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Física 1

Mecânica

Sandra Amato

Instituto de Física - UFRJ

Momento Angular

24/10/2014

(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 1 / 65

FORESEE.

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Outline

1 Momento Angular de uma partícula

2 Momento Angular de um Sistema de Partículas


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Momento Angular de uma partícula

Conceitos Fundamentais na dinâmica de translação: F e p

(importante Lei de Conservação).

Já falamos do análogo da Força na rotação ‹ Torque causa

aceleração angular.

Queremos o análogo do p na rotação.

Para uma partícula: p m v

Para um sistema de partículas: P MVCM


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Relação entre cinemática angular e linear

s r v r aT r

Linear

a constante:

v v0 a t

x x0 v0 t 1 2 a t2

v2

v2

02a x

m

K i

1

2miv

2

i

F

Fres

ma

p mv

Fext

dP dt

Angular

constante:

0 t

0 0 t 1 2 t2

2 2

02

I i mir2

i

K1

2I

2

r Fres

I

lext


(Para partículas pontuais)

-

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Partindo da Segunda Lei de Newton:

Fdp

dtr F r

dp

dt

notando que:

d r p

dtr

dp

dt

dr

dt

v mv 0

p

r Fd r p

dt

o

dlo

dt

onde lo r p é o momento angular de uma partícula em

relação a o ‹ depende do ponto o


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lo r p

lo é um vetor de

módulo: r p sen

que pode ser visto como:

r p ou r p

direção: a r e v

sentido: regra da mão direita

Note que não é necessário que

haja rotação para definirmos lo


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Conservação do Momento Angular

o

dlo

dt

O torque resultante que age sobre uma partícula é a taxa de

variação com o tempo do momento angular

Atenção: Os dois devem ser definidos em relação à mesma

origem.

Consequência: Se o 0 ‹ lo se conserva !!!!

Como é vetor, significa que se conserva em módulo, direção e

sentido.


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Exemplo: Forças Centrais

Vimos que se a resultante das Forças que atuam sobre um objeto

é central, o Torque em relação ao centro é nulo, pois r F e

r F :

Consequência: O momento Angular em relação ao centro

se conserva ‹ O movimento é plano.


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Exemplos

Qual o momento angular desses dois objetos em relação ao ponto

O?


10/ 66(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 10 / 65

A [ Ii = mini iv.'

+ mzi .×5i

/ E Is / = 3,1 × 2,8×3.6 - 6.5 × 1.5×2.2 = 31.2 - 21.4 =

9.8kg nits

L e p/ fore do plane no papal 0

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Exemplos

Uma partícula me massa m 2 kg, tem vetor posição de módulo

3m e velocidade de módulo v 4 m/s. Sobre ele atua uma força

F de módulo 2N. Quais são, em relação ao ponto O :

a) o momento angular da partícula

b) o torque exercido sobre ela


daaaogp

-


to= mix is

^

= m rvsem 30 = 2×3×4 × zt = 12 kg nils k

^

Z's = I'

×E

'

= 3 × 2 sense = 3 Nn k

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Exercícios

O vetor posição de uma partícula de massa 2 kg em relação a um

observador inercial fixo num ponto O é dado por

r 2 t2

t t4k , onde todas as unidades empregadas estão

no S.I. (a) Qual é a força resultante que age sobre esta partícula?

(b) Qual é o torque desta força em relação a O? (c) Qual é o

momento angular desta partícula em relação a O? (d) Verifique

se a segunda lei de Newton para as rotações é válida neste caso.



a) I'

=at a + tj + t

' ti

- >

F = m a

E'

= dagi = 4 i +12 t2k

E'

= 8 i + 24 t2 k

b ) E'

= i'

×if '

^

i j k

⇐to ztf.) = 24 £3 i - ( 4't

'-8th ) j -8th

= 24 t'

i - 40 t

"

j -8th

e) li'

= mix ii

i j is

pet't.tt/=(4th-tYi- ft '

'

- at 'Jj + Kt'. at 's 'k

= 3 th i - 4 t5j -2 E K

to = 6 t'

i - 8 Ej

- 4 t2 K

- )

d) dd= 24 Ei . hot

"

j -

8thdt

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Exercícios

Um projétil de massa m é lançado com uma velocidade vi que

faz um ângulo com a direção horizontal. Tomando como origem

do sistema de coordenadas o ponto de lançamento O , calcule o

momento angular do projétil em relação a O como função do

tempo. Calcule o torque da força resultante sobre este corpo em

relação ao mesmo ponto, e verifique se

dL0

dt0



a) I'

. = m I × ii

ii = ( v. corot ) i + ( v. snot -

ztg E) jI

'

= Hcore ) i + ( t.sn - gt ) f

I × I = Hnew cow t - v. who gt'

) li - Hsure corot -

mix ii = - m 's gEu

.cow Is at g

a v. wo ) ti

→

b) E'

= I ×F

'

F = - mg IZ = - mg v. corot K

-^

e) of = - m gt v. cow k

at

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Desafio

Um pêndulo cônico é constituído por uma bola de massa m presa

à extremidade de um fio de comprimento d , amarrado a um

suporte fixo no laboratório. O pêndulo gira com velocidade

constante, com o fio fazendo um ângulo constante com a

vertical. Qual é o momento angular L0 da bola em relação ao

ponto de sustentação O? Mostre diretamente que a taxa de

variação de L0 em relação ao tempo é medida pelo torque em

relação a O das forças que agem sobre a bola.


R

gets[ = mw Roe cos x I +

mw r2 £

^

z

"i

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Momento Angular de um Sistema de Partículas

Queremos obter o momento angular L de um sistema de N

partículas

L li ri pi

L miri vi


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Momento Linear de um Sistema de Partículas

No movimento de translação obtivemos uma simplificação

quando consideramos o momento Linear em relação ao CM:

ri ri

Rcm Rcm

miri

M

miri0

Fazendo o mesmo para a velocidade:

mivip

i0

P MVCM

O Momento Linear do sistema em relação ao CM se anula e o

sistema se move como se toda a massa estivesse concentrada nele.


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L mi ri vi

Substituindo ri ri

Rcm e vi vi

Vcm

L mi ri

Rcm vi

Vcm

mirivi

miriVcm miRcm v

imiRcm Vcm

mirivi

miri

0

Vcm Rcm mivi

0

mi

M

Rcm Vcm

L L LCM


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L mi ri vi

Substituindo ri ri

Rcm e vi vi

Vcm

L mi ri

Rcm vi

Vcm

mirivi

miriVcm miRcm v

imiRcm Vcm

mirivi

miri

0

Vcm Rcm mivi

0

mi

M

Rcm Vcm

L L LCM


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L mirivi

MRcm Vcm

L L LCM

Ao contrário do que acontece como o momento linear, o momento

angular em relação ao CM (L ) não se anula.

Um caso particular que pode acontecer é o CM estar parado –

Vcm 0 ‹ L L

Neste caso o momento angular não depende do ponto em relação

ao qual está sendo calculado.


a.

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Momento Angular da Terra

A Terra gira em torno do sol, seu momento angular em relação

ao sol é

Lorbit MRCM VCM

que é perpendicular ao plano da órbita.

Ela também gira em torno do seu eixo (que faz um ângulo de

23,5 com o Lorbit), produzindo um L comumente chamado de

Lspin

.

LTOT Lorbit Lspin


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s r v r aT r

Linear

a constante:

v v0 a t

x x0 v0 t 1 2 a t2

v2

v2

02a x

m

K i

1

2miv

2

i

F

Fres

ma

p mv

Fres

dp dt

P MVCM

Fext

dP dt

Angular

constante:

0 t

0 0 t 1 2 t2

2 2

02

I i mir2

i

K1

2I

2

r Fres

I

l r pres

dl dt

L L LCM

ext


Eggheads

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Relação entre L eext

L miri vi

dL

dtmi

dri

dtvi

0

miri

dvi

dt

ai

dL

dtmiri ai i

miai Fext

iF

int

i

Para 2 partículas:

dL

dtr1 F

ext

1r2 F

ext

2r1 F12 r2 F21

dL

dt

extr1 r2 F12


µ

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Relação entre L eext

dL

dt

extr1 r2 F12

r1 r2 F12

A resultante dos torques internos do sistema é nula

dL

dt

ext


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Exemplo

Vimos que o movimento mais geral pode ser decomposto em

Translação Rotação

Considere um halteres, formado por dois corpos de massa m ,

ligados por uma barra rígida de comprimento l , apoiado sobre

uma superfície sem atrito. Sobre as massas atuam as forças

externas Fext

1e F

ext

2

Fext

dP

dt

extdL

dt

Se as Forças são constantes, o CM se move com Movimento

Retilínei uniformemente acelerado e as duas massas executam um

MCUA em torno do CM


o B.

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Exercícios

Duas partículas, cada uma com massa m e velocidade v ,

movem-se em sentidos opostos ao longo de linhas paralelas,

separadas por uma distância d . Encontre uma expressão, em

termos de m , v e d para o momento angular total do sistema em

torno de uma origem qualquer.



> lo = mrv + ml d- r)Vr

d o = m V d Oxd- n

<

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Relação entre L e

Temos p mv . Será que L I ? Às vezes...

Considere o caso em que o ponto O em relação ao qual o L é

calculado seja o centro do círculo

L r p r m v r m v sen90 k mr2

k

L I nesse caso sim


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Relação entre L e

Agora considere o caso em que a trajetória ainda é circular, mas

o ponto O não é o centro do círculo.

Vemos que nesse caso, L não é paralelo a

Mas veremos que a componente z de L, Lz I


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Lo m r v

v r r Z r

Lo m Z v

z

m r v

z

Lz mr v m r vz m r2

z

Lz I nesse caso so Lz


r'Feat

/

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Relação entre L e

Agora considere um objeto simétrico em relação ao eixo de

rotação

As componentes a z se cancelam e as se somam:

Lo Lz1 Lz2 mr2

mr2

I

Para corpos simétricos em relação ao eixo de rotação

L I


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Resumo

A componente Lz é sempre I

O momento angular total Lo só é I se o objeto for simétrico em

relação ao eixo de rotação, ou se o ponto o for o centro do círculo.

Se aplicarmos a lei da dinâmica das rotações para o eixo z :

dLz

dt

ext

z

d I

dt

ext

z

ext

zI


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s r v r aT r

Linear

a constante:

v v0 a t

x x0 v0 t 1 2 a t2

v2

v2

02a x

m

K i

1

2miv

2

i

F

Fres

ma

p mv

Fres

dp dt

P MVCM

Fext

dP dt

Angular

constante:

0 t

0 0 t 1 2 t2

2 2

02

I i mir2

i

K1

2I

2

r Fres

I

l r p lz Ires

dl dt

L L LCM

extdL dt


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Exercício

Um objeto é formado por uma barra rígida de massa M e

comprimento l com duas partículas de massas m1 e m2 ligadas às

suas extremidades. A barra é presa pelo seu centro podendo girar

no plano vertical sem atrito com velocidade angular .

a) Ache a expressão para o momento angular do sistema em

relação ao ponto O .

b) Ache a expressão para a aceleração angular do sistema quando

a barra faz um ângulo com a horizontal.

c) Para que ângulo temos o valor máximo de ?


OMse ma > me,?


a) D pronto 0 e- o auto , entcio [= IS

I = Isam + s Ipat = MI + m, # 't mz ( t )

's

12

I = ¥ ( Igt m , + ms )T=e÷1§+m,+m . ) wti

b) E'

= ITm

, glz cost - mzgtgwro = I L

se m, = mz & =o not gi -

se 0 = IT ,not fi -

L= ( m ,- mz ) of team =(m ,

. myq 2 coo

÷rftm .tn . ) l / z+u+m . )

X e

'

moixim got O so on o - *

W e'

haiseimo gay O = - Tk poise.

0 oh gto en que o cm estani mains boixo,

com Ug minima e portent K molting

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Conservação de momento angular

Vimos que para o caso de um sistema em rotação em torno de

um eixo fixo:

ext

zdLz dt

seext

z0 Lz I se conserva.

Ii i If f

Se o momento de inércia diminui, a velocidade angular aumenta

e vice-versa


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Exemplo

Uma plataforma em forma de disco gira no plano horizontal em

torno de seu centro. A plataforma tem massa M 100 kg e raio

R 2 m. Um estudante de massa m 60 kg caminha

lentamente da extremidade para o centro. Se a velocidade

angular do sistema é 2 rad/s quando o estudante está na beira do

disco, qual será a velocidade angular quando ele estiver a uma

distância r = 0,5 m?



IiWi= If wf

Ii = MzI+mR2If = M¥+ mi

R2(÷+m)wi=(u¥+mi ) us .

Wt = 22(s0t↳ × , z = 4 / no ) × 2

50×22+60 ×#)2 #= 4.1rad /s

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Exemplo

Uma criança de 25kg corre com velocidade de 2,5 m/s em uma

direção tangente à borda de um carrossel de raio 2m. O carrossel

está inicialmente em repouso e tem momento de inércia de

500 kg.m2. A criança pula na borda do carrossel. Encontre a

velocidade angular do sistema criança + carrossel.


9g -

:Lantis = Ldfrois

m R . v = I Wto t

m Rv = ( I + inR2 ) w

C

W =

MRT = 25x2×= = 1¥ = O

.21 nadts

Ic + in R"

soo + 25 × 4 Goo

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Exemplo

Neste exemplo, o disco 1, de momento de Inércia I1, gira

livremente com velocidade angular 1 em torno do seu centro.

Ele é deixado cair sobre o disco 2, de momento de Inércia I2, que

está em repouso. O disco 2 está centrado no mesmo eixo do disco

1 e está livre para girar. Os dois passam a girar juntos.

Determine a velocidade angular do sistema.



Ii Wi = If Wf

I ,Wi = ( I ,tI< ) wf

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Exemplo


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Exemplo

Duas patinadoras, cada uma com massa de 50kg, aproximam-se uma da outra

em trajetórias paralelas separadas por uma distância de 3m. Elas possuem

velocidades de sentidos opostos e módulos igual a 1,4 m/s. A primeira

patinadora segura a extremidade de uma longa baliza de massa desprezível, e

a segunda agarra o outro extremo da baliza ao passar. Suponha que não haja

atrito com o gelo.

a) Descreva de forma quantitativa o movimento das patinadoras depois que

estão conectadas pela baliza.

b) Puxando esta as patinadoras reduzem a sua distância para 1m. Qual é

agora a sua velocidade angular?

c) Calcule a energia cinética do sistema nos itens (a) e (b).



E Fat= o = > p = 0 re conserve

[ 6k£ =o =) L se conserve

Loves =2×mlze V = 50 × 3×1,4 = 210 kg its

Lohpois = Iw = 2 m @) 'w = 50×0,5 W

W = 8 . 4 red 11

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Exemplo

Um disco de 2 kg com velocidade inicial de 3 m/s colide com

uma barra de 1kg e momento de inércia 1,33kg.m, que está

parada sobre uma superfície sem atrito. Suponha que a colisão

seja elástica. Determine as velocidades de translação do disco e

da barra e a velocidade de rotação da barra.


2


2 F+t= o => I"

se cover a

E Gett =o ⇒I

'

se conserve

eohhai elastics → K he eauewa

¥ i m Va , = M Vs t m Tkf

r

- 7

L :- m lg Va ; = - m Iz Vogt IW

( em nee .

Centro z

Sarra ) A

K : { m va? = In Tiy + lzItt±M÷

same

Reform quewino fodenos

dim que-

Vs=WR=wl#

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Exemplo

Um projétil de massa m se move para a direita com velocidade

vi . Ele colide com a extremidade de uma barra e fica grudado

nela. A barra tem massa M , comprimento d e está pivotda em

torno de um eixo que passa pelo seu centro. Determine

a) a velocidade angular logo após a colisão

b) a fração de energia perdida devido à colisão.


ada emBeeston


go =o ⇒ Ii a conserve

Lantis = m dzvlapis = Iw

I = M÷+m€t)£= d÷[ nftifm a-v=d÷(÷+m]w2

W = 2 i. Ftn ]

Note que mesas sihacois en que a barren e'

second por mm pin ,

a forge wide for esse pin e. impulsive , on sya ,term un

need mint alto e potato e'

nine forge extend quewas

poole sen desfnezada ⇒ OF Nato se conserve

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Exemplo

Uma barra fina de massa M e comprimento d está pendurada

verticalmente. Um pedaço de massa m se movendo na direção

horizontal com velocidade v bate na barra a uma distância x do

pivot e gruda nele. Encontre a razão entre as energias cinéticas

final (imediatamente após a colisão) e inicial.



Kf ,Ki = } m w<

- . K 2

Ki f = 1- I W

2

W ? 15'

nai se comma poiso

pivot toy force e a Jenatank .

~- 0 s Z dunes forgesem

nehe -

Ti ao pivot e- zero ⇒ I re consume

l antes = m se V

ldepois = I w =(M¥+ mx2 ) W

mxv = ( Msft m x2 ) W.

W = mu=-

2

m÷+mn.

'

¥=±hmaYIn. =m=.-

Hd2+ mu-3-

} in V2

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Exemplo

Uma haltere de comprimento 2a , tendo uma massa 2m em sua

extremidade B e uma massa m em sua extremidade A, repousa

sobre uma mesa horizontal lisa. A barra rígida que une A a B

tem uma massa desprezível. Um objeto de massa m aproxima-se

de A com velocidade vo perpendicular à barra, grudando-se à

massa m após o choque.

a) Verifique se há conservação do momento angular do sistema.

Justifique

b) Qual a velocidade do CM do sistema após a colisão?

c) Qual a velocidade angular de rotação do sistema em torno do

CM após a colisão? d) Qual a variação da energia cinética

dirante o processo de colisão?


u.

g.

a ]' 32in

> A m


[ if'ut=o => ¥ se conserve

[ Jett -0 ⇒ ['

a

conservator= m Via -

4m 4

Yen e- no unto do health .

lantis = mav .

ldipois = IW = 2 ( 2 met ) W

rxtrvo =4Xa£ww =

✓ . 14 a

d) Dk = £Iw£ + ztmv'

- { nvoz

's Hmas' ,y÷ + } 4M¥ .

t.no?.=mvily+t..t)=.mI4

59/ 66

Exemplo

Duas crianças, cada uma com massa M , sentam-se nos extremos

opostos de uma prancha estreita de comprimento L e massa M .

A prancha é pivotada no centro e pode girar livremente, sem

atrito, num círculo horizontal. Considere-a como se fosse uma

haste fina.

a) Qual o momento de inércia do sistema formado pela prancha e

as crianças, em torno de um eixo vertical que passa pelo centro

da prancha?

b) Qual o momento angular (módulo, direção e sentido) do

sistema se ele gira com velocidade angular o em sentido horário,

visto de cima?

c) Enquanto o sistema está rodando, as crianças puxam uma à

outra em direção ao centro, até ficarem sentadas na metade da

distância ao centro que tinham inicialmente. Qual a nova

velocidade angular em termos de o?

d) Qual a mudança sofrida pela energia cinética do sistema?



2

a) ± M L

12

b) ¥new . H bain

c) w'

= l÷wo

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Exemplo

Um trilho de trem de brinquedo é montado sobre uma roda

grande que pode girar livremente, com atrito desprezível,em

torno de um eixo vertical. Um trem de brinquedo de massa m é

colocado sobre o trilho e, estando o sistema inicialmente me

repouso, a eletricidade é ligada. O trem atinge uma velocidade

constante v relativamente ao trilho. Qual a velocidade angular

da roda, sendo sua massa igual a M e seu raio igual a R.

Considere a roda como um anel e despreze a massa dos raios e da

engrenagem.


emBaath

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Exemplo

Uma menina de massa M está de pé sobre o aro externo de um

carrossel sem atrito, de raio R e momento de inércia I , que não

está em movimento. Ela atira uma pedra de massa m ,

horizontalmente, numa direção que é tangente à borda do

carrossel. A velocidade da pedra, em relação ao chão, é v . Depois

disso, quais são

a) a velocidade angular do carrossel

b) a velocidade linear da menina?



Lantis =0

Lohpois = ⇐ + M R ) W + m R V

- >

| V a) w = -m=I + m RZ

•

b) Vnu.

= W R = m Rt

I + M R2

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Exemplo

A partícula de massa m desliza sobre uma superfície sem atrito e

colide com uma barra vertical uniforme, ficando pressa a ela. A

barra oscila em torno de O , fazendo um ângulo antes de

alcançar o repouso temporariamente. Encontre o valor de em

termos dos outros parâmetros dados na figura.


cos 0 = 6M¥( Mt 3 m ) ( Mt2m#

foresee - if.ufrj.brsandra/slidesfisica1/aula_momentoangular.pdf · o vetor posição de uma...

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