ge entropia gabaritos

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1 ENTROPIA TODOS GABARITOS GUIA DE ESTUDOS SOBRE ENTROPIA GE 7.2) Teste sua compreensão! GE 7.2.1) Marque V ou F. Justifique todas as suas respostas. ( F ) No zero absoluto a energia interna de um sistema é nula. Comentário: Não, a física quântica mostra que mesmo no zero absoluto há uma energia interna mínima. ( V ) T dQ dS = é uma expressão quantitativa da 2ª Lei da Termodinâmica. Comentário: Até agora a segunda lei havia sido expressa em termos de uma “impossibilidade”, Para formulá-la em termos quantitativos usamos o conceito de entropia S, como expresso acima. A entropia relaciona-se com a probabilidade de um sistema estar numa dada configuração em função do número de possibilidades de configuração que esse sistema possa ter. ( F ) Quanto mais próximo de Zero Kelvin, mais fácil é abaixar a temperatura de um sistema. Comentário: Pelo contrário, se torna mais difícil abaixar a temperatura de um sistema à medida que se diminui a temperatura. Como mostra a 3ª lei da termodinâmica, é impossível atingir o zero absoluto através de um número finito de processos cíclicos. ( F ) A variação de entropia depende do caminho. Comentário: Não, entropia é uma variável de estado, e portanto depende apenas do estado inicial e final do sistema. ( V ) A variação de entropia em um processo cíclico é igual a zero. Comentário: Sim, a entropia só depende do estado final e inicial, portanto sua variação é nula em um ciclo, pois o estado inicial e final coincidem. ( F ) Sabendo que a temperatura da fonte quente permanece inalterada, pode-se dizer que 0 = ΔU nesta fonte. Comentário: Somente para gases ideias observamos que a energia interna depende apenas da temperatura. Ou seja, a afirmação não pode ser generalizada. ( F ) A entropia nunca diminui em um processo reversível. Comentário: A variação TOTAL de entropia durante qualquer processo reversível é igual a zero. Em sistemas isolados a variação da entropia pode assumir qualquer valor, inclusive negativo. Por exemplo, a entropia diminui durante um expansão isotérmica de uma gás ideal (processo reversível).

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Page 1: GE Entropia Gabaritos

1

ENTROPIA  -­‐  TODOS  GABARITOS      

GUIA DE ESTUDOS SOBRE ENTROPIA

GE 7.2) Teste sua compreensão!

GE 7.2.1) Marque V ou F. Justifique todas as suas respostas.

( F ) No zero absoluto a energia interna de um sistema é nula.

Comentário: Não, a física quântica mostra que mesmo no zero absoluto há uma energia interna

mínima.

( V ) TdQdS = é uma expressão quantitativa da 2ª Lei da Termodinâmica.

Comentário: Até agora a segunda lei havia sido expressa em termos de uma “impossibilidade”, Para

formulá-la em termos quantitativos usamos o conceito de entropia S, como expresso acima. A entropia

relaciona-se com a probabilidade de um sistema estar numa dada configuração em função do número

de possibilidades de configuração que esse sistema possa ter.

( F ) Quanto mais próximo de Zero Kelvin, mais fácil é abaixar a temperatura de um sistema.

Comentário: Pelo contrário, se torna mais difícil abaixar a temperatura de um sistema à medida que se

diminui a temperatura. Como mostra a 3ª lei da termodinâmica, é impossível atingir o zero absoluto

através de um número finito de processos cíclicos.

( F ) A variação de entropia depende do caminho.

Comentário: Não, entropia é uma variável de estado, e portanto depende apenas do estado inicial e

final do sistema.

( V ) A variação de entropia em um processo cíclico é igual a zero.

Comentário: Sim, a entropia só depende do estado final e inicial, portanto sua variação é nula em um

ciclo, pois o estado inicial e final coincidem.

( F ) Sabendo que a temperatura da fonte quente permanece inalterada, pode-se dizer que 0=ΔU

nesta fonte.

Comentário: Somente para gases ideias observamos que a energia interna depende apenas da

temperatura. Ou seja, a afirmação não pode ser generalizada.

( F ) A entropia nunca diminui em um processo reversível.

Comentário: A variação TOTAL de entropia durante qualquer processo reversível é igual a zero. Em

sistemas isolados a variação da entropia pode assumir qualquer valor, inclusive negativo. Por exemplo,

a entropia diminui durante um expansão isotérmica de uma gás ideal (processo reversível).

Page 2: GE Entropia Gabaritos

2

( F ) A entropia nunca diminui em um processo irreversível.

Comentário: A variação TOTAL de entropia durante qualquer processo irreversível é positiva. Em

sistemas isolados a variação da entropia pode assumir qualquer valor, inclusive negativo. Por exemplo,

a entropia diminui durante uma compressão isovolumétrica de uma gás (processo reversível).

( V ) A entropia do universo sempre aumenta.

Comentário: A Variação TOTAL de entropia durante qualquer processo reversível é igual a zero. A

variação TOTAL de entropia durante qualquer processo irreversível é positiva. Como todo processo

natural é irreversível a entropia TOTAL do universo sempre aumenta.

( V ) É impossível a ocorrência espontânea de um processo onde a entropia diminui.

Comentário: Como todo processo natural é irreversível, todo processo espontâneo sempre ocorre no

sentido de aumento da entropia.

( V ) Em processos irreversíveis as variações positivas de entropia sempre superam as negativas.

Comentário: Em processos irreversíveis ocorrem tanto variações positivas quanto negativas de

entropia, no entanto a variação TOTAL é sempre positiva.

( V ) Quando a entropia aumenta a disponibilidade de energia diminui.

Comentário: Isso é uma conseqüência da segunda lei da termodinâmica. A transformação de energia

mecânica em calor é um processo irreversível, portanto a energia convertida em calor não fica

integralmente disponível para a realização de trabalho.

( F ) Entropia é uma grandeza que pertence a cada partícula individualmente.

Comentário: Não faz sentido falar de entropia de uma partícula. Entropia relaciona-se com a

probabilidade de um sistema estar numa dada configuração em função do número de possibilidades de

configuração que esse sistema possa ter.

( V ) Para um dado estado macroscópico podem haver vários estados microscópicos correspondentes.

Comentário: Sim, há várias formas de configuração microscópicas que resultam na mesma

configuração macroscópica.

GE 7.2.2) Sobre a entropia de um sistema, não é correto afirmar que:

a) Nunca pode ser negativa. b) Nunca pode diminuir.(X)

c) Pode variar em um sistema isolado. d) Sua variação independe do processo.

* ATENÇÃO: A entropia (S) de um sistema nunca pode ser negativa, no entanto a VARIAÇÃO DE

ENTROPIA ( SΔ ) pode ser negativa, em um sistema isolado ou em um processo reversível.

GE 7.2.3) Em um processo de expansão livre de um gás ideal de um estado a para um estado b é

Page 3: GE Entropia Gabaritos

3

correto afirmar que:

a) a entropia e a energia interna não se alteram.

b) a variação da entropia é a mesma que ocorreria em uma expansão reversível, enquanto a

variação de energia interna é nula. (X)

c) As variações de energia interna e de entropia são positivas.

d) A variação de energia interna é menor que zero e a variação de entropia é maior que zero.

GE 7.2.4) A entropia pode diminuir:

a) Em um processo cíclico;

b) Apenas em um sistema submetido a um processo idealizado, para o qual a segunda lei não é válida;

c) Dentro de um sistema isolado submetido a um processo irreversível; (X)

d) Dentro de um sistema submetido a um processo reversível. (X)

GE 7.2.5) Não violaria a segunda lei da termodinâmica, um processo de:

a) Compressão espontânea do ar em uma sala;

b) A água dentro de um copo sobre a mesa começar a congelar espontaneamente;

c) Fluir calor da Terra para o Sol;

d) Uma lata de refrigerante entrar em equilíbrio térmico com o gelo dentro de um recipiente. (X)

GE 7.3) Temperatura e a 3ª Lei da Termodinâmica

GE 7.3.1) A eficiência de um ciclo de Carnot não depende da natureza da substância operante, isto é:

( )CHH

CH TTfQ

QQ−=

Δ

Δ−Δ

||||

à ( )CHH

C TTfQQ

−−=Δ

Δ1

Ou ( )

( )CHCHC

H TTFTTfQ

Q−=

−−=

Δ

Δ

11||

Em 1848, William Thompson, mais tarde, Lord Kelvin, propôs que F(TH, TC) fosse igual a .C

H

Θ

ΘAs

quantidades Θ são chamadas de temperaturas termodinâmicas e seriam independentes de qualquer

substância específica. As temperaturas termodinâmicas Θ têm o mesmo significado que as

temperaturas T definidas pelos termômetros de gás à volume constante à baixas pressões.

Page 4: GE Entropia Gabaritos

4

a) Para o ciclo de Carnot usando um gás ideal,

como mostrado na figura ao lado, calcule HQΔ

para 1 mol de gás em função de VK, VL e TH.

L

KHKLH V

VnRTWQ ln==Δ

b) Calcule CQΔ em função de VN, VM e TC.

N

MC

M

NCMNC V

VnRTVVnRTWQ lnln −===Δ

c) Com auxílio da equação 11 −− = γγiiff VTVT

prove que N

M

K

L

VV

VV

=

Como 11 −− = γγMCLH VTVT e

11 −− = γγNCKH VTVT

1

1

1

1

γ

γ

γ

N

M

K

L

VV

VV

N

M

K

L

VV

VV

=∴

d) Mostre que C

H

C

H

C

H

TT

QQ

Θ

Θ==

Δ

Δ, ou seja, que

as temperaturas dos termômetros de gás a

volume constante à baixas pressões sejam as

mesmas que as temperaturas termodinâmicas de

Kelvin.

0<Δ∴< CMN QVV

CC QQ Δ−=Δ

L

K

N

M

H

C

H

C

VVV

V

TT

QQ

ln

ln⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Δ

Δ

H

C

H

C

TT

QQ

−=Δ

Δ

Page 5: GE Entropia Gabaritos

5

H

C

H

C

TT

QQ

Δ

Portanto, como mostramos ser uma função só das

temperaturas

( )H

CCH

C

H

TT

TTFQQ

=−=Δ

Δ ||

Temos que

H

C

H

C

TT

Θ

ENUNCIADO DA 3ª. LEI DA TERMODINÂMICA: O zero absoluto de temperatura é inatingível em

qualquer sequência finita de processos.

Em termos de entropia pode-se dizer que a entropia do estado de equilíbrio de qualquer sistema tende

a zero quando a temperatura tende para o zero absoluto.

GE 7.3.2) Represente uma seqüência de ciclos de Carnot,

em um diagrama p x V e discuta o que aconteceria ao se

resfriar o sistema repetidamente. Como isto se relaciona

com a 3ª. Lei da Termodinâmica.

Resp: Ao abaixar a temperatura a área do ciclo vai ficando

cada vez menor. No limite verifica-se uma situação onde

seria retirado calor em um ciclo sem uma mudança de

temperatura.

GE 7.3.3) Represente uma seqüência de ciclos de Carnot,

em um diagrama T x S e discuta o que aconteceria, ao se

resfriar o sistema.

Resp: Cada área corresponde ao calor Q retirado do

sistema. No limite de resfriamento teríamos um processo

isotérmico sem uma correspondente diminuição da

entropia.

GE 7.3.4) Como os resultados dos dois itens anteriores levam à 3ª. Lei da Termodinâmica?

Resp: Não é possível atingir o zero absoluto através de um número finito de processos

termodinâmicos.

Page 6: GE Entropia Gabaritos

6

GE 7.4) Variação de entropia em processos reversíveis e irreversíveis

GE 7.4.1) Liga-se um ar condicionado em uma sala e a temperatura cai de 30º para 17ºC. Responda:

a) A variação de entropia na sala é positiva?

b) Isso viola a 2ª Lei? Explique.

Resp:

a) A variação da entropia é negativa, pois foi retirada uma certa quantidade de calor da parte quente

(dentro da sala) e entregue para a vizinhança (lado externo).

b) Este fato não viola a 2ª lei porque a vizinhança tem uma variação positiva de entropia, sendo essa

maior que a variação de entropia no interior da sala.

GE 7.4.2) Em um dia úmido, o vapor d’água se condensa em uma superfície fria. Durante a

condensação como varia a entropia da água? Explique com base na segunda lei da Termodinâmica.

Resp: A entropia da água diminui e da vizinhança aumenta, pois a mesma quantidade de calor que sai

do vapor é cedido à superfície fria. Considerando a variação total temos um aumento de entropia, como

prevê a segunda lei.

GE 7.4.3) Existe alguma variação de entropia em movimentos puramente mecânicos?

Resp: A variação de entropia ocorre apenas quando existir transferência de calor.

GE 7.5) Variação de Entropia

GE 7.5.1) Qual é a variação sofrida por 1,0 kg de água ao se transformar em vapor a 100º C a uma

pressão de 1 atm.

Resp: Encontre o valor de Q pela expressão VmLQ = já que se trata de um processo de vaporização.

! =!"# ""#$!!%& $ ' "# (%( )=""#$"$

Com esse valor e com a temperatura em Kelvin, pode-se calcular a variação de entropia envolvida no

processo:

!! ="#=!!"#$$%& %

&'&&=#(%""$%& % )&

GE 7.5.2) Um amostra de 1 kg de cobre, a 100ºC, é colocada num calorímetro com 4 litros de água a

0º C. A capacidade calorífica do calorímetro é desprezível. Calcule a variação da entropia:

a) do cobre;

b) da água;

Page 7: GE Entropia Gabaritos

7

c) do universo.

Resp: Calcule a temperatura final do sistema:

recebidocedido QQ = 1!0,386 100"T( ) = 4! 4,190 T" 0( )#T = 2,26ºC = 275, 4K

Cobre

i

Fcobrecobrecobre T

TcmS ln=Δ

KJS

S

cobre

cobre

/1173734,275ln386,0

−=Δ

Água

i

Faguaaguaagua T

TcmS ln=Δ

KJS

S

agua

agua

/13715,2734,275ln)190,4(4

Universo (Processo irreversível)

cobreaguauniverso SSS Δ+Δ=Δ

0/20117137

=−=Δ

Δ+Δ=Δ

universo

universo

cobreaguauniverso

SKJS

SSS

GE 7.5.3) Se 500J de calor são transferidos de uma fonte a 400 K para uma fonte a 300 K, responda:

a) Qual é a variação de entropia do universo?

b) Que parcela dos 500J pode ser transformada em trabalho?

Resp: A entropia do Universo é a soma das entropias da fonte quente com a da fonte fria

KJS

TQ

TQS

SSS

universo

CHuniverso

CHuniverso

/417,03001

4001500 =⎟

⎞⎜⎝

⎛ +−=Δ

+−

Δ+Δ=Δ

b) Calcule a eficiência da máquina usando

25,04003001

1

=−=

−=

e

TTeH

C

Por fim, calcule o trabalho usando a expressão: HeQW =

W = 0,25 500( ) =125 J

GE 7.5.4) Um sistema absorve 300 J de calor de uma fonte a 300 K e 200 J de outra fonte a 400 K.

Retorna, então, ao estado inicial, efetuando 100J de trabalho e descarregando 400 J de calor em um

reservatório na temperatura T.

Page 8: GE Entropia Gabaritos

8

a) Qual a variação da entropia do sistema em um ciclo completo?

b) Se o ciclo for reversível, qual a temperatura T?

Resp:

a) A entropia é uma função de estado, portanto ela será sempre nula em um processo cíclico

b) O calculo de TC pode ser feito lembrando que a variação da entropia do Universo é a soma das

variações de entropia nas três fontes.

KTT

TQ

TQ

TQS

SSSS

C

C

CHHuniverso

CHHuniverso

267

400400200

3003000

21

21

=

−++=

−++=Δ

Δ+Δ+Δ=Δ

GE 7.5.5) Calcule a variação de entropia do universo em um processo em que 10 g de vapor de água

a 100 ºC e a 1 atm são introduzidos em um calorímetro de capacidade calorífica desprezível contendo

150 g de água e 150 g de gelo a 0ºC.

Resp: Calcule as transferências de energia que ocorrem no calorímetro:

1ª) Calor necessário para derreter 150g de gelo:

FmLQ = à Q1 = 0,150kg 334!103J / kg.K( ) = 50,1kJ

2ª) Calor liberado pelo vapor na liquefação e o calor que reduz a temperatura de 10g de água de 100ºC

para 0ºC

TmcmLQ V Δ+=

Q2 = (10!10"3) 2.257!103( )+ 10!10"3 ! 4190!100#$ %&= 26, 76kJ

Se KTQQ final 27312 =∴=

Encontre a massa de gelo que derrete com o calor fornecido a ela:

gkgmmLQ F 2,800802,05,33375,26

===⇒=Δ

Pode-se calcular agora as variações de entropia

Gelo Vapor Universo

Page 9: GE Entropia Gabaritos

9

KJS

KJQS

g

g

/98

/75,262732

==Δ

f

iaguaagualVvaporvapor T

TcmTLmS ln/ +−=Δ

KJSS

vapor

vapor

/74

732,0ln84,41373/22750

−=Δ

+−=Δ

vaporgelouniverso SSS Δ+Δ=Δ

0/24

universo

universo

SKJS

Processo irreversível

GE 7.5.6) Construa o gráfico T x S de acordo com os gráficos p x V

Page 10: GE Entropia Gabaritos

10

GE 7.6) VISÃO MICROSCÓPICA DA ENTROPIA

Suponha que duas moedas sejam lançadas num jogo de “cara” e “coroa”. Qual é a probabilidade de

que ambas exibam “cara”? Só há uma configuração possível para que isso ocorra (veja tabela). O

mesmo vale para se obter ambas com “coroa”. No entanto existem duas maneiras distintas de se obter

uma “cara” e uma “coroa”. Existem ao todo 4 possibilidades de configuração, em duas delas o sistema

exibe 1 cara e 1 coroa, é portanto esse deve ser o resultado mais provável.

Configuração microscópica do

sistema “2 moedas”

Possibilidades microscópicas

Nº de possibilidades microscópicas para um

mesmo estado

macroscópico

2 caras

1 cara e 1 coroa

2 coroas

1

2

1

Siga o mesmo raciocínio para 3 moedas:

Configuração microscópica

do sistema “3 moedas” Possibilidades microscópicas

Nº de possibilidades

microscópicas para um

mesmo estado macroscópico

Page 11: GE Entropia Gabaritos

11

3 caras

2 caras e 1 coroa

1 cara e 2 coroas

3 coroas

1

3

3

1

GE 7.6.1) Qual é o resultado mais provável ao lançar 3 moedas?

Resp: Pela tabela acima, vemos que existem 3 possibilidades de se obter 2 caras e 3 possibilidade de

se obter 2 coroas. Essas duas configurações são as que tem a maior probabilidade de ocorrer quando

se lança 3 moedas.

GE 7.6.2) Em um jogo com seu colega, no qual fossem lançadas quatro moedas, você apostaria em:

a) todas exibindo cara b) todas exibindo coroa

c) 1 cara e 3 coroas d) 2 coroas e 2 caras

Qual a razão da sua escolha?

Resp: Por que existe mais chance de ocorrer a configuração “d” quando se tem 2 caras e duas coroas,

comparado com as demais possibilidades.

GE 7.6.3) Repita o mesmo procedimento das figura acima, mas agora considerando 4 moedas. Sua

resposta se confirma?

Resp: A resposta se confirma já que há seis configurações possíveis para se obter 2 caras e duas

coroas e para as demais configurações o número de possibilidades é menor (4 ou 1)

Configuração microscópica do sistema “4 moedas”

Possibilidades microscópicas

Nº de possibilidades

microscópicas para um mesmo estado macroscópico

todas exibindo cara

1

Page 12: GE Entropia Gabaritos

12

três caras e uma coroa

4

Duas caras e duas coroas

6

Uma cara e três coroas

4

Quatro coroas

1

GE 7.6.4) Em um novo jogo seu colega lança 4 moedas , sendo que uma foi pintada de azul. Ele lhe

diz que obteve 4 caras, facilmente você pode dizer que a moeda azul saiu exibindo cara. Caso seu

colega lhe dissesse que a configuração é de 2 caras e 2 coroas, e lhe perguntasse: Como está a

moeda azul? Você poderia responder com certeza a essa pergunta?

Resp: Quando as moedas caem todas exibindo cara é evidente a configuração de cada moeda

individualmente. Isso não ocorre quando elas caem 2 caras e 2 coroas. A moeda azul pode estar entre

as duas que caíram exibindo cara ou entre as duas que caíram exibindo coroa; não há como afirmar

com certeza a posição de nenhuma das moedas individualmente.

GE 7.6.5) Se um determinado número de moléculas confinados num cilindro se expandem em uma

sala, o número de posições onde ela pode ser encontrada aumenta ou diminui?

Page 13: GE Entropia Gabaritos

13

Resp: O número de posições aumenta, já que ela tem mais espaço para percorrer. A princípio uma

molécula poderia ser encontrada com certeza dentro do cilindro, em alguma posição daquele pequeno

espaço. Após a expansão ela poderá estar em qualquer posição dentro de todo o espaço da sala.

GE 7.6.6) Aumenta-se a temperatura de um certo gás confinado em um êmbolo. Como isso interfere na

distribuição de velocidades das moléculas? O que se pode afirmar sobre o número de posições

possíveis que as moléculas podem ocupar dentro do êmbolo antes e depois do aquecimento?

Resp: O aumento de temperatura, como já foi visto anteriormente, aumenta a energia interna do

sistema. Assim, tendo maior energia interna um maior número de moléculas poderá ocupar as

posições possíveis e disponíveis para o gás dentro do êmbolo depois do aquecimento.

GE 7.6.7) Seja w o número de estados microscópicos possíveis para um dado estado macroscópico.

Podemos mostrar que a entropia S de um estado macroscópico é dada por wkS ln= . Onde k é a

constante de Boltzmann. Como entropia é uma variável de estado (ou seja, em qualquer processo a

variação da entropia é o que interessa) podemos dizer que

12 SSS −=Δ

12 lnln wkwkS −=Δ

1

2lnwwkS =Δ

Considere que n moles de um gás estão à temperatura T confinados em uma caixa termicamente

isolada e dividida por uma parede em dois compartimentos, cada um com volume V. Inicialmente em

um dos compartimentos foi feito vácuo. A seguir quebramos a parede e o gás se expande e preenche

completamente os dois compartimentos da caixa. Calcule a variação de entropia nesse processo de

expansão livre, usando a definição microscópica da entropia dada acima.

Resp:

Não há trabalho realizado, não há variação da energia interna, contudo as moléculas tem 2 vezes mais

espaço para se mover.

AnNN = é o número total de moléculas, assim , o número total de moléculas cresce de N2 , ou seja

12 2 ww N=

2ln2ln

2lnln1

1

1

2

NkSkS

wwk

wwkS

N

N

==Δ

Page 14: GE Entropia Gabaritos

14

Como AnNN = e ANRk = , obtemos

( ) 2ln2ln nRNRnNS

AA =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=Δ Este resultado é o mesmo que seria obtido se o cálculo fosse feito

através da expressão: TQS =Δ

© Todos os diretos reservados. Departamento de Física da UFMG

GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

GE 7.7) EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

GE 7.7.1) Calcule a variação de entropia que ocorre quando misturamos 1,00 kg de água a 20,0º C com 2,00 kg de água a 80,0º C

Resp: Cálculo da Temperatura de equilíbrio TE

( ) ( )KTKkgJkgQ Ecedido 353.419000,2 −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= ( ) ( )Erecebido TKKkg

JkgQ −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= 293.419000,1

Q cedido = Q recebido KTE 333=∴

Quando ocorre variação de temperatura, o cálculo de variação da entropia imaginando-se um processo reversível que ocorra entre os dois estados. Ou seja,

∫∫ ∫ ==⇒=Δ2

1

2

1

2

1 1

2lnt

t

t

t

t

t TTmc

TdTmc

TmcdT

TdQS

( ) )353333)(ln.4190)(00,2(º20 KK

KkgJkgS Cagua =Δ

( ) KJS Cagua /488º20 −=Δ

( ) )293333)(ln.4190)(00,1(º80 KK

KkgJkgS Cagua =Δ

( ) KJS Cagua /536º80 =Δ

Page 15: GE Entropia Gabaritos

15

( ) KJS Total /48488536 =−=Δ

GE 7.7.2) Em um processo reversível três moles de um gás ideal são comprimidos isotermicamente a 20,0º C. Durante a compressão um trabalho de 1850 J é realizado sobre o gás. Qual é a variação de entropia do gás?

Resp: Para uma expansão isotérmica, ΔT = 0, ΔU = 0 e Q = W. A variação de entropia é dada por

./31,615,293

1850 KJKJ

TQ

==

GE 7.7.3) Um gás ideal sofre uma dilatação isotérmica reversível a 132º C. A entropia do gás aumenta de 46,2 J/K. Qual é o calor absorvido?

Resp: TQS =Δ

JKKJQ 711,18)405(2,46 ==

kJQ 7,18=

GE 7.7.4) Um mistura de 1,78 kg de água e 262 g de gelo a 0º C é levada, por processo reversível, para um estado final de equilíbrio a 0ºC onde a razão das massas de gelo/água é: 1:1

a) Calcule a variação de entropia do sistema durante o processo.

b) O sistema retorna ao primeiro estado de equilíbrio por processo irreversível (Utilizando um bico de Bunsen, por exemplo). Calcule a variação de entropia durante este processo.

c) Mostre que sua resposta é consistente com a segunda lei da termodinâmica.

Resp: É necessário encontrar o fluxo de calor do processo:

mLQ F=

( ) kJkgxKgJxQ 506,25310759)10334( 33 −== −

KJ

KkJ

TQS 928

273506,253

−=−

==Δ

A entropia nesse caso é negativa, por ser um processo reversível, no qual retira-se calor do sistema.

(b) A variação da entropia só depende dos estados inicial e final, portanto ao retornar ao estado de equilíbrio por processo irreversível a entropia aumenta de 928J

(c) A entropia primeiramente sofre uma variação negativa na mistura em questão, através de um processo reversível. É importante lembrar que a variação total da energia é positiva, porque a

Page 16: GE Entropia Gabaritos

16

vizinhança também sofre uma variação de entropia. E variação final é positiva.

O segundo processo é irreversível, portanto a variação da entropia é positiva.

GE 7.7.5) Um cubo de gelo de 12,6 g a -10,0º C é colocado em um lago cuja temperatura é +15,0º C. Calcule a mudança de entropia do sistema quando o gelo alcançar o equilíbrio térmico com o lago (sugestão: o gelo afetará a temperatura do lago?)

Resp: É claro que um cubo de gelo não vai mudar a temperatura do lago inteiro. O gelo vai absorver calor para derreter e ter sua temperatura final elevada até 15ºC. As variações de entropia correspondentes são:

KJKkgJkgTdTmcS

f

i

T

Tgelo /99,0

263273ln)./2100)(0126,0(∫ ===Δ

( )( ) KJK

kgJkgTmLS F

gelo /37,15273

/3330000126,0===Δ

KJKJkgTdTmcS

f

i

T

Taguaagua /82,2

273288ln)/4190)(0126,0(∫ ===Δ

KJS águagelo /2,1982,237,1599,0 =++=Δ −

O calor cedido pelo lago para levar o gelo ao seu estado final de equilíbrio é:

( ) ( )( ) ( )( )[ ] JKkgKJkgKJKkgKJkgQlago 3,110915/4190/419010/21000126,0 =++=

A variação de entropia do lago vai ser:

KJKJSlago /85,3

2885,1109

−=−=Δ

A variação da entropia do sistema será KJSSS lagoaguagelo /35,1585,32,19 =−=Δ+Δ=Δ +

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Page 17: GE Entropia Gabaritos

17

GABARITO DOS PROBLEMAS

GE 7.8) PROBLEMAS

GE 7.8.1) Um mol de um gás ideal monoatômico é obrigado a completar o ciclo mostrado na figura.

a) Qual é o trabalho efetuado sobre o gás na dilatação de a até c pelo caminho abc?

b) Qual é a variação da energia interna e a entropia ao passar de b para c?

c) Qual é a variação de energia interna e entropia em um ciclo completo?

Dê suas respostas em termos da pressão p0 e do volume V0 no ponto a do diagrama.

Resp: (a) No caminho abc só há realização de trabalho no processo isobárico ab. Wab é igual à área do gráfico sob o segmento de reta ab

003 VpVpWab =Δ=

(b) No processo isovolumétrico bc, as temperaturas, inicial e final são:

RVpTa 00=

aab TVVTT 44

0

0 ==

( )( )a

ac T

ppTT 824

0

0 ==

Para a variação da energia interna vem,

( ) aav RTTRTnCU 64823)0,1( =−⎟

⎞⎜⎝

⎛=Δ=Δ

E para variação de entropia, tem-se:

Page 18: GE Entropia Gabaritos

18

∫ ==Δc

b

T

T b

cvvbc TTnC

TdTnCS ln

2ln23 RSbc =Δ

(c) A variação da energia interna no ciclo deve ser nula. Pode-se confirmar isso calculando-se as variações associadas aos processos ab e ca e somando-as ao já conhecido valor da variação no processo bc:

( ) ( ) 0000

2914

230,1 Vp

RVpRTnCU vab =−⎟

⎞⎜⎝

⎛=Δ=Δ

( ) ( ) 0000

22181

230,1 Vp

RVpRTnCU vca −=−⎟

⎞⎜⎝

⎛=Δ=Δ

GE 7.8.2) Um mol de um gás monoatômico ideal passa por dois processos diferentes, de um estado inicial cuja pressão é p0 e volume V0 para um estado final de pressão 2p0 e volume 2V0.

(I) O gás se dilata isotermicamente até que o volume dobre e então a pressão é aumentada, a volume constante, até atingir o estado final.

(II) Ele é comprimido isotermicamente até que sua pressão dobre e então seu volume é aumentado a pressão constante até o estado final. Represente os dois processos num diagrama pV. Calcule, para cada processo, em termos de p0 e V0:

a) O calor absorvido pelo gás em cada parte do processo. b) O trabalho realizado sobre o gás em cada parte do processo c) A variação de energia interna do gás d) A variação de entropia do gás

Resp: (I) Expansão Isotérmica 0=ΔU WQ =∴

(a) e (b) 2lnln pVVV

RTWQi

f ===

Processo isovolumétrico: W=0 QU =Δ

( )afv TTRTCQ −=Δ=23

;RpVTa = af T

RpVT 44

==

( ) pVRpVRQ

2914

23

=−=

Page 19: GE Entropia Gabaritos

19

(c) pVQU29

==Δ

(d) 2ln2ln1 R

TpV

TQS ===Δ

∫ ===Δf

a

T

Tv RRTdTCS 2ln34ln

23

2

( ) 2ln42ln3121 RRSSSI =+=Δ+Δ=Δ

(II) Compressão Isotérmica 0=ΔU WQ =∴

V

VRTWQ 2ln==

2lnpVWQ −==

( )bfp TTRTCQ −=Δ=25

;2

21RpVVp

RTb =⎟

⎞⎜⎝

⎛= bf TRpVT 44

==

( ) pVRpVRQ

21514

25

=−=

( ) pVVVpVpW 35,022 =−=Δ=

(c) pVpVWQU29

26

215

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=−=Δ

(d) 2ln3 RS −=Δ

2ln54ln25

4 RRTdTCS

f

b

T

TP ===Δ ∫

Page 20: GE Entropia Gabaritos

20

( ) 2ln42ln5143 RRSSSII =+−=Δ+Δ=Δ

Sendo a entropia uma variável de estado, confirma-se que III SS Δ=Δ , portanto independente do caminho.

GE 7.8.3) Diagrama TS

a) Faça um gráfico do ciclo de Carnot indicando a entropia no eixo horizontal e a temperatura Kelvin no eixo vertical. Trata-se de um diagrama temperatura–entropia ou diagrama TS

b) Mostre que a área embaixo da curva que representa o processo reversível no diagrama TS representa o calor absorvido pelo sistema.

Resp:

∫=∴=∴=f

i

TdSQTdSdQTdQdS

Para bc e da dS=0 logo 0== dabc QQ , portanto adiabático.

Para ab

( )∫ −==2

1

1211

S

Sab SSTdSTQ que é a área do gráfico

Para cd

( )∫ −==1

22122

S

Scd SSTdSTQ que é a área do gráfico.

Para o ciclo completo:

( )∫ Δ−== STTTdsQtotal 21

i) c) Utilize o diagrama TS para deduzir a eficiência térmica do ciclo de Carnot.

ii) iii) Resp:

( )STSTT

QQ

QQQ

QQQ

QWe T

ab

cdab

Δ

Δ−==

−=

−==

1

21

11

21

1

1

21TTe −=

Page 21: GE Entropia Gabaritos

21

GE 7.8.4) Ciclo de Stirling

O ciclo de Stirling é semelhante ao ciclo de Otto exceto quando a compressão e a expansão do gás ocorrem isotermicamente e não adiabaticamente como no caso do ciclo Otto. O ciclo de Stirling é usado em uma máquina de combustão externa, ou seja, a máquina na qual o gás no interior do cilindro não é usado no processo de combustão. O calor fornecido continuamente pelo fluido combustível no exterior do cilindro em vez de ser oriundo de uma explosão no interior do cilindro como no ciclo Otto. Por esta razão, as máquinas que funcionam com o ciclo de Stirling são mais silenciosas do que as máquinas que funcionam com o ciclo Otto, uma vez que não existe válvula de admissão nem válvula de exaustão (a principal fonte de ruído do motor. Embora pequenas máquinas de Stirling possam ser usadas em diversas aplicações, o uso do ciclo de Stirling em um automóvel não teve êxito porque o motor é maior, mais pesado e mais caro do que o motor convencional do automóvel. No ciclo, o fluido de trabalho realiza os seguintes processo.

iv) i ) Compressão isotérmica à temperatura T1 do estado inicial a até o estado b, com uma razão de compressão r.

v) vi) ii) Aquecimento a volume constante até o estado c com

temperatura T2

vii) viii) iii) Expansão isotérmica à temperatura T2 até o estado d ix) x) iv) Resfriamento a volume constante retornando para o

estado inicial a

Suponha que o fluido de trabalho seja n moles de um gás ideal (para o qual Cv não depende da temperatura).

a) Calcule Q, W, e ΔU para os processos a → b, b → c, c → d, d → a,

b) no inicio do ciclo de Stirling, os calores transferidos nos processos b → c, d → a não envolvem fontes de calor externas, porém usam a regeneração: a mesma substância que transfere calor do gás dentro do cilindro no processo b → c também absorve calor de volta do gás no processo d → a. Portanto os calores transferidos Q b → c e Q d → a não desempenham papel na determinação da eficiência da máquina. Explique esta última afirmação comparando as expressões de Q b → c e Q d → a

obtidas na parte 9 (a)

c) Calcule a eficiência de um ciclo de Stirling em termos de temperaturas T1 e T2.

d) Como ele se compara com as eficiências de um ciclo de Carnot operando entre estas mesmas temperaturas? (Historicamente o ciclo de Stirling foi deduzido antes do ciclo de Carnot)

e) Este resultado viola a segunda lei da termodinâmica? Explique.

e) Usando um diagrama T x S relacione a eficiência do ciclo de Stirling com a eficiência do ciclo de Carnot.

Resp:

Processos ΔU ΔQ W

ab 0 ( )rnRT ln1− ( )rnRT ln1−

bc ( )12 TTnCV − ( )12 TTnCV − 0

Page 22: GE Entropia Gabaritos

22

cd 0 ( )rnRT ln2 ( )rnRT ln2

da ( )12 TTnCV −− ( )12 TTnCV −− 0

Para ab e cd – Processos Isotérmicos

WQU =Δ∴=Δ 0

∫ ∫===ΔVdVnRTpdVWQ

( )rnRTWQrnRTWQ

VV

nRTWQi

F

lnln

ln

1

−==Δ

==Δ

==Δ

Para bc e da – isovolumétricos

UQW Δ=Δ∴= 0

( )iFV TTnCQU −=Δ=Δ

b) Sendo as transformações são isovolumétricas, o trabalho é nulo. Ou seja o calor absorvido é todo convertido em energia interna.

c) e d)

Resp:

Processo a-b - Isotérmico

rnRTQab ln1−=

rnRTWab ln1−=

0=Δ abU

Processo b- c Isovolumétrico

( )12 TTnCQ Vbc −=

0=bcW

( )12 TTnCU Vbc −=Δ

Processo c-d - Isotérmico

Page 23: GE Entropia Gabaritos

23

rnRTQcd ln2=

rnRTWcd ln2=

0=Δ cdU

Processo d-a Isovolumétrico

( )12 TTnCQ Vda −−=

0=daW

( )12 TTnCU Vda −−=Δ

bcda QQ = Logo eles não entram no cálculo da eficiência, por causa

da regeneração.

rnRTrnRTrnRT

QWWWW

QWe

cd

dacdbcab

H ln0ln0ln

1

21

=++−=

+++==

( )1

21

lnln

TTT

rnRrnRe −

−=

( )1

21

TTTe −

=

1

21TTe −= Eficiência exatamente igual à de Carnot

e) Não viola a segunda lei, afinal a eficiência de Stirling não supera a eficiências de Carnot nos mesmos extremos de temperatura

f) WdQdU −=

TQS =Δ . Substituindo Q nesta expressão tem-se:

TdTnC

TpdVdS V==

∫ +=ΔTdTnC

VdVnRS V

i

FV

i

F

TTnC

VVnRS lnln +=Δ

Page 24: GE Entropia Gabaritos

24

Nos processos bc e da o volume é constante, logo o primeiro termo da expressão acima é igual a zero

i

FV T

TnCS ln=Δ

Isolando T, temos;

( )0

0 lnTT

nCSTS

V

=−

VnCSS

eTT 0

0

=

( ) VnCSS

eTST0

0

=

A dependência da temperatura em relação a entropia é exponencial.

GE 7.8.5)

a) Qual dos seguintes processos gasta mais energia:

(1) Um corpo se move inicialmente com 500J de energia cinética e é desacelerado até repouso pelo atrito quando a temperatura da atmosfera é de 300K.

(2) 1 kJ de calor é transferido de uma fonte a 400 K para uma fonte a 300k

b) Qual é a variação de entropia do universo em cada um dos processos?

Resp:

(a) Processo (1) Toda a energia mecânica é perdida, portanto o gasto de energia é de 500J

Processo (2) Imagine uma máquina térmica funcionando no ciclo de Carnot, nesse caso

JkJQTTW HH

Cutil 2501*25,01 ==⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

O gasto de energia é 1000 – 250 = 750J.

O processo (1) gasta mais energia mecânica, o processo (2) gasta mais energia total.

b) KJTQS /67,11 =Δ

KJTT

QSHC

/833,0112 =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ=Δ

21 SS Δ>Δ .

Page 25: GE Entropia Gabaritos

25