Módulo 4 – Sistema de Partículas e Momento Linear

Momento linear

Momento linear (quantidade de movimento) de uma partícula:

vmp

• Grandeza vetorial• Unidades S.I. : kg.m/s

Momento linear e 2ª Lei de Newton:

amF

dt

vdmF

Se a massa é constante:

dt

vmdF

dt

pdF

Formulação original de Newton da sua 2ª

Lei

Conservação do momento linear

Considere um sistema isolado: Ausência de forças externasExemplo: Par de astronautas, onde há apenas forças internas

BAF sobre

ABF sobre

Par ação-reação: ABBA FF sobre sobre

Pela 2ª Lei:

dt

pdF

dt

pdF

AAB

BBA

sobre

sobre

Assim:

0 sobre sobre

dt

ppd

dt

pd

dt

pdFF BAAB

ABBA

Definindo o momento linear total:

BA ppP

Temos: 0dt

Pd

Na ausência de forças externas (sistema isolado), ou se a resultante das forças externas for nula, o momento linear total

se conserva

Lei de Conservação do Momento Linear:

• Pode ser facilmente generalizada para um número qualquer de partículas

• É consequência da 3ª Lei de Newton

Colisões

Antes

1v

2v

1v

2v

1m

2m

1m

2m

Durante

Depois

Interação entre pares de partículas com duração extremamente curta. Muitas vezes não conhecemos os detalhes da interação, temos acesso apenas às velocidades logo antes e logo depois da colisão.

Aplicações

Rutherford (descoberta do núcleo)

Física de partículas elementares

Na maioria das colisões, podemos supor um sistema isolado: Forças internas têm tipicamente duração muito mais curta e intensidade muito maior que as forças externas – podemos usar a conservação do momento linear

No entanto, a energia cinética não se conserva necessariamente:

• Colisão elástica: energia se conserva

• Colisão inelástica: energia não se conserva

• Colisão totalmente inelástica: perda de energia cinética é máxima (partículas ficam grudadas depois da colisão)

Colisões elásticas

Caso geral em 1D AvA B

Bv

ANTES

AvA B

Bv

DEPOISConservação do momento linear:

BBAABBAA vmvmvmvm

Conservação da energia:

2222

2

1

2

1

2

1

2

1BBAABBAA vmvmvmvm

Conhecendo-se as massas e as velocidades iniciais, podemos obter as velocidades finais (2 equações e 2 incógnitas)

Caso particular em 1D: uma das massas inicialmente parada Av

A B

0Bv

ANTES

AvA B

Bv

DEPOISConservação do momento linear:

BBAAAA vmvmvm

Conservação da energia:

222

2

1

2

1

2

1BBAAAA vmvmvm

Depois de alguma álgebra:

ABA

AB

ABA

BAA

vmm

mv

vmm

mmv

2

AB

A

vv

v 0Caso ainda mais particular: BA mm

Procedimento experimental

Seguindo o guia de laboratório, faremos 2 experimentos: colisão elástica e colisão totalmente inelástica

I – Colisão Elástica

a. Selecionar 2 carrinhos com massas idênticasb. Verificar a instalação do centelhador para que ele

registre o movimento de ambos carrinhosc. Montar uma tabela x(t) para os dois carrinhosd. Obter, a partir do programa de ajuste linear, as

respectivas velocidadese. Verificar a conservação do momento linear e da energia

cinéticaf. Fazer gráfico x(t) para os dois carrinhos na mesma folha

de papel

IncertezasMomento linear de uma partícula:

22

v

v

m

mpp

mvp

Se pudermos desprezar a incerteza da massa: v

vpp

Momento linear total de 2 partículas:

22BA

BA

ppP

ppP

Energia cinética de uma partícula (como vimos no Módulo 3):

22

2

4

2

1

v

v

m

mKK

mvK

Se pudermos desprezar a incerteza da massa: v

vKK

2

Energia cinética total de duas partículas:

22BA

BA

KKK

KKK

(fim da primeira aula)

Centro de massa

Posição do centro de massa de um sistema de N partículas:

Média, ponderada pelas massas, das posições das partículas

N

ii

N

iii

N

NNcm

m

rm

mmm

rmrmrmR

1

1

21

2211

...

...

0

1

2

i

ir

Em componentes:

N

ii

N

iii

N

NNcm

m

xm

mmm

xmxmxmX

1

1

21

2211

...

... (idem para y e z)

Movimento do centro de massa

N

NNcm mmm

rmrmrmR

...

...

21

2211

Velocidade do centro de massa:

N

NNcmcm mmm

vmvmvm

dt

RdV

...

...

21

2211

Massa total: NmmmM ...21

PvmvmvmVM NNcm

...2211 (momento linear

total)

Momento linear total é igual à massa total multiplicada pela velocidade do centro de

massa

Como vimos, se a resultante das forças externas for nula, ou se o sistema for isolado:

constanteP

constante cmV

Colisões no referencial do centro de massa:

• ausência de forças externas, velocidade do c.m. permanece inalterada pela colisão

• referencial do c.m. é inercial

Av

BA

Bv

Referencial do c.m.

AuA B

Bu

Bv

Av

A B

Referencial do laboratório

Trajetória do c.m.

C.m. está parado

Au

Bu

A B

Velocidades no referencial do centro de massa:

cmBB

cmAA

cmBB

cmAA

Vvu

Vvu

Vvu

Vvu

Conservação do momento linear:

BBAABBAA vmvmvmvm

cmBBcmAAcmBBcmAA VumVumVumVum

BBAABBAA umumumum

Momento linear também se conserva no referencial do centro de massa (como esperado, pois trata-se de um referencial inercial)

Energia cinética no referencial do lab:

Antes: 22

2

1

2

1BBAAc vmvmE

Mudança de variáveis para velocidade do c.m. e velocidade relativa:

l)referencia do (independe BABArel

BA

BBAAcm

uuvvv

mm

vmvmV

Invertendo, obtemos:

relBA

AcmB

relBA

BcmA

vmm

mVv

vmm

mVv

22

2

1

2

1BBAAc vmvmE

Substituindo na expressão para a energia cinética:

22

2

1

2

1

relBA

AcmBrel

BA

BcmAc v

mm

mVmv

mm

mVmE

Após alguma álgebra:

22

2

1

2

1rel

BA

BAcmBAc v

mm

mmVmmE

Definindo: (massa total) e

(massa reduzida)

BA mmM

BA

BA

mm

mm

Obtemos finalmente:

22

2

1

2

1relcmc vMVE

Energia cinética do movimento do centro de massa

Energia cinética do movimento relativo

Análise:

1. Parece com a expressão da energia cinética de duas “partículas”

2. No referencial do c.m., temos:

Ou seja, a energia cinética depende do referencial, e a energia cinética mínima é aquela calculada no referencial do c.m.

0) c.m. do vel.(2

1 2 relcmc vE

3. Antes e depois de uma colisão, a velocidade do c.m. não varia, de modo que a variação da energia cinética é:

Ou seja, a variação de energia cinética não depende do referencial (como esperado)

22

2

1

2

1relrelc vvE

4. Em uma colisão elástica, temos:

Ou seja, o módulo da velocidade relativa não é alterado pela colisão

relrelrelrelc vvvvE

02

1

2

1 22

5. A perda máxima de energia cinética (colisão totalmente inelástica), ocorre quando:

Desta forma, explica-se porque as partículas ficam “grudadas” depois de uma colisão totalmente inelástica

222

2

1

2

1

2

1relrelrelc vvvE

0

II – Colisão Totalmente Inelásticaa. Selecionar 2 carrinhos com massas diferentes: o carrinho

inicialmente em repouso deve ter massa 100g maior que a do carrinho incidente

b. Verificar a instalação do centelhador para que ele registre o movimento de ambos carrinhos

c. Montar a seguinte tabela:

d. Seguindo o guia, calculamos a energia e o momento linear antes e depois da colisão, em ambos referenciais

e. Fazer gráficos de x1, x2 e XCM em uma folhaf. Fazer gráficos de x’1 e x’2 (posições no ref. Do CM) em

outra folha

t(s) x1 (cm)

δx1 (cm)

x2 (cm)

δx2 (cm)

XCM (cm) δXCM (cm) x'1 (cm) δx'1 (cm) x‘2 (cm) δx‘2 (cm)

0,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...0,1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...0,2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Procedimento experimental

Incertezas

Posição do centro de massa:

21

2211

mm

xmxmX cm

21

22

212

222

21

21

21

cm 1,01

mm

mmxmxm

mmX cm

(desprezando as incertezas nas massas)

Posições no referencial do CM: cmii Xxx

22cmii Xxx