ENTROPIA TOPOLOGICA

Jennyffer Smith Bohorquez Barrera

Dissertacao de Mestrado apresentada ao Programa

de Pos-graduacao do Instituto de Matematica, da

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessarios a obtencao do

tıtulo de Mestre em Matematica.

Orientador: Maria Jose Pacifico

Coorientador: Alexander Eduardo Arbieto Mendoza

Rio de Janeiro

Outubro 2013

CIP - Catalogação na Publicação

Elaborado pelo Sistema de Geração Automática da UFRJ com osdados fornecidos pelo(a) autor(a).

B676eBohorquez Barrera, Jennyffer Smith Entropia topológica / Jennyffer Smith BohorquezBarrera. -- Rio de Janeiro, 2013. 57 f.

Orientadora: Maria Jose Pacífico. Coorientador: Alexander Eduardo ArbietoMendoza. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal doRio de Janeiro, Instituto de Matemática, Programa dePós-Graduação em Matemática, 2013.

1. Entropia topológica - teses. 2. Dinâmica. I.Pacífico, Maria Jose, orient. II. Arbieto Mendoza,Alexander Eduardo, coorient. III. Título.

Agradecimentos

Agradeco aos meus orientadores Maria Jose Pacifico e Alexander Arbieto Mendoza pela

paciencia e dedicacao.

A minha avo Maria Antonia Serrano, meus pais Blanca Barrera e Jesus Bohorquez, e

aos meus irmaos Johanna e Chucho, agradeco todo o amor, carinho, compreensao e apoio

incondicional.

Aos meus amigos da UFRJ: Rozieli, Rodrigo, Nelson, Daniel, Sara, Andres e Paul que

tornaram os dias mais agradaveis. Em especial a Freddy Castro, Thiago Peixinho, Diego

Silva Barros e Renan Assimos.

E finalmente, agradeco a CAPES pelo apoio financeiro que foi essencial para a rea-

lizacao deste trabalho.

Resumo

A entropia topologica e uma maneira de medir a taxa de complexidade de um sistema

dinamico, que se traduz como a imprevisibilidade da evolucao do sistema. Neste contexto,

um sistema pode ser dito caotico se sua entropia topologica e positiva. O objetivo principal

deste trabalho e expor tres mecanismos que garantem a positividade da entropia topologica

de um sistema dinamico.

Primeiro estudamos difeomorfismos que possuem pontos homoclınicos transversais.

Smale [19] observou que a existencia destes pontos garantem a positividade da entropia

topologica.

O segundo resultado e uma desigualdade obtida por Fathi [10], que chamaremos a

formula de Fathi, a qual relaciona entropia topologica, dimensao de Hausdorff e propriedades

parecidas com a hiperbolicidade. Esta formula requer apenas conhecimento topologico do

sistema dinamico e se aplica a uma classe importante de sistemas dinamicos que sao ditos

os sistemas expansivos.

Finalmente, Lewowicz [12] observou que se o espaco onde a dinamica e definida e

suficientemente rico entao e possıvel garantir a positividade da entropia topologica de um

sistema expansivo geral.

Palavras Chaves: Entropia topologica, Expansividade, Hiperbolicidade, Dimensao de Haus-

dorff.

Abstract

The Topological entropy is a way to measure the rate of complexity of a dynamic

system, which translates as the unpredictability of the system evolution. In this context,

a system can be said chaotic if its topological entropy is positive. The main goal of this

text is to present three mechanisms to ensure the positivity of the topological entropy of a

dynamical system.

First we study diffeomorphisms that have transversal homoclinic points, Smale [19],

noticed that the existence of these points ensure the positivity of topological entropy.

The second result is an inequality obtained by Fathi [10] , which we call Fathis’s

formula, which relates topological entropy, Hausdorff dimension and properties similar to

Hyperbolicity. This formula requires only the knowledge of the topological dynamical system

and it applies to an important class of dynamical systems that are called expansive systems.

Finally, Lewowicz [12] noted that the space where the dynamics is defined is rich enough

then it is possible to guarantee the positivity of the topological entropy of a general expansive

system.

Key words: Topological entropy, Expansivity, Hyperbolicity, Hausdorff dimension.

Sumario

1 Notacao, Definicoes e Ferramentas 5

2 Entropia topologica e propriedades 10

2.1 A Definicao de Adler, Konheim e McAndrew . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 A Definicao de Bowen-Dinaburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Propriedades de entropia topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Outras Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Expansividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6 O shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6.1 Propriedades do espaco das sequencias bilaterais . . . . . . . . . . . . 20

2.6.2 Propriedades do shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 A Ferradura de Smale 23

3.1 A Ferradura de Smale em R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Alguns preliminares da Dinamica Hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Hiperbolicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Sombreamento e Expansividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5 Prova do Teorema de S. Smale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Expansividade e Entropia Topologica 45

4.1 A formula de Fathi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Condicoes sobre o espaco metrico para ter entropia topologica positiva . . . 51

4.2.1 Homeomorfismo expansivo com entropia topologica nula . . . . . . . 51

4.2.2 Teorema de Lewowicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Introducao

Stephen Smale foi um dos matematicos que mais contribuiu ao desenvolvimento da

Teoria dos Sistemas Dinamicos. No comeco de suas pesquisas sobre o assunto, junto com os

matematicos da epoca, acreditavam que a maioria dos sistemas dinamicos apresentava um

comportamento nao demasiadamente estranho, e que de fato, o numero de orbitas periodicas

era finito. Segundo a terminologia atual isto significaria que caos nao seria uma propriedade

comum. Porem, o matematico Norman Levinson enviou uma carta a Smale onde descreveu

um resultado de Cartwright-Littlewood ([4] e [5]), que continha um exemplo com uma in-

finidade de orbitas periodicas, aparentemente robusto. Tentando entender as razoes pelas

quais este fenomeno ocorria, na decada de 1960, Stephen Smale introduz em [19] um exem-

plo de carater geometrico de um sistema dinamico caotico com infinitas orbitas periodicas,

chamada a Ferradura de Smale. Este exemplo o levou a definir e investigar os sistemas ditos

hiperbolicos que motivou o estudo da teoria destes sistemas dinamicos ate hoje.

Por outro lado, surgiram diversas propostas para a nocao de um sistema caotico, ou seja,

maneiras de medir a taxa de complexidade do sistema, que se traduz como a imprevisibilidade

da evolucao do sistema. Uma delas e por meio do uso da entropia topologica, que e o nosso

principal objeto de estudo neste trabalho. Neste contexto, um sistema pode ser dito caotico

se sua entropia topologica e positiva.

A entropia topologica de um sistema dinamico discreto (X,T ), foi definida pela pri-

meira vez em [1] pelos matematicos Adler, Konheim, e McAndrew na decada de 1965. A

definicao esta baseada em coberturas abertas e requer, portanto, que o espaco X seja um

espaco topologico compacto e a aplicacao T seja contınua. Na decada de 1970, Bowen e Dina-

burg introduziram em [2] e [7] uma definicao equivalente e muito util de entropia topologica.

Uma vantagem desta definicao, e que o espaco X nao precisa ser compacto, desde que T

seja uniformemente contınua. No entanto, iremos considerar sistemas dinamicos apenas em

espacos compactos.

O objetivo desta monografia e expor tres mecanismos que garantam a positividade da

entropia topologica de um sistema dinamico.

1

O primeiro resultado, obtido por Smale, usa um fenomeno semi-local. A teoria hi-

perbolica local lida com pontos periodicos cujos autovalores da derivada (no perıodo) nao

pertencem ao cırculo unitario. Esta propriedade implica que o conjunto de pontos que no

futuro convergem a orbita periodica e de fato uma subvariedade diferenciavel, o mesmo ocor-

rendo com o conjunto de pontos que no passado convergem a orbita periodica. O que Smale

observou e que caso ocorra uma intersecao transversal entre estas subvariedades (distinta da

orbita periodica) entao o sistema deve ter entropia topologica positiva.

Teorema (S. Smale). Seja T : M → M um difeomorfismo de uma variedade dife-

renciavel compacta. Se T possui um ponto homoclınico transversal entao a entropia to-

pologica de T e positiva.

O segundo resultado e uma desigualdade obtida por Fathi a qual relaciona entropia

topologica, dimensao de Hausdorff e propriedades parecidas com a hiperbolicidade. Este tipo

de formula e muito frequente em sistemas dinamicos, como por exemplo, a formula de Pesin,

que ocorre em situacoes aonde o sistema e suficientemente diferenciavel. Porem a formula

de Fathi requer apenas conhecimento topologico do sistema dinamico. Em particular, ela se

aplica a uma classe importante de sistemas dinamicos que sao ditos sistemas expansivos, ver

[20].

Lembramos que um homeomorfismo T : X → X sob um espaco metrico compacto

(X, d′) e expansivo, se existe uma constante δ > 0 satisfazendo a seguinte propriedade:

se d′(T j(x), T j(y)) < δ para todo j ∈ Z, entao x = y.

A constante α chama-se constante de expansividade.

Fathi, observou que neste casso e possıvel mudar a metrica d′ por uma metrica d de

forma que satisfaca a seguinte propriedade do tipo hiperbolica:

Para todo x, y ∈M, maxd(T (x), T (y)), d(T−1(x), T−1(y)) ≥ minkd(x, y), ε (1)

Onde ε > 0, k > 1 e d e uma metrica que gera a topologia do espaco (X, d′).

Esta propriedade e usada para obter a desigualdade de Fathi e tem como consequencia

o seguinte resultado:

Teorema (Fathi). Seja T : X → X um homeomorfismo de um espaco metrizavel

compacto. Se existe uma metrica d e numeros k > 1 e ε > 0 satisfazendo (1), entao T e

expansiva e

HDd(X) ≤ Cd(X) ≤ 2h(T )

log k.

2

Em particular, HDd(X) e Cd(X) sao finitas.

Um problema no resultado anterior e que, na pratica, talvez seja difıcil obter a expressao

explıcita da metrica de Fathi. Neste sentido, Lewowicz observou que se o espaco onde

a dinamica e definida e suficientemente rico, entao e possıvel garantir a positividade da

entropia topologica de um sistema expansivo geral.

Teorema (Lewowicz). Seja T : X → X um homeomorfismo α-expansivo. Se existe

um ponto x0 ∈ X tal que a componente conexa do seu conjunto α-local instavel e nao trivial,

entao

h(T ) ≥ log 2

Nα/4

onde Nα/4 e um numero natural que depende da constante de expansividade.

Finalmente, observamos que a riqueza do espaco onde a dinamica e definida e ne-

cessaria, pois temos o seguinte exemplo de um sistema expansivo com entropia nula.

Exemplo

Sejam A =xn = −1− 1

n: n ≤ −2

e B =

yn = 1− 1

n: n ≥ 1

subconjuntos de R.

Considere o subespaco compacto de R

X = −1, 1 ∪ A ∪B

com a metrica usual e f : X → X uma funcao definida recursivamente como segue:

f(−1) = −1, f(1) = 1, f(xn) = xn+1, f(yn) = yn+1 e f(x−2) = y1.

Esta funcao, por construcao, e um homeomorfismo expansivo com constante de expansi-

vidade 0 < δ < 1/2. Alem disso, podemos observar que o conjunto nao-errante de f ,

Ω(f) = −1, 1, esta formado pelos unicos pontos fixos de f . Portanto, a entropia de f e

igual a entropia de f |Ω(f), ou seja, h(f) = h(f |Ω(f)) = 0.

A monografia esta estruturada da seguinte forma: No primeiro capıtulo, sao apre-

sentadas a notacao, definicoes e ferramentas que serao necessarias. Alguns resultados, es-

pecialmente de Teoria Ergodica e Dinamica Hiperbolica serao admitidos, enquanto outros

considerados importantes serao apresentados ao longo deste trabalho.

No segundo capıtulo, serao apresentadas as definicoes de entropia topologica tanto no

sentido Adler, Konheim, e McAndrew quanto no sentido Bowen e Dinaburg e mostramos

que, de fato, sao equivalentes. Tambem mostramos algumas propriedades, entre as mais

importantes, que a entropia topologica e um invariante topologico e que homeomorfismos

expansivos possuem entropia topologica finita. Mais ainda, descreveremos um exemplo sim-

ples de um sistema dinamico com infinitas orbitas periodicas e entropia positiva, o shift.

3

No terceiro capıtulo, estudamos brevemente a Ferradura de Smale no espaco R2 e

provamos que e conjugada ao shift. Depois, enunciaremos algums resultados da Dinamica

Hiperbolica, em particular, o Lema de Sombreamento, que e fundamental para provar o

Teorema de Smale [[22], Teorema III.17 pg 102].

O quarto capıtulo, e dedicado aos Teoremas de Fathi e de Lewowicz. Na secao 4.1,

definimos a Metrica Hiperbolica Adaptada, mostramos que todo homeomorfismo expansivo

admite esta metrica, e finalmente, mostraremos o Teorema de Fathi. As demonstracoes

estao baseadas no artigo do mesmo autor [10]. Na secao 4.2, descreveremos com mais

detalhes o homeomorfismo expansivo com entropia nula apresentado no exemplo acima, e

despois, demonstraremos dois lemas necessarios para provar o Teorema de Lewowicz. Estas

demonstracoes sao baseadas nas notas nao publicadas de Jana Rodriguez Hertz expostas em

[12].

4

Capıtulo 1

Notacao, Definicoes e Ferramentas

Neste capıtulo, estabeleceremos notacao, definicoes preliminares e as ferramentas que serao

usadas ao longo deste trabalho. Nos sempre iremos considerar (X, d) um espaco metrico

compacto, T : X → X uma aplicacao contınua e α (ou β) uma cobertura aberta de X.

Alem disso, a bola aberta de centro x e raio r sera denotada por B(x, r), e a bola fechada

por B(x, r).

Coberturas De Um Espaco Topologico

Dizemos que uma cobertura aberta de X, que denotaremos por α, e uma colecao de

subconjuntos abertos de X cuja uniao e X. Se uma subcolecao β da cobertura α e ainda uma

cobertura de X dizemos que β e uma subcobertura de α. Assim, temos que X e compacto se

qualquer cobertura aberta possui uma subcobertura finita.

Dadas duas coberturas α e β, podemos definir uma nova cobertura

α ∨ β = A ∩B : A ∈ α e B ∈ β.

Observe que isso vale tambem para qualquer numero finito de coberturas. Alem disso, pela

continuidade de T temos que T−1α = T−1A , A ∈ α en∨i=1

T−iα sao tambem coberturas

de X, para qualquer n ∈ N.

Seja A um subconjunto nao vazio de X. O diametro de um conjunto A e definido como

|A| = supd(x, y) : x, y ∈ A, isto e, o supremo das distancias entre qualquer dois pontos do

conjunto A. E o diametro de uma cobertura α como diam(α) = sup|A| : A ∈ α.

1.0.1 Definicao. Seja α uma cobertura aberta do espaco (X, d). Dizemos que δ > 0 e um

numero de Lebesgue para a cobertura α se para todo A ⊂ X com |A| ≤ δ, existe B ∈ α tal

que A ⊂ B.

5

A compacidade do espaco metrico e uma condicao suficiente para garantir a existencia

do numero de Lebesgue de qualquer cobertura aberta de X (veja [Wa], Teorema 0.20 (pg

18)].

Dizemos que α e um refinamento de β, que denotaremos por β < α, se todo conjunto

da cobertura α esta contido em algum conjunto da cobertura β. Observe que se α e β sao

duas coberturas abertas de X tal que diam(α) < δ, onde δ > 0 e um numero de Lebesgue

para a cobertura β, entao α e um refinamento de β.

Bola Dinamica

Dada uma metrica d no espacoX, podemos definir uma sequencia crescente de distancias

(dn)n≥1 em X com d1 = d por

dn(x, y) = max0≤i≤n−1

d(T ix, T iy)

onde cada metrica dn mede a distancia entre os segmentos de orbita Inx = x, . . . , T n−1x e

Iny = y, . . . , T n−1y. Assim, para cada n fixo, definimos a bola dinamica de centro em x e

raio r no tempo n como

B(x, r, n) = y ∈ X : dn(x, y) < r.

Pela definicao da bola dinamica temos que

B(x, r, n) =n−1⋂i=0

T−iB(T i(x), r)

Dinamica Topologica

Muitas vezes, em matematica, usamos ferramentas para colocar um determinado pro-

blema em um ambiente mais facil de compreender. Uma dessas ferramentas em dinamica e

a conjugacao topologica.

1.0.2 Definicao. Sejam T1 : X → X e T2 : Y → Y aplicacoes contınuas. Dizemos que

T1 e T2 sao topologicamente conjugadas se existe um homeomorfismo h : X → Y tal que

hT1 = T2h, ou seja, o diagrama (3.3) conmuta. Dizemos tambem que h e uma conjugacao

entre T1 e T2.

X X

Y Y

T1

T2

h h

(1.1)

6

Se T1 e T2 sao topologicamente conjugados entao muitos comportamentos dinamicos

do sistema (T1, X) sao preservados por conjugacao, ou seja, o sistema (T2, Y ) tambem possui

esses comportamentos.

Um ponto y ∈ X e um ponto ω-limite de um ponto x ∈ X se existe uma sequencia de

numeros naturais nk → ∞ (quando k → ∞) tal que T nk(x) → y. O conjunto ω-limite do

ponto x ∈ X e o conjunto ω(x) de todos os ponto ω-limites. Observe que pela compacidade

do espaco X, dado qualquer x ∈ X, o conjunto ω(x) e diferente do vazio.

Dado ε > 0, definimos os conjuntos ε-local estavel e ε-local instavel de um ponto x ∈ Xcomo

W sε (x) = y ∈ X : d(T n(x), T n(y)) ≤ ε, para todo n ≥ 0

e

W uε (x) = y ∈ X : d(T−n(x), T−n(y)) ≤ ε, para todo n ≥ 0

respectivamente. Observe que W sε (x, T−1) = W u

ε (x, T ).

Denotaremos por CW sε (x) a componente conexa do ponto x no conjunto W s

ε (x). Ana-

logamente, definimos CW uε (x).

Dizemos que um ponto x e nao-errante se para toda vizinhanca U de x, existe um

inteiro n > 0 tal que T n(U)⋂U 6= ∅. Assim, existe um ponto y ∈ U tal que T n(y) ∈ U .

O conjunto dos pontos nao-errantes da aplicacao T e chamado conjunto nao-errante e sera

denotado por Ω(T ).

Dimensao de Hausdorff e Capacidade Superior

Dizemos que α = Aii∈Λ e uma ε-cobertura de X se α e uma colecao enumeravel de

conjuntos de diametro menor ou igual do que ε, ou seja, 0 ≤ |Ai| ≤ ε para todo i ∈ Λ.

Suponhamos que s e um numero real nao negativo, entao para qualquer ε > 0 definimos

Hsε(X) = inf

∞∑i=1

|Ai|s : Ai e uma ε-cobertura de X

e

Hs(X) = supε>0Hsε(X).

onde Hs(X) e a Medida de Hausdorff s-dimensional.

1.0.3 Definicao (Dimensao de Hausdorff). A dimensao de Hausdorff de um espaco metrico

compacto (X, d) e

DHd(X) = sups ≥ 0 : Hs(X) =∞ = sups ≥ 0 : Hs(X) = 0

7

1.0.4 Definicao (Capacidade Superior). Seja N(X, ε) a cardinalidade mınima de uma co-

bertura do espaco metrico compacto (X, d) por bolas de raio ε. Entao a capacidade inferior

e superior de X sao definidas, respectivamente, como

C d(X) = lim infε→0

logN(X, ε)

− log εe Cd(X) = lim sup

ε→0

logN(X, ε)

− log ε.

Se C d(X) = Cd(X), entao dizemos que a capacidade de X e

Cd(X) = limε→0

logN(X, ε)

− log ε

1.0.5 Observacao.

i. Pelas definicoes de dimensao de Hausdorff e de capacidade obtemos a seguinte desigualdade

HDd(X) ≤ C d(X) ≤ Cd(X).

De fato, se X e coberto por N(X, ε) bolas de raio ε, entao Hsε(X) ≤ εsN(X, ε). Portanto,

se 1 < Hs(X) = supε>0Hsε(X) entao logN(X, ε) + s log ε > 0 para ε suficientemente pequeno.

Assim, s ≤ lim infε→0

logN(X, ε)/ − log ε. Alem disso, tanto a dimensao Hausdorff quanto a

capacidade sao invariantes sob a passagem a uma metrica bi-Lipschitz-equivalente.

ii. Se T : (X, d1) → (X, d2) e uma aplicacao Holder contınua, isto e, existem constantes

C > 0 e β > 0 tal que

d2(Tx, Ty) ≤ Cd1(x, y)β para todo x, y ∈ X.

Entao DHd2(T (X)) ≤ 1βDHd1(X). Veja [8], pg 29.

Espacos Topologicos Metrizaveis

Sabemos que todo espaco metrico X pode ser considerado, de modo natural, como

um espaco topologico (X, T ), no qual a colecao T e formada pelos subconjuntos abertos de

(X, d). Lembre que A e um conjunto aberto em (X, d) se para todo ponto x em A existe

r > 0 tal que B(x, r) ⊆ A.

Uma topologia T em X e metrizavel quando existe uma metrica em X com relacao

a qual os abertos sao os elementos de T . Porem, sabemos tambem que nem todo espaco

topologico e metrizavel. Assim, surge o Problema de Metrizacao, isto e, sob que condicoes um

espaco topologico e metrizavel. Nos estamos interesados no seguinte teorema de metrizacao.

1.0.6 Teorema (Teorema de Metrizacao de Frink). Seja (X, τ) um espaco topologico com

uma funcao distancia ρ : X ×X → R satisfazendo:

8

1. ρ(x, y) = 0 se e somente se x = y;

2. ρ(x, y) = ρ(y, x) (simetria);

3. Se ρ(x, z) < ε e ρ(z, y) < ε, entao ρ(x, y) < 2ε (Desigualdade triangular generalizada).

Entao (X, τ) e metrizavel, isto e, existe uma metrica D em X tal que (X, τ) e (X,D) sao

homeomorfos. Alem disso, vale a desigualdade

ρ(x, y)

4≤ D(x, y) ≤ ρ(x, y).

Demonstracao. Veja [[11], pg 135].

9

Capıtulo 2

Entropia topologica e propriedades

Existem duas definicoes padrao de entropia topologica para mapas contınuos T : X → X,

onde X e um espaco metrico compacto. Primeiro, iremos dar a definicao original introduzida

por Adler, Konheim e McAndrew, baseada em coberturas abertas, que em princıpio pode

ser aplicada a mapas contınuos T : X → X, sendo X qualquer espaco topologico compacto.

Depois, daremos a definicao introduzida por Bowen e Dinaburg, baseada na dispersao de

orbitas de mapas uniformemente contınuos T : X → X, sendo X e um espaco metrico nao

necessariamente compacto. Porem, nos iremos trabalhar o caso em que X e um espaco

metrico compacto e iremos ver que, neste caso, as duas definicoes coincidem, isto e, produ-

zem o mesmo numero. Tambem iremos enunciar algumas de suas propriedades, dentre as

mais importantes, que a entropia topologica e invariante por conjugacao topologica e que

homeomorfismos expansivos possuem entropia topologica finita. Finalmente, iremos calcular

a entropia topologica do shift.

2.1 A Definicao de Adler, Konheim e McAndrew

Nesta secao, definiremos a entropia topologica de mapas T : X → X contınuos sobre espacos

topologicos compactos.

2.1.1 Definicao. Seja N(α) = min#β : β e uma subcobertura finita deα, entao defini-

mos a entropia de uma cobertura α como H(α) = logN(α).

Sejam α e β duas coberturas abertas de X. Caso α < β, entao por definicao, cada

elemento de uma subcobertura de β com cardinalidade mınima esta contido em um elemento

de α e, portanto, esta escolha gera uma subcobertura de α, que pode nao ter cardinalidade

mınima. Mesmo assim, temos H(α) ≤ H(β).

Da mesma forma, se A1, ..., An e B1, ..., Bm sao subcoberturas com cardinalidade

10

mınima de α e β, respectivamente, entao Ai ∩Bj com 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m forma uma

subcobertura de α ∨ β e assim, H(α ∨ β) ≤ H(α) +H(β).

Se T : X → X e um mapa contınuo, entao H(T−1α) ≤ H(α). Caso seja um homeo-

morfismo, usando a desigualdade anterior para T−1, temos H(T−1α) = H(α).

Estas propriedades serao aplicadas na demostracao do seguinte teorema.

2.1.2 Teorema. Se α e uma cobertura aberta de X , entao o limite

limn→∞

1

nH(

n−1∨i=0

T−iα) existe.

Este limite e chamado entropia de T em relacao a α e sera denotado por h(T, α). Alem

disso, e a taxa de crescimento do numero de elementos emn−1∨i=0

T−iα (da subcobertura de

cardinalidade mınima).

Demonstracao. Primeiro, precisamos provar que se (an)n≥1 e uma sequencia de numeros

reais nao-negativos subaditiva, ou seja, an+k ≤ an + ak para todo n, k ≥ 1, entao limn→∞

ann

existe e e igual a infann

: n ≥ 1. De fato, note que a condicao an ≥ 0 garante a existencia

do ınfimo, logo tome C = limn→∞

ann

. Pela definicao de ınfimo, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal

quean0n0≤ C + ε. Para n > n0 existem p, q ∈ N com n0 ≥ 0 tais que n = n0p + q. Assim,

por hipotese, an ≤ pan0 + aq. Daı,

ann≤pan0+aq

n≤ pan0

n0p+aqn≤ C + ε+

1

n

(sup

j=1,...,n0

aj

)Portanto, quando n tende ao infinito, o resultado segue.

Agora fixando uma cobertura aberta α, definimos a sequencia

an := H(n−1∨i=0

T−iα) para todo n ∈ N.

Entao para todo n, k ∈ N temos

an+k = H(n+k−1∨i=0

T−iα) ≤ H(n−1∨i=0

T−iα) +H(n+k−1∨i=n

T−iα)

≤ H(n−1∨i=0

T−iα) +H(k−1∨i=0

T−iα) = an + ak,

ou seja, a sequencia (an)n≥1 e uma sequencia subaditiva com an ≥ 0 para todo n ∈ N. Logo,

limn→∞

1nH(

n−1∨i=0

T−iα) existe e e nao-negativo.

11

Finalmente, a entropia topologica do mapa T sera o supremo das entropias relativas a

todas as coberturas abertas de X.

2.1.3 Definicao. A entropia topologica de T no sentido Adler, Konheim e McAndrew e

hAKM(T ) = sup h(T, α) tal que α e uma cobertura aberta de X

Note que a entropia topologica pode ser infinito e, na definicao, podemos tomar o

supremo sob as coberturas abertas finitas em vez de coberturas abertas de X.

2.2 A Definicao de Bowen-Dinaburg

Nesta secao definiremos entropia topologica usando conjuntos geradores ou conjuntos sepa-

rados, como veremos.

2.2.1 Definicao. Sejam n ∈ N e ε > 0. Dizemos que F ⊂ X e (n, ε)-gerado com respeito a

T se para todo x ∈ X existe y ∈ F com dn(x, y) ≤ ε, ou seja,

X ⊆⋃y∈F

n−1⋂i=0

T−iB(T iy, ε).

2.2.2 Definicao. A entropia topologica de T no sentido de Bowen-Dinaburg em termos de

conjuntos geradores e

hgDB(T ) := limε→0

r(ε) = limε→0

limn→∞

sup1

nlog r(n, ε),

onde

r(n, ε) = min#F : F e (n, ε)-gerado e

r(ε) = limn→∞

sup1

nlog r(n, ε).

A seguir, daremos a definicao de entropia topologica usando conjuntos separados e

veremos que e equivalente a definicao acima.

2.2.3 Definicao. Sejam n ∈ N e ε > 0. Dizemos que E ⊂ X e (n, ε)-separado com relacao

a T se x, y ∈ E com x 6= y, implica dn(x, y) > ε. Ou seja, para cada x ∈ E, o conjunto⋂n−1i=0 T

−iB(T ix; ε) nao contem outro ponto de E.

2.2.4 Definicao. A entropia topologica de T no sentido de Bowen-Dinaburg em termos de

conjuntos separados e definida por

hsDB(T ) := limε→0

s(ε) = limε→0

limn→∞

sup1

nlog s(n, ε),

onde

s(n, ε) = max#E : Ee (n, ε)-separado e

s(ε) = limn→∞

sup1

nlog s(n, ε)

12

2.2.5 Observacao. Seja n ∈ N e ε > 0, entao

1. r(n, ε) < ∞. De fato, se X =⋃x∈X

B(x, ε, ), entao pela compacidade de X existem

x1, x2, . . . , xk ∈ X tal que X =⋃ki=1B(xi, ε, n). Assim, temos que F = x1, . . . , xk e

um conjunto (n, ε)-gerador. Portanto, r(n, ε) ≤ k.

2. r(n, ε) ≤ s(n, ε) ≤ r(n, ε/2) e portanto s(n, ε) < ∞. De fato, se #(E) = sn(ε,X),

entao E e (n, ε)-gerador. Logo, r(n, ε) ≤ s(n, ε). Para provar a segunda desigualdade,

sejam E um conjunto (n, ε)-separado, F um conjunto (n, ε/2)-gerador e defina o mapa

φ : E → F escolhendo para cada x ∈ E um ponto φ(x) ∈ F tal que dn(x, φ(x)) ≤ ε/2.

Assim φ e injetora e portanto, s(n, ε) ≤ r(n, ε/2).

Assim,

r(ε) ≤ s(ε) ≤ r(ε/2).

Da observacao acima temos que, hsDB(T ) = limε→0 s(ε) = limε→0 r(ε) = hgDB(T ) e

portanto

hDB(T ) = hsDB(T ) = hgDB(T ).

Daqui em diante denotaremos por hDB a entropia topologica no sentido de Bowen e

Dinaburg. Observe que, para calcular a entropia topologica, podemos usar tanto conjuntos

geradores quanto conjuntos separados.

2.3 Propriedades de entropia topologica

Nesta secao veremos duas propriedades importantes da entropia topologica. A primeira

delas, e que a definicao de entropia topologica no sentido Bowen e Dinaburg coincide com a

definicao dada por Adler,Konheim e McAndrew, ou seja, hAKM(T ) = hBD(T ). A segunda e

que a entropia topologica e invariante por conjugacao topologica.

Para provar a primeira propriedade iremos precisar de algums teoremas previos.

2.3.1 Teorema. Seja αn∞1 uma sequencia de coberturas abertas do espaco (X, d) tal que

diam(αn)→ 0. Entao,

hAKM(T ) = limn→∞

hAKM(T, αn)

Demonstracao. Veja [[21], Teorema 7.6, pg 173].

2.3.2 Teorema. Sejam α e γ duas coberturas abertas do espaco (X, d).

13

1. Se δ e o numero de Lebesgue da cobertura α, entao

N

(n−1∨i=0

T−iα

)≤ r(n, δ/2) ≤ s(n, δ/2),

2. Se ε > 0 e diam(γ) < ε, entao

r(n, ε) ≤ s(n, ε) ≤ N

(n−1∨i=0

T−iγ

).

Demonstracao. Pela observacao 2.2.5 temos que para todo ε > 0, r(n, ε) ≤ s(n, ε).

1. Se F e um subconjunto de X tal que #(F ) = r(n, δ/2), entao

X =⋃x∈F

n−1⋂i=0

T−iB(T ix; δ/2)

e, dado que |B(T ix, δ/2)| = δ, temos para cada x ∈ F e i = 0, ..., n − 1 um Ax,i ∈ α

tal que B(T ix, δ/2) ⊂ Ax,i. Logo, n−1⋂i=0

T−iAx,i : x ∈ F e uma subcobertura finita de

n−1∨i−0

T−iα e portanto, N(n−1∨i−0

T−iα) ≤ r(n, δ/2).

2. Seja E um subconjunto de X tal que #(E) = s(n, ε). Vamos provar que nao existe um

conjunto emn−1∨i=0

T−iγ que contenha dois elementos de E. De fato, suponha que existem

dois ponto diferentes x1 e x2 em E tal que x1, x2 ∈n−1⋂i=0

T−iBi. Entao, d(T ix1, Tix2) ≤ ε

para 0 ≤ i ≤ n − 1. Assim, dn(x1, x2) ≤ ε, o que e uma contradicao. Portanto,

s(n, ε) ≤ N(n−1∨i=0

T−iγ).

2.3.3 Corolario. Para cada ε > 0 considere as seguintes coberturas de X:

αε = B(x, 2ε) : x ∈ X e γε = B(x, ε/2) : x ∈ X.

Entao, temos a seguinte desigualdade

N(n−1∨i=0

T−iαε) ≤ r(n, ε) ≤ s(n, ε) ≤ N(n−1∨i=0

T−iγε).

A desigualdade acima e muito importante, pois relaciona a entropia topologica de

uma cobertura com os valores r(ε) e s(ε) das definicoes de entropia topologica em termos de

conjuntos geradores e separados. Logo, usando a desigualdade, iremos demonstrar a primeira

propriedade.

14

2.3.4 Teorema. hAKM(T ) = hBD(T ).

Demonstracao. Sejam ε > 0 e αε, γε como no Carolario 2.3.3. Entao, pela desigualdade

deste corolario temos

hAKM(T, αε) ≤ r(ε) ≤ s(ε) ≤ hAKM(T, γε).

Consideremos ε = 1n

com n ∈ N. Entao ε→ 0 quando n→∞. Assim,

limn→∞

r

(1

n,X

)= lim

ε→0r(ε,X) = hBD(T ) = lim

ε→0s(ε,X) = lim

n→∞s

(1

n,X

).

Alem disso, pelo Teorema 2.3.1 temos que:

limn→∞

hAKM(T, α 1n) = hAKM(T ) = lim

n→∞hAKM(T, γ 1

n).

Portanto, considerando ε = 1n

na desigualdade acima e fazendo n tender para o infinito,

temos que hAKM(T ) = hBD(T ).

Daqui em diante, iremos denotar por h(T ) a entropia topologica da aplicacao T e usa-

remos qualquer uma das tres definicoes dadas.

Agora vamos provar que a entropia topologica e um invariante topologico. Esta proprie-

dade e muito importante porque proporciona um metodo para calcular a entropia topologica.

Observe que a entropia topologica nao e facil de ser calculada, porem e possıvel em alguns

casos. Logo, se queremos calcular a entropia topologica de um sistema dinamico usando este

metodo, devemos calcular primeiro a entropia topologica de um sistema dinamico conjugado

mais simples.

2.3.5 Teorema. Se T1 : X1 → X1 e T2 : Y → Y sao duas aplicacoes conjugadas, entao

h(T1) = h(T2).

Demonstracao. Dado que T1 e T2 sao topologicamente conjugadas entao existe um homeo-

morfismo h : X → Y tal que h T1 = T2 h. Consideremos α uma cobertura aberta de Y ,

entao

h(T2, α) = limn→∞

1

nH(

n−1∨i=0

T−i2 α) = limn→∞

1

nH(h−1

n−1∨i=0

T−i2 α)

= limn→∞

1

nH(

n−1∨i=0

h−1T−i2 α) = limn→∞

1

nH(

n−1∨i=0

T−i1 h−1α) = h(T1, h−1α).

Logo, h(T2) ≤ h(T1). Como h e um homeomorfismo temos que h−1 T2 = T1 h−1 e,

aplicando o mesmo argumento, obtemos h(T1) ≤ h(T2), o que prova o teorema.

15

2.3.6 Teorema. Se T : X → X e um homeomorfismo, entao h(T ) = h(T−1).

Demonstracao. Seja α uma cobertura aberta de X, entao

h(T, α) = limn→∞

1

nH(

n−1∨i=0

T−iα) = limn→∞

1

nH(T n−1

n−1∨i=0

T−iα)

= limn→∞

1

nH(

n−1∨i=0

T iα) = h(T−1α).

Dado que α e quaquer cobertura de X, concluımos que h(T ) = h(T−1).

2.4 Outras Propriedades

Nesta secao iremos enunciar algumas propriedades classicas da entropia topologica. As suas

respectivas demonstracoes podem ser encontradas em [21].

Seja I : X → X a aplicacao identidade, isto e, I(x) = x para todo x ∈ X. E claro

que (X, I) nao e um sistema dinamico caotico. De fato, iremos provar, usando conjuntos

separados, que a entropia topologica da aplicacao I e zero.

2.4.1 Proposicao. h(I) = 0.

Demonstracao. Observe que dn(x, y) = d1(x, y) para todo x, y ∈ X e n > 1. Entao, dado

ε > 0 temos que s(n, ε) ≤ s(1, ε) para todo n > 1. Logo, s(ε) ≤ 0 e portanto h(I) = 0.

A proposicao a seguir, proporciona um metodo para aproximar o valor da entropia

topologica de um sistema dinamico, por meio de subconjuntos fechados e invariantes nos

quais seja possıvel calcular a entropia topologica. Na prova, usaremos a definicao de entropia

baseada em coberturas.

2.4.2 Proposicao. Seja Y ⊂ X fechado tal que T (Y ) = Y , entao h(T |Y ) ≤ h(T ).

Demonstracao. Seja α = Aλλ∈Λ uma cobertura de X e A1, ..., AN(α) uma subcobertura

finita de α com cardinalidade mınima. Entao α∩ Y = Aλ ∩ Y λ∈Λ e uma cobertura de Y e

A1 ∩ Y, ..., AN(α) ∩ Y e uma subcobertura finita de α∩ Y , assim N(α∩ Y ) ≤ N(α). Dado

que (α ∩ Y ) ∨ (T−1(α ∩ Y )) = (α ∨ T−1(α)) ∩ Y temos que

N(α ∩ Y ∨ T−1(α ∩ Y )) = N((α ∨ T−1(α)) ∩ Y ) ≤ N(α ∨ T−1(α)).

Continuando com o mesmo argumento, obtemos

N(n−1∨i=0

T−i(α ∩ Y )) ≤ N(n−1∨i=0

T−i(α))

16

para todo n ≥ 1. Assim, h(T |Y , α∩Y ) ≤ h(T, α) ≤ h(T ) para toda cobertura α de X. Logo,

h(T |Y ) ≤ h(T ).

Quando calculamos a entropia topologica usando a definicao introduzida por Bowen

e Dinaburg, devemos ter em conta o resultado a seguir. Lembre que no caso em que X e

compacto, duas metricas d e d′ sao equivalentes se I : (X, d)→ (X, d′) e I : (X, d′)→ (X, d)

sao aplicacoes contınuas.

2.4.3 Teorema. Se d e d′ sao metricas equivalentes, entao

hd(T ) = hd′(T ).

A demonstracao da proposicao a seguir e analoga a da proposicao 2.4.1

2.4.4 Proposicao. Se T e uma isometria, entao hd(T ) = 0.

Dado que T e uma aplicacao contınua, entao para qualquer m > 0 a aplicacao Tm

tambem e contınua. Logo, uma pergunta natural e: existe alguma relacao entre a entropia

topologica de T e de Tm? O seguinte resultado, mostra que a entropia topologica de Tm e

m vezes a entropia toplogica de T .

2.4.5 Teorema. Se m > 0, entao hd(Tm) = m.hd(T ).

A seguinte propriedade tambem e muito util no momento de calcular a entropia to-

pologica de aplicacoes da forma T1× ...×Tn, onde cada Ti e uma aplicacao contınua definida

sobre um espaco metrico compacto Xi. O teorema nos diz que e suficiente calcular a entropia

topologica de cada aplicacao Ti.

2.4.6 Teorema. Seja Ti uma aplicacao contınua sobre (Xi, di) espaco metrico compacto,

com i = 1, 2 e defina a metrica d sobre o espaco X1 ×X2 por

d((x1, x2), (y1, y2)) = maxd1(x1, y1), d2(x2, y2).

Entao (X1 × X2, d) e um espaco metrico compacto, T1 × T2 : X1 × X2 → X1 × X2 e uma

aplicacao contınua e

hd(T1 × T2) = hd1(T1) + hd2(T2).

O seguinte resultado de Bowen, diz que toda a entropia esta contida no conjunto nao

errante, ou seja, as orbitas de pontos errantes nao contribuem a entropia topologica.

2.4.7 Teorema. A entropia topologica de T e igual a entropia topologica de T restrita ao

seu conjunto nao errante, isto e, h(T ) = h(T |Ω(T )).

17

Mais ainda, se o conjunto nao errante e um conjunto finito de pontos periodicos, entao

a entropia topologica e zero.

2.4.8 Teorema. Se Ω(T ) e um conjunto finito de pontos periodicos. Entao h(T ) = 0.

Demonstracao. Suponhamos que Ω(T ) = x1, ..., xk onde cada xi e um ponto periodico

com perıodo ni. Entao, se N e o mınimo multiplo comum entre n1, n2,..., nk, temos que

T |NΩ(T ) = T |Ω(T ) . . . T |Ω(T )︸ ︷︷ ︸N

= I. Logo, pelos Teoremas 2.4.5 e 2.4.7 temos que

N.h(T ) = h(T |NΩ(T )) = h(I) = 0.

2.5 Expansividade

O conceito de expansividade foi introduzido por Utz [20], na metade do seculo XX, para

homeomorfismos de espacos metricos compactos. Um exemplo deste tipo de homeomorfismos

e a aplicacao shift, que sera apresentada na proxima secao. Nos estamos interessados em

provar que a entropia topologica de homeomorfismos expansivos e finita. Para isso, iremos

precisar da relacao entre homeomorfismos expansivos e coberturas geradoras. Nesta secao

T : X → X denota um homeomorfismo. O leitor pode encontrar as demonstracoes em [21].

2.5.1 Definicao. Um homeomorfismo T : X → X e expansivo se existe δ > 0 tal que se

x, y ∈ X, x 6= y, entao d(T nx, T ny) > δ para algum n ∈ Z. Neste caso, dizemos que T e um

homeomorfismo δ-expansivo e que δ e uma constante de expansividade para T .

Observe que se T e expansiva, pela definicao, temos que os iterados de dois pontos

diferentes sao visivelmente separados ao passar do tempo, independentemente da distancia

entre os pontos iniciais. Portanto, o sistema dinamico (X,T ) mostra uma dependencia

sensıvel sobre as condicoes iniciais.

Equivalentemente, dizemos que T e expansiva se existe uma constante α > 0, satisfa-

zendo a seguinte propriedade:

Se d(T j(x), T j(y)) < α para todo j ∈ Z, entao x = y.

Assim, se os iterados de dois pontos sempre ficam α-proximos, entao eles devem ser identicos.

2.5.2 Definicao. Dizemos que T e uniformemente α-expansivo se para cada ε > 0, existe

Nε > 0 tal que

d(x, y) ≥ ε entao sup|n|≤Nε

d(T n(x), T n(y)) > α.

18

E facil ver que, todo homeomorfismo uniformemente α-expansivo sobre um espaco

metrico nao necesariamente compacto e um homeomorfismo expansivo. Porem, o reciproco

se verifica sempre que o espaco metrico seja compacto.

2.5.3 Lema. Se T e um homeomorfismo α-expansivo, entao T e uniformemente α-expansivo.

Demonstracao. Suponha que T e um homeomorfismo α-expansivo mas nao uniformemente

α-expansivo, isto e, existe ε > 0 tal que para todo j ∈ Z+ e xj 6= yj ∈ X com d(xj, yj) ≥ ε

temos que sup|n|≤j d(T n(xj), Tn(yj)) ≤ α. Dado que (X, d) e um espaco metrico compacto,

temos que existem (xjk) e (yjk) subsequencias convergentes de (xj) e (yj), respectivamente.

Sejam x∗, y∗ ∈ X tais que xjk → x∗ e yjk → y∗, entao x∗ 6= y∗ pois d(x∗, y∗) ≥ ε. Alem disso,

d(T n(x∗), Tn(y∗)) ≤ α para todo n ∈ Z, o que e uma contradicao.

2.5.4 Definicao. Uma cobertura aberta e finita e um gerador para T se, para toda sequencia

bilateral An∞−∞ de elementos da cobertura, o conjunto∞⋂

n=−∞T−nAn contem no maximo um

ponto de X.

As coberturas que sao geradoras satisfazem a seguinte propriedade que sera usada na

demonstracao do teorema 2.5.7.

2.5.5 Proposicao. Seja α um gerador para T , entao, para todo ε > 0 existe N > 0 tal que

todo conjunto da coberturaN∨

n=−NT−nα tem diametro menor que ε.

No inicio da secao, afirmamos que precisamos de uma relacao entre homeomorfismos

expansivos e coberturas geradoras. A proposicao a seguir garante que todo homeomorfismo

expansivo possui um gerador.

2.5.6 Proposicao. T e expansivo se e so se T possui um gerador.

Demonstracao. Veja [[21], Teorema 5.22, pg 139].

O teorema a seguir nos proporciona dois metodos para calcular a entropia topologica

de um homeomorfismo expansivo. O primeiro metodo, diz que a entropia topologica de um

homeomorfismo expansivo coincide com a entropia de uma cobertura geradora. Observe que

esta cobertura sempre existe pela proposicao acima. O segundo metodo, garante que para

calcular a entropia e suficiente calcular r(δ0) ou s(δ0) onde δ0 e um numero real positivo

menor do que a constante de expansividade. Note que no primeiro metodo para calcular a

entropia devemos usar a definicao de Adler, Konheim e McAndrew e, no segundo metodo,

devemos usar a definicao de Bowen e Dinaburg.

2.5.7 Teorema. Seja T : X → X um homeomorfismo expansivo.

19

1. Se α e um gerador para T , entao h(T ) = h(T, α).

2. Se δ e uma constante de expansividade, entao h(T ) = r(δ0) = s(δ0) para todo δ0 <δ4.

Demonstracao. Seja β qualquer cobertura aberta de X e δ o numero de Lebesgue correspon-

dente a cobertura β. Pela proposicao 2.5.5, existe N > 0 tal que se B ∈n=N∨n=−N

T−nα entao

|B| < δ. Assim, β <N∨

n=−NT−nα e vale a seguinte desigualdade:

h(T, β) ≤ h

(T,

N∨n=−N

T−nα

)= lim

k→∞

1

kH

(k−1∨i=0

T−i

(N∨

n=−N

T−nα

))

= limk→∞

1

kH

(N+k−1∨n=−N

T−nα

)= lim

k→∞

1

kH

(T−N

(N=k−1∨n=−N

T nα

))

= limk→∞

1

kH

(2N+k−1∨n=0

T−nα

)= lim

k→∞

2N + k

k

1

2N + kH

(2N+k−1∨

0

T−nα

)

Portanto, h(T, β) ≤ h(T, α) para toda cobertura aberta β de X. Logo, h(T ) = h(T, α).

2.5.8 Corolario. Todo homeomorfismo expansivo tem entropia topologica finita.

2.6 O shift

Em sistemas dinamicos uma das grandes ferramentas e a chamada dinamica simbolica, a

qual consiste em estudar a aplicacao shift. Nesta secao iremos estudar, primeiro, algumas

propriedades do espaco das sequencias bilaterais que denotaremos por ΣA e, depois, algumas

propriedades dinamicas basicas da aplicacao Shift que denotaremos por σ. Finalmente,

iremos calcular a entropia topologica desta aplicacao e concluiremos que o sistema dinamico

(σ,ΣA) e caotico. Para o leitor interessado, ver [22].

2.6.1 Propriedades do espaco das sequencias bilaterais

Considere o alfabeto finito A = 1, 2, ..., a com a ≥ 2. O espaco das sequencias bilaterais de

sımbolos do alfabeto A e o espaco metrico ΣA = s = (sj)j∈Z tal que sj ∈ A junto com a

metrica

d(s, t) =

2−min|i|≥0: sj 6=tj, se s 6= t

0 se s = ts, t ∈ ΣA

Observe que duas sequencias s, t ∈ ΣA estao proximas se elas coincidem sobre uma longa

cadeia central, isto e, sj = tj para todo |j| ≤ N com N grande.

20

Dizemos que um conjunto e perfeito se todo ponto e ponto de acumulacao.

2.6.1 Proposicao. O espaco metrico (ΣA, d) e compacto e perfeito.

Demonstracao. Vejamos que (ΣA, d) e compacto. Seja (sn)n≥1 uma sequencia em (ΣA, d),

por tanto, sn = (snj )j∈Z. Vamos construir uma subsequencia de (sn)n≥1 convergente no espaco

metrico (ΣA, d). Dado que o alfabeto A e finito, temos que para toda sequencia (tn)n≥1 em

ΣA, d e todo ındice j ∈ Z, existe um sımbolo aj ∈ A que depende da sequencia (tn)n≥1 tal

que tnj = aj para um numero infinito de n’s. Considere, entao, o sımbolo a0 da sequencia

(sn)n≥1 tal que sn0 = a0 para um numero infinito de n’s. Assim, obtemos uma subsequencia

(snk)k≥1 tal que snk0 = a0 para todo k ≥ 1. Para esta subsequencia, considere o sımbolo

a1 tal que snk1 = a1 para um numero infinito de nk’s. Assim, obtemos uma subsequencia

(snkl )l≥1 tal que snkl0 = 0 e s

nkl1 = 1 para todo l ≥ 1. Continuando com este procedimento,

obtemos uma subsequencia de (sn)n≥1 que converge para a sequencia a = (aj)j∈Z ∈ (ΣA, d).

Portanto, (ΣA, d) e compacto.

Finalmente, vejamos que (ΣA, d) e perfeito. Se s e uma sequencia bilateral em (ΣA, d),

entao vamos construir uma sequencia (sn)n≥1 nao constante tal que converge para s. Entao,

para cada n ∈ N escolhemos um sımbolo an ∈ A tal que an 6= sn+1 ou an 6= s−(n+1) e

definimos a sequencia (sn)n≥1 por snj = sj para |j| ≤ n e snj = an para |j| > n. Assim, a

sequencia sn converge para s e (sn)n≥1 nao e constante. Portanto, (ΣA, d) e perfeito.

2.6.2 Propriedades do shift

O shift e a aplicacao σ : ΣA → ΣA, definida por

s 7→ σ(s) = (σ(s)j)j∈Z, σ(s)j := sj+1, para todo j ∈ Z,

isto e,

σ : (. . . , s−2, s−1, s0, s1, s2, . . .) 7→ (. . . , s−1, s0, s1, s2, s3, . . .)

onde o chapeu indica o centro da sequencia bilateral.

Apesar da definicao desta aplicacao ser muito simples, o sistema dinamico (ΣA, σ)

apresenta algumas propriedades dinamicas interessantes, como veremos a seguir. Alem disso,

e muito importante “teoricamente”, pois por meio dele, podemos obter informacao sobre o

comportamento de sistemas dinamicos caoticos.

2.6.2 Proposicao. O shift possui as seguintes propriedades:

1. E um homeomorfismo expansivo.

2. O conjunto dos pontos periodicos e denso e enumeravel em ΣA.

21

Demonstracao. 1. E claro que σ e bijetora. A continuidade de σ segue diretamente da

definicao da metrica d. De fato, se s 6= t ∈ ΣA, entao

d(σ(s), σ(t)) = 2−l0 ≤ 2−(l0−1) = 2d(s, t)

onde l0 = min|j| : (σ(s))j 6= (σ(t))j. Logo, como (ΣA, d) e um espaco metrico

compacto e σ e uma bijecao contınua, entao σ−1 tambem e contınua.

Vejamos que σ e expansivo. Sejam s e t dois elementos diferentes em ΣA, entao

existe j0 ∈ Z tal que sj0 6= tj0 . Escolha o menor j0 com esta propriedade. Note que

d(σn0(x), σn0(y)) = 20 > 12, portanto 1/2 e uma constante de expansividade para σ.

2. Observe que os pontos periodicos sao precisamente as sequencias periodicas em ΣA.

Portanto, para toda sequencia bilateral e toda vizinhanca deste ponto, podemos cons-

truir uma sequencia periodica de periodo suficientemente grande contida na vizinhanca.

Dado que o shift e um homeomorfismo expansivo, pelo Corolario 2.5.8 temos que a

entropia topologica e finita. Vamos agora calcular o valor da entropia topologica da aplicacao

Shift usando o metodo do Teorema 2.5.7

2.6.3 Teorema. h(σ) = log(a).

Demonstracao. Para cada i em A considere o conjunto aberto Ai = s ∈ ΣA tal que s0 = i.Seja α = A1, ..., Aa uma cobertura aberta finita de ΣA. Afirmamos que α e um gerador

para σ. De fato, se s e t ∈⋂∞−∞ σ

−jAj com Aj ∈ α, entao d(σj(s), σj(t)) ≤ 12

para todo

j ∈ Z e, pela Proposicao 2.6.2 item 1, s = t. Assim, aplicando o Teorema 2.5.7 item 1, temos

h(T ) = h(T, α) = limn→∞

1

nlogN(

n−1∨i=0

T−iα) = limn→∞

1

nlog(an) = log(a),

o que conclui a prova.

22

Capıtulo 3

A Ferradura de Smale

O objetivo deste capıtulo e provar o seguinte teorema devida a Stephen Smale:

3.0.4 Teorema (S. Smale). Seja T : Rn → Rn um difeomorfismo tal que 0 e um ponto

fixo hiperbolico, com um ponto homoclınico transversal ν. Fixe uma vizinhanca aberta U de

Λ = O(ν) = O(ν)⋃

O(0) e A = 1 . . . , a um alfabeto finito. Entao, existem K ≥ 1 e um

homeomorfismo Φ : ΣA → Φ(ΣA) := Γ ⊂ U com as seguintes propriedades:

i) Γ e um conjunto invariante por TK, isto e, TK(Γ) = (Γ),

ii) Para todo m ∈ Γ a orbita de m por TK esta contida em U ,

iii) σ e TK sao topologicamente conjugadas, isto e, Φ σ = TK Φ.

Para isto, primeiro descreveremos brevemente o caso da ferradura de Smale no espaco

R2 que e conjugada a aplicacao shift e, e portanto, um caso particular de um sistema dinamico

caotico. Depois, introduziremos algumas propriedades basicas da dinamica hiperbolica e

enunciaremos o Lema de Sombreamento, que e a ferramenta principal na demonstracao.

Finalmente, iremos concluir com este teorema que, dinamicas parecidas com a da ferradura

aparecem sempre que tenhamos um ponto homoclınico transversal. De fato, diremos que

qualquer conjunto Γ obtido como no teorema acima e uma ferradura de Smale.

3.1 A Ferradura de Smale em R2

Nesta secao, iremos descrever brevemente a ferradura introduzida por Smale [?], que e um

dos primeiros exemplos importantes com dinamica caotica em um conjunto invariante. A

ferradura e um difeomorfismo que transforma um conjunto de pontos no plano, usando

operacoes topologicas basicas, que consiste em esticar e dobrar o conjunto inicial. O efeito das

23

sucessivas operacoes de esticar e dobrar e a obtencao de um objeto de grande complexidade

topologica, como veremos a seguir. Recomendamos ao leitor ver [18].

Seja S = [0, 1] × [0, 1] o quadrado unitario e consideremos para j = 1, 2 os seguintes

conjuntos

Hj = (x, y) tal que 0 ≤ x ≤ 1 e yj1 ≤ y ≤ yj2

Ij = (x, y) tal que xj1 ≤ x ≤ xj2 e 0 ≤ y ≤ 1

com 0 ≤ y11 < y1

2 < y21 < y2

2 ≤ 1 e 0 ≤ x11 < x1

2 < x21 < x2

2 ≤ 1. Veja figura 3.1.

H1

H2

I2I1

Figura 3.1: Definicao dos conjuntos Hi e Ij

Iremos assumir que f e um difeomorfismo tal que f(Hj) = Ij para j = 1, 2 e que

S ∩ f−1(S) = H1 ∪H2. Para todo ponto p ∈ H1 ∪H2

Df(p) =

(ap 0

0 bp

)

com |ap| = µ < 1/2 e |bp| = λ > 2.

O difeomorfismo f : S → R2 pode ser pensado como a composicao de dois mapas. O

primeiro mapa, A(x, y) = (µx, λy), toma o conjunto S e o estica na direcao vertical ate que

ele se torne mais que duas vezes mais alto e, o contrai na direcao horizontal ate sua largura

se tornar menor que a metade. O segundo mapa g, toma o retangulo obtido aplicando o

mapa A e dobra ele formando uma ferradura. Veja figura 3.1

24

A g

Figura 3.2: Construcao da Ferradura

Vejamos que Λ =⋂j∈Z

f j(S) e um conjunto de Cantor, isto e, um conjunto nao vazio,

totalmente desconexo, perfeito e compacto. Para isto, primeiro iremos analisar os conjuntos

Snm =n⋂m

f j(S).

Por inducao obtemos que Sn0 = f(Sn−10 ∩ H1) ∪ f(Sn−1

0 ∩ H2) e a uniao de 2n faixas

verticais de largura µn. Portanto, a intersecao infinita,

S∞0 =∞⋂n=0

Sn0 = C1 × [0, 1]

e um conjunto de Cantor de segmentos de reta verticais. Alem disso, S∞0 e o conjunto dos

pontos cujos iterados para tras permanecem em S.

Analogamente, temos que S0−n e a uniao de 2n faixas horizontais de largura λ−n. Por-

tanto, a intersecao infinita

S0−∞ =

∞⋂n=0

S0−n = [0, 1]× C2

e um conjunto de Cantor de segmentos de reta horizontais. Alem disso, S0−∞ e o conjunto

dos pontos cujos iterados para a frente permanecem em S.

Se intersectamos os conjuntos Sn0 e S0−n, isto e, intersectamos as 2n faixas verticais de

largura µn com as 2n faixas horizontais de largura λ−n, obtemos o conjunto Sn−n que e a

uniao de 22n retangulos de dimensoes µn e λ−n. De fato, se n = 0 temos que S0−0 = S. Se

n = 1 temos que S1−1 e a uniao de 4 retangulos de dimensoes µ e λ−1 tal como mostra a

figura 3.1. No caso n = 2 temos que S2−2 e a uniao de 16 retangulos de dimensoes µ2 e λ−2

tal como mostra a figura 3.1

25

I1 I2

f(A) f(B) f(C) f(D)

A B

CD

H1

H2

Figura 3.3: Ferradura

Continuando com o processo indutivo, temos que

Λ = S∞−∞ = S∞0 ∩ S0−∞ = C1 × C2

e o produto de dois conjuntos de Cantor e, consequentemente, e ele propio um conjunto de

Cantor. Alem disso, Λ e o conjunto dos pontos cujos iterados, tanto para frente quanto para

tras permanecem em S.

A seguinte proposicao fornece uma quantidade substancial de informacao sobre o com-

portamento de f em Λ.

3.1.1 Proposicao. A restricao do difeomorfismo f ao conjunto Λ e conjugado ao shift de

dois sımbolos.

Demonstracao. Definamos a aplicacao h : Λ→ ΣA, onde A = 1, 2, como segue:

h(q) = s onde f j(q) ∈ Hsj para todo j.

Primeiro vamos ver que h f |Λ = σ h. De fato, seja h(q) = s e h(f(q)) = t. Entao

f j+1(q) ∈ Hsj+1mas f j+1(q) = f j f(q) ∈ Htj . Portanto, sj+1 = tj e σ(s) = t. Logo,

σ(h(q)) = h(f(q)), isto e, o diagrama 3.1 comuta

Λ

h

f// Λ

h

ΣAσ // ΣA

(3.1)

26

3.1.2 Lema. h e contınua.

Demonstracao. Consideremos um ponto q ∈ Λ e a vizinhanca de s = h(q), N = t : tj =

sj, para j ∈ −n0, ..., n0. A continuidade de f garante que existe δ > 0 tal que, para todo

p ∈ Λ tal que ‖p − q‖ < δ, f j(p) ∈ Hsj , para todo j ∈ −n0, ..., n0. Assim, se t = h(p) e

‖p− q‖ < δ, entao t ∈ N , o que prova a continuidade de h.

3.1.3 Lema. h e injetiva.

Demonstracao. Suponhamos que h(p) = h(q) = s . Para todo j inteiro, temos que

f−j(p), f−j(q) ∈ Hs−j ,

logo p, q ∈ f j(Hs−j). Como j e qualquer, resulta que p, q ∈∞⋂j=1

f j(Hs−j), e, portanto, p e q

estao no mesmo segmento de reta vertical. Analogamente, temos que p, q ∈0⋂

j=−∞f j(Hs−j),

e, portanto, p e q estao no mesmo segmento de reta horizontal. Assim, concluımos que

p = q.

Finalmente, vamos provar que h e sobrejetiva.

3.1.4 Lema. h e sobrejetiva.

Demonstracao. Primeiro, vamos provar por inducao, que o conjunton⋂j=1

f j(Hs−j) e uma faixa

vertical com largura µn, para qualquer s ∈ ΣA. De fato, seja s ∈ ΣA. Para n = 1, aquele

conjunto e f(Hs−1) = Is−1 , que e uma faixa vertical de largura µ. Como

n⋂j=1

f j(Hs−j) = f(n⋂n=2

f j−1(Hs−j))⋂

f(Hs−1)

e, pela hipotese de inducao,n⋂j=2

f j−1(Hs−j) e uma faixa vertical de comprimento µn−1, resulta

quen⋂j=1

f j−1(Hs−j) e uma faixa vertical de comprimento µn. Fazendo n tender para infinito,

concluımos que∞⋂j=1

f j−1(Hs−j) e um segmento de reta vertical.

Analogamente,0⋂

j=−∞f j−1(Hs−j) e um segmento de reta horizontal, e o conjunto

+∞⋂−∞

f j−1(Hs−j) e formado apenas por um ponto q. Para esse ponto, resulta que h(q) = s e

portanto, h e sobrejetiva.

Dado que Λ e compacto e, h e contınua e bijetiva, temos que h−1 e contınua e portanto

um homeomorfismo.

27

3.1.5 Corolario. h(f |Λ) = log 2.

Assim concluımos que, o sistema dinamico (f |Λ,Λ) e um sistema caotico.

3.2 Alguns preliminares da Dinamica Hiperbolica

Nesta secao enunciaremos algumas definicoes e resultados da Dinamica Hiperbolica que ire-

mos precisar. Neste capıtulo iremos considerar o espaco vetorial das aplicacoes lineares

contınuas em Rn que denotaremos por L(Rn).

3.2.1 Definicao. Um isomorfismo A ∈ L(Rn) e dito hiperbolico se todos os autovalores de

A possuem norma diferente de 1.

A proposicao a seguir e uma consequencia da definicao que permite caracterizar tanto

o autoespaco generalizado correspondente a todos os autovalores que possuem norma menor

do que um quanto como o autoespaco generalizado correspondente a todos os autovalores

que possuem norma maior do que um.

3.2.2 Proposicao. Seja A ∈ L(Rn) um isomorfismo hiperbolico. Entao existem subespacos

Es e Eu (chamados subespaco estavel e instavel respectivamente) e constantes c > 0 e

λs, λu ∈ (0, 1) tais que:

1. Rn possui uma decomposicao, Rn = Es ⊕ Eu.

2. Os subespacos Es e Eu sao invariantes por A =

(As 0

0 Au

), isto e, As ∈ L(Es) e

Au ∈ L(Eu).

3. Para todo j ≥ 0 e ν ∈ Es temos ‖Ajsν‖ ≤ cλjs‖ν‖.

4. Para todo j ≥ 0 e ν ∈ Eu temos ‖A−ju ν‖ ≤ cλju‖ν‖.

Demonstracao. Veja [[22], (pg. 48)].

Note que todo vetor no subespaco estavel sofre contracao pela acao positiva de A, e

todo vetor no subespaco instavel sofre contracao pela acao negativa de A. Logo, podemos

caracterizar os subespacos Es e Eu como segue:

Es = ν ∈ Rn|Ajν → 0, j →∞

Eu = ν ∈ Rn|A−jν → 0, j →∞.

28

Sejam T : Rn → Rn um difeomorfismo e 0 um ponto fixo para T , ou seja, T (0) = 0.

Dizemos que 0 e um ponto fixo hiperbolico se a linearizacao do difeomorfismo T no ponto fixo

0 que denotremos por DT (0) ∈ L(Rn) e um isomorfismo hiperbolico. E conveniente para os

argumentos posteriores introduzir novas normas equivalentes a norma da Proposicao 3.2.2,

chamadas normas adaptadas com as quais a constante c e igual a 1. Com respeito a estas

normas as aplicacoes lineares As e A−1u sao contracoes, ou seja, ‖As‖∗ < 1 e ‖A−1

u ‖∗ < 1.

Assim, temos que existe 0 < α < 1 satisfazendo ‖As‖ ≤ α e ‖A−1u ‖ ≤ α.

3.2.3 Proposicao (Normas adaptadas). Seja A ∈ L(R)n um isomorfismo hiperbolico.

Entao existem normas equivalentes | . |∗ sobre os subespacos Es e Eu tais que

|Asν|∗ ≤ α|ν|∗ para todo ν ∈ Es

|A−1u ν|∗ ≤ β|ν|∗ para todo ν ∈ Eu

com constantes λs < α < 1 e λu < β < 1. Com relacao a estas normas, as transformacoes

lineares As e A−1u sao contracoes, portanto ‖As‖∗ < 1 e ‖Au−1‖ < 1.

Demonstracao. Primeiro iremos construir a nova norma no espaco Eu. Considere λu < β < 1

e escolha um inteiro N suficientemente grande de modo que

c(λu/β)N ≤ 1.

Para cada ν ∈ Eu definimos a nova norma em Eu por

|ν|∗ :=N−1∑j=0

β−j|A−ju ν|.

Observe que |ν| ≤ |ν|∗ ≤ C|ν| com C = cN , portanto as normas sao equivalentes. Falta

provar que A−1u e uma contracao satisfazendo ‖A−1

u ‖ ≤ β < 1. Para isso, considere as

seguintes estimativas

|A−1u ν|∗ =

N−1∑j=0

β−j|A−j−1u ν|

= β

(N−1∑j=1

β−j|A−ju ν|+ β−N |A−Nu ν|

)

≤ β

(N−1∑j=1

β−j|A−ju ν|+ |ν|

)

= βN−1∑j=0

β−j|A−ju ν|

= β|ν|∗

29

onde usamos a seguinte desigualdade

β−N |A−Nu ν| ≤ cβ−NλNu |x| ≤ |ν|.

No espaco Es, podemos usar o mesmo metodo para construir a norma, usando As em vez

de A−1u .

Neste capıtulo sempre iremos considerar T : Rn → Rn um difeomorfismo de clase C1 e 0

um ponto fixo hiperbolico de T , onde A = DT (0) e um isomorfismo hiperbolico satisfazendo

‖As‖ ≤ α e ‖A−1u ‖ ≤ α para uma constante 0 < α < 1.

Dado que 0 e um ponto fixo hiperbolico, definimos o conjunto estavel local e o conjunto

instavel local de 0 em relacao a uma vizinhanca como se segue.

3.2.4 Definicao. Sejam r > 0 e Q(r) uma vizinhanca do ponto 0 com

Q(r) = x = (xs, xu) ∈ Es ⊕ Eu tal que ‖xs‖ ≤ r e ‖xu‖ ≤ r.

Entao definimos, respectivamente, o conjunto estavel local e o conjunto instavel local de 0

em relacao a vizinhanca Q(r) como

W sloc(0) = x ∈ Q(r) | T j(x) ∈ Q, para todo j ≥ 0,

W uloc(0) = x ∈ Q(r) | T−j(x) ∈ Q, para todo j ≥ 0.

Em palavras, o conjunto estavel local em relacao a vizinhanca Q(r) do ponto fixo

hiperbolico 0 e formado pelos pontos da vizinhanca Q(r) cuja orbita futura esta sempre

proxima do ponto fixo 0, e similarmente para o conjunto estavel. A seguir, iremos enunciar

um fato nao-trivial, o Teorema de Hadamard e Perron, que diz que os conjuntos W sloc(0) e

W uloc(0) sao variedades mergulhadas representadas por graficos de mapas diferenciaveis.

3.2.5 Teorema (Hadamard-Perron). Seja T um difeomorfismo de clase C1. Entao, se r > 0

e suficientemente pequeno, temos que

W sloc(0) = x ∈ Q(r) | T j(x) ∈ Q(r), j ≤ 0, e T j(x)→ 0, j →∞

= x ∈ Q(r) | x = (xs, h(xs)) ∈ Es ⊕ Eu,

onde h : Es → Eu e uma aplicacao de classe C1 com h(0) = 0 e Dh(0) = 0. Portanto o

espaco tangente no ponto 0 e dado por T0Wsloc(0) = Es. Analogamente,

W uloc(0) = x ∈ Q(r) | T−j(x) ∈ Q(r), j ≤ 0, e T−j(x)→ 0, j →∞

= x ∈ Q(r) | x = (k(xu), xu) ∈ Es ⊕ Eu

onde k : Eu → Es e uma aplicacao de classe C1 com k(0) = 0 e Dk(0) = 0. Portanto

T0Wuloc(0) = Eu.

30

Demonstracao. Veja [([22], Teorema II.7 (pg. 59)].

Es

Eu

x

xs 0

W sloc(0)

W uloc(0)

Q(r)

x = (xs, h(xs))

Figura 3.4: Interpretacao Geometrica do Teorema de Hadamard-Perron

Observe que a variedade estavel local e a variedade instavel local de 0 em relacao a

vizinhanca Q(r) sao invariantes pela acao de T e T−1 respectivamente, isto e, T (W sloc(0)) ⊂

W sloc(0) e T−1(W u

loc(0)) ⊂ W uloc(0). Alem disso, pelo teorema de Hadamard e Perron temos

que para um r suficientemente pequeno, a variedade estavel local do ponto fixo 0 em relacao

a vizinhanca Q(r) e formada pelos pontos da vizinhanca Q(r) cuja orbita futura se aproxima

arbitrariamente do ponto fixo 0, e similarmente para o conjunto instavel.

Agora iremos definir variedade estavel e instavel global, e veremos que estes conjuntos

podem intersectar-se em outros pontos diferentes do ponto fixo, que sao chamados pontos

homoclınicos e que foram descobertos por Poincare, durante seus estudos em mecanica celeste

sob o problema dos tres corpos. Veja [17].

3.2.6 Definicao. Seja 0 um ponto fixo hiperbolico de T . Definimos, respectivamente, a

variedade estavel de 0 W s(0) e a variedade instavel de 0 W u(0) por

W s(0) = ν ∈ Rn|T j(ν)→ 0, j →∞,

W u(0) = ν ∈ Rn|T−j(ν)→ 0, j →∞.

Observe que o ponto 0 pertence aos conjuntos W s(0) e W u(0) que sao invariantes

por T , ou seja, T (W s(0)) = W s(0) e T (W u(0)) = W u(0). Alem disso, estes conjuntos se

intersectam transversalmente em 0, de modo que Rn = T0Rn = T0Ws⊕T0W

u onde o espaco

tangente da variedade estavel no ponto 0 e dado por T0Ws = Es e o espaco tangente da

variedade instavel e dado por T0Wu = Eu.

3.2.7 Definicao. Se ν ∈ W s(0)⋂W u(0) \ 0 entao ν e um ponto homoclınico de 0.

31

Se ν ∈ Rn e um ponto homoclınico de 0, entao as iteradas de ν tambem sao pontos

homoclınicos, pois os conjuntos estavel e instavel de 0 sao conjuntos invariantes. Portanto,

chamaremos a orbita de ν de orbita homoclınica e a denotaremos por O(ν). Alem disso,

todo ponto homoclınico converge para o ponto fixo hiperbolico 0 sob as iteradas de T e sob

as iteradas de T−1, implicando que o fecho da orbita de ν e dado pela uniao da orbita de ν

e de 0, ou seja, O(ν) =⋃j∈Z T

j(ν)∪ 0. Assim temos que, o fecho da orbita homoclınica e

um conjunto compacto e invariante por T .

3.2.8 Definicao. Dizemos que um ponto homoclınico ν e transversal, se os conjuntos W s(0)

e W u(0) se intersectam transversalmente em ν, isto e,

TνRn = TνWs(0)⊕ TνW u(0).

3.3 Hiperbolicidade

Um fato importante e que provaremos a seguir e que o fecho da orbita de um ponto

homoclınico transversal e um conjunto hiperbolico. Para isso usaremos o Teorema de

Hadamard-Perron 3.2.5. E fundamental estudar este tipo de conjuntos porque possuem

muitas propriedades importantes que permite desenvolver uma vasta teoria para descrever

sua dinamica.

3.3.1 Definicao. Um subconjunto compacto Λ ⊂ Rn invariante por T e dito um conjunto

hiperbolico se para todo x ∈ Λ existem subespacos Esx e Eu

x de Rn satisfazendo:

1. Para todo x ∈ Λ, TxRn = Esx

⊕Eux .

2. Os subespacos Esx e Eu

x sao invariantes pela linearizacao de T, isto e,

DT (x)(Esx) = Es

T (x) e DT (x)(Eux) = Eu

T (x).

3. Existem constantes c > 0 e λ ∈ (0, 1) que nao dependem de x ∈ Λ tal que

(a) Para todo ν ∈ Esx e j ≥ 0 temos que ‖DT j(x)ν‖ ≤ cλj‖ν‖.

(b) Para todo ν ∈ Eux e j ≥ 0 temos que ‖DT−j(x)ν‖ ≤ cλj‖ν‖.

E importante ressaltar que os subespacos Esx e Eu

x variam continuamente com relacao

a x ∈ Λ. Para o leitor interessado ver [22], Proposicao 5.2.1 (pg. 108). Um exemplo de

conjunto hiperbolico e a ferradura de Smale descrita na secao 4.1.

3.3.2 Proposicao. Seja 0 um ponto fixo hiperbolico de T e seja ν ∈ Rn um ponto ho-

moclınico transversal de 0. Entao

32

O(ν) =⋃j∈Z

T j(ν) ∪ 0

e um conjunto hiperbolico.

Demonstracao. Vimos que O(ν) e um conjunto compacto e invariante por T . Vamos definir

a decomposicao em cada ponto x ∈ O(ν) por meio dos espacos tangentes da variedade estavel

W s(0) e a variedade instavel W u(0), que se intersectam ao longo da orbita homoclınica,

Esx := TxW

s(0) e Eux := TxW

u(0).

Primeiro iremos provar que Esx e Eu

x sao invariantes pela linearizacao de T . Para isto,

considere υ ∈ TxW s(0), entao existe uma curva γ : I → W s(0) definida em um intervalo I

satisfazendo γ(0) = x e γ′(0) = υ. Posto que W s(0) e invariante pela acao de T , entao a

imagem da curva t→ T (γ(t)) ∈ Rn satisfaz

T (γ(t)) ∈ W s(0) e T (γ(0)) = T (x).

De ddtT (γ(t)) = DT (γ(t))γ′(t) temos para t = 0 que DT (x)υ ∈ TT (x)W

s(0). Assim, obtemos

que DT (x)(TxWs(0)) ⊂ TT (x)W

s(0). Aplicando o mesmo argumento a T−1 concluımos que

DT (x)Esx = Es

T (x).

Analogamente, obtemos DT (x)Eux = Eu

T (x).

Agora iremos provar que para todo x ∈ O(ν), TxRn = Esx ⊕ Eu

x . E claro que para

x = 0 e x = ν a afirmacao se verifica. Logo, devemos provar que todo iterado do ponto ν e

um ponto homoclınico transversal. De fato, temos que a aplicacao DT (ν) : TνRn → TTνRn

e um isomorfismo linear e como TνRn = Esν ⊕ Eu

ν entao

TT (ν)Rn = DT (ν)(Esν ⊕ Eu

ν ) = DT (ν)(Esν)⊕DT (ν)(Eu

ν ) = EsT (ν) ⊕ Eu

T (ν).

Assim, a afirmacao segue por inducao.

33

Es0

Eu0

Eux

Esx

W s(0)

W u(0)

x

0

ν

Figura 3.5: A decomposicao Esx ⊕ Eu

x .

As estimativas requeridas serao deduzidas das estimativas da linearizacao de T no

ponto fixo hiperbolico DT (0) e usando o fato que T j(ν) → 0 quando |j| → ∞. Dada

a representacao local das variedades invariantes como graficos de mapas diferenciaveis (na

vizinhanca Q do ponto fixo) do Teorema de Hadamard-Perron 3.2.5

y = h(x), (x, y) ∈ W sloc(0),

x = k(y), (x, y) ∈ W uloc(0),

definimos a mudanca de coordenadas ψ(x, y) = (ξ, η) por

ξ = x− k(y),

η = y − h(x).

Dado que h(0) = k(0) = 0 e Dh(0) = Dk(0) = 0, entao ψ(0) = 0 e Dψ(0) = Id onde Id e

a matriz identidade. Portanto, pelo teorema da funcao inversa, ψ e um difeomorfismo local

perto de 0. Nas novas coordenadas, T e representada por

T = ψ T ψ−1 = (ξ1, η1), onde ξ1 = f(ξ, η) e η1 = g(ξ, η)

como se mostra no diagrama 3.2, onde ψ(Q) = Q

Q

ψ

T // Q

ψ

Q T // Q

(3.2)

Alem disso, as variedades invariantes locais de 0 em relacao a vizinhanca Q sao os conjuntos

W sloc(0) = (ξ, 0) = Es e W u

loc(0) = (0, η) = Eu.

34

0

Q

ψ

0

Q

Eu = W uloc(0)

Es = W sloc(0)

Figura 3.6: Interpretacao geometrica

Da invariancia destes conjuntos temos que f(0, η) = 0 e g(ξ, 0) = 0 para todo ξ e

η suficientemente pequenos. Portanto, usando o fato que DT (0) =

(As 0

0 Au

)temos que

perto de 0 o difeomorfismo T pode ser escrito como T = (ξ1, η1) onde

ξ1 = (As +O(ξ, η))ξ,

η1 = (Au +O(ξ, η))η.

Logo,

DT (ξ, η) =

(Oξ(ξ, η)ξ + As +O(ξ, η) Oη(ξ, η)ξ

Oξ(ξ, η)η Oη(ξ, η)η + Au +O(ξ, η)

)

Em particular, DT (0) =

(As 0

0 Au

)e ao longo da variedade estavel, W s

loc(Q), temos que

DT (ξ, 0) =

(As +Oξ(ξ, 0)ξ +O(ξ, 0) Oη(ξ, 0)ξ

0 Au +O(ξ, 0)

)

De ‖As‖, ‖A−1u ‖ ≤ α < 1 segue que para υs = (ξ, 0) ∈ Es e ‖ξ‖ suficientemente

pequeno,

‖DT (ξ, 0)υs‖ ≤ ϑ‖υs‖ com α < ϑ < 1.

Nas coordenadas originais temos T = ψ−1 T ψ e portanto T j = ψ−1 T j ψ para todo

j ∈ Z. Considerando um conjunto compacto contido em Q, temos que existe uma constante

K > 0 satisfazendo ‖Dψ‖ ≤ K e ‖Dψ−1‖ ≤ K. Para um ponto x0 na vizinhanca Q de 0

temos

DT j(x0)υs = Dψ−1 DT j Dψ(x0)υs para todo υs ∈ Tx0W sloc(0) = Es

x0.

Assim, ‖DT j(x0)υs‖ ≤ ϑjK2‖υs‖ para todo j ≤ 0. Logo, verificamos as estimativas deseja-

das para os pontos x ∈ O(ν) ∩Q.

35

Agora considere x0 ∈ O(ν) \ Q. Dado que T j(ν)→ 0 quando |j| → ∞, entao existem

inteiros N1, N2 ≥ 0 tal que T j(ν) ∈ Q para todo j ≥ N1 e T−j(ν) ∈ Q para todo j ≥ N2.

Portanto, para N = N1 +N2 temos que TN(x0) ∈ Q. Assim

‖DTN+n(x0)υs‖ = ‖DT n(TN(x0)) DTN(x0)υs‖

≤ ϑnK2‖DTN(x0)υs‖

≤ maxx∈O(ν)\Q

‖DTN(x)‖υnK2‖υs‖.

Observe que a cardinalidade do conjunto O(ν) \Q e finita pois T j(ν)→ 0 quando |j| → ∞como se mostra na figura 3.3.

0

Q

ϕN1(ν)

ϕ−N2(ν)

ϕ−2(ν)ϕ−1(ν)

ν = ϕ0(ν)

ϕ1(ν)

ϕ2(ν)

Figura 3.7: Estimativa na demonstracao

Assim, definindo c := maxx∈O(ν)\Q

‖DTN(x)‖υ−NK2 obtemos

‖DT j(x)υs‖ ≤ cϑj‖υs‖ para todo j ≥ N e x ∈ O(ν) \Q.

Posto que O(ν) \Q e um conjunto finito de pontos, podemos escolher uma constante C ≥ c

suficientemente grande, de modo que as estimativas se verifiquem para 0 ≤ j < N . Assim,

obtemos as estimativas desejadas

‖DT j(x)υs‖ ≤ Cϑj‖υs‖, para todo υs ∈ Esx e j ≥ 0

para todo x ∈ O(ν) e uma constante C que nao depende de x. Analogamente obtemos as

estimativas para Eux .

36

3.4 Sombreamento e Expansividade

Nesta secao veremos que hiperbolicidade implica as propriedades de expansividade e som-

breamento. O leitor interesado podera consultar em [6], onde provam estas propriedades em

espacos mais gerais.

Primeiro, iremos enunciar o Teorema da Variedade Estavel para Conjuntos Hiperbolicos

e segue como consequencia direta que hiperbolicidade implica expansividade.

3.4.1 Teorema (Teorema da Variedade Estavel para Conjuntos Hiperbolicos). Seja T

um difeomorfismo de classe C1 e Λ um conjunto hiperbolico para T com decomposicao

TΛRn = Es⊕Eu. Entao existe ε > 0 tal que para todo p ∈ Λ, W sε (p;T ) e um disco mergulhado

de classe C1 em Rn e TpWsε (p;T ) = Es

p. Alem disso, W s(p;T ) = ∪j∈NT−j(W sε (T j(p), T ))

(logo, W s(p;T ) e uma subvariedade imersa) e pedacos compactos de W s(p;T ) variam con-

tinuamente com respeito a p e T .

Trocando T por T−1 obtemos um resultado analogo para a variedade instavel. A

constante ε nao depende do ponto p ∈ Λ, logo as variedades invariantes tem tamanho

uniforme sobre todo o conjunto Λ. No enunciado do teorema, TΛRn = Es ⊕ Eu quer dizer

que para todo ponto p ∈ Λ temos a decomposicao TpRn = Esp ⊕ Eu

p .

3.4.2 Proposicao. Se Λ e um conjunto hiperbolico entao o sistema dinamico (Λ, T ) e ex-

pansivo.

Demonstracao. Considere x, y ∈ Λ e ε > 0 como no Teorema 3.4.1. Entao dizer que

|T j(x)− T j(y)| < ε para todo j ∈ Z

e equivalente a dizer que y ∈ W sε (x)∩W u

ε (x). Mas pelo Teorema 3.4.4 temos que a variedade

estavel local e a variedade instavel local sao transversais, ou seja, W sε (x) ∩W u

ε (x) = x,logo x = y.

3.4.3 Definicao. Uma sequencia (xj)j∈Z em Rn e uma δ pseudo-orbita (δ > 0) se

|xj+1 − T (xj)| ≤ δ para todo j ∈ Z.

Observe que se (xj)j∈Z e um orbita de T , entao T j(x0) = xj, para todo j ∈ Z. Porem,

se (xj)j∈Z e um pseudo-orbita de T , entao podemos dizer que (xj)j∈Z e uma sequencia que

deixa de ser uma orbita por erros pequenos. As pseudo orbitas nao descrevem a real evolucao

do sistema, porem seria util a existencia de uma orbita (e portanto a evolucao precisa do

sistema) que acompanhe essa pseudo-orbita ao longo do tempo. Dessa forma, os erros da

pseudo-orbita podem ser desconsiderados. Esta propriedade e chamada de sombreamento.

37

3.4.4 Definicao. Dizemos que a orbita de um ponto y0 em Rn ε-sombreia uma δ pseudo-

orbita (xi)i∈Z (ou que (xi)i∈Z e ε-sombreada pela orbita de y0) se |T j(y0)− xj| ≤ ε para todo

j ∈ Z. Dizemos que T : Rn → Rn tem a propriedade sombreamento se para todo ε > 0 existe

δ > 0 tal que toda δ pseudo-orbita e ε-sombreada.

A seguir enunciaremos sem demonstracao o Lema de Sombramento. Este afirma que

hiperbolicidade implica a propriedade de sombreamento. Alem disso, e muito importante

pois e a principal ferramenta na demonstracao do Teorema de S. Smale. Para uma prova,

ver [22].

3.4.5 Lema (de Sombreamento). Seja Λ um conjunto hiperbolico do difeomorfismo T . Entao

existe ε0 > 0 tal que para todo 0 < ε < ε0 existe δ = δ(ε) > 0 com a seguinte propriedade:

Toda δ pseudo-orbita (qj)j∈Z de T no conjunto hiperbolico Λ e ε-sombreada por uma

unica orbita (pj)j∈Z numa vizinhanca de Λ.

Demonstracao. Veja [[22], Teorema III.7, pg 89]

3.5 Prova do Teorema de S. Smale

Demonstracao. Vamos mostrar que TK |Γ e conjugado a um shift, para algum K > 0 e um

conjunto Γ invariante por TK , como se mostra na figura 3.3.

Γ Γ

ΣA ΣA

TK

σΦ Φ

(3.3)

Vamos dividir a demonstracao em tres etapas.

ETAPA 1: Nesta etapa iremos construir duas vizinhancas necessarias para definir a

aplicacao Φ, uma vizinhanca do conjunto T j(ν) | 1 ≤ j ≤ a e uma vizinhanca do ponto

fixo hiperbolico 0.

Considere o alfabeto A = 1, 2, ..., a, entao para cada 1 ≤ j ≤ a vamos escolher

vizinhancas Vj de T j(ν) satisfazendo Vi⋂Vj = ∅ se i 6= j, e vamos definir o aberto V como

V :=⋃

1≤j≤aVj.

Agora escolha ε > 0 suficientemente pequeno de modo que a ε-vizinhanca do conjunto

Λ esteja contida em U e a ε-vizinhanca do ponto homoclınico T j(ν) esteja contida em Vj, para

38

todo j ∈ A. Dado que Λ e um conjunto hiperbolico, podemos considerar uma δ-vizinhanca

Bδ(0) onde δ = δ(ε) > 0 satisfaz a propriedade do Lema de Sombreamento. Logo, como ν e

um ponto homoclınico temos que existe N ≥ 1 tal que

T sj+N−1(ν) ∈ Bδ(0) e T sj−N+1(ν) ∈ Bδ(0) para todo sj ∈ A. (*)

ETAPA 2: Nesta segunda etapa iremos construir para cada sequencia bilateral do

conjunto∑

A uma δ pseudo-orbita do conjunto hiperbolico Λ.

Seja s = (sj)j∈Z uma sequencia bilateral do conjunto ΣA. Para construir a δ pseudo-

orbita q(s) = (q(s)j)j∈Z em Λ correspondente a sequencia bilateral s, vamos considerar os

seguintes “blocos comparativos” que ajudarao a visualizar melhor a correspondecia s 7→ q(s).

Para isto, tenha em conta que qj = q(s)j e T j = T j(ν) para todo j ∈ Z:

A 0 =

[q−N+1 ... q−1 q0 q1 ... qN−1 qN

T s0−N+1 ... T s0−1 T s0 T s0+1 ... T s0+N−1 0

]

A 1 =

[qN+1 ... q2N−1 q2N q2N+1 ... q3N−1 q3N

T s1−N+1 ... T s1−1 T s1 T s1+1 ... T s1+N−1 0

]

A−1 =

[q−3N+1 ... q−2N−1 q−2N q−2N+1 ... q−N−1 q−N

T s−1−N+1 ... T s−1−1 T s−1 T s−1+1 ... T s−1+N−1 0

]...

A k =

[q2Nk−N+1 ... q2Nk−1 q2Nk q2Nk+1 ... q2Nk+N−1 q2Nk+N

T sk−N+1 ... T sk−1 T sk T sk+1 ... T sk+N−1 0

]

A−k =

[q−2Nk−N+1 ... q−2Nk−1 q−2Nk q−2Nk+1 ... q−2Nk−1 q−2Nk+N

T s−k−N+1 ... T s−k−1 T s−k T s−k+1 ... T s−k+N−1 0

]...

E para visualizar melhor a correspondencia s 7→ q(s) recomendamos que o leitor ordene

os blocos assim

. . . A−k . . . A−1 A0 A1 . . . Ak . . .

O nome de “blocos comparativos” e dado para identificar cada termo da sequencia

q(s) com um iterado do ponto homoclınico ν, posicionados na primeira e segunda linha de

cada bloco, respectivamente. Note que cada iterado do ponto ν escolhido esta contido na δ

vizinhanca do ponto fixo 0 construıda na Etapa 1. Ja construıda a sequencia, passamos a

provar que, de fato, ela e uma δ pseudo-orbita.

1 Afirmacao. A sequencia q(s) e uma δ pseudo-orbita.

39

Demonstracao. Vamos fazer a analise por casos, como segue:

• Se j = (2k − 1)N e k ∈ Z, entao qj = 0. Assim, segue diretamente de (*) que

|qj+1 − T (qj)| = |T sk−N+1(ν)− T (0)| = |T sk−N+1(ν)| < δ.

• Se j = (2k)N e k ∈ Z, entao qj = T sk(ν).Assim,

|qj+1 − T (qj)| = |T sk+1(ν)− T (T sk(ν))| = |T sk+1(ν)− T sk+1(ν)| = 0 < δ.

• Se j = (2k − 1)N − 1 e k ∈ Z, entao qj = T sk−1+N−1(ν). Aplicando (*) e o fato que

T j(ν)→ 0 quando j →∞ temos

|qj+1 − T (qj)| = |0− T (T sk−1+n−1(ν))| = |T sk−1+N(ν)| < δ.

• Se (2k−1)N−1 < j < (2k)N e k ∈ Z, entao qj = T sk+l(ν) com −N < l < −1. Assim,

|qj+1 − T (qj)| = |T sk+l+1(ν)− T (T sk+l(ν))| = |T sk+l+1(ν)− T sk+l(ν)| = 0 < δ.

• Se (2k)N < j < (2k + 1)N e k ∈ Z, deixamos a verificacao para o leitor.

Com isto, concluımos que |qj+1 − T (qj)| < δ para todo j ∈ Z, ou seja, q(s) e uma δ pseudo-

orbita.

Agora, vamos analisar duas propriedades que iremos precissar na ultima Etapa. A pri-

meira propriedade, mostra a relacao existente entre os termos da sequencia que sao multiplos

de 2N e os iterados do ponto homoclınico ν. E a segunda propriedade, mostra uma relacao

existente entre a sequencia q(s) e a sequencia q(σ(s)).

Seja s uma sequencia bilateral em ΣA e σ(s) a imagem de s pela aplicacao shift, entao

temos as seguintes propriedades:

q(s)j2N = T sj(ν) ∈ Vsj para todo j ∈ Z (I)

q(s)j+2N = q(σ(s))j para todo j ∈ Z (II)

A propriedade (I) segue diretamente da construcao da sequencia q(s). De fato, se

observamos com atencao a N -esima coluna de cada um dos blocos Ak obtemos:

Bloco N-esima coluna

A0 q(s)0 = T s0(ν)

A1 q(s)2N = T s1(ν)

A−1 q(s)−2N = T s−1(ν)...

...

Ak q(s)2Nk = T sk(ν)

A−k q(s)−2Nk = T s−k(ν)...

...

40

Blocos da sequencia q(s)

qj = q(s)j e T j = T j(ν)

A 0 =

[q−N+1 ... q−1 q0 q1 ... qN−1 qN

T s0−N+1 ... T s0−1 T s0 T s0+1 ... T s0+N−1 0

]

A 1 =

[qN+1 ... q2N−1 q2N q2N+1 ... q3N−1 q3N

T s1−N+1 ... T s1−1 T s1 T s1+1 ... T s1+N−1 0

]

A−1 =

[q−3N+1 ... q−2N−1 q−2N q−2N+1 ... q−N−1 q−N

T s−1−N+1 ... T s−1−1 T s−1 T s−1+1 ... T s−1+N−1 0

]...

A k =

[q2Nk−N+1 ... q2Nk−1 q2Nk q2Nk+1 ... q2Nk+N−1 q2Nk+N

T sk−N+1 ... T sk−1 T sk T sk+1 ... T sk+N−1 0

]

A−k =

[q−2Nk−N+1 ... q−2Nk−1 q−2Nk q−2Nk+1 ... q−2Nk−1 q−2Nk+N

T s−k−N+1 ... T s−k−1 T s−k T s−k+1 ... T s−k+N−1 0

]...

Blocos da sequencia q(σ(s))

qj = q(σ(s))j e T j = T j(ν)

A 0 =

[q−N+1 ... q−1 q0 q1 ... qN−1 qN

T s1−N+1 ... T s1−1 T s1 T s1+1 ... T s1+N−1 0

]

A 1 =

[qN+1 ... q2N−1 q2N q2N+1 ... q3N−1 q3N

T s2−N+1 ... T s2−1 T s2 T s2+1 ... T s2+N−1 0

]

A−1 =

[q−3N+1 ... q−2N−1 q−2N q−2N+1 ... q−N−1 q−N

T s0−N+1 ... T s0−1 T s0 T s0+1 ... T s0+N−1 0

]...

A k =

[q2Nk−N+1 ... q2Nk−1 q2Nk q2Nk+1 ... q2Nk+N−1 q2Nk+N

T sk+1−N+1 ... T sk+1−1 T sk+1 T sk+1+1 ... T sk+1+N−1 0

]

A−k =

[q−2Nk−N+1 ... q−2Nk−1 q−2Nk q−2Nk+1 ... q−2Nk−1 q−2Nk+N

T s−k+1−N+1 ... T s−k+1−1 T s−k+1 T s−k+1+1 ... T s−k+1+N−1 0

]...

41

Para obter a propriedade (II), vamos comparar acima os blocos correspondentes a

sequencia q(s) e a sequencia q(σ(s)) e, se observamos com atencao, obtemos que a segunda

linha do bloco Ak coincide com a segunda linha do bloco Ak+1 para todo k ∈ Z, assim

concluımos a propriedade (II).

ETAPA 3: Primeiro vamos definir a aplicacao Φ : ΣA → Rn e o valor de K, posteri-

ormente, provaremos que se verificam as propriedades i), ii) e iii) do teorema.

Considere s em ΣA e q(s) a δ pseudo-orbita construıda na Etapa 2. Aplicando o Lema

de Sombreamento temos que existe uma unica orbita p(s) em U que ε-sombreia q(s), isto e,

|p(s)j − q(s)j| ≤ ε ∀ j ∈ Z. (III)

Assim, para cada s em ΣA vamos definir Φ(s) := p(s)0 e, para facilitar a leitura, daqui em

adiante vamos denotar por pj o ponto p(s)j. Por outro lado, observe que p0 ∈ Vs0 . De fato,

segue de (III) que |p0 − q0| = |p0 − T s0(ν)| ≤ ε e como escolhemos ε > 0 de modo que

Bε(Ts0(ν)) ⊂ Vs0 , entao p0 ∈ Vs0 .

Escolhamos agora K = 2N , onde N e o numero natural que verifica (*) na Etapa 1.

Nao e difıcil verificar que, para todo j ∈ Z, tem-se

(TK)j(Φ(s)) ∈ Vsj (IV)

De fato, note que

(TK)j(Φ(s)) = (TK)j(p0) = (T 2N)j(p0) = T j2N(p0) = p(s)j2N .

Alem disso, de (I) e (III) temos que |pj2N − qj2N | = |pj2N − T sj(ν)| ≤ ε, para todo j ∈ Z.

Logo, usando o fato que Bε(Tsj(ν)) ⊂ Vsj obtemos a afirmacao desejada.

Agora vamos provar a propriedade iii), isto e, Φ e um homeomorfismo que satisfaz

Φ σ = TK Φ. Comecemos provando a igualdade.

3.5.1 Lema. Φ σ = TK Φ.

Demonstracao. Fixe s ∈ ΣA. Segue de (III), que para todo j ∈ Z

|p(s)j − q(s)j| = |T j(p0)− q(s)j| ≤ ε.

Aplicando (II) e trocando j por j + 2N na estimativa acima temos

|T j+2N(p0)− q(s)j+2N | = |T j(T 2N(p0))− q(σ(s)j| = |T j(TK(p0))− q(σ(s)j| ≤ ε

para todo j ∈ Z.

Portanto, (T j(TK(p0)))j∈Z e uma ε-sombra da δ-pseudo orbita q(σ(s)). Por outro lado,

aplicando Φ a sequencia bilateral σ(s) temos

|T j(p(σ(s)0)− q(σ(s))j| = |T j(Φ σ(s))− q(σ(s))j| ≤ ε, j ∈ Z

42

de modo que (T j(Φ σ(s)))j∈Z e tambem uma ε-sombra da δ pseudo-orbita q(σ(s)). Pela

unicidade do Lema de sombreamento concluımos que, para todo j ∈ Z, tem-se

T j(TK(p0)) = T j(Φ(σ(s)))

Em particular, para j = 0, temos TK(p0) = Φ(σ(s)) e como Φ(s) = p0 entao

TK(Φ(s)) = Φ(σ(s)).

Dado que s e uma sequencia bilateral fixa mas arbitraria, concluımos

TK Φ = Φ σ.

Queremos agora mostrar que Φ e um homeomorfismo. Dado que ΣA e compacto, entao

toda aplicacao injetora e contınua Φ; ΣA → Φ(ΣA) ⊂ V e um homeomorfismo sobre sua

imagem, logo basta provar que Φ e injetora e contınua. Sejam entao, s e s′ duas sequencias

bilaterais diferentes em ΣA tal que Φ(s) = p0 e Φ(s′) = p′0. Como s 6= s′, existe j0 ∈ Z tal

que sj0 6= s′j0 e Vsj0⋂Vs′j0

= ∅. Por (IV) temos que (TK)j0(p0) 6= (TK)j0(p′0), entao p0 6= p′0.

Logo, Φ e injetora. Vejamos agora que Φ e contınua.

3.5.2 Lema. Φ e contınua.

Demonstracao. Considere s(n) uma sequencia de sequencias bilaterais que converge para s

em ΣA e vamos provar que Φ(sn) → Φ(s) quando n → ∞. Suponha entao, que existe uma

subsequencia de (Φ(sn))n∈N que denotaremos por (Φ(snk))k∈N tal que

|Φ(snk)− Φ(s)| ≥ ε∗ > 0 (V)

para todo k ∈ N. Dado que V e compacto, existe uma subsequencia de (Φ(snk))k∈N que

converge em V . Assumiremos que Φ(snk)→ ξ e por (V) obtemos que |ξ − Φ(s)| > 0. Alem

disso, (T j(ξ))j∈∈Z e tambem uma orbita que ε-sombreia a pseudo-orbita q(s). De fato, seja

j um inteiro, entao

|T j(ξ)− q(s)j| ≤ |T j(ξ)− T j(Φ(snk))|+ |T j(Φ(snk))− q(snk)j|+ |q(snk)j − q(s)j|.

Se nk →∞, entao snk → s e Φ(snk)→ ξ. Logo, para qualquer j inteiro temos que

1. limnk→∞

|T j(ξ)− T j(Φ(snk))| = 0.

2. limnk→∞

|T j(Φ(snk))− q(snk)j| ≤ ε.

3. limnk→∞

|q(snk)j − q(s)j| = 0.

43

Assim, concluımos que |T j(ξ) − q(s)j| ≤ ε para todo j ∈ Z. Pela unicidade do Lema

de Sombreamento temos que pj = T j(ξ) para todo j ∈ Z. Em particular, Φ(s) = p0 = ξ, o

que e uma contradicao.

A propriedade i) segue diretamente da propriedade iii) do Teorema. De fato, para

qualquer m ∈M = Φ(ΣA) temos que TK(m) = Φ σ Φ−1(m) ∈M = Φ(ΣA).

Finalmente, vamos provar a propriedade ii) do Teorema. Considere m ∈M . Vimos que

Φ : ΣA →M e um homeomorfismo, entao existe uma sequencia bilateral s tal que Φ(s) = m

e cuja δ pseudo-orbita correspondente e q(s). Assim, aplicando o Lema de Sombreamento

temos que existe uma unica orbita p(s) em U que ε-sombreia q(s), isto e,

|T j(Φ(s))− qj| = |T j(p0)− qj| = |pj − qj| ≤ ε

para todo j ∈ Z. Logo, T j(Φ(s)) pertence a ε-vizinhanca do conjunto Λ que esta contida

em U .

Com isso concluımos a demonstracao do Teorema 3.0.4

44

Capıtulo 4

Expansividade e Entropia Topologica

Neste capıtulo iremos estudar relacoes existentes entre sistemas dinamicos expansivos e sua

entropia topologica. Na primeira secao, iremos provar o Teorema de Fathi que chamaremos

A Formula De Fathi. Damos este nome pois o autor obtem uma cota superior finita para a

dimensao de Hausdorff de um espaco metrizavel compacto:

HDd(X) ≤ 2h(T )

log k

onde chamaremos k > 1 a constante de expansao (ou contracao) na “Metrica Hiperbolica

Adaptada” (tambem construıda por Fathi). Tambem veremos que todo homeomorfismo

expansivo sobre um espaco metrico compacto admite a existencia desta metrica. As provas

destes teoremas estao baseadas nas ideias de Fathi em [10].

Na secao 3.6.2 estudamos brevemente a aplicacao shift que tornou-se interesante por

ser um caso particular de um homeomorfismo expansivo com infinitas orbitas periodicas, e

concluımos, que e um sistema dinamico caotico. Porem, nem todo homeomorfismo expansivo

possui entropia topologica positiva como veremos na secao 4.2.1. Nos estamos interessados

em provar o Teorema de Lewowicz que diz que a existencia de componentes conexas nao

triviais no conjunto α-local instavel implica entropia positiva. Apresentamos a prova deste

Teorema na secao 5.2.2 usando as ideias de Jana Rodriguez Hertz exposto na monografia

“New proofs of some known facts about expansive homeomorphisms” [12].

4.1 A formula de Fathi

Nesta secao vamos apresentar a formula de Fathi que consiste em uma desigualdade que

relaciona Entropia Topologica, Dimensao de Hausdorff e Hiperbolicidade no sentido de Fathi.

Primeiro iremos dar a definicao de “Metrica Hiperbolica Adaptada”.

45

4.1.1 Definicao. Sejam (X, d′) um espaco metrico compacto e T : X → X um homeomor-

fismo. Uma metrica d definida em X e uma Metrica Hiperbolica Adaptada, se gera a mesma

topologia que d′ e, se existem numeros k > 1 e ε > 0 satisfazendo:

para todo x, y ∈ X, maxd(T (x), T (y)), d(T−1(x), T−1(y)) ≥ minkd(x, y), ε.

Dado que k > 1 temos que a metrica contrai ou expande distancias no primeiro ite-

rado. Por esta razao, k e chamada de constante de expansao (ou de contracao) na metrica

hiperbolica adaptada. Sempre que um homeomorfismo expansivo admita a existencia de uma

metrica hiperbolica adaptada, sera chamado de Homeomorfismo expansivo topologicamente

hiperbolico.

A seguir provaremos que todo homeomorfismo expansivo e topologicamente hiperbolico,

isto e, todo homeomorfismo expansivo possui uma metrica hiperbolica adaptada.

4.1.2 Teorema. Sejam (X, d′) um espaco metrico compacto e T : X → X um homeomor-

fismo expansivo. Entao, existe uma Metrica Hiperbolica Adaptada d em X, tais que, T e

T−1 sao Lipschitz com relacao a metrica d.

Demonstracao. Escolha uma metrica δ no espaco X definindo sua topologia e ε0 a constante

de expansividade de T com respeito a esta metrica.

Definamos a aplicacao n(x, y) para quaisquer dois pontos x e y em X por:

n(x, y) =

∞ se x = y

minn0 ∈ N|max|n|≤n0 δ(Tn(x), T n(y)) > ε0 se x 6= y.

(4.1)

Fixemos α > 1, e definamos a funcao distancia ρ : X ×X → R por:

ρ(x, y) =

0 se x = y

α−n(x,y) se x 6= y.(4.2)

Observe que esta funcao satisfaz as seguintes propriedades:

i. ρ(x, y) = 0 se e somente se x = y (por definicao da funcao ρ).

ii. Para todo x e y em X, ρ(x, y) = ρ(y, x).

Apesar de ρ nao ser uma metrica, ela define a topologia de X ja que T e um homeo-

morfismo expansivo.

Alem disso, esta funcao distancia verifica a seguinte implicacao:

46

Se max|i|≤n−1

ρ(T i(x)), T i(y)) ≤ 1α

, entao

max(ρ(T n(x)), T n(y)), ρ(T−n(x)), T−n(y))) ≥ αnρ(x, y). (4.3)

Agora iremos dar mais condicoes para a escolha de α. Dado que nos podemos encontrar

um inteiro m tal que δ(a, b) > ε/2 implica n(a, b) ≤ m. Entao podemos escolher α de modo

que αm ≤ 2. Pela desigualdade triangular da metrica δ e a definicao de m, temos que para

todo x, y e z em X, ou n(z, y) ≤ m + n(x, y) ou n(z, x) ≤ m + n(x, y). Assim, obtemos a

seguinte desigualdade:

ρ(x, y) ≤ 2 max(ρ(x, z), ρ(z, y)). (4.4)

Pela definicao da funcao distancia ρ e a desigualdade (4.4), podemos aplicar o Teorema

de Metrizacao de Frink (veja capıtulo 1), isto e, existe uma metrica D sobre X tal que:

D(x, y) ≤ ρ(x, y) ≤ 4D(x, y). (4.5)

Isto implica que D define a mesma topologia sobre X. Por outro lado, de (4.3) e (4.5),

temos que:

Se max|i|≤n−1

D(T i(x), T i(y)) ≤ 1/4, entao

max(D(T n(x), T n(y)), D(T−n(x), T−n(y))) ≥ αn

4D(x, y). (4.6)

Escolha n0 tal que K = (αn0/4) > 1 e considere k = K1/n0 . Finalmente, definimos a

metrica d por:

d(x, y) = max|i|≤n0−1

D(T i(x), T i(y))

ki. (4.7)

E claro que, a metrica d define a topologia de X.

Nos podemos estabelecer a seguinte desigualdade:

maxd(T (x), T (y)), d(T−1(x), T−1(y)) ≥ max0<|i|≤n0

D(T i(x), T i(y))

k|i|−1. (4.8)

Esta ultima quantidade e o maximo das seguintes quantidades A e B:

A = max0<|i|<m0

D(T i(x), T i(y))

k|i|−1= k max

0<|i|<n0

D(T i(x), T i(y))

k|i|, (4.9)

e

B =max(D(T n0(x), T n0(y)), D(T−n0(x), T−n0(y)))

kn0. (4.10)

Suponhamos agora que d(x, y) < 14αkn0−1, entao por (4.6), (4.7) e a definicao de k,

temos:

B ≥ kD(x, y). (4.11)

47

Por outro lado, de (4.9) e (4.11) temos que, se d(x, y) < 14αkn0−1 entao

max(d(T (x), T (y)), d(T−1(x), T−1(y))) ≥ kd(x, y). (4.12)

Dado que X e compacto, podemos encontrar ε > 0 tal que:

Se d(x, y) ≥ 14αkn0−1, entao

max(d(T (x), T (y)), d(T−1(x), T−1(y))) ≥ ε. (4.13)

Finalmente de (4.12) e (4.13), obtemos que:

Para todo x, y ∈ X, max(d(T (x), T (y)), d(T−1(x), T−1(y))) ≥ minkd(x, y), ε. (4.14)

Para provar que T e T−1 sao Lipschitz, observe que elas sao Lipschitz com constante

de Lipschitz α para ρ e alem disso, todas as metricas acima foram definidas na mesma classe

de Lipschitz como ρ.

Se (X, d) e um espaco metrico, dizemos que T : X → X e uma aplicacao bi-Lipschitz,

se existe β > 1 tal que

β−1d(x, y) ≤ d(Tx, Ty) ≤ βd(x, y) para todo x, y ∈ X.

A constante β e chamada de constante bi-Lipschitz da aplicacao T .

4.1.3 Corolario. Seja T : X → X um homeomorfismo expansivo bi-Lipschitz e (X, δ)

um espaco metrico compacto. Entao, existe a metrica hiperbolica adaptada d e a aplicacao

identidade I : (X, d)→ (X, δ) e Holder contınua. Em particular,

DHδ(X) ≤ log β

logαDHd(X),

sendo β a constante bi-Lipschitz da aplicacao T e α como na demonstracao do Teorema

4.1.2.

Demonstracao. Considere ε0 a constante de expansividade de T e n a funcao definida na

demonstracao do Teorema 4.1.2. Se x e y sao dois pontos diferentes em X e se consideramos

n(x, y) = n0, entao pela definicao de n temos que βn0δ(x, y) > ε0. Logo, pela definicao de ρ

em (4.2), obtemos que

ρ(x, y) = α−n0 < αlog δ(x,y)−log ε0

log β .

Pelo Teorema de Metrizacao de Frink, vimos que existe uma metrica D sobre X tal que

se verifica (4.5). Assim, temos que a aplicacao identidade I : (X, δ) → (X,D) e Holder

contınua e

D(x, y) ≤ α−log ε0log β δ(x, y)

logαlog β para todo x, y ∈ X.

48

Da defninicao da metrica hiperbolica adaptada em (4.7) obtemos a seguinte desigual-

dade,

d(x, y) <(kβ

logαlog β )n0−1

αlog ε0log β

ρ(x, y)logαlog β para todo x, y ∈ X.

Com isso, temos que a aplicacao I : (X, d) → (X, δ) e Holder contınua e pela Ob-

servacao 1.0.5 concluımos o Corolario.

A seguir, iremos mostrar que se um homeomorfismo expansivo admite uma metrica

hiperbolica adaptada entao ele e expansivo. Alem disso, verifica a formula de Fathi.

4.1.4 Teorema. Seja T : X → X um homeomorfismo de um espaco metrizavel compacto.

Suponha que existe uma metrica d em X, que gera a topologia, e numeros k > 1 e ε > 0

satisfazendo:

para todo x, y ∈ X, max(d(T (x), T (y)), d(T−1(x), T−1(y))) ≥ min(kd(x, y), ε).

Entao T e expansivo e vale

HDd(X) ≤ Cd(X) ≤ 2h(T )

log k[Formula de Fathi].

Em particular, Cd(X) e HDd(X) sao finitas.

Demonstracao. Primeiro iremos provar por inducao sobre n a seguinte propriedade:

P (n) : Se

max|i|<n

d(T i(x), T i(y)) <ε

k

entao,

max(d(T n(x), T n(y)), d(T−n(x), T−n(y))) = max|i|≤n

d(T i(x), T i(y)) ≥ knd(x, y).

Vejamos que a propriedade se verifica para n = 1 e n = 2.

P (1) : Suponhamos que max|i|<1

d(T i(x), T i(y)) = d(x, y) < ε/k. Dado que d e a metrica

hiperbolica adaptada, temos

max(d(T (x), T (y)), d(T−1(x), T−1(y))) = max|i|≤1

d(T i(x), T i(y)) ≥ kd(x, y).

P (2) : Suponhamos que max|i|<2

d(T i(x), T i(y)) < ε/k. Dado que d e a metrica hiperbolica

adaptada temos

kd(T i(x), T i(y)) ≤ max(d(T i+1(x), T i+1(y)), d(T i−1(x), T i−1(y)))

para |i| ≤ 1. Assim, temos dois casos:

49

• Se max(d(T (x), T (y)), d(T−1(x), T−1(y))) = d(T (x), T (y)) , entao

k2d(x, y) ≤ kd(T (x), T (y)) ≤ d(T 2(x), T 2(y)).

• Se max(d(T (x), T (y)), d(T−1(x), T−1(y))) = d(T−1(x), T−1(y)), entao

k2d(x, y) ≤ kd(T−1(x), T−1(y)) ≤ d(T−2(x), T−2(y)).

Portanto,

max|i|≤2

d(T i(x), T i(y)) = max(d(T 2(x), T 2(y)), d(T−2(x), T−2(y))) ≥ k2d(x, y).

Agora vejamos o caso geral. Suponha que P (n) se verifica para algum n ≥ 1 e su-

ponhamos que max|i|≤n=1

d(T i(x), T i(y)) < ε/k. Dado que d e a metrica hiperbolica adaptada

temos

kd(T i(x), T i(y)) ≤ max(d(T i+1(x), T i+1(y)), d(T i−1(x), T i−1(y)))

para |i| ≤ n. Assim, temos dois casos:

• Se max(d(T (x), T (y)), d(T−1(x), T−1(y))) = d(T (x), T (y)) , entao

kn+1d(x, y) ≤ knd(T (x), T (y)) ≤ ... ≤ kd(T n(x), T n(y)) ≤ d(T n+1(x), T n+1(y)).

• Se max(d(T (x), T (y)), d(T−1(x), T−1(y))) = d(T−1(x), T−1(y)), entao

kn+1d(x, y) ≤ knd(T−1(x), T−1(y)) ≤ ... ≤ kd(T−n(x), T−n(y)) ≤ d(T−n−1(x), T−n−1(y)).

Portanto,

max|i|≤n+1

d(T i(x), T i(y)) = max(d(T n+1(x), T n+1(y)), d(T−n−1(x), T−n−1(y))) ≥ kn+1d(x, y).

Para provar que T e expansiva, suponha que d(T n(x), T n(y)) < ε/k para todo n ∈ Z.

Entao, pela propriedade P (n), temos que

ε

k> max(d(T n(x), T n(y)), d(T−n(x), T−n(y))) ≥ knd(x, y)

para todo n ∈ N. Logo, fazendo n tender para infinito obtemos d(x, y) = 0. Portanto, T e

expansiva.

Alem disso, para todo α < (ε/k), o conjunto

Bn(x, α) =

y|max|i|≤n

d(T i(x), T i(y)) ≤ α

=

n⋂j=−n

T−iB(T i(x), α)

50

esta contido na bola de centro x e raio k−nα. Logo, se consideramos N(n, α) o numero

mınimo de conjuntos da forma Bn(x, α) necessarios para cobrir X e as imagems por T−n dos

conjuntos Bn(x, α) temos

X =⋃x∈Λ

2n⋂i=0

T−iB(T i(x), α)

onde a cardinalidade do conjunto Λ e igual a N(n, α). Assim, temos que N(n, α) e menor ou

igual do que a cardinalidade mınima de um conjunto (2n+ 1, α)-gerador. Segue da definicao

de entropia topologica e capacidade superior que

limα→0

lim supn→∞

logN(n, α)

n≤ 2h(T ).

Logo,

Cd(X) = limα→0

lim supn→∞

logN(X, k−nα)

− log k−nα≤

limα→0

lim supn→∞

logN(n,α)n

log k − limα→0

limn→∞

logαn

.

Dado que HDd(X) ≤ Cd(X) (veja capitulo 1), concluımos que

HDd(X) ≤ Cd(X) ≤ 2h(T )

log k.

Finalmente, obtemos pelo Corolario 2.5.8 que HDd(X) e C(X) sao finitas.

4.1.5 Corolario. Se T : X → X e um homeomorfismo expansivo e a dimensao de Hausdorff

com relacao a metrica hiperbolica adaptada e positiva, entao a entropia topologica e positva.

4.2 Condicoes sobre o espaco metrico para ter entropia

topologica positiva

Antes de provar o teorema de Lewowicz iremos apresentar um exemplo de um homeomorfismo

expansivo com entropia topologica nula.

4.2.1 Homeomorfismo expansivo com entropia topologica nula

Considere o espaco metrico (R, | . |) onde | . | e a distancia usual e, os subconjuntos

A =

xn = −1− 1

n: n ≤ −2

e B =

yn = 1− 1

n: n ≥ 1

Agora consideremos o subconjunto

X = −1, 1 ∪ A ∪B.

51

Podemos considerar X, de modo natural, como espaco metrico: basta considerar a restricao

de | . | a X, ou seja, usar entre os elementos de X a mesma distancia que eles possuıam como

elementos de R. Neste caso, X chama-se subespaco de R e a metrica de X diz-se induzida pela

de R. Observe que o subespaco X com a metrica induzida e um espaco metrico compacto.

Definamos a funcao f : X → X recursivamente como segue:

f(−1) = −1, f(1) = 1, f(xn) = xn+1, f(yn) = yn+1 e f(x−2) = y1.

Por construcao a funcao f e um homeomorfismo, ou seja, f e bijetiva, contınua e

sua inversa e tambem contınua. Alem disso, se consideramos 0 < δ < 1/2 temos que f e

expansivo. De fato, suponhamos que x, y ∈ X \ −1, 1 e x 6= y. Entao, existe um inteiro

j tal que f j(x) = 1/2 e pela definicao de f temos que |f j(x) − f j(y)| > δ. Os outros casos

sao triviais, dado que −1 e 1 sao pontos fixos de f .

Observe tambem que o os unicos pontos nao errantes de f sao os pontos fixos 1 e −1,

assim Ω(f) = 1,−1. Logo pelos Teoremas 2.4.7 e 2.4.8 temos que h(f) = 0.

4.2.2 Teorema de Lewowicz

Nesta secao iremos provar o Teorema de Lewowicz. Para isso, iremos precisar de dois lemas.

O primeiro, diz que os conjuntos α-local estaveis sao contraıdos uniformemente pela acao de

T sempre que seja um homeomorfismo uniformemente α-expansivo. O segundo, diz que se a

componente conexa do conjunto α-local instavel de um ponto e nao trivial, entao podemos

encontrar outro ponto y0 em X tal que a componente conexa do seu conjunto α2-local instavel

intersectado com a fronteira da bola de raio α4

e centro y0, e diferente de vazio. Observe

que a hipotese desse lema e a condicao que garante que um homeomorfismo expansivo tenha

entropia topologica positiva. Ao longo desta secao, iremos considerar T : X → X um

homeomorfismo α-expansivo.

4.2.1 Lema. Para todo ε > 0 e x ∈ X, existe Nε > 0 tal que

T n(W sα(x)) ⊂ Bε(T

n(x)) para todo n ≥ Nε.

Em particular, ω(y) = ω(x) para todo y ∈ W sα(x).

Demonstracao. Seja ε > 0. Pelo Lema 1.5.5, existe Nε > 0 tal que

d(x, y) ≥ ε ⇒ sup|j|≤Nε

d(T j(x), T j(y)) > α. (∗)

Considere y ∈ W sα(x), n ≥ Nε e |j| ≤ Nε, entao d(T j+n(x), T j+n(y)) ≤ α.

52

Suponha que d(T n(x), T n(y)) ≥ ε, entao por (∗) temos que

sup|j|≤Nε

d(T j(T n(x)), T j(T n(y))) > α,

que e uma contradicao. Logo, d(T n(x), T n(y)) < ε para todo n ≥ Nε.

Assim, concluımos que se y ∈ W sα(x) entao d(T n(x), T n(y)) < ε para todo n ≥ Nε.

Para verificar que se y ∈ W sα(x) entao ω(x) = ω(y), iremos provar que ω(x) ⊂ ω(y).

Considere z ∈ ω(x) e ε > 0, entao existe N0 ∈ N e uma subsequencia (nk)k∈N tal que se

nk ≥ N0 entao d(T nk(x), z) < ε2.

Alem disso, se y ∈ W sα(x) entao existe Nε > 0 tal que d(T n(x), T n(y)) < ε

2para todo

n ≥ Nε.

Logo, se nk ≥ maxNε, N0 temos

d(T nk(y), z) ≤ d(T nk(y), T nk(x)) + d(T nk(x), z) <ε

2+ε

2= ε.

Analogamente prova-se que ω(y) ⊂ ω(x).

4.2.2 Lema. Se CW uα (x0) 6= x0 para algum x0 ∈ X, entao existe y0 ∈ X tal que

CW uα/2(y0) ∩ ∂Bα/4(y0) 6= ∅.

Demonstracao. Considere a aplicacao T−1. Aplicando o Corolario 4.1.1 com ε = α/2 temos

que existe um numero natural Nα/2 tal que

T−n(W uα (x0, T

−1)) ⊂ Bα/2(T−n(x0)) ,∀ n ≥ Nα/2.

Dado que CW uα (x0) ⊂ W s

α(x0, T−1) temos que T−n(CW u

α (x0)) ⊂ Bα/2(T−n(x0)) para

todo n ≥ Nα/2. Logo,

T−n(CW uα (x0)) ⊂ W u

α/2(T−n(x0)) , n ≥ Nα/2.

Agora considere z0 = T−Nα/2(x0) e observe que CW uα/2(z0) 6= z0. De fato, como

CW uα (x0) 6= x0 entao existe x′ ∈ CW u

α (x0) com x′ 6= x0. Alem disso, T e um homeo-

morfismo portanto T−Nα/2(CW uα (x0)) e um subconjunto conexo de CW u

α/2(z0) que contem o

ponto T−Nα/2(x′).

Ja que CW uα/2(z0) 6= z0 podemos escolher δ > 0 tal que CW u

α/2(z0) ∩ ∂Bδ(z0) 6= ∅.Alem disso, note que supk≤0 diamT

k(CW uα/2(z0)) ≤ α. De fato, sejam x, y ∈ CW u

α/2(z0) e

n ≥ 0 entao

d(T−nx, T−ny) ≤ d(T−nx, T−nz0) + d(T−nz0, T−ny) ≤ α

2+α

2= α.

53

Aplicando o Lema 3.1.3 a aplicacao T com ε = δ temos que existe Nδ ≥ 0 tal que

se d(x, y) ≥ δ entao sup|n|≤Nδ d(T nx, T ny) > α. E, dado que CW uα/2(z0) ∩ ∂Bδ(z0) 6= ∅ e

supk≤0 diamTk(CW u

α/2(z0)) ≤ α entao existe 1 ≤ k ≤ Nδ tal que

diamT k(CW uα/2(z0)) > α > α/2 (∗∗)

2 Afirmacao. Seja k0 ≥ 1 o menor k satisfazendo (**), entao

T k0(CW uα/2(z0)) ∩Bα/4(T k0(z0)) ⊂ W u

α/2(T k0z0).

Demonstracao. Seja y ∈ T k0(CW uα/2(z0)) ∩ Bα/4(T k0(z0)), entao existe z ∈ CW u

α/2(z0) tal

que y = T k0z. Vamos considerar tres casos:

• Seja k ≥ k0. Dado que z ∈ CW uα/2(z0) e y = T k0z entao d(T−ky, T−k(T k0z0) ≤ α

2.

• Seja k = 0. Dado que y ∈ Bα/4(T k0(z0)) entao d(y, T k0z0) ≤ α4< α

2.

• Seja 0 < k < k0. Suponha que existe 0 < k < k0 tal que d(T−k+k0z, T−k+k0z0) > α/2,

entao diamT−k+k0(CW uα2) > α/2 com k0 − k < k0 que e uma contradicao. Logo,

d(T−ky, T−k(T k0z0)) ≤ α/2.

Assim, temos que y ∈ W uα/2(T k0z0).

Portanto se consideramos y0 = T k0(z0) entao por (**) e pela afirmacao acima con-

cluımos que CW uα/2(y0) ∩ ∂Bα/4(y0) 6= ∅.

4.2.3 Teorema (Lewowicz). Seja T : X → X um homeomorfismo α-expansivo e (X, d) um

espaco metrico compacto. Se existe x0 ∈ X tal que CW uα (x0) 6= x0, entao

h(T ) ≥ log 2

Nα/4

,

onde Nα/4 e como na definicao 2.5.2 com ε = α/4.

Demonstracao. Vamos provar por inducao sob n ≥ 0 a seguinte propriedade:

P (n) : Existe Sn = x(n)j : j = 0, ..., 2n+1 − 1 ⊂ CW u

α/2(y0) tal que Sn e um conjunto

(nNα/4 + 1, α/4)-separado.

Vejamos que a propriedade se verifica para os casos n = 0 e n = 1.

P (0) : Existe S0 = x(0)j : j = 0, 1 ⊂ CW u

α/2(y0) tal que S0 e um conjunto (1, α/4)-

separado.

De fato, seja y0 ∈ X como no Lema 4.2.2. e vamos considerar o conjunto S0 = x(0)0 , x

(0)1

54

onde x(0)0 = y0 e x

(0)1 ∈ CW u

α/2(y0) ∩ ∂Bα/4(y0). Dado que S0 ⊂ CW uα/2(y0) e d1(x

(0)0 , x

(0)1 ) =

d(x(0)0 , x

(0)1 ) = α/4 temos que S0 e (1, α/4)-separado.

P (1) : Existe S1 = x(1)j : j = 0, ..., 3 ⊂ CW u

α/2(y0) tal que S1 e um conjunto

(Nα/4 + 1, α/4)-separado. Posto que a propriedade se verifica para n = 0, considere o

conjunto S0 = x(0)0 , x

(0)1 . Para facilitar a leitura do texto iremos denotar x0

0 por x0 e x01

por x1.

Aplicando o Lema 2.5.3 a aplicacao T com ε = α/4, temos que existe Nα/4 ≥ 1 tal que se

d(x, y) ≥ α/4 entao max|k|≤Nα/4 d(T kx, T ky) > α. Como d(x0, x1) = α/4 e x1 ∈ CW uα/2(y0)

entao

dNα/4+1(x0, x1) = maxk=0,...,Nα/4

d(T kx0, Tkx1) > α.

Alem disso, o conjunto CW uα/2(y0) e conexo e contem os pontos x0 e x1, entao podemos

escolher dois pontos y10 e y1

1 em CW uα/2(y0) tal que

dNα/4+1(xj, y1j ) = α/4 para j = 1, 2.

Observe que o conjunto S1 = x0, x1, y10, y

11 ⊂ CW u

α/2(y0) e (Nα/4 + 1, α/4)-separado. De

fato, para i 6= j temos

• dNα/4+1(x0, y11) > α

4

• dNα/4+1(xi, y1j ) ≥ dNα/4+1(xi, x

1j)− dNα/4+1(xj, y

1j ) > α− α

4= 3α

4> α

4

• dNα/4+1(y10, y

11) ≥ dNα/4+1(y1

0, x1)− dNα/4+1(x1, y11) ≥ 3α

4− α

4= α

2> α

4

Na figura 4.1 podemos observar o mecanismo usado no processo indutivo para os pri-

meiros casos.

Agora vejamos o caso geral. Suponha que P (n) se verifica para algum n ≥ 0 e para

facilitar a leitura do texto iremos denotar cada ponto xnj do conjunto Sn por xj. Entao, para

cada i 6= j temos

dnNα/4+1(xi, xj) = max0,...,nNα/4

d(T k(xi), Tk(xj)) ≥ α/4.

Logo, existe l ∈ 0, ..., nNα/4 tal que d(T l(xi), Tl(xj)) ≥ α/4. Aplicando o Lema 2.5.3

ao mapa T com ε = α/4, temos que existe Nα/4 ≥ 1 tal que se d(x, y) ≥ α/4 entao

max|k|≤Nα/4

d(T k(x), T k(y)) > α. Assim, temos

max|k|≤Nα/4

d(T k(T l(xi)), Tk(T l(xj))) = max

−Nα/4,...,(n+1)Nα/4d(T k(xi), T

k(xj)) > α.

E como Sn ⊂ CW uα/2(y0), isto e, d(T k(xi), T

k(xj)) ≤ α para todo k ≤ 0, entao para i 6= j

temos

d(n+1)Nα/4+1(xi, xj) = maxk=0,...,(n+1)Nα/4

d(T k(xi), Tk(xj)) > α

55

Pela conexidade do conjunto CW uα/2(y0) podemos escolher para cada j = 0, ..., 2n+1 − 1

pontos y(n+1)j em CW u

α/2(y0) tal que

d(n+1)Nα/4+1(xj, y(n+1)j ) = α/4

Observe que o conjunto Sn+1 = Sn ∪ y(n+1)j : j = 0, ..., 2n+1 − 1 e ((n + 1)Nα/4 + 1, α/4)-

separado. De fato, para cada i 6= j temos

• d(n+1)Nα/4+1(xi, xj) > α,

• d(n+1)Nα/4+1(xi, y(n+1)j ) ≥ d(n+1)Nα/4+1(xi, xj)− d(n+1)Nα/4+1(xj, y

(n+1)j ) ≥ 3α/4,

• d(n+1)Nα/4+1(y(n+1)i , y

(n+1)j ) ≥ d(n+1)Nα/4+1(y

(n+1)j , xj)− d(n+1)Nα/4+1(xj, y

(n+1)j ) ≥ α/2.

Portanto, temos que o conjunto Sn+1 = Sn ∪ y(n+1)j : j = 0, ..., 2n+2− 1 ⊂ CW u

α/2(y0)

e ((n+ 1)Nα/4 + 1, α)-separado.

Para concluir a demonstracao, vamos aplicar a definicao de entropia topologica no

sentido de Bowen-Dinaburg usando conjuntos separados (ver capitulo 2). Dado que, para

todo n ∈ N existe Sn subconjunto de X (nNα/4 + 1, α/4)-separado de cardinalidade 2n+1,

temos snNα/4+1(α/4, X) ≥ 2n+1. Portanto

h(T ) ≥ lim supn→∞

log snNα/4+1(α/4, X)

nNα/4 + 1≥ lim sup

n→∞

log 2n+1

nNα/4 + 1=

log 2

Nα/4

,

o que conclui a prova.

dNα/4+1 > α

dNα/4+1 = α4

dNα/4+1 = α4

y0 · · · y10 y1

1 · · ·x0

1

∂Bα/4(y0)

CW uα/2(y0)

d(x00, x

01) = α

4

Figura 4.1: Interpretacao Geometrica do Processo Indutivo

56

Se Mn e uma variedade Riemanniana compacta de dimensao n e d a distancia geodesica

induzida pela metrica Riemanniana, veja [3] pg 161. Entao, temos o seguinte resultado.

4.2.4 Corolario. Seja T : Mn → Mn um homeomorfismo expansivo e Mn uma variedade

Riemanniana compacta, entao h(T ) > 0.

Demonstracao. Seja α uma constante de expansividade de T com relacao a distancia geodesica

d e Sα(x) = y ∈ Mn tal que d(x, y) = α. Dado que a dimensao de Mn e positiva, de

[[16],Lemma III,pg 315] temos que, existe x0 ∈Mn tal que

CW uα (x0) ∩ Sα(x0) 6= ∅ ou CW s

α(x0) ∩ Sα(x0) 6= ∅.

Se CW uα (x0)∩Sα(x0) 6= ∅, entao CW u

α (x0) 6= x0. Pelo Teorema 4.2.3 concluımos que

h(T ) > 0.

Se CW sα(x0)

⋂Sα(x0) 6= ∅, entao CW u

α (x0, T−1)⋂Sα(x0) 6= ∅ ja que os conjuntos

W sα(x0) e W u

α (x0, T−1) sao iguais. Logo, CW u

α (x0, T−1) 6= x0 e pelos Teoremas 4.2.3 e

2.3.6 temos que h(T ) = h(T−1) > 0.

57

Referencias Bibliograficas

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