termodinâmica (entropia e diagrama)

Termodinâmica I-cap. 6 ____________________________________________________________________

119

CAPÍTULO VI

ENTROPIA Introdução – O primeiro princípio da termodinâmica ocupa-se do estudo da energia e da sua conservação. O segundo princípio vai levar-nos à definição de uma nova propriedade chamada entropia. Ao contrário do que acontece com a energia, a entropia não se conserva num sistema isolado, como à frente se verá. Na termodinâmica clássica (ou macroscópica) a entropia é definida à custa de uma operação matemática e, por isso, o seu significado físico é difícil de apreender à primeira vista. No entanto, começará a entender-se melhor o que é a entropia se estudarmos as suas aplicações aos processos mais vulgarmente utilizados em engenharia. É o que irá ser feito no decurso deste capítulo. Com o intuito de esclarecer um pouco melhor o significado físico da entropia iremos, também, fazer uma breve referência à definição estatística da entropia e ao terceiro princípio da termodinâmica. 6.1 – Desigualdade de Clausius

Consideremos um dispositivo, como o que se representa na figura 6.1, constituido por uma fonte quente à temperatura absoluta TF que fornece a quantidade infinitésimal de energia d’QF, sob a forma de calor, a uma máquina térmica reversível. Durante um ciclo esta máquina realiza o trabalho d’Wrev e rejeita, para um sistema que se encontra momentaneamente à temperatura T, a quantidade de calor d’Q. Entretanto o sistema realiza o trabalho d’Wsis. Como o ciclo da máquina térmica é reversível, tendo em consideração a equação 5.12 que define a escala termodinâmica de temperatura, podemos escrever:

TQ'd

TQ'd

F

F = (6.1)

Sabendo-se que o rendimento desta máquina reversível é η=1-T/TF o trabalho por ela realizado durante um ciclo é:

d’Wrev = (1 - T/TF) d’QF

Substituindo nesta expressão o valor de d’QF tirado da eq. 6.1 (d’QF = d’Q TF/T):

d’Wrev = d’Q TF/T – d’Q Aplicando o primeiro princípio da termodinâmica à transformação que, entretanto, o sistema realiza, o trabalho por ele produzido durante um ciclo da máquina reversível é:

Fig. 6.1 – O dispositivo usado para demonstrar a desigualdade de Clausius

Fonte quente TF

Sistema d’Wsis T

d’Q

d’Wrev Máq. térmica reversível

d’QF

Sistema composto pelo Sistema inicial + máq. térmica

Termodinâmica I-cap. 6 ____________________________________________________________________ 120

d’Wsis = d’Q – dEsis Considerando um sistema composto que engloba a máquina térmica e o sistema inicial (no interior do rectângulo da figura 6.1) o trabalho que fornece ao exterior enquanto a máquina reversível realiza um ciclo é dado por:

d'W = d’Wrev + d’Wsis ou, substituindo nesta expressão d’Wrev e d’Wsis pelos valores dados atrás:

d’W = d’Q TTF - dEsis

Suponhamos, agora, que o sistema inicial vai passar por um ciclo de transformações, entretanto a máquina reversível realizará vários ciclos para cada um dos quais a temperatura T do sistema (fonte fria da máquina) vai tendo valores diferentes. O trabalho realizado nesse ciclo pela associação máquina térmica + sistema inical, será:

W = ∫ ∫− sisF dETQ'dT

Por ser TF (temperatura da fonte) constante e ∫ sisdE =0 vem:

W= TF ∫ TQd '

O sistema composto pela máquina térmica e pelo sistema inicial não pode fornecer trabalho ao exterior (no decurso de um ciclo completo do sistema inicial e de um número inteiro de ciclos da máquina), pois, se produzisse trabalho teríamos um dispositivo que violava o enunciado de Kelvin-Planck do segundo pricípio que afirma: nenhum dispositivo pode produzir trabalho enquanto realiza um ciclo, trocando calor com uma única fonte. Então, na equação anterior W≤0 o que, visto ser sempre TF>0, conduz a:

∫ ≤ 0'TQd (6.2)

Isto é, o integral cíclico de d’Q/T é sempre menor ou igual a zero. A equação/inequação 6.2 é conhecida pelo nome de desigualdade de Clausius e é válida para todos os ciclos termodinâmicos, reversíveis ou irreversíveis, incluindo os ciclos das máquinas frigoríficas. Admitamos agora que as transformações atrás consideradas são internamente

reversíveis e que , também, o ∫ < 0TQ'd . Se não ocorrerem irreversibilidades, tanto

no interior do sistema inicial como na máquina térmica reversível, podem inverter- -se os sentidos das transformações que aí ocorrem, por serem internamente reversíveis. Ao assim proceder-se todas as quantidades de energia (calor e trabalho), trocadas nestas transformações, terão os mesmos valores absolutos mas sinais


121

contrários. Portanto, se inicialmente ∫ < 0'TQd , ao inverterem-se os sentidos das

transformações obteríamos ∫ > 0'TQd , o que não é possível.

Conclui-se que, se o sistema realiza um ciclo de transformações internamente reversíveis, terá que se verificar:

∫ =

0

TQ'd

rev

(6.3)

Logo o sinal = na desigualdade de Clausius (eq. 6.2) é válido para os ciclos reversíveis (internamente ou totalmente). 6.2 – Entropia A partir da desigualdade de Clausius, mais concretamente da igualdade expressa na equação 6.3, vamos definir uma nova propriedade termodinâmica designada entropia. A equação 6.3 revela que existe uma quantidade (d’Q/T)rev cujo integral cíclico é zero. Pensemos que espécie de grandezas têm esta característica. Por, exemplo, sabemos que o ∫ Wd ' ≠0 (doutro modo não haveria máquinas térmicas). O mesmo acontece com o integral cíclico de d’Q. Como vimos no 3º capítulo, estas grandezas (W e Q) dependem do “percurso” seguido numa transformação. Consideremos agora o volume ocupado por um gás num dispositivo cilindro-êmbolo. Quando o êmbolo volta à posição inicial o volume do gás também retoma o valor inicial. Por isso a variação de volume durante um ciclo é zero:

∫ dV = 0 Isto é, o integral cíclico das variações de volume, ou das variações de quaisquer outras propriedades, é sempre zero. Reciprocamente, uma quantidade infinitésimal cujo integral cíclico é zero representa um incremento de uma grandeza que depende exclusivamente do estado em que o sistema se encontra e não do “percurso” seguido numa transformação. Portanto essa grandeza é uma propriedade, ou função de estado, do sistema. Por isso, a quantidade (d’Q/T)rev representa uma variação infinitamente pequena duma propriedade, isto é, a diferencial duma

propriedade. Para confirmar o que se disse consideremos um ciclo constituido por duas transformações reversíveis A e B, como se representa na figura 6.2. Aplicando a equação 6.3 a este ciclo obtemos:

∫ ∫∫ =

+

=

1

2

2

1

0'''

BArev TQd

TQd

TQd

Fig.6.2 – Um ciclo reversível formado por duas transformações reversíveis A e B


Mas, como se sabe,

∫∫

−=

2

1

1

2

''

BB TQd

TQd

e, portanto:

∫∫

=

2

1

2

1

´´

BA TQd

TQd

Como A e B são duas transformações reversíveis quaisquer que se consideraram entre os estados 1 e 2 o valor do integral depende exclusivamente dos estados inicial e final da transformação e não do “percurso” seguido. Por isso, tem que representar a variação de uma propriedade termodinâmica (ou função de estado). Assim, Clausius constatou, em 1865, que tinha descoberto uma nova propriedade a que deu o nome de entropia e que se representa por S. Definição de entropia Entropia S é uma propriedade cuja variação dS no decurso de uma transformação elementar internamente reversível de um sistema fechado, se obtém dividindo a quantidade de calor d’Q, que o sistema troca nessa transformação, pela temperatura absoluta T a que o sistema se encontra nesse momento. Isto é:

(6.4) A entropia é uma propriedade extensiva e a sua unidade S.I. é o J.K-1. A entropia da unidade de massa é já uma propriedade intensiva – entropia específica s:

s = S/m (J.K-1.kg-1)

e a entropia de uma mole (ou kmol) é designada entropia específica molar s :

s = S/n (J.K-1.kmol-1) Uma variação de entropia de um sistema durante uma transformação reversível pode determinar-se integrando a equação 6.4 entre os estados inicial e final da transformação:

∆S = S2 – S1 = ∫

2

1

'

revTQd (6.5)

Note-se que a equação 6.5, na realidade, apenas permite determinar variações de entropia e não o valor absoluto da entropia num dado estado, tal como acontecia com a energia interna e com a entalpia.

revTQddS

=

'

Fig. 6.3 – A variação de entropia entre dois estados é a mesma quer o processo seja reversível quer seja irreversível


123

Como a entropia é uma propriedade, tal como as outras propriedades, tem um valor fixo num determinado estado em que o sistema se encontra. Por isso, a variação de entropia ∆S entre dois dados estados é a mesma qualquer que tenha sido a transformação, reversível ou irreversível, que o sistema sofreu durante essa mudança de estado (figura 6.3). No entanto, o valor do integral de d’Q/T dá a variação de entropia unicamente se a integração tiver sido efectuada ao longo de um “percurso” internamente reversível. Isto é, o integral de d’Q/T tem valores diferentes para “percursos” irreversíveis entre dois dados estados e portanto para esses percursos não representa a variação duma propriedade. Contudo, mesmo para os processos irreversíveis, a variação de entropia pode ser calculada a partir do integral de d’Q/T se a integração fôr efectuada ao longo de qualquer processo reversível imaginário que se considere entre os mesmos estados, inicial e final, do processo irreversível. 6.3 – Princípio do aumento de entropia

Consideremos um ciclo, como o representado na figura 6.4, constituido por duas transformações: transformação 1-2, que tanto pode ser reversível como irreversível, e transformação 2-1 que é reversível.

Da desigualdade de Clausius

∫ ≤ 0'TQd

tira-se que:

0'' 1

2

2

1

≤

+ ∫∫

revTQd

TQd

Como o segundo integral na equação anterior representa a variação de entropia S1–S2 vem:

0'21

2

1

≤−+∫ SSTQd

∫≥−2

112

´TQdSS

∫≥∆2

1

'TQdS (6.6)

A equação 6.6 também pode ser expressa na forma diferencial:

TQddS '

≥

Fig.6.4 –Um ciclo constituido por uma transf. reversível e outra irreversível.


Nestas duas últimas equações o sinal = é válido para as transformações internamente reversíveis e o sinal > para as transformações irreversíveis. Assim, podemos concluir: A variação de entropia de um sistema fechado durante uma transformação irreversível é superior ao valor do integral de d’Q/T calculado ao longo dessa transformação. No caso limite das transformações reversíveis estas duas quantidades são iguais.

No ∫2

1

'TQd a temperatura T é a temperatura absoluta e, por isso, é sempre positiva.

Então, a variação de entropia nas transformações reversíveis tem o mesmo sinal que as quantidades de calor trocadas, isto é, a variação de entropia é positiva se o sistema recebe energia sob a forma de calor, e é negativa se o sistema perde energia sob a forma de calor (rejeita calor).

Nas transformações irreversíveis a variação de entropia é sempre superior ao valor do integral de d’Q/T:

S∆ > ∫2

1

'TQd (transf. irreversíveis)

A equação anterior pode escrever-se com a seguinte forma:

.

2

1

'gerS

TQdS +=∆ ∫ (transf. irreversíveis) (6.7)

A primeira parcela do segundo membro da equação anterior representa uma variação de entropia que acompanha as trocas de calor (entropia transferida para o sistema ou de o sistema para a vizinhança juntamente com as quantidades de calor). A segunda parcela Sger representa a entropia gerada ou criada devida às irreversibilidades. Para um sistema isolado (isto é, um sistema fechado adiabático) as trocas de calor

são nulas e o mesmo acontece com o ∫2

1

'TQd . Então, a equação 6.6 toma a forma:

(6.8)

A equação 6.8 traduz o seguinte princípio: A entropia de um sistema isolado durante uma transformação aumenta sempre ou, no caso limite das transformações reversíveis, permanece constante. – Princípio do aumento de entropia. A equação 6.8 é muito útil quando se pretende saber o sentido em que se pode dar uma transformação e se uma dada transformação pode, ou não, ocorrer. No entanto, o seu uso é limitado às transformações adiabáticas de sistemas fechados. Para contornar esta restrição podemos considerar um outro sistema, que englobe o sistema inicial e a sua vizinhança, pois é sempre possível aumentar a extensão da

∆Ssistema isolado ≥ 0


125

vizinhança do sistema e incluir ambos no interior de uma fronteira de dimensões suficientemente grandes para admitirmos que através dela não se dão trocas de calor, obtendo-se assim um sistema isolado. (fig. 6.5).

Isto é, o sistema inicial e a sua vizinhança podem ser considerados dois sub-sistemas de um sistema maior, isolado, e a variação de entropia deste sistema isolado durante uma transformação obtém-se somando as variações de entropia dos dois sub-sistemas: sistema inicial e a sua vizinhança. Então o princípio do aumento de entropia obriga a que seja:

∆Stotal = ∆Ssis+∆Sviz ≥0 (6.9) Esta equação não impede que a entropia de um dado sistema, ou a da sua vizinhança, não possam diminuir; apenas impõe que a soma das duas variações de entropia (do sistema e da vizinhança) não seja negativa (fig.6.6). Pode-se resumir o princípio do aumento de entropia da seguinte forma:

−<−=−>

∆impossíveltransfreversíveltransf

elirreversívtransfStotal

.0

.0

.0

Podemos assim determinar quando uma dada transformação é reversível, irreversível ou impossível. Uma vez que os processos reais são todos irreversíveis concluímos que, sempre que ocorre uma transformação, a entropia do Universo (um sistema isolado) aumenta. Isto é, a entropia do Universo está sempre a aumentar. Quanto mais irreversível fôr a transformação maior a quantidade de entropia gerada no Universo. O aumento de entropia do Universo é uma preocupação, não só para os engenheiros, mas também para os filósofos e teólogos, visto que, como à frente se verá, a entropia é considerada uma medida da desordem. Todas as relações deduzidas neste capítulo para sistemas fechados também se aplicam a uma dada massa fluindo através de um volume de controlo (fig.6.7).

Fig. 6.5 – Um sistema e a sua vizinhança formam um sistema isolado.

Fig.6.6 – A variação de entropia de um sistema pode ser negativa mas a soma ∆Ssis+∆Sviz não pode.

Fig. 6.7 – Todas as relações deduzidas para sistemas fechados aplicam-se, também, a uma dada massa fluindo através de um sistema aberto


6.4 – O que faz variar a entropia Analisando a equação 6.7 constata-se que a entropia de um sistema fechado pode variar devido às trocas de calor e às irreversibilidades. Ao contrário do que acontece com os sistemas fechados a fronteira de um sistema aberto pode ser atravessada por matéria. E, tal como possui energia, a matéria também possui entropia. Por isso, além das trocas de calor e das irreversibilidades existe um outro mecanismo para fazer variar a entropia de um sistema aberto: a transferência de massa. Isto é, a massa que entra e a que sai de um sistema aberto transporta consigo entropia. Assim, há três mecanismos que fazem variar a entropia de um sistema: trocas de calor, entrada e saída de massa para (ou de) o sistema e irreversibilidades. Quando se fornece calor a um sistema aumenta-se a sua entropia, pelo contrário, quando o sistema rejeita calor diminui a sua entropia. Quando entra massa para um sistema aberto aumenta a sua entropia, quando sai massa diminui a entropia. As irreversibilidades, tais como o atrito, uma expansão e uma compressão rápidas, uma troca de calor através de uma diferença de temperaturas finita, fazem sempre aumentar a entropia. Se, durante uma transformação não houver trocas de calor (transf. adiabática) e não houver irreversibilidades (transf. internamente reversível) a entropia de uma dada massa permanece constante. Isto é, uma transformação adiabática internamente reversível é isentrópica (S=const). Uma transformação isentrópica é uma transformação ideal que, tal como as transformações quase-estáticas que estudámos, serve de modelo de comparação para as transformações reais. 6.5 – O que é a entropia Já se viram algumas aplicações da propriedade entropia:

1 – Como se disse no início do 5º capítulo, as transformações só podem ocorrer num determinado sentido e não em qualquer sentido. Este facto é justificado pelo princípio do aumento de entropia : ∆Stotal≥0. Uma transformação que não esteja de acordo com este princípio é impossível, isto é, pode utilizar-se este princípio, por exemplo, para prevêr o sentido de uma reacção química ou para saber se uma dada transformação pode, ou não, ocorrer.

2 – O desempenho dos dispositivos usados em engenharia degrada-se pela presença das irreversibilidades e a entropia gerada num dado processo é uma medida dessas irreversibilidades. Então a entropia pode ser utilizada para estabelecer critérios de comparação do desempenho de diversos dispositivos utilizados em engenharia. Isto é, a entropia é uma propriedade que pode ser usada como uma ferramenta valiosa na análise do comportamento de dispositivos utilizados em engenharia. Tudo o que se disse acerca da entropia não é suficiente para compreender o verdadeiro significado físico desta propriedade. Para tal temos que recorrer ao método utilizado na termodinâmica estatística, que faz uso da natureza microscópica da matéria para explicar as suas propriedades macroscópicas. A entropia pode ser considerada como uma medida da desordem molecular ou aleatoriedade molecular. À medida que um sistema se vai tornando mais desorganizado a nível molecular, as posições das suas moléculas tornam-se menos


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previsíveis e a sua entropia aumenta. Por isso, a entropia da fase sólida é mais baixa do que a das outras fases pois, nos sólidos, as moléculas oscilam em torno de posições de equilíbrio, não se podendo mover umas relativamente às outras e, em qualquer momento, as suas posições são previsíveis com uma certa precisão. Na fase gasosa as moléculas movem-se ao acaso, colidindo umas com as outras, mudando de direcção, o que torna extremamente difícil prevêr, com alguma precisão, o estado microscópico, ou configuração molecular de um gás. Associado a este caos molecular está um elevado valor da entropia. Quando um sistema isolado, que se encontra num dado estado de equilíbrio termodinâmico, é analisado do ponto de vista microscópico (do ponto de vista da termodinâmica estatística) constata-se que, apesar de estar em equilíbrio, pode exibir um elevado grau de actividade a nível molecular, devido ao movimento incessante das suas moléculas. Isto é, a cada estado de equilíbrio termodinâmico (macroscópico) corresponde um grande número de possíveis estados microscópicos (configurações moleculares), diferentes. Ao número de possíveis estados microscópicos compatíveis com um dado estado de equilíbrio de um sistema dá-se o nome de probabilidade termodinâmica Ω. A entropia está relacionada com a probabilidade termodinâmica pela relação de Boltzmann:

S = k ln Ω Nesta relação k=1,38. 10-23 J K-1 é a constante de Boltzmann, já conhecida. Esta equação mostra que, do ponto de vista microscópico, a entropia aumenta sempre que a incerteza ácerca do estado microscópico do sistema (ou aleatoriedade molecular) aumenta. Assim, a entropia é uma medida da desordem molecular e a desordem molecular de um sistema isolado aumenta sempre que ele passa por uma transformação (princípio do aumento da entropia). Quanto maior fôr o número de estados microscópicos (probabilidade termodinâmica) correspondentes a um dado estado de equilíbrio, maior é a entropia e maior é, também, a probabilidade do sistema se encontrar nesse estado. Por isso os sistemas isolados evoluem para estados de maior entropia. Como já foi dito, do ponto de vista da termodinâmica estatística, a entropia é uma medida da aleatoriedade molecular, isto é, da incerteza acerca das posições das moléculas, em qualquer momento. Mesmo na fase sólida as moléculas de uma substância estão constantemente a oscilar criando uma incerteza acerca das suas posições. No entanto, estas oscilações desvanecem à medida que a temperatura diminui e as moléculas ficam completamente em repouso à temperatura do zero absoluto (admite-se). Este estado é o estado de maior ordem molecular (e mínima energia). Por isso, a entropia duma substância cristalina pura é zero à temperatura do zero absoluto – terceiro princípio da termodinâmica. O terceiro princípio fornece um estado de referência para a determinação da entropia dos outros estados. A entropia determinada relativamente a este estado é chamada entropia absoluta Que implicações tem a desordem a nível molecular no comportamento dos dispositivos utilizados em engenharia? Ao estudar-se a teoria cinética dos gases vimos que as moléculas dos gases possuem uma considerável energia cinética. Mas, como sabemos, por maior que seja essa energia, se mergulharmos num reservatório cheio de um gás um eixo que pode rodar e ao qual estão presas umas pás, as moléculas do gás, apesar de colidirem incessantemente com essas pás, não são capazes de fazer rodar o eixo. Isto é uma consequência do movimento desordenado


das moléculas. Provavelmente o número de moléculas que tentam fazer rodar o eixo num sentido é igual ao número de moléculas que tentam fazê-lo rodar em sentido contrário. Suponhamos agora que o mesmo eixo rotativo, mas sem pás, é utilizado para

levantar um peso (fig.6.8). Neste caso as moléculas do eixo rodam todas no mesmo sentido (têm um movimento altamente organizado) e, por isso, podem produzir trabalho levantando o peso. Além disso, se não houver atrito, o trabalho fornecido ao eixo pelo binário que lhe está aplicado foi investido em aumentar a energia potencial do peso. Se invertermos o sentido do processo, baixando o peso, é possível recuperar esse trabalho. Isto é, o processo foi reversível e, por isso, não se gerou entropia. Consideremos ainda que, o mesmo eixo rotativo, mas agora munido de pás, mergulha num reservatório cheio de um fluido (fig.6.9). Ao fazer girar o eixo as pás vão agitar fortemente o fluido que, por isso, vai aquecer. Isto é, o trabalho realizado pelo binário aplicado ao eixo

rotativo foi convertido em energia interna do fluido, energia altamente desorganizada das suas moléculas. É ímpossível inverter o sentido deste processo, como atrás se disse, ou seja o processo é irreversível e a entropia aumenta. Acompanhando este aumento de entropia há uma degradação de energia. A energia altamente organizada das moléculas do eixo e das pás que rodavam, é convertida em energia cinética (energia térmica) das moléculas, altamente desorganizada e, por isso, de menor qualidade.

Sempre que numa dada transformação estão presentes irreversibilidades e se gera entropia, a energia total permanece constante (1º princípio da termodinâmica), mas diminui de qualidade (2º princípio da termodinâmica). Isto é, diminui a possibilidade de se obter trabalho à custa dessa energia. 6.6 – Diagramas em que uma das coordenadas é a entropia Nos capítulos anteriores utilizámos, com muita frequência, os diagramas P-v e T-v. Quando se analisam as transformações à luz do segundo princípio da termodinâmica é mais conveniente utilizarmos diagramas em que uma das coordenadas é a entropia. Os mais usados são: diagrama T-s (temperatura–entropia); e diagrama h-s (entalpia–entropia). No estudo das máquinas frigoríficas é, também, muito usado o diagrama P-h (pressão–entalpia).

Fig.6.8 – Na ausência de atrito, levantar um peso usando um eixo rotativo não cria entropia, logo a energia não se degrada

Fig.6.9 – O trabalho das pás rotativas aumenta o grau de desordem (entropia) do fluido, por isso a energia degradou-se durante o processo.


129

6.6.1 – Diagrama T-s Considerando a equação 6.4, que define entropia, podemos escrever:

d'Qrev = T dS (6.10) Como se vê na figura 6.10 d’Qrev é representado por uma área infinitésimal no diagrama T-S. A quantidade de calor trocada numa transformação internamente reversível é calculada por

Qrev = ∫2

1

TdS (6.11)

que corresponde à área debaixo da curva que representa o processo num diagrama T-S. Portanto, a área debaixo da curva que representa um processo internamente reversível num diagrama T-S, é proporcional à quantidade de calor trocada durante este processo.

Se a temperatura permanece constante e igual a To durante uma transformação, isto é, no caso das transformações isotérmicas reversíveis, a integração da equação 6.11 conduz a:

Qrev = To(S2-S1) = To ∆S

Nas relações anteriores T é a temperatura absoluta e, portanto, é sempre positiva. Por isso, a quantidade de calor trocada por um sistema num processo reversível é positiva se a entropia aumentar e negativa se a entropia diminuir. Uma transformação adiabática reversível (isentrópica) é representada por uma recta vertical neste diagrama. Num ciclo é ∫∫ = QdWd '' e, portanto, a área no interior da curva que representa o ciclo dá, não apenas o somatório das quantidades de calor trocadas no ciclo mas, também, o módulo do trabalho líquido do ciclo.

Pode-se, por isso, determinar graficamente o rendimento térmico de uma máquina a partir da representação do ciclo respectivo no diagrama T-S, achando o cociente entre as áreas que representam o trabalho do ciclo e a quantidade de calor fornecida ao ciclo. Note-se que estes ciclos terão que ser constituidos só por transformações internamente reversíveis. Recomenda-se, como exercício, a determinação do rendimento térmico de uma máquina de Carnot a partir da representação deste ciclo no diagrama T-S (figura 6.11), onde o trabalho do ciclo é dado pela área do rectângulo [a-b-c-d] e o calor fornecido pela área do rectângulo [e-a-b-f] .

Fig.6.10 – Num diagrama T-S uma área representa uma quantidade de calor trocada numa transformação reversível

Fig.6.11 – O ciclo de Carnot no diagrama T-S

Sa=Sd

T2

T1

a b

c d

T

S

W

Sb=Sc

e f


As características gerais do diagrama T-s para a água, nas regiões da fase líquida e vapor, mostram-se na figura 6.12.

Fig.6.12 - O diagrama T-s para a água Observa-se no diagrama da figura 6.12 que: 1 – Em qualquer ponto da região de uma só fase as curvas de volume constante são mais inclinadas do que as curvas de pressão constante (isóbaras); 2 – Na região de saturação (mistura líq.+vapor) as isóbaras são paralelas às linhas que representam as transformações isotérmicas, ou coincidentes com estas; 3 – Na região do líquido comprimido as isóbaras quase se sobrepõem com a linha de líquido saturado.

6.6.2 – Diagrama h-s

Outro diagrama muito utilizado é o diagrama h-s que é muito útil quando se estudam os processos de escoamento estacionário, como são os que se dão nas turbinas, nos compressores, nas tubeiras, etc. Ao estudar, por exemplo, o escoamento estacionário do vapor de água através duma turbina adiabática ∆h, distância vertical entre os estados de entrada e saída, é uma medida do trabalho fornecido pela turbina e a distância horizontal entre estes mesmos estados, ∆s, é uma medida das irreversibilidades associadas ao processo (figura 6.13). O diagrama h-s também é conhecido por diagrama de Mollier (cientista alemão 1863-1935).

Fig. 6.13 - Para processos de escoamento estacionário ∆h representa o trabalho e ∆s as irreversibilidades.

θ


131

No diagrama h-s para a água (figura 6.14) as linhas isotérmicas na região de saturação são rectas inclinadas. Ao passarem para a região do vapor sobreaquecido encurvam-se e, longe da linha de vapor saturado, tornam-se quase horizontais. O aspecto destas linhas é explicado pelo facto de, nesta região, o vapor sobreaquecido comportar-se, aproximadamente, como gás perfeito para o qual H=H(T).

Fig. 6.14 –Esquema de um diagrama h-s para a água

6.6.3 – Diagrama P-h

Utiliza-se este diagrama quando se estudam os ciclos frigoríficos de compressão de vapor. Como se pode observar na figura 6.15 as transformações no condensador e no evaporador de uma máquina frigorífica são processos de escoamento estacionário isobáricos e, por isso, as quantidades de calor trocadas são dadas por ∆h podendo determinar-se directamente da representação do ciclo no diagrama P-h. A expansão na válvula é isentálpica (h=const.). Admite-se que a compressão é isentrópica, representando-se como se mostra na figura 6.15.

6.15 – Um ciclo frigorífico representado no diagrama P-h.


6.7 – As equações Tds

No início do capítulo vimos que, para uma transformação elementar internamente reversível é:

revTQddS

=

'

A variação de entropia em qualquer transformação calcula-se integrandorevT

Qd

' ao

longo de algum “percurso” imaginário, internamente reversível, entre os estados inicial e final da transformação, como já sabemos. Nas transformações isotérmicas reversíveis esta integração é imediata pois T=const=T0 durante a transformação:

0

2

1

2

10012 '1'

TQ

QdTT

QdSS revrev

rev

==

=− ∫ ∫

Se a transformação não fôr isotérmica é preciso encontrar uma relação entre d’Q e T para levar a cabo esta integração. A seguir iremos ver como isso é possível. A forma diferencial do primeiro princípio da termodinâmica para sistemas fechados em repouso é (eq. 3.12):

d'Q – d’W = dU Aplicando esta equação a uma transformação internamente reversível, e considerando que, para estas transformações, o único trabalho é realizado pelas forças aplicadas à fronteira móvel do sistema num processo quase-estático e sem atrito (d’W=P dV), e que, também, d’Qrev = T dS, vem:

T dS – P dV = dU ou

T dS = dU + P dV

que, para a unidade de massa fica:

(6.12) A equação 6.12 é conhecida como primeira equação Tds. Uma outra equação deste tipo obtém-se a partir da equação 6.12 e diferenciando a relação que define entalpia (h=u+Pv):

dh = du + Pdv + vdP isto é:

dh – v dP = du + P dv = T ds Portanto (6.13)

T ds = du + P dv

T ds = dh – v dP


133

A equação 6.13 é designada segunda equação T.ds. As equações Tds são muito importantes porque relacionam a variação da propriedade entropia com variações de outras propriedades. Ao contrário do que acontecia com a equação 6.4, que define entropia, estas relações, por serem relações entre variações de propriedades, são independentes do tipo de transformação. Isto é, as equações Tds foram deduzidas considerando uma transformação reversível mas os resultados obtidos são válidos tanto para transformações reversíveis como para transformações irreversíveis, uma vez que a entropia é uma função de estado (propriedade) e a variação de uma função de estado entre dois dados estados é independente do tipo de transformação As equações 6.12 e 6.13 são relações entre propriedades da unidade de massa de um sistema compressível simples quando sofre uma mudança de estado e aplicam-se tanto a transformações que tenham ocorrido em sistemas fechados como em sistemas abertos. (fig.6.16).

Destas equações tira-se que:

dvTP

Tduds += (6.14)

e

dPTv

Tdhds −= (6.15)

A variação de entropia numa transformação pode obter-se integrando qualquer destas equações.

6.8 – Variações de entropia de uma substância pura As equações Tds aplicam-se a todas as substâncias puras em qualquer fase ou mistura de fases. Contudo a utilização destas equações só é possível se forem conhecidas as relações entre T e du, ou dh, e a equação de estado da substância (que relaciona os valores de P, v e T). De uma maneira geral estas equações são muito complicadas o que impede que se obtenham relações simples para o cálculo das variações de entropia. Os valores da entropia s foram, por isso, determinados à custa de dados das propriedades mensuráveis realizando-se os cálculos necessários e constam de tabelas, tal como as outras propriedades v, u e h. Os valores que aparecem nas tabelas não são os valores absolutos da entropia, pois apenas sabemos calcular variações de entropia. Por isso, o que aparece nas tabelas são as diferenças entre o valor da entropia num dado estado e o seu valor num estado arbitrariamente escolhido para estado de referência, tal como acontecia com a energia interna u. Nas tabelas do vapor de água o estado de referência é, como já se mencionou no segundo capítulo, o estado de líquido saturado a 0,01ºC, à entropia do qual se atribuiu o valor zero. O valor da entropia para um determinado estado determina-se a partir das tabelas da mesma maneira que as outras propriedades. Na região do líquido comprimido e vapor sobreaquecido, directamente. Na região da mistura (líq.+vapor) a entropia é determinada por:

s = sf + x sfg

Fig. 6.16- As equações Tds tanto se aplicam a transf. reversíveis como irreversíveis e tanto a sistemas fechados como abertos


onde x é o título, sf e sfg são, respectivamente, a entropia do líquido saturado e a diferença entre a entropia do vapor saturado e a do líquido saturado, que se tiram das tabelas. Na ausência de dados para os estados de líquido comprimido usa-se a seguinte aproximação:

s(P,T) ≅ sf(T)

6.9 – Variações de entropia dos gases perfeitos Substituindo na equação 6.14

dvTP

Tduds +=

du=cvdT e também v

rTp = , visto tratar-se de um gás perfeito, vem:

dvvr

TdTcds v +=

Integrando os dois membros desta equação obtém-se:

∫ +=−2

1 1

212 ln

)(vvr

TdTTc

ss v (6.16)

Uma segunda equação para a variação de entropia de um gás perfeito obtém-se a partir da equação 6.15

dpTv

Tdhds −=

substituindo nesta equação dh=cpdT e Pr

Tv

= , dando:

PdPr

TdTcds p −=

Integrando os dois membros desta equação vem:

1

22

112 ln

)(PPr

TdTTc

ss p −=− ∫ (6.17)

Os calores específicos dos gases perfeitos, com excepção dos gases monoatómicos, dependem da temperatura, como se viu no 3º capítulo. Portanto, tem que se conhecer cv=cv(T) e cP=cP(T) para efectuar as integrações das equações 6.16 e 6.17. Mesmo sendo conhecidas estas funções, efectuar as integrações mencionadas sempre que se determina uma variação de entropia, não é prático. Então, só restam


135

duas soluções: realizar estas integrações considerando os calores específicos constantes e iguais a um valor médio ou calcular os integrais uma única vez e construir tabelas com os resultados obtidos.

1 - Considerando constantes os calores específicos (resultados

aproximados): Os cálculos simplificam-se muito mas perde-se alguma precisão. O valor do erro introduzido depende das condições. Para os gases monoatómicos, como por exemplo o hélio, os calores específicos são constantes e esta hipótese não introduz nenhum erro. Para os outros gases, os calores específicos variam quase linearmente com a temperatura e o erro é minimizado usando o calor específico determinado para a temperatura média do intervalo. Os resultados obtidos desta maneira são, normalmente, suficientemente precisos para a maioria dos gases perfeitos, se o intervalo de temperaturas não fôr superior a algumas (poucas) centenas de graus. Considerando, nas equações 6.16 e 6.17, os calores específicos constantes e iguais ao seu valor médio no intervalo de temperaturas, a integração dos segundos membros destas equações conduz a:

1

2

1

212 lnln

vvr

TTcss vmédio +=− (6.18)

1

2

1

212 lnln

PPr

TTcss pmédio −=− (6.19)

2 – Considerando os calores específicos variáveis (resultados exactos) - Quando a variação de temperatura numa transformação fôr grande e os calores específicos não variarem linearmente com a temperatura, a hipótese de considerar os calores específicos constantes pode introduzir erros consideráveis no cálculo das variações de entropia. Então, deve-se substituir nas equações 6.16 e 6.17 os valores de cv e de cp pelas suas expressões em função da temperatura e efectuar o cálculo dos respectivos integrais. Em vez de realizar estes cálculos sempre que se pretende determinar uma variação de entropia será conveniente realizá-los uma só vez e construir tabelas com os resultados obtidos. Com esse objectivo escolheu-se a temperatura do zero absoluto como referência e definiu-se uma função s0 da seguinte maneira:

T

dTTcs P

T )(

0

0 ∫= (6.20)

De acordo com esta definição s0 é apenas função da temperatura e o seu valor é zero à temperatura do zero absoluto. Os valores de s0 são calculados a várias temperaturas, a partir da equação 6.20, e os resultados obtidos constam de tabelas para vários tipos de gases cujo comportamento pode ser considerado ideal. Tendo em conta esta definição, o valor do integral da equação 6.17 é dado por:

∫ −=2

1

01

02

)( ssT

dTTcP


Então:

1

201

0212 ln

PPrssss −−=− (6.21)

Repare-se que, ao contrário do que acontecia com a energia interna u e com a entalpia h, a entropia não é só função da temperatura; depende também do volume e da pressão. Por isso, a entropia não pode ser tabelada como função da temperatura. Os valores de s0 das tabelas dão conta da variação de s com a temperatura. A variação da entropia com a pressão é levada em conta no último termo da equação 6.21. Em apêndice apresentam-se tabelas para o ar. 6.10 - Processos isentrópicos dos gases perfeitos Fazendo, nas equações apresentadas anteriormente, a variação de entropia de um gás perfeito igual a zero obtém-se várias relações para as transformações isentrópicas de um gás perfeito. Calores específicos constantes (resultados aproximados) Quando se consideram os calores específicos constantes e igualando a zero o primeiro membro da equação 6.18 obtém-se:

1

2

1

2 lnlnvv

cr

TT

v

−=

que pode ser escrita

vcr

vv

TT

=

2

1

1

2 lnln

ou

1

2

1

.1

2

−

=

=

γ

vv

TT

consts

(6.22)

visto ser r=cp-cv e γ=cp/cv e, portanto, r/cv=γ−1. Por um processo análogo e igualando a zero o primeiro membro da equação 6.19 obtém-se:

γγ /)1(

1

2

.1

2

−

=

=

PP

TT

consts

(6.23)

Fica ao cuidado do aluno provar esta relação. Por fim, igualando os segundos membros das equações 6.22 e 6.23 e simplificando vem:

γ

=

= 2

1

1

2

vv

PP

consts

(6.24)


137

Note que as equações 6.22, 6.23 e 6.24 já tinham sido obtidas no 3º capítulo, para as transformações adiabáticas reversíveis de um gás perfeito admitindo-se constantes os seus calores específicos. Calores específicos variáveis (resultados exactos) Quando não fôr aconselhável considerar a hipótese dos calores específicos constantes, as relações 6.22 a 6.24 que deduzimos conduzem a resultados que não são muito exactos. Nesses casos devemos substitui-las por relações obtidas duma equação que tenha em consideração a variação dos calores específicos com a temperatura, nomeadamente a equação 6.21. Igualando a zero o primeiro membro desta equação obtemos

1

201

02 ln0

PP

rss −−=

1

201

02 ln

PP

rss += (6.25)

onde s2

0 é o valor de s0 no final da transformação isentrópica. Isto é, sabendo a razão entre as pressões dos estados final e inicial (P2/P1) e a temperatura inicial é possível determinar s1

0 e, a partir da equação dada acima, s20. Entrando com este

valor na tabela, determina-se T2. Ou, vice-versa, se forem conhecidas as temperaturas inicial e final e a pressão inicial podem determinar-se s2

0 e s10 e,

entrando com essses valores na equação dada acima, determinar P2. A equação 6.25 fornece uma maneira precisa para determinar as variações das propriedades de um gás perfeito num processo isentrópico porque tem em consideração a variação dos calores específicos com a temperatura. Contudo, se fôr conhecida a razão entre os volumes inicial e final do gás, em vez da razão entre as pressões, tem que se calcular uma das outras propriedades (P ou T) do estado final por tentativas, o que é muito demorado e pouco prático. Para remediar esta deficiência definem-se novas quantidades, associadas com as transformações isentrópicas, como se segue. Partindo da equação 6.25 que pode escrever-se com a forma:

01

02

1

2ln ssPP

r −=

rss

PP 0

102

1

2ln −=

rss

PP 0

102

1

2 exp −=

obtém-se

)/exp()/exp(

01

02

1

2

rsrs

PP

=

À quantidade abstracta (sem dimensões) exp(s0/r) chama-se pressão relativa Pr. Com esta definição a relação anterior pode escrever-se:


1

2

1

2

r

r

consts PP

PP

=

=

(6.26)

Note-se que a pressão relativa é uma grandeza, sem dimensões, que depende exclusivamente da temperatura. Por isso, os valores de Pr podem ser tabelados como função da temperatura. Na tabela para o ar, em apêndice, são dados os valores destas pressões relativas. O uso dos valores de Pr está elucidado na figura 6.17. Fig.6.17 – Uso das pressões relativas para determinar a temperatura no final de uma transf.

isentrópica Quando é dada a razão entre os volumes específicos, em vez da razão das pressões, define-se uma outra quantidade, relacionada com a razão entre os volumes específicos no inicio e no final duma transformação isentrópica. Para tal, parte-se da relação 2.11 (P1v1/T1=P2v2/T2) e da relação 6.26:

11

22

21

12

1

2

2

1

1

2

//

r

r

r

r

PTPT

PTPT

TT

PP

vv

==×=

À quantidade T/Pr que é unicamente função da temperatura, dá-se o nome de volume específico relativo vr. e os seus valores aparecem nas tabelas, como funções da temperatura. Então:

1

2

1

2

r

r

consts vv

vv

=

=

Para determinar a temperatura no final de uma transformação isentrópica utilizando os volumes específicos relativos procede-se de maneira análoga à utilizada no caso de ser conhecida a razão entre as pressões.

Transformação isentrópica

Dados: P1, T1 e P2 Achar: T2

T Pr . . . .

T1 → → Pr1

↓

T2 ← Pr2=(P2/P1) Pr1


139

6.11 – Representação das transformações reversíveis de um gás perfeito no diagrama T-s

Como se viu na secção 6.6.1 o diagrama T-s é muito útil quando se estudam os ciclos ideais das máquinas (térmicas e frigoríficas) porque nestes diagramas as áreas representam as quantidades de calor trocadas, assim como o trabalho do ciclo. Vamos agora mostrar a forma das curvas que representam neste diagrama as transformações de um gás perfeito. As transformações reversíveis, isotérmicas e adiabáticas, representam-se, respectivamente, por rectas horizontais e verticais pois s=const. nas transformações adiabáticas reversíveis. As linhas isóbaras (P=const.) e as linhas de volume constante têm o aspecto que se mostra na figura 6.18, onde se observa que o declive de uma linha de volume constante é superior ao declive de uma linha de pressão constante. A justificação para este facto encontra-se determinando as derivadas

vsT

∂∂ e

PsT

∂∂ que dão, respectivamente, os declives das linhas de volume

constante e das isóbaras no diagrama T-s. Fazendo na eq. 6.14 dv=0 vem:

Tduds =

Como, para um gás perfeito, du=cvdT:

TdTcds v=

vcT

dsdT

= (qdo. v=const)

Mas dsdT representa a derivada parcial

vsT

∂∂ . Portanto:

vsT

∂∂ =

vcT

Partindo, agora, da equação 6.15, fazendo dP=0 nesta equação e como dh=cP dT para um gás perfeito vem:

TdTc

ds P=

donde Ps

T

∂∂ =

PcT

Para um gás perfeito cp>cv, logo vs

T

∂∂ >

PsT

∂∂ , como se pretendia demonstrar.

Fig.6.18- Diagrama T-s para um gás perfeito

γ


6.12 – Expressão do trabalho num processo de escoamento estacionário reversível Tanto o trabalho como as quantidades de calor dependem do “percurso” da transformação assim como das propriedades dos estados inicial e final. No 3º capítulo estudámos que o trabalho realizado por um sistema fechado num processo

reversível (quase-estático) era calculado por ∫=2

1

PdVW .

Mencionámos nessa altura que este trabalho era máximo para as transformações em que o sistema fornecia trabalho ao exterior e mínimo nas transformações em que o sistema consumia trabalho. Seria desejável arranjar uma equação semelhante à anterior que permitisse determinar o trabalho nas transformações em que um fluido passa por um processo de escoamento estacionário reversível. A equação que traduz a conservação de energia num processo de escoamento estacionário internamente reversível pode escrever-se na forma diferencial como se segue:

pcrevrev dededhwdqd ++=− '' mas

vdPdhqdvdPdhTds

Tdsqdrev

rev −=

−==

''

Substituindo na equação anterior, verifica-se que desaparecem os dh obtendo-se:

Pcrev dedevdPwd ++=− '

Integrando:

Pcrev eevdPw ∆−∆−−= ∫2

1

(6.27)

Quando são desprezáveis as variações de energia cinética e de energia potencial gravítica esta equação simplifica-se dando:

∫−=2

1

vdPwrev (6.28)

As equações 6.27 e 6.28 aplicam-se a processos de escoamento estacionário reversíveis e não se devem confundir com a

equação ∫=2

1

PdVW que dá o trabalho

reversível de um sistema fechado (fig.6.19).

Figura 6.19 Expressão do trabalho para processos de escoamento estacionário e para sistemas fechados


141

Minimizar o trabalho de compressão Atrás já se disse que o trabalho que era preciso fornecer a um sistema era mínimo num processo reversível. Quando são desprezáveis as variações de energia cinética e potencial, o trabalho que é preciso fornecer a um compressor, num processo de escoamento estacionário reversível, é dado pela equação 6.28:

∫−=2

1

vdPwrev

Obviamente uma maneira de minimizar o trabalho de compressão é aproximar o processo real o mais possível de um processo internamente reversível, diminuindo as irreversibilidades tais como o atrito, a turbulência, etc. e fazendo com que o sistema não se afaste muito de estados de equilíbrio (processo quase-estático) Uma outra maneira, mais prática, é manter o volume específico do gás o mais baixo possível durante a compressão. Isto consegue-se mantendo a temperatura do gás o mais baixa possível, uma vez que, para uma dada pressão, o volume de um gás é proporcional à sua temperatura. Para compreeender melhor o efeito do arrefecimento durante uma compressão vamos comparar os trabalhos necessários para comprimir um gás através de três transformações de tipos diferentes: transformação isentrópica, transformação politrópica e transformação isotérmica.

Considerando que as três transformações são realizadas entre as mesmas pressões, inicial P1 e final P2, representaram-se as três transformações num mesmo diagrama P-v (fig.6.20). O valor absoluto do trabalho de compressão

∫2

1

vdP é representado graficamente pela

área à esquerda da curva do processo no plano P-v. Como se vê na figura 6.20 o trabalho é mínimo na transformação isotérmica, onde se mantém o gás sempre à mesma temperatura, arrefecendo-o, e máximo na transformação isentrópica (adiabática), onde não se procedeu a nenhum

arrefecimento. 6.13 – Rendimentos isentrópicos de alguns dispositivos de escoamento estacionário Dissémos, por várias vezes, que as irreversibilidades inerentes a todas as transformações reais têm sempre como consequência uma degradação do desempenho dos dispositivos. Seria bom ter quaisquer parâmetros que nos permitissem avaliar quantitativamente o grau de degradação da energia nos dispositivos utilizados em engenharia. Isso foi avaliado, no 5º capítulo, para os dispositivos que funcionam por ciclos, tais como máquinas térmicas e máquinas frigoríficas, comparando os ciclos reais com os ciclos ideais, como o ciclo de Carnot.

Fig. 6.20 – Transformações isentrópica, politrópica e isotérmica entre os mesmos limites de pressão


Vamos, agora, ver como se analisam os comportamentos de vários tipos de dispositivos que obedecem às condições de escoamento estacionário, como turbinas, compressores e tubeiras, quando trabalham isoladamente. Isto é, vamos analisar o grau de degradação da energia nestes dispositivos resultante das irreversibilidades. Mas, primeiro, temos que definir uma transformação ideal com a qual vamos comparar as transformações reais. Apesar de não se poder evitar algumas trocas de calor entre estes dispositivos e o meio envolvente (vizinhança) durante o seu funcionamento, a maioria podem considerar-se adiabáticos. Por isso, a transformação que vai servir de modelo a estes processos deve ser adiabática. Além disso, na transformação modelo, não devem ocorrer irreversibilidades, pois estas degradam sempre o desempenho dos dispositivos usados em engenharia. Por isso o processo ideal que serve de modelo adequado para a maioria dos dispositivos de escoamento estacionário é um processo isentrópico. Quanto mais se aproximar o processo real do processo ideal, isentrópico, melhor será o desempenho do dispositivo. Então seria bom ter um parâmetro que exprima quantitativamente quanto o dispositivo real se aproxima do modelo ideal. Este parâmetro é o rendimento isentrópico ou adiabático, que é uma medida de quanto os processos reais se desviam dos correspondentes processos ideais. Os rendimentos isentrópicos são definidos de maneiras diferentes para os vários dispositivos. Á frente vamos definir os rendimentos isentrópicos de turbinas, compressores (ou bombas) e tubeiras, comparando os desempenhos reais destes dispositivos com os seus desempenhos em processos isentrópicos, com o mesmo estado de entrada no dispositivo (inicial) e a mesma pressão de saída (final). 6.13.1 – Rendimento isentrópico de turbinas Para uma turbina a funcionar em regime estacionário, o estado de entrada do fluido de trabalho e a pressão de saída são fixadas. Portanto, o processo ideal para uma turbina adiabática é um processo isentrópico entre o estado de entrada e a pressão de saída. O que se pretende da turbina é o trabalho que produz e o rendimento isentrópico ou adiabático da turbina é definido como a razão entre o trabalho real da turbina e o trabalho que seria conseguido se o processo entre o mesmo estado à entrada e a mesma pressão de saída tivesse sido isentrópico:

sT w

woisentrópictrabalho

realtrabalho==

..η (6.29)

Geralmente as variações de energia cinética e de energia potencial associadas com o escoamento de um fluido através de uma turbina são pequenas, quando comparadas com a variação de entalpia, e podem desprezar-se. Então, o trabalho produzido por uma turbina adiabática é apenas a queda de entalpia, como se viu no 4º capítulo, e a relação anterior pode tomar a seguinte forma:

sT hh

hh

21

21

−−

≅η (6.30)

onde h2 e h2s são os valores da entalpia para o estado real e ideal de saída da turbina. Os processos, real e isentrópico, numa turbina estão representados na figura 6.21.


143

O valor de ηT depende da configuração das componentes individuais que constituem a turbina. Uma turbina grande, bem projectada, pode ter rendimentos superiores a 90%. Para as turbinas pequenas, contudo, este rendimento pode cair até abaixo de 70%.

Fig.6.21-O diagrama h-s para os processos, real e isentrópico, numa turbina adiabática.

6.13.2 – Rendimento isentrópico de compressores e de bombas O rendimento isentrópico de um compressor é definido como a razão entre o trabalho que seria preciso fornecer ao compressor para aumentar a pressão do gás até um dado valor num processo isentrópico e o trabalho que é preciso fornecer ao compressor no processo real:

ww

realtrabalhooisentrópictrabalho s

C ==..

..η (6.31)

Note-se que na definição de rendimento isentrópico do compressor aparece o trabalho isentrópico no numerador da fracção em vez de aparecer no denominador. Isto deve-se ao facto do trabalho isentrópico ws ser menor que o trabalho real w. Repare-se, também, que as condições de entrada e a pressão de saída do gás são as mesmas no processo isentrópico e no processo real. Quando as variações das energias, cinética e potencial do gás que está a ser comprimido, são desprezáveis o trabalho fornecido a um compressor adiabático fica igual à variação de entalpia, e a equação 6.31 toma, neste caso, a forma:

12

12

hhhh s

C −−

≅η (6.32)

onde h2 e h2s são os valores da entalpia no estado de saída para os processos de compressão, real e isentrópico, respectivamente, como se mostra na figura 6.22. Mais uma vez o valor de ηC depende da configuração do compressor. Compressores bem projectados têm rendimentos isentrópicos compreendidos entre 75 e 85%. A definição dada acima é, também, válida para bombas de líquidos Quando não se faz nenhuma tentativa para arrefecer o gás durante a compressão o processo real é praticamente adiabático e o processo isentrópico é o modelo adequado. Mas, como atrás se viu, algumas vezes os compressores são arrefecidos


intencionalmente para diminuir o trabalho de compressão (fig.6.23). Neste caso o processo isentrópico já não é o modelo adequado uma vez que o processo real não é adiabático e o rendimento isentrópico do compressor deixa de ter significado. O modelo que deve ser usado neste caso é um processo isotérmico reversível. Então podemos definir um rendimento isotérmico comparando o processo real com o processo isotérmico reversível:

wwt

C =η

onde wt e w são os trabalhos nos processos isotérmico reversível e real, respectivamente. 6.13.3 – Rendimento isentrópico de tubeiras As tubeiras são dispositivos adiabáticos utilizados para acelerar um fluido. Então, o processo isentrópico é o modelo adequado para as tubeiras. O rendimento isentrópico de uma tubeira é definido como a razão entre a energia cinética do fluido à saída da tubeira e o valor que teria a energia cinética para um processo isentrópico na tubeira com o mesmo estado de entrada e a mesma pressão de saída. Isto é:

22

22

.....

s

real

C

CTb C

CsaídaàaisentrópicE

saídaàrealE==η (6.33)

Nas tubeiras não há trabalho e as variações de energia potencial do fluido são desprezáveis. Se, ao mesmo tempo, a velocidade de entrada fôr pequena relativamente à de saída, a equação de energia do escoamento estacionário reduz-se a:

2

0022

12−

+−=Chh

Então o rendimento isentrópico da tubeira pode exprimir-se em função das entalpias:

sTb hh

hh

21

21

−−

≅η (6.34)

Fig.6.22 – O diagrama h-s para os processos real e isentrópico de um compressor adiabático

Fig.6.23- Os compressores são, às vezes, arrefecidos para diminuir o trabalho de compressão


145

Leituras recomendadas: Çengel Yunus A., Boles Michael A. – Thermodynamics An Engineering Aproach, cap. VI – 2nd ed. – McGraw-Hill, Inc. - 1994 Moran Michael J. Shapiro Howard N., - Fundamentals of Engineering Thermodynamics, cap. VI – 2nd ed. S.I. version – John Wiley & Sons, Inc. – 1993.

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS

Capítulo VI 6.1 – Durante uma transformação de um sistema fechado o trabalho fornecido ao sistema foi 20 kJ e a quantidade de calor transferida do sistema para o meio exterior foi 30 kJ. a) Se a transformação fôr reversível a variação de entropia do sistema foi positiva,

negativa, nula, ou não se pode saber? b) Se a transformação fôr irreversível o que se pode dizer acerca da variação de

entropia do sistema ? Justifique a resposta. 6.2 – Um sistema vai passar por uma transformação entre dois determinados estados, primeiro duma maneira reversível e depois duma maneira irreversível. Para que caso é maior a variação de entropia? Porquê? 6.3 – Vapor de água expande-se, reversível e adiabaticamente, numa tubeira desde 6 MPa e 360 ºC até 150 kPa. Clacule a velocidade de saída se a velocidade de entrada fôr muito pequena. R: 1185 m/s 6.4 – Vapor de água expande-se dentro dum dispositivo cilindro-êmbolo, numa transformação isotérmica reversível, desde 700 kPa e 200ºC até 300 kPa. Calcule a quantidade de calor fornecida à água e o trabalho realizado (por kg de vapor).R: q=199 kJ.kg-1; w=183 kJ.kg-1

6.5 – Vapor de água entra numa turbina a 8,0 MPa e 560ºC e deixa-a à pressão atmosférica (1 bar). A expansão é reversível e adiabática. Calcule o caudal de vapor (kg/s) necessário para a turbina produzir uma potência de 500 MW. R: 499 kg/s 6.6 – Um bloco de alumínio de 20 kg, a 200ºC, é posto em contacto com um bloco de ferro de 20 kg, a 100ºC. Isolam-se os blocos do meio exterior. Determine: a) a temperatura quando os blocos atingem o equilíbrio térmico; b) a variação de entropia neste processo. DADOS: c(Al)=0,900 kJ.kg-1.K-1; c(Fe)=0,450 kJ.kg-1.K-1

R: (a) 166,7ºC; (b) 0,166 kJ.K-1

6.7 – Um grupo de estudantes está a analisar o escoamento de ar através de uma conduta horizontal, bem isolada. Uma parte do grupo determinou a pressão, a temperatura e a velocidade do ar num local A da conduta e obteve os seguintes resultados: 0,95 bar, 67ºC e 75 m/s. Outra parte do grupo determinou noutro local B da conduta os valores: 0,8 bar, 22ºC e 310 m/s. Os estudantes esqueceram-se de anotar o sentido do escoamento. Poderá dizer em que sentido se deu? Justifique a


resposta. Considere o ar um gás perfeito com calores específicos constantes e r(ar)=287 J.kg-1.K-1 e cp(ar)=1005 J.kg-1.K-1

6.8 – No interior de um cilindro com um êmbolo móvel estão encerrados 1,2 kg de azoto a 120 kPa e 27ºC. O gás comprime-se lentamente, num processo politrópico reversível, durante o qual PV1,3= const. O processo termina quando o volume se reduz a metade. Determine a variação de entropia do azoto neste processo. Considere o azoto um gás perfeito com calores específicos constantes sendo cp=1,039 kJ.kg-1.K-1 e M=28 kg.kmol-1 R: -0,0619 kJ/K 6.9 – Um dispositivo cilindro-êmbolo contem inicialmente 300 L de ar a 120kPa e 17ºC. O ar é então aquecido durante 15 min por uma resistência de 200 W colocada dentro do cilindro. A pressão do ar mantem-se constante durante o processo. Determine a variação de entropia do ar considerando: a) os calores específicos constantes; b) os calores específicos variáveis, usando as tabelas do ar. R: (a) 385 J/K; (b) 386,8 J/K 6.10 –Comprime-se ar contido num dispositivo cilindro-êmbolo desde 100kPa e 17ºC até 800 kPa, num processo adiabático reversível. Determine a temperatura final e o trabalho realizado neste processo, considerando: a) constantes os calores específicos do ar; b) os calores específicos do ar variáveis e utilizando as tabelas para o ar. R: (a) 525,3 K; 171,1 kJ/kg; (b) 522,4 K; 169,3 kJ/kg 6.11 – Ar entra numa tubeira adiabática a 400kPa, 247ºC e 60m/s e sai a 80 kPa. Considerando o ar como um gás perfeito com calores específicos variáveis e desprezando quaisquer irreversibilidades determine a velocidade de saída do ar. 6.12 –Água líquida à pressão de 120 kPa entra numa bomba de 15 kW onde a sua pressão é aumentada para 3 MPa. Se a diferença de alturas entre a entrada e a saída da bomba fôr 10m determine o caudal máximo de água que esta bomba pode comprimir. Despreze a variação de energia cinética da água e considere constante o volume específico da água e igual a 0,001 m3/kg. 6.13 –Comprime-se 0,2 m3 hélio, por segundo, desde 80 kPa e 20ºC até 600 kPa. Determine a potência que é preciso fornecer ao compressor, considerando a compressão: a) isentrópica; b)politrópica com n=1,2, c) isotérmica. 6.14 – Vapor de água entra numa turbina adiabática a 6 MPa, 600ºC e 80 m/s e deixa--a a 50 kPa, 100ºC, e 140 m/s. Se a potência da turbina é 5 MW, determine : a) o caudal mássico de vapor que atravessa a turbina e b) o rendimento isentrópico da turbina. R: (a) 5,16 kg/s; (b) 83,7% 6.15 –Gases de combustão entram numa turbina adiabática a 1200 K, 800 kPa, e deixam-na a 400 kPa a baixa velocidade. Considerando os gases de combustão comportando-se como o ar, com calores específicos constantes e iguais aos valores para 1000 K, e admitindo um rendimento isentrópico de 86%, determine o trabalho fornecido pela turbina. R: 188,9 kJ/kg


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6.16 – Um compressor adiabático admite 1,2 m3/s de ar a 100 kPa e 17ºC, que sai a 257ºC. O compressor tem um rendimento isentrópico de 84%. Desprezando variações de energias cinética e potencial do ar determine: (a) a pressão de saída ; (b) a potência fornecida ao compressor. R: (a) 645 kPa; (b) –350,6 kW 6.17 – Comprime-se ar num compressor adiabático desde 95 kPa e 27ºC até 600 kPa e 277ºC. Considerando variáveis os calores específicos do ar e desprezando as variações de energia cinética e potencial determine: a) o rendimento isentrópico do compressor; b) a temperatura de saída do ar se o processo tivesse sido reversível. R: (a) 81,9%; (b) 505,5 K. 6.18 – Entra ar numa tubeira adiabática a 400 kPa e 547ºC a baixa velocidade e sai com a velocidade de 290 m/s. Se o rendimento isentrópico da tubeira é 90%, determine a temperatura de saída e a pressão do ar. 6.19 – Gases quentes de combustão entram numa tubeira de um motor de um avião a jacto a 260 kPa, 747ºC e 80 m/s, e saiem à pressão de 85 kPa. Considerando um rendimento isentrópico da tubeira igual a 92% e admitindo os gases de combustão comportando-se como o ar, determine: a) a velocidade de saída do ar; b) a temperatura de saída. R: (a) 728,2 m/s: b) 786,3 K. 6.20 - Numa instalação de uma turbina de gás funcionando em regime estacionário, o ar entra no compressor a 0,95 bar e 22ºC e sai a 5,7 bar. O ar passa a seguir através de um permutador de calor antes de entrar na turbina a 1100 K, 5,7 bar. Depois expande-se na turbina até 0,95 bar. O compressor e a turbina são adiabáticos e são desprezáveis as variações de energia cinética e potencial do ar. Determine o trabalho líquido fornecido por esta instalação, em kJ por kg, se: a) o compressor e a turbina operam sem irreversibilidades; b) se o compressor e a turbina têm rendimentos isentrópicos de 82 e 85%,

respectivamente. 6.21 – A figura mostra três dispositivos que funcionam em regime estacionário: uma bomba, uma caldeira e uma turbina. A turbina fornece a potência necessária ao funcionamento da bomba e também fornece potência para outros dispositivos no exterior. Supondo a bomba e a turbina adiabáticas e ignorando possíveis variações de energia cinética e potencial determine, em kJ por kg de vapor : a) o trabalho fornecido à bomba; b) o trabalho líquido fornecido ao

exterior pela turbina; c) a quantidade de calor fornecida na caldeira.

termodinâmica (entropia e diagrama)

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