Cap.10 Energia

Do professor para o aluno ajudando na avaliação de compreensão do capítulo.

É fundamental que o aluno tenha lido o capítulo.

Produto Escalar

Define-se o produto escalar entre dois vetores como sendo o produto entre os seus módulos e o cosseno do ângulo formado pelos vetores.

cos( )A B A B q· =r r

O símbolo, . , denota a operação produto escalar. O

resultado desta operação é um valor escalar.

O produto escalar é comutativo: A B B A· = ·rr rr

Exemplo: Alguns exemplos de produto escalar.

(a) Entre os vetores unitários:

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. . . 1; . . . 0i i j j k k i j k j i k= = = = = =

(b) Projeção de um vetor sobre o eixo ( ou sobre o eixo y):

ˆ ( )(1)cos( ) cos( )xA A i A Aq q= · = =r

(c) Se A é perpendicular a B, q=90o, então A . B = 0. Essa igualdade também se mantém no caso trivial, onde A ou B é zero.

(d) Se A for paralelo a B e os dois apontarem para mesma direção, q=0o, então A . B = AB.

(e) Se o vetor A for paralelo a B e os dois apontarem para direções opostas, q=180o, então A.B = -AB.

(f) Operação geral entre os vetores A e B:

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ; x y k x y kA A i A j A k B B i B j B k= + + = + +r r

Utilizando as operações fornecidas no item (a), resulta em

x x y y k kA B A B A B A B· = + +r r

(g) No caso especial em que A = B,

2 2 2 2 x y kA A A A A A· = = + +rr

Este é o módulo do vetor A.

10.1 Trabalho, Energia Cinética

► As definições de posição, velocidade e aceleração e as leis de Newton permitem resover uma variedade de problemas. No entanto, o estudo de interação entre os corpos é muito difícil de se resolver somente utilizando as leis de Newton, por isso uma outra abordagem foi utilizada: as definições de momento linear e impulso e a lei de conservação do momento linear.

►Continuaremos nessa nova abordagem, definindo novas quantidades, conhecidas ou não, mas de significados mais específicos na Física, tais como, o trabalho, a energia cinética e a energia potencial.

► Na nossa análise de conservação de momento linear, concentramos a nossa atenção em um sistema onde incluímos todas as partículas ou uma parte delas.

►Trataremos, com mais atenção, a noção de sistema.

► Sistemas e ambientes

►Sistema: pequena porção do espaço de interesse e ignorando os detalhes fora do sistema.

►Não importa qual seja o sistema específico em um determinado problema, identificamos uma fronteira do sistema- uma superfície imaginária que divide o espaço dentro so sistema- e o ambiente no entorno dele.

►Exemplo: O sistema pode ser definido como a combinação da parede, da mola e do bloco.

A influência do ambiente inclui a força gravitacional no bloco, a força normal e de atrito no bloco. Asforças exercidas pela mola no bloco e na parede são internas ao sistema e, portanto, não são incluídascomo uma influência do ambiente.

► Há vários mecanismos pelos quais um sistema pode ser influenciado por seu ambiente. O primeiroque devemos investigar é o trabalho.

► Trabalho

► Considere uma força aplicada, constante ou não, a um corpo, que identificamos como o sistema, e o corpo desliza sobre uma superfície horizontal.

► Qual é a eficácia da força ao mover o corpo?

► Faremos o procedimento semelhante como foi realizado na formulação de conceitos de momento linear e impulso.

Consideramos que a força resultante Fres sobre uma partícula envolvida na expressão da segunda leide Newton ser dependente de posição:

( ) ( )res res

dv dv drF r m F r dr mdr m dv

dt dt dt= Þ · = · = ·

rrrrr rrrrr

O produto escalar foi realizado entre o vetor dr e os membros da esquerda e da direita na expressão acima. O dt foi deslocado para baixo de dr e utiliza-se a definição v = dr/dt. A integração é realizada, fazendo a mudança de variáveis e usando a regra de cadeia no integrando:

( )2( )2

f f

i i

r v

resr v

mF r dr mv dv d v· = · =ò ò òr rrrr

Note-se que foi utilizado o procedimento (g) apresentado no produto escalar.

► Resulta em

2 2

( )2 2

f

i

r f iresr

mv mvF r dr· = -òr rr

onde vi é a velocidade escalar (rapidez) da partícula em ri e vf é sua velocidade escalar (rapidez) em rf.

► Define-se trabalho a expressão apresentada no membro à esquerda da equação acima:

( )f

i

r

ext resrW F r dr= ·ò

r rr

► O trabalho W realizado sobre um sistema por um agente externo que exerce uma força F(r) sobre ele é a integral do produto escalar entre a força F e o deslocamento dr do ponto de aplicação da força.

► Se a força for aplicada a uma partícula ou um corpo rígido, também considerado como partícula, o deslocamento dr é o mesmo que o da partícula.

►Para um sistema deformável, como o balão, ao pressionar esse corpo com ambas as mãos, o ponto aplicação, dr, se move, ou seja, as superfícies do balão se movem, mas o centro desse corpo não se move e os deslocamentos não são iguais.

► O significado físico do trabalho é a transferência de energia.

Se Wext é o trabalho realizado sobre um sistema, e Wext é positivo, a energia é transferida para osistema; se Wext é negativo, a energia é transferida do sistema.

Uma vez que um sistema interage com seu ambiente, a transferência de energia ocorre através da fronteira do sistema. O resultado é uma mudança na energia armazenada no sistema.

A mudança pode ser positiva ou negativa, como apresentado anteriormente.

► Unidade de trabalho: Joule- [J]

►Expressando o trabalho conforme a direção da força Fres com o deslocamento dr:

( ) ( )cos( )

( ) 0; / 2;

( ) 0; / 2;

( ) 0; / 2 ;

f f

i i

r r

ext res resr r

ext

ext

ext

W F r dr F r dr

a W

b W

c W

q

q pq pp q p

= · =

> <= =

< < £

ò òr rrr

► Pergunta: A força gravitacional exercida pelo Sol sobre a Terra a mantém em órbita em torno do Sol. Considerando que a órbita é perfeitamente circular, o trabalho realizado por essa força gravitacional durante um curto intervalo de tempo no qual a Terra se desloca em sua trajetória orbital é (a) zero; (b) positivo; (c) negativo; (d) impossível de determinar.

►Importante: Calculamos o trabalho realizado por uma força sobre um corpo, mas a força não é necessariamente a causa do seu deslocamento. Por exemplo, se levantar um corpo, um trabalho negativo é realizado sobre ele pela força gravitacional, embora a gravidade não seja a causa do movimento dele para cima.

Trabalho realizado por uma força constante

► ext resW F r= ·Dr r

Exemplo: Uma partícula que se move no plano XY sofre um deslocamento dado por Dr = (2,0i + 3,0j)m, enquanto uma força F = (5,0i + 2,0j)N age sobre a partícula. Calcule o trabalho realizado porF sobre a partícula.

Sugestão: No produto escalar F.Dr envolve as operações i.i = j.j = 1 e i.j = j.i = 0.

Resp. 16J

Trabalho realizado por uma força variável

► No caso unidimensional, direção X, a expressão integral se torna

f

i

x

ext xxW F dx= òonde substituímos dr cosq por dx.

► Problema: Uma bala de 100 g é disparada de um rifle com um cano de 0,600 m de comprimento. A força exercida pelo gás expandindo sobre a bala é 15.000 +10.000 x – 25.000 x2, onde x está dado em metros. (a) Faça o gráfico de força versus comprimento do cano. (b) Determine o trabalho realizado pelo gás sobre a bala quando ela percorre o comprimento do cano.

Solução: (a) Gráfico:

O gráfico mostra que a força de expansãodo gás não se anula em x=0,600m, mas emx=1,00m. Significa que o cano do riflepode ser mais longo, no máximo, até 1,00mpar aproveitar a força expansiva do gássobre a bala.

(b) O trabalho realizado pela força sobre a bala é calculado.

0,600 2

0

0,6002 3

0

(15.000 10.000 25.000 )

10.000 25.000 = 15.000

2 3

9,00

ext

ext

W x x dx

x xx

W kJ

= + -

æ ö+ -ç ÷

è ø=

ò

Energia Cinética

► Estudamos o trabalho e o identificamos como um mecanismo para transferir energia para um sistema. Afirmamos que o trabalho é uma influência do ambiente sobre um sistema, mas ainda não discutimos o resultado da influência sobre o sistema. Temos obtido que

2 2

2 2f i

ext

mv mvW = -

Um resultado possível de realizar trabalho sobre um sistema é que muda sua velocidade escalar (rapidez). Essa energia é definida como energia cinética,

2

2

mvK º

► A energia cinética representa a energia associada com o movimento da partícula; é uma quantidade escalar.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x0

5000

10 000

15 000

20 000Força

► Escrevemos

ext f iW K K K= - = D

► O trabalho realizado sobre uma partícula por uma força resultante F que age sobre ela é igual à variação na energia cinética da partícula. A expressão acima é um resultado importante denominado como teorema do trabalho-energia cinética:

Quando o trabalho é realizado sobre um sistema e a única mudança nele acontece em sua velocidade escalar (rapidez), o trabalho resultante sobre o sistema é igual a variação da energia cinética do sistema.

► Obs. O teorema do trabalho-energia cinética é importante, mas limitado em sua aplicação. O princípio mais geral que envolve a energia é a conservação de energia que será estudado posteriormente.

►Obs. O teorema do trabalho-energia cinética relaciona trabalho a uma mudança na velocidade escalar de um sistema, não uma mudança em sua velocidade vetorial. Por exemplo, um corpo em movimento circular uniforme, sua velocidade escalar( rapidez) é constante. Embora sua velocidade (vetor velocidade) esteja mudando, nenhum trabalho é realizado sobre o corpo pela força que causa o movimento circular. O mesmo se aplicar em qualquer movimento circular, ou seja, a rapidez constante ou não.

►Energia cinética e momento linear

Podemos expressar a energia cinética de uma partícula em termos de seu momento linear e da massa.

Escrevemos a velocidade como p

p mv vm

= Þ =

Substituindo na energia cinética, obtemos

2 2

2 2

mv pK K

m= Þ =

Comparação entre o momento linear e a energia cinética

Veremos a diferença fundamental entre o momento linear e energia cinética de uma partícula. O teorema do impulso-momento linear J = pf - pi afirma que as variações do momento linear de umapartícula são produzidas pelo impulso, que depende do tempo durante o qual a força resultante atua.Por outro lado, o teorema do trabalho-energia cinética

ext f iW K K= - afirma que quando um trabalho é realizado sobre uma partícula ocorre uma

variação da sua energia cinética; o trabalho total depende da distância ao longo da qual a força resultante atuou.

Por exemplo, considere uma partícula que parte do repouso no instante ti de modo que vi = 0. Seu momento linear inicial é pi =0, e sua energia cinética inicial é Ki = 0. Suponha que uma força resultante constante F atue sobre a partícula no intervalo entre os instantes ti e tf . Durante o

intervalo tempo, Dt= tf - ti , a partícula se desloca de uma distância Ds na direção da força. O momento linear da partícula no instante tf é

fp J F t= = D ,

onde J é o impulso que atua sobre a partícula. Logo, o momento linear de uma partícula é igual ao impulso que a acelera do repouso à sua velocidade atual; o impulso, por sua vez, é igual ao módulo da força resultante que acelerou a partícula multiplicado pelo tempo necessário para essa aceleração.

Compare com a energia cinética da partícula que no instante tf é dada por

f extK W F s= = D ,

ou seja, é igual ao trabalho total realizado sobre a partícula para acelerá-la a partir do repouso. O trabalho total realizado é igual ao módulo da força resultante que acelerou a partícula multiplicado pela distância necessária para essa aceleração.

Exemplo: Agarrar qual entre a bola de m1 = 0,50kg que se desloca a 4,0 m/s ou uma bola de m2=0,10kg que se desloca a 20 m/s?

Solução: Os momentos lineares das bolas são iguais: p1 =0,50x4,0 = 2,0 kg m/s e p2 = 0,10x20 = 2,0 kg m/s. A energia cinética da bola mais leve é maior do que a outra mais pesada:

K1 = 4,0 J e K2 = 20 J.

Como os momentos são iguais, logo ambas necessitam do mesmo impulso para fazê-las entrarem em repouso: J1=J2 = 2,0 N s No entanto, K2 = 5K1, implica que o trabalho realizado por sua mão ao fazer a bola mais leve parar é 5 vezes maior do que realizado para fazer a bola mais pesada parar. Para umadada força média exercida pela sua mão, leva o mesmo tempo para fazer as bolas pararem, porém o deslocamento da sua mão e do seu braço é 5 vezes maior para agarrar a bola mais leve do que a bola mais pesada.

Portanto é preferível escolher a agarrar a bola mais pesada para minimizar a deformação do seu braço.

Problema: Uma bola de beisebol lançada com grande velocidade possui uma energia cinética aproximadamente igual à energia cinética de uma bala de calibre 22 disparada por um rifle, e a bala possui um momento linear menor do que o da bola de beisebol. Entretanto, você escolheria agarrar a bola de beisebol em vez da bala do rifle. Por quê?

Problema: Dois barcos de vela construídos para deslizar no gelo está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito e eles apostam uma corrida. O barco A possui massa m e outro B, massa 2m. As velas de ambos os barcos são idênticas, de modo que o vento exerce a mesma força

constante F sobre cada barco. Os dois barcos partem do repouso e a distância entre a partida e a linhade chegada é igual a d.

(a) O barco A chegará ao final da linha com a energia cinética maior, menor ou igual a do barco B?

(b) Na linha de chegada, qual deve ser a razão vA/vB entre as velocidade dos dois barcos?

(c) O barco A leva igual, menos ou mais tempo do que o barco B para chegar ao final da linha?

(d) Na linha final, qual deve ser a razão tA/tB entre os tempos dos dois barcos?

Resp. (a) igual; (b) vA/vB = 2 ; (c) tB > tA; (d) tA/tB =1/ 2 .

10.2 Energia Potencial Gravitacional

► Objetivo desta seção é apresentar o conceito da energia potencial gravitacional e para isso, definimos um sistema bloco+Terra, figura, onde as forças gravitacionais são forças internas ao sistema. A Terra tem muita massa que pode ser considerada parada durante a aplicação de uma forçaexterna, Fap.

► Sistema bloco+Terra

A força externa Fap é aplicada no bloco e realiza trabalha sobre o sistema ao levantar o bloco muito lentamente partir do repousopor um deslocamento vertical

Dy = yf – yi. O trabalho é umatransferência de energia,portanto, este trabalho realizadosobre o sistema deve aparecercomo um aumento ( oudiminuição) da energia dosistema. Interpreta-se atransferência de energia pelotrabalho realizado sobre osistema como sendo a mudançana configuração do sistema de seu Estado inicial ao Estadofinal, conforme apresentada nasfiguras ao lado.

O bloco parte do repouso e fica

em repouso após o trabalho realizado, logo, DK = 0 do sistema:

2 2

02 2

ext ap

f i

W F y

mv mvK

= D

D = - =

A partir da posição mais alta, yf, pode-se soltar o bloco e deixá-lo cair em direção à posição yi. Observa-se que o bloco durante a queda possui energia cinética. A origem desta energia está no trabalho realizado pela força Fap sobre o sistema ao levantar o bloco. Enquanto o bloco estava na posição mais alta, dizemos que o sistema tinha o potencial de possuir energia cinética, que surge quando o bloco é solto.

► Denominamos a energia armazenada de energia potencial.

► A energia potencial de um sistema só pode ser associada a tipos específicos de forças agindo entre os membros de um sistema. Citando algumas: força gravitacional, força elástica e força elétrica.

►Voltando ao exemplo do sistema bloco – Terra, na figura acima Fap + m g =0 , pois, a rapidez é muito lenta e se considera constante:

ˆ ˆ 0ap apF j mg j F mg- = Þ =

A força aplicada possui a mesma intensidade da força gravitacional. O trabalho realizado pela Fap sobre o sistema é

( )ext ap f i

ext f i

W F y mg y y

W mgy mgy

= D = -

= -

É o trabalho realizado sobre o sistema, pois a força aplicada, Fap, é a única do ambiente sobre o

sistema. Este trabalho é uma diferença entre os valores inicial e final de uma quantidade mgy definida como a energia potencial gravitacional:

gU mgyº

Obs. Expressão é válida para corpos próximos da superfície terrestre. Não se diz energia potencial do corpo, mas energia potencial do sistema (bloco (m) + Terra (g) )

► Escrevemos

ext gW U= D

onde gUD é a mudança na energia potencial do sistema (com nenhuma mudança na energia cinética

ou interna)

► O trabalho realizado pela força gravitacional (interna), mg, sobre um corpo (componente) do sistema movendo-se entre dois pontos já descritos e ilustrados do sistema bloco+ Terra é

ˆ ˆ( ) ( )g f i f i

g g

W mgj y y j mgy mgy

W U

= - · - = - -

= -D

O trabalho realizado por essa força interna ao sistema causa uma redução ( sinal negativo) na energia potencial do sistema.

► A partir do teorema trabalho-energia cinética, o trabalho realizado sobre o bloco é igual à variação da energia cinética do bloco

bloco bloco f iW K K K= D = -

► Como o bloco é a única parte do sistema em movimento, então blocoK KD = D , onde K é a energia

cinética do sistema.

►Por sua vez o trabalho realizado sobre o bloco é igual a

( )bloco g gf giW U U U= -D = - -

onde Ug é a energia potencial gravitacional do sistema.

► Igualando as duas equações acima, escrevemos

0gK UD + D =

ou

f gf i giK U K U+ = +

► Dizemos que a soma K+Ug da energia cinética com a energia potencial gravitacional, permanece invariável durante o movimento de componente do sistema.

► O lado esquerdo da expressão 0gK UD + D = representa a soma das variações da energia

armazenada no sistema. O lado direito é nulo, porque não há transferência de energia através do limite do sistema, ou seja, o sistema bloco+Terra é isolado do meio.

► Exemplo: Refaça o Exemplo 10.1 do livro texto, página 271, sem utiliza r as equações cinemáticas.

► Pergunta: Uma pedra de massa m é jogada ao chão de uma altura h. Uma segunda pedra, de massa 2m, é jogada da mesma altura. Quando a segunda pedra atinge o chão, qual é sua energia cinética em relação à primeira pedra? (a) o dobro, (b) quatro vezes, (c) a mesma, (d) metade, (e) impossível determinar.

► Pergunta: Três bolas idênticas são jogadas do topo de umedifício, todas com a mesma velocidade inicial. A primeira éjogada horizontalmente, a segunda a um ângulo acima da linhahorizontal e a terceira a um ângulo abaixo da linha horizontal.Desprezando a resistência do ar, classifique os módulos dasvelocidades das bolas no instante em que cada uma atinge o chão.

► Responda a questão Pare E Pense 10.1

► O zero da energia potencial

► Escolher uma configuração de referência para a qual a energia potencial gravitacional do sistema

é nula. A escolha da configuração referencial é arbitrária, pois gUD é uma diferença e independe da

escolha da configuração referencial.

► Pergunta: A energia potencial gravitacional de um sistema (a) é sempre positiva, (b) é sempre negativa, (c) pode ser positiva ou negativa?

► 10.3 Uma olhada de perto na energia potencial gravitacional

► Responda a questão Pare E Pense 10.2

► (a) Refaça o Exemplo 10.4. Acrescentar as perguntas: (b) Calcule a diferença de energias cinéticas após e antes. (c) A energia que falta foi transferida para o ambiente de que forma?

► Conservação da energia mecânica

Foi concluído que

0gK UD + D =

Definimos as energias cinética e potencial de um sistema como sua energia mecânica:

0mec

mec

E K U

E

= +

D =

► Aqui U representa a energia total de todos os tipos de energia potencial, que será abordado posteriormente. Como o sistema sob consideração é isolado, as equações acima nos dizem que a energia mecânica é conservada; a soma das energias cinética e potencial permanece constante

►Veremos, posteriormente, que existe uma classe de força que define a energia potencial do sistema,e consequentemente, em que condições a energia mecânica é conservada.

► Responda a questão Pare E Pense 10.3

► 10.4 Forças restauradoras e lei de Hooke

► O modelo físico, no qual a força varia com a posição, é um sistema composto de um bloco sobre uma superfície horizontal sem atrito e conectado a uma mola, sem massa, cuja outra extremidade estáfixa a uma parede. Ver a figura. O sistema bloco+mola+parede se assemelha ao sistema bloco +Terra, pois tanto a parede como a Terra estão parados. A interação entre o bloco e a parede é através da mola. A mola esticada, x>0, ou comprimida, x<0, a uma pequena distância de sua posição de equilíbrio, x=0, exercerá sobre o bloco uma força a retornar o sistema ao seu estado de equilíbrio. Esta força é chamada de força restauradora.

► Força elástica na forma vetorial:

ˆelF kxi= -r

onde x é a posição do blocoem relação à sua posição deequilíbrio (x = 0), e k é umaconstante positiva chamada deconstante de força ou constante elástica da mola

► Lei de Hooke:

A força necessária para esticarou comprimir uma mola éproporcional à quantidade dedistensão ou compressão x.

► O valor de k é a medida da rigidez da mola: molasrígidas, k grandes, e flexíveis,k pequenos.

► Responda a questão Pare E Pense 10.4

► Pergunta: Ao cortar a mola de constante elástica k pela metade, qual é a nova constante elástica? Resp.: 2 k

► Trabalho realizado por uma mola

► Se o bloco sofrer um deslocamento de x = xi a x = xf, o trabalho realizado pela força elástica sobre o bloco será

2

ˆ ˆ( ) ( ) ( )2

f

f f

i i

i

xx x

el x xx

kxW kxi dxi kx dx

ù= - · = - = - ú

ûò ò

22

2 2fi

el

kxkxW = -

► O trabalho realizado pela mola, numericamente, é área do triângulo que tem base x e altura kx, mostrada na figura acima.

► 10.5 Energia potencial elástica

Agora descreveremos o trabalho realizado sobre o bloco por um agente externo, quando ele aplica uma força Fap

sobre o bloco movendo-o muito lentamente de x=xi a x =xf. Na condição de movimento muito lento pode-seconsiderar que o bloco está em equilíbrio dinâmico,

Fap + Fel = 0,

então,

Fap = kx i.

O trabalho realizado por essa força aplicada (agente externo) sobre o sistema de bloco+mola+parede é

2

2 2

ˆ ˆ( ) ( ) ( )2

2 2

f

f f

i i

i

xx x

ext x xx

f iext

kxW kxi dxi kx dx

kx kxW

ù= · = = ú

û

= -

ò ò

► Como no caso gravitacional, vemos que o trabalho realizado sobre o sistema por uma força externa é igual a diferença entre os valores inicial e final de uma expressão relacionada à configuração do sistema.

►Este trabalho é igual ao negativo daquele realizado pela força elástica:

ext elW W= -

► A energia potencial elástica do sistema é definida por

2

2el

kxU º

Associa a energia armazenada na mola deformada (configuração do sistema, que é mola comprimida ou distendida) e é zero sempre que a mola não está deformada ( x = 0).

►Escrevemos

ext el elf eliW U U U= D = -

► Aplicando o teorema de trabalho-energia cinética, como foi realizado no caso gravitacional, obtemos

f elf i eliK U K U+ = +

► Dizemos que a soma K+Uel da energia cinética com a energia potencial elástica, permanece invariável durante o movimento de componente do sistema.

► O lado esquerdo da expressão 0elK UD + D = representa a soma das variações da energia

armazenada no sistema. O lado direito é nulo, porque não há transferência de energia através do limite do sistema, ou seja, o sistema bloco+mola+parede é isolado do meio.

► A energia mecânica, mec elE K U= + é conservada para um sistema bloco+mola+parede.

► Refazer os Exemplos 10.6, 10.7 e 10.8. No Exemplo 10.7, note que duas energias potenciais sãoutilizadas. Exemplo 10.8 é semelhante ao problema 3 da lista 10. A resposta do item (d) deste problema se encontra no primeiro parágrafo da Resolução do Exemplo 10.8.

► Responda a questão Pare E Pense 10.5

► 10.6 Colisões elásticas

►Numa colisão, estudamos que o momento linear do sistema se conserva:

f ip p=rr

O momento linear definido como p = mv e a energia cinética

2

2 2 2

mv mv v mv mvK

m

· ·= = =

rrrr

onde se aplicou a definição do produto escalar e no último termo multiplicou-se e dividiu-se por m. Utilizando o vetor momento linear e a definição do produto escalar, obtemos

2

2

pK

m=

A energia cinética é escrita como função do momento linear escalar.

Numa colisão inelástica, temos Kf < Ki. Uma parte da energia mecânica do sistema é transferida parao ambiente. Se, na primeira metade de uma colisão, toda a energia cinética for transformada em

energia potencial elástica e, na fase final da colisão, toda esta for convertida de volta em energia cinética, a colisão é denominada colisão elástica.

► Temos duas leis de conservação

f i

f i

p p

K K

=

=

rr

a do momento linear e da energia cinética. A primeira expressão é vetorial e a segunda escalar.

► Deduzir: Considere duas partículas de massas diferentes movendo ao longo de uma reta como mostra a figura. As duas partículas se colidem frontalmente e depois se movem cada uma com velocidade diferente da que possuía. A colisão é elástica.

Equações das conservações de momento linear e energiacinética são utilizadas

1 1 2 2 1 1 2 2

2 22 21 21 2

2 2 2 2

i i f f

f fi i

m v m v m v m v

mv mvmv mv

- = +

+ = +

Mostrar que as velocidades das partículas após a colisão são

1 2 21 1 2

1 2 1 2

1 2 12 1 2

1 2 1 2

2

2

f i i

f i i

m m mv v v

m m m m

m m mv v v

m m m m

-= +

+ +-

= ++ +

No caso particular em que a partícula 2 está em repouso, as velocidades após a colisão são apresentadas na Equação 10.43 do livro texto.

► Atenção: O problema 10.27 do livro-texto não se trata de uma colisão elástica.

► Resolver: Após deduzir as equações acima, resolver o problema 10.57 do livro –texto. Recomendação de sempre: não decorar as expressões deduzidas!

► 10.7 Gráficos de Energia Cinética e Potencial e Equilíbrio de um Sistema

► A energia mecânica de um sistema, onde os membros interagem por meio da força gravitacional, é a soma das energias potencial gravitacional, Ug = m g y, e cinética, K = 0,5 m v2.

Emec = K + Ug.

A figura abaixo mostra o diagrama de energiade um corpo de massa m= 2,0 kg lançadoverticalmente para cima e atingindo a alturamáxima yf = 3,0m. Usa-se g = 10 m/s2. Aenergia mecânica do sistema é Emec = Ug =mgyf = 60 J, pois, na altura máxima, aenergia cinética é nula. Inicialmente, y = 0,a energia mecânica é somente cinética e avelocidade escalar pode ser determinada,0,5 m vi

2 = 60 J. A curva da energia cinéticaé determinada, em cada posição y, peladiferença entre a energia mecânica e energiapotencial gravitacional, K = Emec – Ug. Na posição em que Emec = Ug, ou seja, onde K = 0, é um ponto de retorno, em que o corpo inverte o sentido de movimento ( isto já foi visto em cinemática).

► A extremidade esquerda da mola de constante elástica igual a 1,25x103 N/m é presa na parede e a outra, no bloco de massa 0,500 kg. Quando o bloco é empurrado contra a mola por um agente externo, a energia potencial elástica e a energia total do sistema aumentam. Quando a mola é comprimida em 5,00cm, posição à esquerda de x = 0, a energia potencial elástica armazenada na mola é

2 3 2 2

mec

1,25 10 ( 5,0 10 )E 1,56

2 2

kxJ

-´ ´ - ´= = =

Na posição de compressão máxima, x= -5,00cm, a energia cinética é nula. Quando o bloco é liberado, a mola exerce uma força sobre ele e o empurra para a direita. A energia mecânica do sistema, 1,56J, é transformada emcinética do bloco, K, e potencialelástica, U. Nessa mudança deconfiguração do sistema, a molaretorna a seu comprimento original,isto é, na posição de equilíbrio, x=0, aenergia potencial elástica armazenadaé completamente transformada emenergia cinética. A energia potencialmecânica é totalmente cinética. Como a mola está presa ao bloco, ela édistendida pelo movimento (inércia)do bloco e continua a troca de energia

cinética do bloco em potencial elástica. A transferência é total quando a mola é esticada em x=xf = 5,00cm. Este é o ponto de retorno. Retoma o movimento para a esquerda repetindo o processo de transformação da energia. Outro ponto de retorno é em x= -5,00cm.

A descrição está representada na figura.

► O movimento de um sistema pode ser entendido por meio de um gráfico de sua energia potencial pela posição de um membro do sistema. A mudança na energia potencial é dada por

f

i

x

xxU W F dxD = - = -ò

Quando 0UD < , a Fx e dx , estão na mesma direção. Por exemplo, quando o corpo é baixado em um campo gravitacional ou quando uma mola empurra um corpo em direção ao equilíbrio. Temos

f iU U UD = -

Considerando Ui(xi) a configuração de referência do sistema, e medir todas as diferenças de energia potencial em relação a ela. Escrevemos

( )f

i

x

f x ixU x F dx U= - +ò

A variação infinitesimal na energia potencial do sistema, dU, será

xdU F dx= -

A força conservativa é relacionada à função energia potencial por meio da relação

x

dUF

dx= -

Ou seja, o componente x da força, atuando sobre um membro dentro de um sistema, é igual à derivada negativa da energia potencial do sistema em relação a x.

Exemplos:

(a)

( )

ˆ

g y

y

d mgyU mgy F

dy

F mg F mgj

= Þ = -

= - Þ = -r

(b)

2

2ˆ

g x

kxU F kx

F kxi

= Þ = -

Þ = -r

► O gráfico abaixo ilustra a variação da energia potencial de uma partícula do sistema. As E1 e E2 são as energias mecânicas a uma dada configuração do sistema. Se uma partícula é solta em x1, U1 = E1, ela começa a se mover para direita. Acelera até x2 , pois Fx >0 , e desacelera até x3, pois Fx < 0. Em x3, ela para, K = 0. Esta posição é posição de equilíbrio instável. Uma pequena perturbação quea partícula sofra, ela pode se move paradireita ou para esquerda. Se ela for paraa esquerda, Fx < 0, retorna para x1 e sefor para a direita, Fx >0, ela para em x7.Como nessa posição, Fx < 0, elaretorna para x3. A x7 como a x1 são posições de retorno para a partícula deum sistema com energia total E1.Outras posições de retorno são x4 e x6

para a partícula de um sistema comenergia total E2. Na posição x2, Fx = 0, apartícula está em repouso, e qualquerperturbação que a partícula sofra,produz uma pequena oscilação emtorno desta posição, por isso, esta posição é conhecida como posição de equilíbrio estável.

►Pergunta: (a) Nas posições de retorno, x1, x4 , x6 e x7 ,citadas no texto acima, a força sobre a partícula é positiva, negativa ou nula? Justificar. (b) As energias mecânicas E1 e E2 citadas no texto acima podem ser positivas ou negativas? Explicar.

► Responda a questão Pare E Pense 10.6.