL n2, n3,...) = N! / (no! ni! n2! n3!...) e, com isso, recorrendo a

4 Boltzmann, em 1876, generalizou a lei de distribuição de velocidades Maxwelliana ao considerar aenergia total (energia cinética mais energia potencial) e não a energia cinética, como admitido porMaxwell, no argumento da exponencial.

11

hipótese das probabilidades iguais, ele sugeriu que a probabilidade P (n0, ni, n2. n3,...) de

ocorrência de uma configuração pertencente ao conjunto definido peJos "números de

ocupação" (no , ni , na , ife , ...) é dado por: P = C W, onde C é uma constante.

Considerando que a entropia do sistema em questão é igual à soma das entropias de seus

componentes, e como as probabilidades das "complexions" (configurações) do mesmo

sistema devem ser multiplicadas, e lembrando que o logaritmo do produto de números é

igual à soma dos logaritmos dos fatores, podemos ter uma idéia de como Boltzmann

formulou sua expressão para designar o conceito de entropia:

S = k log W, onde k é uma constante.

Com isso, Boltzmann esclarecia o "paradoxo da irreversibilidade"

proposto por Loschmidt dizendo que a sua inaplicabilidade advinha do fato de o número

de moléculas, mesmo num pequeno volume de um gás, ser tão espantosamente grande

que uma inversão de todas as velocidades só poderia ocorrer com uma probabilidade

infinitamente pequena. Ern conseqüência, Boltzmann asseverou de maneira clara o

caráter probabiiístico da Segunda Lei, pois, segundo ele, a objeção de Loschmidt

tornava clara a íntima relação entre as probabilidades e a Segunda Lei.

Em seguida, com as contribuições de Maxwell, o qual propôs que, após

uma série de colisões entre as moléculas de um gás, a energia cinética destas tende a se

equalizar. Boltzmann admitiu que:

"Como resultado das colisões, muitas moléculas

adquirirão maiores velocidades, e outras obterão

menores velocidades, até que finalmente é

estabelecida uma distribuição de velocidades entre

as moléculas, tal que não seja alterada por novas

colisões."

(BOLTZMANN, apud. PEREIRA Jr., 1997, p.43)

Desta forma, Boltzmann acreditava que nos movimentos espontâneos de

energia, como por exemplo, a conversão de energia mecânica em calor, ou na

refrigeração de corpos aquecidos, as moléculas tendiam para uma distribuição aleatória

de suas energias. Essa distribuição desordenada era a mais provável, enquanto que

outras mais organizadas possuíam menor probabilidade de ocorrência. Com isso,

12

Boltzmann chega à conclusão que o crescimento espontâneo da entropia de um sistema

poderia estar reiacionado com o aumento da distribuição aleatória (desordenada) das

energias moleculares do mesmo sistema [Mason, 1964, p.406 (transcreve Covolan,

2004, p. 15)].

Finalmente, na concepção de Boltzmann, os estados de maior entropia são

os mais prováveis e como os estados mais prováveis são os de maior desordem, chega-

se a conclusão que os sistemas evoluem no sentido de uma maior desordem ao mesmo

tempo em que sua entropia aumenta [Gilbert, 1982, p.253 (transcreve Covolan, 2004,

p.15)].

13

CAPITULO II

REVISÃO DOS PRINCIPAIS TÓPICOS RELACIONADOS A

TERMODINÂMICA ESTATÍSTICA

1.1 - Grandezas e Variáveis extensivas e intensivas

Para uma melhor compreensão da relação entre as variáveis de estado na

termodinâmica estatística, procuramos dividi-las em variáveis extensivas e intensivas, já

que, para toda variável extensiva há uma intensiva correspondente.

Uma variável é denominada intensiva quando a sua medida permanece

inalterada, devido à mudança de valor do volume V ou do número de partículas N,

sendo mantidas as densidades e concentrações. Para fixarmos essa idéia, consideremos

um recipiente, de volume V, contendo N moléculas de um gás, à temperatura T. Se

diminuirmos o volume passando para V/2 e se conseguirmos variar N de forma a manter

a mesma concentração anterior, ou seja, retiramos metade das moléculas, a pressão e a

temperatura do gás ficam inalteradas.

Já a grandeza extensiva é proporcional ao volume V ou ao número de

partículas N, ern conseqüência, quando são divididas por essas variáveis, o resultado é

independente delas. Logo, podemos dizer que o volume e a energia são grandezas

extensivas, já que r> = V/N e e = E/N, num sistema em equilíbrio não depende de N.

Portanto, podemos dizer que valores específicos ou densidades de grandezas extensivas

nos fornecem uma caracterização dos sistemas macroscópicos.

1.2 - Limite Termodinâmico

Para definirmos de forma satisfatória as grandezas macroscópicas devemos

considerar o elevadíssimo número de partículas no sistema físico em questão. Ou seja,

devemos enunciar a seguinte condição: limite N —» oo. Logo, devemos considerar o

número de partículas N tão grande, tendendo ao infinito. Esse limite deve ser tomado

mantendo todas as densidades, ou valores específicos, constantes. Podemos

exemplificar essa situação da seguinte forma: dado um gás, ao tmporrnos a condição N

—» oo, o volume deve aumentar de forma a manter N/V, ou V/N, constante. A esse limite

denominamos limite termodinâmico.

14

1.3 - Descrição Estatística de um Sistema Físico: caso discreto

A descrição estatística de um sistema físico pode ser compreendida se

considerarmos o seguinte:

1°) As observações macroscópicas correspondem a médias de grandezas

microscópicas.

2°) Um sistema físico pode ser compreendido como um conjunto contendo

um número enorme de partículas, as quais possuem urna dinâmica microscópica

envolvendo variações muito rápidas. As observações macroscópicas desse sistema

físico, obtidas mediante medidas experimentais, nos revelam um comportamento médio

das variações microscópicas.

3°) A energia será a grandeza física extensiva que nos permitirá interligar

as descrições micro e macroscópica. Como visto no curso de Termodinâmica, a 1° Lei

da Termodinâmica nos diz que a energia total de um sistema físico se conserva, com

isso, a referida energia poderá ser calculada para qualquer configuração microscópica

do sistema físico, e assim, poderemos calcular a probabilidade de ocorrência de cada

configuração microscópica, relacionando com os valores medidos com os detalhes no

nível atômico.

Para entendermos de uma forma mais eficiente a descrição estatística e

probabilística de um sistema físico, vamos analisar a seguinte situação: Consideraremos

um sistema físico isolado constituído por um certo número de moléculas, na qual cada

molécula pode ocupar estados energéticos crescentes, de acordo com sua posição,

variando entre e=l ou e=0, conforme demonstrado abaixo:

Figura l

A Energia Total E do sistema será igual a soma das energias ( O ou 1) de

cada molécula, de acordo com sua posição, ou seja, o nível energético na qual se

encontra (O ou 1). Ou seja:

n = no + ni, sendo n o n° total de moléculas, nf) o n° de moléculas no nível

energético e=zero e ni o n° de moléculas no nível energético e=2.

E = no . O + HI . l = ni, logo, para este sistema em particular, a energia total

será numericamente igual ao n° de moléculas que ocupam o nível energético e=l.

15

Primeiramente, vamos analisar as diversas possibilidades de estados

energéticos que quatro moléculas (representadas pela bolinha vermelha) podem ocupar:

E = 4

g = l

E = 3

v~~ i

c—-;

g =

C'~ i

c—v

C i

c—v?

C™ i

c-

0=

16

'*, e* I

c—1, l

=

^'"•SET

V.-™1"" l

••t ̂ 7 ;

6=0

Figu rã 2

C *

e=0 0='.' J

Para o caso das 4 moléculas descrito acima, podemos observar alguns

possíveis microestados para um sistema com E = 4 e g = l , E = 3eg = 4, E = 2eg = 6,

E = l e g = 4, por fim, E = O e g = l. Para um determinado valor de energia (observação

macroscópica), podemos ter vários microestados diferentes. Se o sistema está restrito a

uma energia interna total igual a quatro ou zero, somente um único estado será acessível

ao sistema, então nestes dois casos g - l, correspondendo a maior ordem possível do

sistema.

Chamamos de multiplicidade ao número de microestados pertencendo a

um determinado macroestado, ou seja, ao número de configurações microscópicas que

são idênticas do ponto de vista macroscópico. Esse número, geralmente, dependerá do

número total de partículas (n) no sistema em questão e do valor da energia (E)

escolhido, sendo representado pela função g(E,n). Portanto, neste caso, podemos

calcular a multiplicidade mediante a descoberta do número de escolhas do valor da

energia E, num total de n moléculas, através da combinação C^E :

_E! (n-E)!

17

Agora, vamos considerar p e q como sendo as probabilidades de cada

molécula estar com energia e = O e e = í, respectivamente, sendo p + q = l. Como os

valores de energia, e = O e e = l, são independentes um do outro, a probabilidade de

ocorrência de um determinado microestado com energia E é pE.q""E. Essa probabilidade

é a mesma para qualquer um dos g(E,n) microestados. Com isso, temos que a

probabilidade de um sistema com determinado valor de energia E e um número n de

moléculas é

Pn(E) = _ _nj __ pE q"-E = g(E,n).pE.cf-E

E! (n -E)!

Utilizando os conhecimentos de distribuições de probabilidades para

descrever sistemas físicos, as principais grandezas envolvidas são o valor esperado

(valor médio) e a variância (ô).

O valor esperado é, justamente, o valor que se espera obter como resultado

de uma experiência, quando a mesma for repetida um número infinito de vezes. Esse

valor esperado pode ser expressado da seguinte forma p. f r, onde, fazendo uma analogia

com um lançamento de moeda, p é a probabilidade de se obter cara depois de n

lançamentos.

Já a variância é a grandeza matemática que nos permite quantificar a

dispersão dos valores obtidos em uma experiência, em relação ao valor esperado, ou

seja, a variância é calculada considerando-se o quanto diferem do valor esperado são os

valores individuais de uma determinada medição de dados, podendo ser expressada da

seguinte forma (n.p.q)1'2, onde, como já foi mencionado, n é o número de repetições de

uma determinada experiência, p e q são as probabilidades de ocorrência de um

determinado evento.

No entanto, para nossa interpretação probabilística de sistemas físicos,

vamos nos ater ao valor relativo da dispersão (desvio relativo da distribuição binomial):

n n (n)1/2

Logo, podemos afirmar que ô/n diminui com (n)1/2, quando n aumenta. Ou

seja, quanto maior o valor de n, menor será a flutuação relativa, dificilmente iremos

obter um valor diferente do esperado como resultado de uma medida. Com isso,

chegamos a uma conclusão importantíssima, o valor esperado fica melhor definido

quanto maior for o valor de n, ou seja, esta é a função do limite termodinâmico, fazer

18

com que grandezas macroscópicas provenientes de médias sobre grandezas

microscópicas sejam bem definidas.

1.4 - Descrição Estatística de um Sistema Físico: caso contínuo

Toda a análise feita até agora foi uma particuíarização dos sistemas físicos

aleatórios, já que quando consideramos n — » oo, podemos utilizar distribuições continuas

para descrever tais sistemas. Dentro desse contexto, devemos destacar a grandeza

denominada densidade de probabilidade, a qual representa a probabilidade de

encontrarmos o resultado de uma determinada experiência em um determinado intervalo

inrlnítesirnaí:

f(x) = dP(x) ,dx

ou seja, a função f(x) define a distribuição da variável aleatória x, dá a densidade de

probabilidade da mesma por unidade de x.

Podemos obter uma distribuição contínua a partir de urna distribuição

discreta tomando o limite n — » GO, na distribuição binômia! por exemplo, dessa forma

chegaremos ao conhecimento de outra importante função, denominada distribuição

gaussiana:

P(E) = ̂ JL_exp[-(E - <E>)/(2 5)]ÔV2ÍT

ou

Pn(E) =_J__exp[-(E - p.n)2/(2 npq)]

A distribuição gaussiana possui a importante característica na qual quando

nos afastamos de seu valor máximo ela cai decresce com uma velocidade que depende

do valor de ô. Ou seja, ela descreve sistemas para os quais a probabilidade de se

encontrar valores muito maiores ou menores que a média é muito pequena. Logo, esses

sistemas podem ser caracterizados pelo valor médio ou esperado de alguma grandeza.

1.5 — Descrição Estatística do Equilíbrio Térmico

Para uma compreensão satisfatória da descrição estatística do equilíbrio

térmico vamos imaginar dois sistemas Si e S2 em equilíbrio individualmente, isolados

19

um do outro e do meio externo mediante a utilização de uma parede adiabática e

impermeável (não permite a passagem de partículas). Cada sistema encontra-se num

determinado macroestado, com sua respectiva multiplicidade, relativos aos estados

energéticos iniciais EI e E2, conforme esquematizado abaixo:

SI

TPm e de

Figura 3

Agora, imaginemos que o isolamento térmico entre os sistemas seja

totalmente removido, conseqüentemente, eles começam a trocar calor, ou seja, energia,

até alcançarem um novo estado de equilíbrio. Em razão desta "troca energética", cada

sistema estará em outro macroestado, e certamente, com outra multiplicidade, relativos

aos estados energéticos finais E'i e £'2, conforme esquematizado abaixo:

si

El

r:-*

+ dEl

E '2

Parede coudntoia

Figura 4

20

Antes de analisarmos o exemplo acima, faremos as seguintes

considerações:

1°) A energia total do sistema é constante, devido ao isolamento térmico e a temperatura

de equilíbrio é determinada supondo-se que os sistemas trocam caior dependendo de

suas temperaturas iniciais, suas massas e o tipo de materiais que os constituem;

2°) No equilíbrio térmico os sistemas atingem a mesma temperatura;

3°) A conservação de energia nos autoriza escrever o estado final em termos de energia

total e considerando g(E,n) a multiplicidade do sistema composto S = (Si +82), após as

trocas energéticas. Temos:

g(E,n) = S gi(E'i, n j ) . gz(E'2, na),

onde, gi(E'i, m) e g2(E'2, na) são as multiplicidades dos sistemas Si e 82,

respectivamente.

Se considerarmos somente a conservação de energia, outras configurações

finais seriam possíveis, como por exemplo, o sistema mais frio cedendo calor para o

sistema mais quente, discordando com as observações do nosso cotidiano. Portanto,

vamos determinar todos os valores finais de energia de cada sistema, para todos os

estados finais que satisfazem a conservação de energia, dentro de uma descrição

microscópica probabiíística.

Já que o sistema S, formado pela união de Si e 82, está isolado, pela

conservação de energia devemos ter uma energia total E = E i + E 2 = E ' i+E '2 . Agora,

vamos quantificar o exemplo, segundo os dados da tabela abaixo:

SISTEMA 1

ni

6

Ei

4

SISTEMA 2

n2

4

E2

2

Para o sistema combinado S, n = m + n2 = 10 e E = EI + £2 = 6. Vamos

calcular a multiplicidade de S, conforme feito no item (1.3) deste capítulo:

g(6,10) = 210 microestados possíveis para essa configuração energética

(macroestado).

21

Considerando a conservação de energia, podemos perceber que são

aceitáveis quaisquer valores de E'i e E'2 que satisfaçam tal conservação, incluindo a

possibilidade do sistema com menor energia ter sua energia reduzida e o de maior

energia ter sua energia aumentada da mesma quantidade. No entanto, esta situação só

não ocorre, simplesmente porque ela é extremamente improvável do ponto de vista

probabilístico, como veremos ao final da análise do nosso exemplo.

Agora identificaremos a situação de Sj e 83, em cada um dos 210

microestados. Pela definição de E, visto no item (1.3), EI pode assumir os valores 6, 5,

4, 3, 2, l e 0. E os valores de £2 são 4, 3, 2, l e 0. Voltando à conservação de energia, E

= EI + E2 = E'i + E'2 — 6, os valores de E'i e E 2 que são compatíveis corn tal

conservação são mostrados na tabela abaixo:

CONFIGURAÇÃO

1

2

3

4

5

E'i

6

5

4

3

2

B'a0

1

2

3

4

Vamos calcular as multiplicidades de cada sistema individualmente, para

cada energia E' acima, teremos:

- Sistema Si :

gi(6,6) = l ; gi(5,6) = 6 ; g,(4,6) = 15 ; g,(3,6) = 20 e gl(2,6) = 15.

- Sistema 83 :

g2(0,4) = l ; g2(l,4) = 4 ; g2{2,4) = 6 ; g2(3,4) = 4 e g2(4,4) = I.

Podemos agora escrever a multiplicidade g(E,n) do sistema combinado, da

seguinte forma:

g(6,10) = gl(6,6). g2(0,4) + g,(5,6). g2(l,4) + gi(4,6). g2(2,4) + gl(2,6).

g2(4,4) = 1+ 24 + 90 + 80 + 15 = 210

Percebemos que a configuração final correspondente a E ' i = 4 e E ' 2 = 2

possui a maior multiplicidade e Conseqüentemente após as trocas energéticas, poderá

22

ocorrer com maior probabilidade. Neste caso específico que analisamos, as outras

configurações também poderiam ocorrer, especialmente a configuração 4, isso ocorre

porque nt e na são números pequenos, resultando em variâncias grandes. No entanto,

com visto nos itens (1.2, L3 e 1.4) deste capítulo, quanto maior for o valor n, mais

concentrada no valor máximo será a distribuição, levando a probabilidades

reduzidíssimas de se encontrar resultados diferentes do valor esperado. Com isso, se

tivéssemos valores suficientemente grandes para nj e ns, haveria uma determinada

configuração final com multiplicidade muito maior que as outras. Portanto, cada vez

que efetuássemos uma medição (observação macroscópica) do sistema combinado S,

observaríamos esta mesma configuração finai, nos levando a concluir que essa é a

configuração de equilíbrio.

Vamos generalizar a análise feita até agora, considerando que num sistema

qualquer, o equilíbrio pode ser encontrado pela determinação do maior termo do

somatório:

g(E,n) = 2 gi<E'i, n;) . g2(E'2, n2) — d(gi. g2) = g2

Como a energia se conserva, temos dE = dEi + dE2 = O — » dEi = - dE2.

Logo:

d(gi. §2) - (g2 (H)- gl(||)) dEi - 0. Podemos escrever esta

relação da seguinte forma:

«w*) -«'*>.(A conexão entre a descrição estatística, microscópica, e a termodinâmica

macroscópica, foi proposta por Boltzmann. mediante a seguinte definição estatística da

entropia;

S - k In.g, sendo k a constante de Boltzmann. Com isso, a condição de

equilíbrio pode ser escrita comodsi _ds2dEi 9E2

No equilíbrio térmico, as temperaturas dos sistemas alcançam a mesma

temperatura, logo, temos TI = T2, e assim:, , 351 , ÕS2

(l/ Ti) = - e 0/T2)=~

23

Logo, definimos a entropia estatística em função da multiplicidade do

macroestado e formulamos o equilíbrio térmico do sistema combinado em termos da

temperatura, ou seja, a configuração de troca de energia mais provável para o sistema

combinado é aquela que leva a uma uniformização da temperatura em todas as partes

que o compõem.

1.6 - A Hipótese Fundamental de Boitzniann

Vamos considerar um sistema qualquer com n partículas em equilíbrio

térmico, isolado do meio externo, no macroestado de energia E. Esse macroestado

possui multiplicidade g(E,n), Denominamos de estados acessíveis a qualquer um dos

g(E,n) microestados compatíveis com o número de partículas e a energia que devem

permanecer constantes. Boltzmann idealizou uma situação em que sempre haveria uma

interação residual entre as partículas do sistema, responsável por fazer com que este

fique constantemente passando de um microestado a outro. No sistema idealizado no

item (1.3) deste capítulo, teríamos a molécula alternando entre e = O e e = l. Com isso,t

podemos considerar o equilíbrio térmico correspondendo a ter o sistema visitando todos

os seus estados acessíveis. A hipótese fundamental de Boltzmann nos revela que, no

equilíbrio, o tempo dedicado a cada microestado acessível é o mesmo, portanto,

podemos dizer que todos os microestados acessíveis são igualmente prováveis, ou que

as probabilidades para os microestados obedecem a uma distribuição uniforme definida

da seguinte forma:

PE(J) = l/g(E,n), onde / é o índice de um microestado do macroestado de

energia E e multiplicidade g(E,n). Para o caso estudado no item (1.5) teríamos PE(J) =

1/210.

Portanto, numa visão temporal, na qual o sistema está constantemente

visitando todos os microestados compatíveis de acordo com os valores de E e n

impostos, a hipótese de Boltzmann significa que o sistema passa a mesma quantidade de

tempo em cada um dos microestados acessíveis.

1.7 - A Distribuição de Boltzmann - Reservatório Térmico

Dado um sistema S em contato com um reservatório térmico R. A fronteira

de S permite que ocorra troca de energia com o reservatório, e o sistema combinado

24

S+R se encontra isolado do meio externo, sendo a energia total E, constante. Tal

situação está iíustrada abaixo.

R

E-e_«,,,,™,™ _ s.,,

Figura 5

Se o sistema se encontra num microestado j de energia e, o reservatório

estará no macroestado de energia E- e Q multiplicidade g^(E ~- e). O microestadoy pode

ocorrer estando o reservatório R em qualquer um de seus microestados de energia E e.

A hipótese fundamental de Boltzmann diz que no estado de equilíbrio o sistema passa

por iodos os seus estados acessíveis, permanecendo o mesmo tempo em cada um destes

estados, logo, o tempo que o sistema permanecerá no microestado y será proporcional a

multiplicidade gn do macroestado de energia E - e, ou seja, a probabilidade P j será

proporcional a g%. Sej é um microestado do macroestado de energia e, temos

Pj(e) = c . gü(E - e), onde c é uma constante de proporcionalidade.

No limite termodinâmico, estaremos trabalhando com valores de P} que

mudam rapidamente de acordo com o valor de e escolhido. Portanto, vamos trabalhar

com InPj = Inc + Ing» e considerando o fato do reservatório R ser muito maior que

sistema S, temos E »e. Desta forma podemos expandir InPj em série, obtendo o

seguinte resultado:

j = Inc + IngR(E) - e.dlngR

ÔE

Considerando até o termo linear da série da expansão em série e

identificando SR = k.lngR como a entropia do reservatório, temos

25

,- e

Pj(e) = C.e( ia-}, onde T é a temperatura de equilíbrio do sistema

combinado e C uma constante. Portanto, a probabilidade de se encontrar um

macroestado a uma energia particular e é proporcional a e(~fcr\ que é denominada

distribuição de Boltzmann.

Agora obtendo a constante de proporcionalidade C por normalização, já

que £/P/0) - 1. Temos:

C = l/S/exp(-—)."J v v fcT'

Definimos: Z = £y exp (— -r), onde Z é denominada função de partição.

Esta soma é sobre todos os microestados dos sistemas, portanto teremos vários termos

iguais (g(e) termos que pertencem ao mesmo macroestado). Dessa forma, podemos

juntar tais termos e reescrever a função de partição Z em termos de uma soma sobre os

macroestados, como:

Z = £eg(e).exp(-~).

A probabilidade Pj(e) pode ser definida da seguinte forma:

Pj(e) = exp (——) / Z, onde as probabilidades definidas desta forma são denominadas

de distribuição de Boltzrnann e o fator exp ( — — j, denominamos fator de Boltzmann.\ fíTJ

A multiplicidade g(e) é sempre uma função crescente da energia, e o fator

de Boltzmann exp (— — } decresce com o aumento de energia, o produto dessas funçõesV Kl /

acaba gerando uma função que apresenta um pico, ou seja, um termo máximo, ou

dominante, principalmente quando impomos o limite termodinâmico n—*•<». Vamos

considerar que nesse limite a soma em Z possa ser substituída pelo maior termo apenas.

Usando a definição de entropia em função da multiplicidade, podemos escrever g(E) =

exp(S/k) e

Z = EE exp [-p(f - TS)], onde j3 = 1/kT.

Para um dado valor de temperatura, o maior termo do somatório (termo

dominante, para n—*oo) corresponde ao que tem o menor valor E - TS. Considerando

que quando n-^-oo este é o único termo importante, temos:

Z = exp[-p min(E - TS)]

26

Com isso, podemos admitir que E—* <E> = Ejnt. Isso é possível devido ao

fato de ô/n —+ O no limite termodinâmico. Em conseqüência, conciuírnos que no limite

termodinâmico, a configuração de troca de energia mais provável, correspondente ao

termo dominante da função de partição, é aquela que minimiza a quantidade (Eú,t - TS).

Percebemos que quando a temperatura T é constante, a quantidade (Emt - TS) é

diminuída se Ejnt diminui, ou se a entropia S aumenta. De uma forma geral, podemos

dizer que quando T for baixa, o termo TS é pouco importante, e o critério de diminuição

de energia será predominante, por exemplo, quando T - O, apenas a minimização de

energia define o equilíbrio. No entanto, se a temperatura for alta o suficiente, a

maximização da entropia será predominante.

27

CAPÍTULO III

ENTROPIA

1.1 - Conceituando Entropia

A entropia é um conceito pouco divulgado e mal compreendido que está

tão presente em nosso cotidiano quanto a energia. No entanto, de uma forma contrária

da energia, a entropia não se conserva e, ainda, impõem condições e regras de

funcionamento para os diversos fenômenos naturais. Fato o qual está intimamente

ligado a segunda lei da termodinâmica.

Analisando alguns processos espontâneos ocorridos em nosso cotidiano,

tais como. a expansão de um gás, o aumento da temperatura de um corpo colocado em

contato com outro de temperatura maior, deslizamento de um corpo sobre uma

superfície com atrito, etc, verificamos que todos eles possuem em comum o fato de

ocorrerem em um sentido, mas não ocorrerem, espontaneamente (de modo natural, sem

ser induzido) no sentido oposto, ou seja, invertendo a seqüência temporal.

Diante de tais fatos podemos realizar a seguinte pergunta: Por que nunca

conseguimos observar tais fenômenos ocorrerem espontaneamente de forma inversa?

O processo no sentido contrário de alguns fenômenos implicaria em uma

ordenação no movimento aleatório das moléculas, o que significaria a conversão da

energia interna em trabalho. Visualizando o exemplo de um corpo que desliza sobre

uma superfície com atrito, a energia usada para aumentar a temperatura da superfície de

contato no deslizamento do corpo seria recuperada de tal forma que à medida que a

superfície alcança sua temperatura inicial, o corpo deveria se mover no sentido

contrário, se direcionando para sua posição original. No entanto, isto não acontece em

nosso cotidiano.

Podemos mencionar, também, que o caráter aproximadamente ordenado

das formas inertes e vivas assumidas pela matéria dependem tanto do nível de agitação

térmica dos átomos e/ou moléculas constituintes, como de sua complexidade estrutural e

funcional.

No século XIX, o físico austriaco Ludwig Boltzmann explicou a diferença

entre microestado e macroestado de um objeto. Como exemplo, podemos descrever uma

xícara de café referindo-se ao seu macroestado - temperatura, pressão e outros aspectos

estruturais. Já, o microestado especifica a posição precisa e a velocidade de cada átomo

28

do líquido, isoladamente. A um dado macroestado qualquer correspondem vários

microestados diferentes, ou seja, podemos alterar um átomo aqui, outro acolá, e

ninguém que estiver observando escalas macroscópicas irá perceber. Portanto, a

entropia é uma grandeza que exprime exatamente o numero5 de microestados

correspondentes a um determinado estado de um sistema material, ou seja, seu

macroestado.

Relembrando o exemplo do deslizamento de um corpo sobre uma

superfície com atrito, verificamos neste caso, que a energia cinética do corpo é

convertida em energia térmica, calor. Logo, percebemos que o movimento inicialmente

ordenado das partículas do corpo vai aos poucos sendo transformado num movimento

caótico, desordenado de suas moléculas constituintes. Essa transição do ordenado para o

desordenado caracteriza todos os processos irreversíveis, e relaciona-se intimamente

com o conceito de entropia. Devido a isto, a entropia mensura a desordem e a

desorganização da matéria durante os processos.

Assim, o valor da entropia é tanto mais baixo quanto menor for a agitação

térmica da matéria e quanto mais ordenada e complexa for a configuração por ela

assumida. Enquanto, que a entropia é tanto maior quanto maior for a agitação térmica da

matéria e quanto rnais elementares sejam os modos pelos quais se estruturam as

moléculas, os átomos e os núcleos atômicos. Por exemplo, a entropia de um sólido,

líquido ou gás cresce com o aumento da temperatura e ainda mais rapidamente quando a

substância se funde ou se vaporiza, já que quando um sistema recebe calor, aumenta a

agitação de suas partes constituintes e conseqüentemente aumenta sua desordem

microscópica.

Em conseqüência, existem mais formas de dispor um dado número de

átomos em uma configuração de alta entropia que em uma configuração de baixa

entropia. Para facilitar nossa compreensão, imaginemos que misturemos leite com café.

Existem inúmeras formas de fazer as moléculas de café e do leite se misturarem

completamente, mas relativamente poucas formas de manter o leite completamente

separado do café. Por isso, a mistura terá alta entropia.

Desse ponto de vista podemos compreender que a entropia tende a

aumentar com o tempo. Os estados de alta entropia são muito mais comuns que os

estados de baixa entropia; praticamente qualquer mudança num sistema o levará a um

5 Tecnicamente, é o numero de dígitos, ou logaritmo de um número.

29

estado de entropia mais alta, por uma simples fatalidade do destino. É por isso que o

leite se mistura ao café, mas nunca voltam a ser ieite e café separadamente. Embora seja

fisicamente possível que todas as moléculas de leite espontaneamente conspirem para se

reorganizar de modo a ficarem iodas juntas, estatisticamente isso é muito pouco

provável. Com isso podemos afirmar que a essência da irreversibilidade é uma

tendência natural à desordem.

Poderíamos concluir então, que a diminuição da entropia não é proibida

(reorganização das moléculas), mas somente pouco provável. Com apenas poucas

moléculas de café e leite, em um recipiente, poderia ocorrer à separação em alguns

momentos, mas como o número de moléculas é muito grande, a chance de ocorrer uma

separação é nula na pratica, podendo ser considerada impossível.

Finalizando, podemos deduzir a seguinte conclusão geral:

"Para qualquer sistema, o estado macroscópico

mais provável é aquele que corresponde ao maior

número de estados microscópicos que também

correspondem ao estado macroscópico com maior

desordem e a maior entropia"

(YOUNG & FREEDMAN, Termodinâmica e

Ondas, 2003).

1.1.1 - Formulando a entropia microscopicamente

Primeiramente, vamos analisar um processo irreversível parecido com a

expansão livre de um gás, onde o mesmo encontra-se dentro de um recipiente fechado

divididos em duas partes iguais por uma partição. Agora consideraremos quatro estágios

desse processo. No 1° estágio temos t < O, onde se fez vácuo do lado direito da partição

e há uma quantidade de gás em equilíbrio térmico do lado esquerdo. No 2° estágio

temos t-O, onde a partição é retirada. No 3° estágio temos um instante posterior t = ti >

O, onde o gás começa a se difundir para o lado direito do recipiente. E no 4° e último

estágio, para tempos maiores t » ti, o gás difundido por todo o recipiente atinge um

novo estado de equilíbrio térmico.

30

Figura 6 - Remoção de partição

Neste processo de difusão do gás as moléculas sofrem um grande número

de coHsões umas cont as outras, descrevendo um movimento caótico, o que acaba

levando a uma certa distribuição das posições e velocidades das moléculas na situação

do 4° estágio. Podemos afirmar baseado nas leis da mecânica, que cada colisão ocorrida

entre as moléculas durante a difusão pode ser revertida, de forma que o processo

inverso, ou seja, passagem do 4° estágio para o 2° estágio é perfeitamente viável.

Entretanto, para tal, torna-se necessário inverter as velocidades e as posições de um

número gigantesco de moléculas (~1027, em situações macroscópicas típicas), ou seja, a

partir de uma situação inicial em que as posições e velocidades de tais moléculas têm de

serem exatamente aquelas que produzem o movimento inverso. Embora possível

teoricamente, esta é uma situação extremamente improvável, pois, uma distribuição de

posições e velocidades iniciais de ~1027 moléculas que as leva todas a se concentrarem

numa metade do recipiente é tão rara, frente ao número inimaginavelmente maior de

31

outras configurações iniciais que não levam a esse efeito, que sua probabilidade de

ocorrência é nula para todos os fins práticos.

Para exemplificar de forma mais quantitativa a pouquíssima probabilidade

de as moléculas ocuparem somente a metade direita ou esquerda do recipiente, vamos

analisar as configurações possíveis de um "gás fictício de 2 moléculas", conforme

demonstrado na figura abaixo.

(A) ãfy\*~~" . 1

i(B! ; (í)

(0 j cr

(D)

Conficr.i -~~ ração

IA;

(B)

'? (Q1

q> (D!

Totais

Müiécuk-1

El."£_

D

D

Moléculag

E

D

E

1 5

A = 2.

";.

2

•í

í

2g0

-

i

2

X; 'de jProbabí-estados : lidadi-

1/4

1/4

Figura 7 - Simulação de configurações de um gás com 2 moléculas

Podemos observar na figura acima a formação de 4 configurações

possíveis (A, B, C e D) do gás fictício com relação à ocupação do lado esquerdo (E) ou

direito (D) do recipiente pelas moléculas l e 2. As colunas ng e n» representam o

número total de moléculas à esquerda e a direita respectivamente de cada configuração,

não importando quais sejam as moléculas de cada lado. A penúltima coluna (N° de

estados) representa o número de estados com estes valores de (HE e no). O número total

desta coluna é 4 = 22 = 2N, que é o mesmo número de configurações.

Devemos considerar que cada configuração (A, B, C ou D) seja

igualmente provável. Logo, a probabilidade de cada uma é !4, Podemos dizer que a

probabilidade de que a molécula I esteja de um determinado lado é igual a 1/2 e o

mesmo vale para a molécula 2. Como essas probabilidades são independentes (a

presença da molécula l de um lado não afeta a presença da molécula 2), a probabilidade

de que ambos os eventos se realizem, qualquer que seja a configuração, é Ys x ¥2 = 14

Finalmente, a ultima coluna da tabela (Probabilidade) representa a

probabilidade associada à configuração (HE e no), sendo máxima (= Yz) para UE - no.

32

Generalizando, para um sistema de N moléculas, temos que o número de

configurações das moléculas = 2N e a probabilidade de cada configuração é (Í/2)N. O

número de estados com dados (nE e nD) = f ^ ) = ( ) onde"VnE' VnD/

A equação acima representa o número de combinações de N elementos n a

A probabilidade P(nE e no) de encontrar n£ moléculas à esquerda e no à

direita é:

Suponhamos, agora, a existência de um gás com 100 moléculas (N=100).

A figura abaixo mostra a distribuição de probabiiidade como função de ng/N, para

N=100 e N=2. Esta distribuição é denominada distribuição binomial de Jaques

Bernoulli.

P(nf f N',00

075

050

la ruura>>. iv" '

w

,V

V

0,25 o'.v

Figura 8 - Distribuição de probabilidade

Analisando a figura, podemos constatar que à medida que o número de

moléculas cresce, o pico em torno de HE = HD torna-se mais estreito.

33

A caracterização do estado de um gás pela sua densidade em diferentes

regiões macroscópicas define um macroestado do gás. No caso acima, os macroestados

são caracterizados pelos pares (nE , nD). A cada macroestado está associado vários

microestados diferentes: na tabela da figura 7, um microestado é especificado

informando quais das moléculas, de l a N, estão do lado esquerdo (E) e quais estão do

lado direito (D). Portanto, a cada macroestado corresponde a um grande número de

microestados diferentes, geralmente para N grandes. Agora, como cada microestado é

igualmente provável (mesma probabilidade), o macroestado mais provável de um

sistema é aquele que pode ser realizado pelo maior número possível de microestados

diferentes. Ou seja, para N muito grande, a distribuição de probabilidade terá um

máximo extremamente concentrado em torno do macroestado mais provável.

Para o exemplo de processo irreversível discutido acima, esquematizado

na figura 6, verificamos que os processos físicos devem ocorrer no sentido em que a

probabilidade associada ao macroestado do sistema aumenta, tendendo ao equilíbrio

termodinâmico6 (conforme verificado nos itens (1.2), (1.4) e (1.5) do capitulo II) que

deve corresponder ao macroestado de máxima probabilidade. Podemos complementar

nossa "linha de raciocínio", dizendo que o estado com todas as moléculas na metade

esquerda ou direita é altamente ordenado, que só corresponde a l "microesíado", ao

passo que o estado com distribuição uniforme das moléculas corresponde ao máximo de

desordem, no sentido de ter o maior número possível de realizações microscópicas

distintas.

Com base nas análises feitas podemos estabelecer uma conexão entre a

evolução do macroestado de um sistema no sentido da probabilidade crescente e o

princípio de aumento de entropia, que nos leva a concluir que a entropia deve ser uma

medida da probabilidade termodinâmica, ou seja, mede a desordem de um sistema

moiecuJar, pode ser interpretada como uma média probabiíística.

Associando um peso estatístico W a um macroestado, definido como o

número de microestados compatíveis com esse macroestado, ou seja, proporcional à sua

probabilidade termodinâmica, a entropia S deve ser uma função crescente de W. E

considerando que a entropia é uma grandeza aditiva, ou seja, juntando dois volumes de

gás à mesma temperatura até alcançarem o equilíbrio termodinâmico, a entropia de

sistema resultante, S, será a soma das entropias dos dois sistemas. No entanto, se

6 O estado de equilíbrio termodinâmico representa a desordem máxima: a distribuição de Maxwellcorresponde ao "caos molecular" (Moysés, 2004).

34

tratando de dois sistemas independentes, a probabiiidade P de um macroestado de um

sistema resultante é o produto das probabilidades dos macroestados das componentes,

ou seja,

P = PjP2 -» S = S, + S2

O logaritmo é uma função que possui a propriedade de levar produtos em

somas. Com isso, chegamos ao resultado obtido por Ludwig Boltzmann.

S = k In W, onde k é uma constante e W é o peso estatístico do macroestado de

entropia S, ou seja, o número total de microestados compatíveis com esse macroestado.

Agora, para concluir, vamos considerar que em um sistema fechado

existem inúmeras possibilidades de movimentos moleculares que correspondem

exatamente ao mesmo valor de energia interna. Por exemplo, em um gás poderíamos

imaginar que todas as moléculas se deslocassem em uma mesma direção com uma

velocidade v, a contribuição do movimento cinético à energia interna deste sistema seria

Ec = NÍ-mi?2 j, se as moléculas se deslocassem todas exatamente na direção oposta - v,

a contribuição seria a mesma. Obviamente, que estas duas situações são extremamente

improváveis, já que existiriam milhares de outras situações que resultariam

numericamente na mesma contribuição Ec. Isto significa que existem inúmeras

possibilidades ao nível molecular (estados microscópicos) que correspondem a um

único estado macroscópico termodinâmico, caracterizado por sua energia interna.

Devido aos inúmeros e incessantes choques moleculares, na realidade, o

sistema não se mantém em um único estado microscópico, mudando continuamente em

pequenos intervalos de tempo de um estado a outro. Entretanto, as medidas

macroscópicas que permitem determinar as variáveis termodinâmicas são realizadas em

tempos extremamente longos, quando comparados aos intervalos de tempo dos choques

moleculares, e são, na realidade, médias tomadas sobre todas as possibilidades de

movimentos moleculares. Nesse sentido, a entropia pode ser definida como a soma das

possibilidades de realização dos estados microscópicos compatíveis com o estado

termodinâmico do sistema. Quanto rnenor o número de possibilidades maior será a

ordem do sistema, maiores possibilidades levam a uma maior desordem.

35

1.2 - Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica

Os exemplos de processos irreversíveis, tais como, o fluxo de calor de uma

temperatura mais elevada até uma temperatura mais baixa, a conversão de energia

mecânica em calor, ou a refrigeração de corpos aquecidos são características de

processos ditos naturais, ou seja, movimentos espontâneos de energia. Em tais processos

as moléculas constituintes do sistema envolvido tendem para uma distribuição aleatória

de suas energias. Essa distribuição desordenada é a mais provável, enquanto que outras

mais organizadas possuíam menor probabilidade de ocorrência. Logo, o crescimento

espontâneo da entropia de um sistema poderia estar relacionado com o aumento da

distribuição aleatória das energias moleculares do mesmo sistema. Em conseqüência, o

aumento de entropia em todo o processo irreversível natural mede o aumento da

desordem e do caos no sistema em questão. Um exemplo prático que exemplifica tal

situação é o caso da mistura de água quente com água fria. Poderíamos utilizar a água

quente e a água fria como os reservatórios quente e frio de uma máquina térmica7.

Enquanto, retiramos calor da água quente e fornecemos caíor para a água fria, podemos

obter uma certa quantidade de trabalho. No entanto, depois que ocorre a mistura da água

e ocorre o equilíbrio térmico, a condição de obtenção de trabalho se perde, pois a água

quente não pode ser mais separada da água fria. Devemos deixar claro que não existe

nenhuma diminuição de energia quando a água quente se mistura com a água fria, mas

sim a perda da disponibilidade, ou seja, a oportunidade de converter parte do caíor da

água quente em trabalho mecânico. Portanto, quando ocorre o aumento de entropia, a

energia para a produção de trabalho toma-se menos disponível e o sistema toma-se mais

caótico ou aleatório.

Quando incluímos todas as variações de entropia no interior do sistema, as

variações positivas são sempre maiores do que as variações negativas. Particularmente,

para o caso de um processo reversível, os aumentos e diminuições de entropia são

exatamente iguais. Portanto, podemos enunciar:

"Quando todas as variações de entropia que

ocorrem em um processo são somadas, a entropia

1 As máquinas são dispositivos nos quais geralmente ocorrem transformações de energia para o beneficiodo homem. Nas chamadas máquinas térmicas ocorrem necessariamente transformações de calor emoutras formas de energia, ou seja, elas possuem a capacidade de converter calor em trabalho (MOYSES,Adir. Termodinâmica, 2005).

36

ou cresce ou permanece constante. Em outras

palavras, não existe nenhum processo com

diminuição de entropia quando todas as possíveis

variações de entropia são incluídas."

(YOUNG & FREEDMAN, Termodinâmica e

Ondas, 2003).

Portanto, vimos que a entropia de um sistema cresce quando este recebe

calor de sua vizinhança, e a relação com a segunda lei da termodinâmica, na escala

microscópica, naquela época, foi feita por Boltzmann nos seguintes termos:

"A relação entre a Segunda Lei da Termodinâmica

e a teoria das probabilidades foi inicialmente

mostrada quando eu provei que uma demonstração

analítica desta Lei pode ser fundamentada apenas

a partir da teoria das probabilidades. [...]

podemos calcular o estado de equilíbrio

investigando a probabilidade de diferentes

possíveis estados do sistema. O estado inicial será,

na maioria dos casos, muito provável e, a partir

dele, o sistema irá evoluir em direção a estados

mais prováveis, isto é, ao estado de equilíbrio do

calor. Se aplicarmos isto na segunda lei, podemos

relacionar a quantidade que comumente

designamos como entropia com a propriedade do

estado atual. Pensando num sistema isolado de

corpos que não troca energia com o meio externo,

por exemplo, um corpo de alta temperatura e outro

de baixa temperatura, colocados em contato

térmico e isolados do exterior, permitindo-se a

troca de calor somente entre eles (...) O sistema de

corpos que pensamos, pode ter no inicio qualquer

estado; através da troca entre os corpos, este

estado muda; de acordo com a Segunda Lei esta

37

mudança deve sempre ocorrer de modo que a

entropia de todos os corpos aumente cada vez

mais; o sistema de corpos caminhará de um estado

mais improvável, para um estado mais prováver

[(MAGIE, 1935 (transcreve Covolan, 2004, p. 52)]

38

CAPITULO IV

AULA PROPOSTA

Neste capítulo, encontra-se a aula8 proposta, onde se pretende mostrar aos

aíunos uma forma alternativa do conceito e medição da entropia apresentado peío físico

austríaco Ludwig Boltzmann, enfatizando a diferença entre microestado e macroestado.

Em seguida, associamos o conceito de entropia com a segunda Lei da Termodinâmica e,

conseqüentemente, com a desordem de um sistema. E, finalmente, foi realizada uma

tentativa de contextualização do conceito de entropia com alguns fenômenos naturais

que ocorrem no cotidiano dos alunos.

1.1 - Aula - Uma forma alternativa de conceituar entropia

Suponhamos que uma pessoa jogue para o alto certo número de moedas

(N) iguais e quando estas chegarem ao solo, metade delas mostre cara e a outra metade

Coroa. Trata-se de uma descrição macroscópica do sistema de N moedas. A descrição do

estado microscópico do referido sistema inclui informação sobre cada moeda

individualmente, ou seja, a moeda l exibia cara, a moeda 2 coroa, a moeda 3 cara e

assim por diante. Como visío anteriormente, existem muitos estados microscópicos que

correspondem ao mesmo estado macroscópico. Agora, observemos a figura abaixo que

simula quatro moedas (N=4) sendo jogadas para o alto e ao chegarem ao solo podem

assumir as seguintes configurações:

A aula é composta por dois tempos de 45 minutos.

39

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Figura 9 - Todos os estados microscópicos possíveis para quatro moedas. Podem

existir diversos estados microscópicos para cada estado macroscópico.

Agora faremos urna análise das configurações obtidas acima, mediante o

auxilio da íabeJa abaixo, de forma que o lado "cara" é representado pela letra "K" e o

lado "coroa" é representado pela letra "C".

Estado

microscópico

1

K

C

K

K

K

2

K

K

C

K

K

3

K

K

K

C

K

4

K

K

K

K

C

Nr de Estados

microscópicos (n)

Kí)

Hl)

Estado macroscópico

Quatro caras

Três caras, uma

coroa

Probabilidade (P) de

aparecer cara ou coroa

(l/16) = (l/2)4

^=HV&

40

C

ccK

K

K

C

C

C

K

C

C

K

K/i

C

K

C

C

K

C

C

K

C

K

C

K

C

C

K

C

C

C

K

K

C

K

C

C

K

C

C

C

C

TOTAL

H4)

H4)

"(í)16 -24

Duas caras, duas

coroas

Uma cara, três

coroas

Quatro coroas

6/16 = 3/8 -(24)(27

4/,6^(34X2

1)4

(l/16) = (l/2)4

1

Tabela ] - Análise das configurações para quatro moedas

Para o cálculo do número de estados microscópicos (n) e da probabilidade

(P) foram utilizadas as seguintes fórmulas:

/ N \ f N \n~ ( v l ~ ( ri* onde HK é o número de estado microscópico cara e nc é o numeroMI K' vnC''

de estado microscópico coroa; e

Podemos observar que o número total de estados microscópicos é 2 = 16,

dentre estes, existem 6 (seis) possibilidades para as quais uma metade indica cara e a

outra metade coroa. A menor possibilidade é a distribuição em que todas as moedas

exibam somente cara ou coroa, no entanto, devemos frisar que ambas possibilidades são

prováveis.

O número de estados microscópicos aumenta consideravelmente com o

crescimento de N (n° de moedas). Para N=100, temos 2100 - 1,27 x IO30 estados

microscópicos, dos quais 1,01 x 3 O29 exibem metade cara e metade coroa.

(10°) = ÍOO! / 501(100-50)! = 1,00891 x IO29

A ocorrência menos provável da distribuição de moedas é que todas sejam

caras ou todas sejam coroas, já que a probabilidade desta ocorrência é de l ern 1,27 x

IO30. A probabilidade maior é que a metade exiba cara e outra metade coroa, devido ao

41

fato de o estado macroscópico "metade cara e metade coroa" possuir o maior número

possíveí de estados microscópicos correspondentes.

Podemos associar que N moedas todas mostrando coroas formam um

estado macroscópico ordenado, pois, a descrição "todas caras" especifica

completamente o estado de cada uma das N moedas. Porém, a descrição macroscópica

de "metade cara, metade coroa" por si só informa muito pouco sobre o estado (cara ou

coroa) de cada moeda individual. Com isso, dizemos que o sistema está desordenado

porque sabemos muito pouco sobre seu estado microscópico.

Portanto, foi constatado no exemplo de lançamento de 4 moedas, que o

macroestado mais provável corresponde àquele que possui o maior número de

microestados. No referido exemplo, tal estado macroscópico corresponde ao

macroestado "metade cara e metade coroa", como podemos conferir na tabela 1.

Seguindo esta "linha de raciocínio" podemos dizer que o macroestado mais provável é

aquele que possui a maior probabilidade de ocorrer. Conseqüentemente, verificamos,

analisando a Tabela l, que esta probabilidade de ocorrência é proporcional ao número

de microestados correspondente ao mesmo macroestado. Com isso, vamos definir

ENTROPIA da exibição de cara ou coroa de uma moeda, como sendo o número de

estados microscópicos ou microestados diferentes correspondentes a certo estado

macroscópico ou macroestado. Ou seja, essa entropia será o número de microestados em

um macroestado. A entropia do macroestado "todas caras ou todas coroas" é l (um),

enquanto que a entropia do macroestado "metade cara, metade coroa" são 6 (seis), para

o caso de N = 4 moedas. Seguindo esta análise, concluímos que quanto maior o número

de microesíados, maior torna-se o valor da entropia, logo, dizemos que a ENTROPIA é

proporcional ao número de estados microscópicos ou microestados diferentes

correspondentes a certo estado macroscópico ou macroestado. Portanto, comparando o

macroestado "iodas coroas" com o macroesíado "metade cara, metade coroa", podemos

dizer que este possui um número de estados microscópicos maior e desordenado, em

conseqüência, sua entropia, que também estima a desordem de um sistema, será maior.

Finalizando a análise, podemos inferir que a ENTROPIA, de certa forma, é uma

medida da probabilidade de ocorrência de um determinado macroestado.

Resumindo o que vimos até agora:

1°) Um macroestado de um sistema é composto de um certo número de

microestados;

42

2°) Todos os microestados de qualquer macroestado são igualmente prováveis;

3°) Quanto mais microestados um macroestado tiver, mais provável ele é.

4°) A entropia de um macroestado é proporcional ao número de microestados que

ele tem.

Conforme definido, anteriormente, a entropia de um macroestado é

proporcional ao número de microestado nesse macroestado. E a probabilidade de um

macroestado é proporcional ao número de microestados que ele contém.

Antes de seguirmos adiante, vamos analisar mais dois casos de lançamento

de moedas, o primeiro caso lançando as moedas l e 2, e o segundo caso lançando as

moedas 3 e 4, conforme as tabeias abaixo:

Estado

microscópico

1

K

K

C

C

2

K

C

K

C

TOTAL

Nr de Estados

microscópicos (n)

' -(o2) |

*-(?)Kf)

d — 92


Duas caras

Uma cara, uma

coroa

Duas coroas



(l/4) = (l/2f

(2/4) = (l/2) = (^)(l/2)2

(l/4) = (l/2)2

1

Tabela 2 - Análise das configurações para duas moedas (l e 2)

Estado

microscópico

3

K

K

C

C

4

K

C

K

C

TOTAL

Nr de Estados

microscópicos (n)

KS)KDRf)

4 — 92~T jt*


Duas caras

Uma cara, uma

coroa

Duas coroas



(l/4) = (l/2)2

(2/4) = (l/2) = (2)(l/2)2

(1/4) -(1/2)2 j

1

Tabela 3 - Análise das configurações para duas moedas (3 e 4)

43

Agora, vamos denominar o lançamento das 4 moedas (l, 2, 3 e 4), descrito

na tabela l, de sistema C, o lançamento das moedas l e 2 (tabela 2) de sistema A e o

lançamento das moedas 3 e 4 (tabela 3) de sistema B.

Em seguida, observaremos cuidadosamente, o macroestado "uma cara,

uma coroa" para o sistema A e B simultaneamente, conforme a tabela abaixo:

Estado

microscópico

1

K

C

K

C

2

C

K

C

K

3

K

C

C

K

4

C

K

K

C

Nr de Estados

microscópicos (n)

4 (sistema C) = 2

(sistema A) + 2

(sistema B)


uma cara, uma coroa

(sistema A e B) — *

metade cara, metade

coroa (sistema C)



Vi (sistema C) = V2

(sistema A) x l/2

(sistema B)

Tabela 4 - Análise do macroestado "metade cara, metade coroa" para o sistema A e B

simultaneamente.

Analisando o caso acima, podemos observar que os microestados relativos

ao macroestado "uma cara, uma coroa", dos sistemas A e B, se misturam, resultando

nos microestados relativos ao macroestado "metade cara, metade coroa" do sistema C.

Ou seja, existe uma relação aditiva entre o n° de estados microscópicos dos sistemas A e

B, resultando no n° de estados microscópicos do sistema C.

Como definimos a entropia como sendo o número de estados

microscópicos ou microestados diferentes correspondentes a certo estado macroscópico

ou macroestado. Podemos admitir, para o caso da tabela 4, o seguinte:

84=82 + 82, sendo:

84 - Entropia do macroestado "metade cara, metade coroa", do sistema C;

82 - Entropia do rnacroesíado "uma cara e uma coroa", para o caso dos

sistemas A e B.

Generalizando a conclusão acima, podemos dizer que a entropia pode ser

definida como uma quantidade aditiva. Ou seja, se um sistema A tem entropia SA e um

sistema B tem entropia SB, um sistema C composto dos sistemas A e B, deve ter

entropia Sc - SA + SB.

44

No entanto, probabilidades são quantidades multiplicativas. Por exemplo,

analisando a tabeía 4, observamos que a probabilidade do macroestado "metade cara,

metade coroa" do sistema C é igual à multiplicação das probabilidades relativas ao

macroestado "uma cara e uma coroa" dos sistemas A e B. Outro exemplo é o caso de

obtermos uma cara ou uma coroa, ao lançarmos uma moeda, é 1/2. Se lançarmos duas

moedas, a probabilidade de obtermos duas caras ou duas coroas seguidas é 1/2 x 1/2 =

1/4.

Verificamos que entropias se somam, mas probabilidades se multiplicam.

Para relacionar entropia com esta propriedade da probabilidade, a entropia foi definida

como sendo proporcionai ao logaritmo9 da probabilidade do macroestado. Ou seja, se

um sistema tem um macroestado A, com probabilidade PA e entropia SÁ, e outro sistema

tem um macroestado B, com probabilidade PB e entropia SB, a probabilidade de achar o

conjunto dos dois sistemas nesses estados, simultaneamente, será P = PA x PB, que

corresponde à entropia total S.

Agora, definindo WA como sendo o número de microestados compatíveis

com o macroestado A e WB, o número de microestados compatíveis com o macroestado

A, teremos: P = PA x PB -* C x W = (CA x WA) x (CB x WB), onde C, CA e CB são

constantes devido à proporcionalidade existente entre & probabilidade e o número de

microestados relativos a um macroestado.

Tomando o logaritmo nos dois lados da equação, teremos:

k x log W = k x log WA + k x log WB

Portanto, se dissermos que a entropia do macroestado A é SA = k x log

WA, e a entropia do macroestado B é SB = k x log WB, teremos S = SA + SB, onde S = k

x log W é a entropia dos estados A e B juntos. Ou seja, a entropia é proporcional ao

logaritmo do número de microestados.

Desta forma, segundo Ludwig Boíízmann, a entropia de um sistema que

está em um estado cuja probabilidade é P, com um número W de microestados

compatíveis com esse estado, é escrita como S = k x log W. Essa constante de

proporcionalidade k é chamada de constante de Boltzmann. Uma das vantagens de usar

esta definição da entropia ligada ao logaritmo da probabilidade decorre do fato de que,

geralmente, estaremos lidando com números muito grandes, pois nos casos reais da

física, o número de microestados costuma ser gigantesco.

'Relembrando a propriedade dos logaritmos que diz se tivermos C - A x B.teremos logC = log A + log B

45

1.1.1 - Uma forma alternativa de relacionar entropia com a Segunda Lei da

Termodinâmica

Prosseguindo com a segunda parte da nossa aula, vamos considerar que as

figuras abaixo sejam caixas, formadas por duas seções (figura ÍO), contendo em seu

interior quatro moléculas de um gás qualquer, sendo estas representadas pelas bolinhas

azul, amarela, verde e vermelha. Podemos dizer que o microestado, para o caso das

moléculas desse gás, especifica a posição precisa de cada uma isoladamente, na seção l

ou na seção 2 da referida caixa. A um dado macroestado qualquer correspondem vários

microestados diferentes: podemos alterar a posição de uma molécula aqui, outra acolá, e

ninguém que estiver observando escalas macroscópicas irá perceber.

Se<Só 2

Figura 10

Agora vamos considerar o problema de contar os microestados possíveis

nestas caixas contendo este gás. Para isso, como já mencionado, podemos imaginar a

caixa dividida em duas seções e contar quantas formas diferentes podemos dispor estas

quatro moléculas em cada seção da caixa.

MACROESTADO 1: QUATRO MOLÉCULAS NA SEÇÃO l

oo

oioi

46

MACROESTADO 2: TRÊS MOLÉCULAS NA SEÇÃO l E UMA

MOLÉCULA NA SEÇÃO 2

O

O

i

oi11I11

O

O O J1

O

oo o

iI118I11

0

o oo

MACROESTADO 3: DUAS MOLÉCULAS NA SEÇÃO 1 E

MOLÉCULAS NA

o

H

111I

SEÇÃO 2

oo

oo

I1111111

oo

oo

i11II1

JL

oo

oo

111II|1

o

DUAS

1111111

oo

oo

111iIaii

oo

oo

i11111

oo

47

MACROESTADO 4: UMA MOLÉCULA NA SEÇÃO l E TRÊS

MOLÉCULAS NA SEÇÃO 2

O

T

Ioio o\Jr

o !o111

JL.

OO

oTH

:'oio

O

11I1j o

Jl»*»»

oo

MACROESTADO 5: QUATRO MOLÉCULAS NA SEÇÃO 2

O O

O O

A probabilidade de cada macroestado seria dada pelo número de maneiras

distintas (microestado) de distribuir as moléculas mantendo a mesma configuração, ou

seja, o mesmo macroestado. Por exemplo, para o MACROESTADO 3, trocando uma

molécula da seção l com outra da seção 2, teríamos um microestado diferente,

correspondente ao mesmo macroestado. Até agora podemos constatar que se o número

de moléculas for grande, o número de microestados é enorme e que um macroestado

como o MACROESTADO 3 é muito mais provável que o MACROESTADO l ou 5,

por exemplo, pois no MACROESTADO 3 o número de microestados é maior.

48

Podemos verificar que o gás, no MACROESTADO 3, assume uma

configuração mais espaíhada, ou seja, seu estado evoluiu para urna configuração mais

desordenada. No entanto, temos que perceber que é possível encontrar o gás em

qualquer macroestado (l, 2, 3, 4 ou 5). Entretanto, o número de formas (microestados)

de distribuir as moléculas de modo a ter o mesmo número em cada seção (macroestado)

é diferente, em todos os casos, ou seja, em todas as configurações analisadas. Notamos

que esse número é muito maior para a configuração representada pelo

MACROESTADO 3. E como a entropia representa o número de diferentes

microestados que correspondem a um mesmo macroestado, há mais forma de dispor um

dado número de moléculas em uma configuração de alta entropia que em uma

configuração de baixa entropia. Portanto, podemos observar que a entropia do gás no

MACROESTADO 3 é maior que a entropia nos MACROESTADOS l ou 5. Esta

diferença de entropia se acentua consideravelmente quando o número de moléculas

aumenta. Com isso, podemos enunciar a 2° Lei da Termodinâmica de uma forma

alternativa:

"Todo sistema físico sempre evolui, espontaneamente, para situações de

máxima entropia" (vvww.seara.ufc.br/dona.fifi/entropia.htm).

O número de microestados pode, também, ser usado como uma medida da

desordem do sistema. Nesse contexto, a desordem do gás no MACROESTADO 3 é

maior que a desordem no MACROESTADO l ou 5. Com isso, chegamos a mais uma

forma alternativa de enunciar a segunda lei da termodinâmica:

"Todo sistema natural, quando deixado livre, evolui para um estado de

máxima desordem, correspondente a uma entropia máxima"

(www. seara, ufc.br/donafifi/entropia. htm).

Portanto, podemos relacionar a entropia com a desordem, ou seja,

podemos dizer que a entropia mensura a desordem e a desorganização da matéria

durante os processos, conseqüentemente, ela nos fornece uma estimativa quantitativa da

desordem.

49

1.1.2- Contextualizando o conceito de entropia com alguns fenômenos naturais

Na análise das reações químicas e das transformações dos sistemas

materiais verificou-se que a matéria tende a agregar-se em configurações mais estáveis Q

fortemente ligadas. E como um sistema torna-se tanto mais instável quanto maior for o

seu conteúdo de energia interna, isto pode ser constatado, somente, se o referido sistema

libera energia ao ambiente externo sob forma de calor ou de trabalho.

Outra verificação importante na referida analise foi que a matéria tende a evoluir no

sentido dos estados de máxima entropia conforme exposto no capitulo anterior. Ou seja,

tende a evoluir ao estado de mais alto grau de desorganização estrutural e de dispersão

espacial de acordo com a sua temperatura e com as outras condições de contorno.

Com isso, podemos estabelecer quatro variedades de situações implicadas no curso

de transformação:

1) LIBERAÇÃO DE ENERGIA E AUMENTO DA ENTROPIA: Combustão,

digestão dos alimentos, fissão nuclear, explosão, expansão de uma mola, etc.

2) LIBERAÇÃO DE ENERGIA E DIMINUIÇÃO DA ENTROPIA. Resfriamento,

liquefação, solidificação da água, por exemplo, etc.

3) ABSORÇÃO DE ENERGIA E AUMENTO DE ENTROPIA: Aquecimento,

liquefação, vaporização, etc.

4) ABSORÇÃO DE ENERGIA E DIMINUIÇÃO DA ENTROPIA: Metabolismo

das plantas e dos animais, síntese dos polímeros, etc.

Um exemplo prático para ilustrarmos as situações acima é o caso da nitroglicerina

que é um composto onde os átomos de carbono, oxigênio e nitrogênio estão dispostos

em moléculas compJexas agregadas em um estado relativamente compacto (estado

líquido). Nesta situação podemos dizer que parte considerável da energia interna da

nitroglicerina está "congelada" nas ligações moleculares pouco estáveis e a outra parte

da energia se encontra na agitação térmica das próprias moléculas. No entanto, mediante

um pequeno estimulo externo este estado físico-quimico se desfaz e ocorre o que

chamamos de "detonação" evoluindo para um outro estado, onde os mesmos átomos se

reagrupam em número maior de moléculas mais simples que o estado anterior, e com

ligações químicas mais intensas e estáveis. Com isso, a energia de ligação liberada se

torna energia térmica que transforma os produtos da reação em gás a alta temperatura,

num estado mais desordenado do que o estado líquido inicial.

50

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Foi constatado, durante a confecção deste trabalho, que a palavra entropia

foi utilizada na física para designar a Segunda lei da Termodinâmica, a qual podia ser

enunciada da seguinte forma: "Todo o sistema natural, quando deixado livre, evolui

para um estado de máxima desordem, correspondente a uma entropia máxima". Desta

forma podemos dizer que a entropia representa a perda de energia do Universo, que

ocorre a cada instante, razão pela qual os pesquisadores afirmam que o Universo

caminha para a morte térmica. Esta perda é irreversível e, portanto esta energia perdida

jamais poderá ser recuperada. Este sentido único da entropia fez com que os físicos a

chamassem de "seta do tempo".

A entropia, também, pode ser associada ao sentido de degradação. Assim,

a velhice, a qual todos os seres vivos estão fadados, é um exemplo da atuação da

entropia vivenciado por nós, seres-humanos, diariamente até resultar em nossa morte.

Desta forma, procurou-se neste trabalho, enfocar o termo entropia

basicamente na física térmica estatística, particularmente na Segunda Lei da

Termodinâmica. Para isso, foi feita uma revisão bibliográfica sobre a parte histórica do

tema, abordando desde a origem do conceito até sua utilização na física quâníica

estatística. Depois, relacionamos entropia com a segunda lei da termodinâmica. .

Com isso, procurou-se realizar um apanhado do termo entropia de forma

diferente, da qual encontramos nos livros didáticos de ensino médio, de modo a servir

de "ferramenta" adicional para os professores do referido ensino, por ocasião das aulas

de física térmica e em particular da entropia e da segunda lei da termodinâmica em uma

forma totalmente contextuaJizada. Como exemplo desta coníextualização, foi sugerida

uma aula, analisando a probabilidade de "tirar" cara ou coroa em um lançamento de

moeda, para posteriormente, definirmos entropia. Em seguida, utilizamos a simulação

de expansão livre de um gás hipotético, a fim de relacionar entropia com a 2° Lei da

Termodinâmica e, por fim, procuramos relacionar este novo conceito com alguns

fenômenos naturais. Portanto, como foi verificado no presente trabalho, a entropia e a

segunda lei da termodinâmica estão intimamente ligadas com o nosso dia a dia e,

principalmente, com a evolução dos seres vivos, do nosso planeta e do Universo, no

quaí estamos inseridos.

51

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Generalização do Conceito de Entropia. Revista Brasileira do Ensino de Física, v.

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American Brasil, ano 6, n° 74, Julho, 2008.

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Um estudo de sen entendimento por professores de ensino médio. Online:

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ciência. Dissertação de Mestrado - Campinas, SP: [s.n], 2004.

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15) Online: disponível na Internet via

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52

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Boltzmaniana. São Pauío: Fundação Editora da UNE SP, 1997.

17) RAMALHO, Júnior Francisco; NICOLAU, Gilberto Ferraro e TOLEDO, Paulo

Antônio Soares. Os fundamentos da física. 8a ed. rev. e ampl. - São Paulo:

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desenvolvimento e utilização. Atas do XI Simpósio Nacional do Ensino de Física.

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19) SILVA, D. Estudo das trajetórias cognitivas de alunos no ensino da diferenciação

dos conceitos de calor e temperatura. Tese de doutorado. São Pauío. Faculdade de

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