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O ENSINO DA FUNÇÃO LINEAR E QUADRÁTICA MEDIADO POR ATIVIDADES
DE MODELAGEM MATEMÁTICA ALIADA AO USO DO SOFTWARE GEOGEBRA
Irenilde Soares Cabral1 Lourdes Maria Werle de Almeida2
RESUMO
O presente artigo trata da utilização da Modelagem Matemática como alternativa pedagógica para o ensino de função do 1º e 2º graus no 9º ano do Ensino Fundamental aliada ao uso de recursos de informática, em especial o software geogebra. As atividades foram desenvolvidas numa turma de 9⁰ ano, do período matutino, de um colégio estadual no município de Apucarana, que foi alvo de um projeto de intervenção pedagógica, no período de agosto a novembro de 2011. O desenvolvimento das atividades se deu conforme os três momentos de familiarização dos alunos com a Modelagem Matemática caracterizados em Almeida e Dias (2004). O trabalho realizado em sala de aula mediado por atividades de Modelagem Matemática conduziu a participação efetiva dos alunos na resolução dos problemas propostos e permitiu tratar de diferentes aspectos associados ao ensino de funções.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Tecnologias; Ensino de funções.
1-INTRODUÇÃO
O Ensino de matemática na maioria das escolas tem se orientado por aulas
expositivas seguidas de exercícios e memorização de fórmulas. Um dos grandes
desafios para os professores de matemática é trazer para o ambiente escolar,
situações reais, de interesse, curiosidade, criatividade, que propiciem oportunidades
de construção de conhecimento a partir de questões exploradas do cotidiano, e
1 Professora Especialista no Ensino de Matemática atua no Colégio Estadual São Bartolomeu Ensino
Fundamental e Médio. 2 Orientadora PDE: Professora Doutora da Universidade Estadual de Londrina - UEL
proporcionar aos alunos uma aprendizagem mais significativa. Uma maneira de
propiciar a construção do conhecimento é a utilização de situações problema por
meio de atividades de Modelagem Matemática.
Assim este trabalho tem o propósito de apresentar a Modelagem Matemática
como uma alternativa pedagógica para o ensino de função linear e quadrática no 9 º
ano do Ensino Fundamental e o uso do software geogebra como recurso para a
representação gráfica das funções.
Inicialmente são apresentadas as características e os fundamentos da
Modelagem Matemática, que vem sendo mostrada como uma ferramenta auxiliadora
para a aprendizagem dos conceitos matemáticos aliada ao uso do geogebra.
A seguir, a apresentação das atividades aplicadas na turma de 9 º ano, do
período matutino de um colégio estadual, na cidade de Apucarana.
Finalmente um comentário dos resultados alcançados em sala de aula por
meio da Modelagem Matemática e do uso de tecnologias para o ensino de função no
Ensino Fundamental.
2- SOBRE MODELAGEM MATEMÁTICA E O USO DE TECNOLOGIAS DE
INFORMÁTICA
No ambiente escolar ao trabalhar a disciplina de Matemática, encontra-se na
maioria dos alunos, desinteresse e falta de motivação para aprender os conteúdos a
serem desenvolvidos. Uma das razões para tal situação é que o aluno não consegue
perceber a relação desses conteúdos trabalhados em sala de aula com a sua vida
fora da escola. A utilização da Modelagem Matemática como recurso pedagógico
visa promover uma melhoria na qualidade de ensino bem como demonstrar a
aplicabilidade da matemática em fenômenos reais.
A Modelagem Matemática é uma tendência da Educação Matemática em
que as atividades são desenvolvidas no sentido de introduzir nas aulas de
matemática problemas e situações extraídas do cotidiano dos alunos. Em termos
gerais, o que se vislumbra com essas atividades é contribuir para uma melhor
formação do estudante, podendo transformar essas situações em modelos
matemáticos onde os alunos possam aprender novos conceitos e utilizar os já
assimilados em anos anteriores, verificando que estes podem constituir uma
ferramenta útil na sua formação e conscientização enquanto sujeito da sua própria
ação.
Segundo Bassanezi “a Modelagem Matemática consiste na arte de
transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los,
interpretando suas soluções na linguagem do mundo real” (BASSANEZI, 2002,
p.16).
Para Biembengut e Hein (1999) ”Modelagem Matemática é o processo que
envolve a obtenção de um modelo matemático, e modelo matemático é um conjunto
de símbolos e relações matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um
fenômeno em questão ou problema de situação real”.
Assim, considerando a possibilidade de ir para além das aulas orientadas
pelo paradigma do exercício, neste artigo entendemos a Modelagem Matemática
conforme colocam Almeida e Brito (2005, p. 490), considerando a Modelagem
Matemática como uma alternativa pedagógica na qual fazemos uma abordagem por
meio da matemática de um problema não essencialmente matemático”.
E ainda para Almeida e Dias:
A modelagem pode ser vista como uma oportunidade para desenvolver competências gerais no aluno, que vão além de aprender conteúdos matemáticos curriculares. Com esse encaminhamento o aluno tem estimulada a criatividade, o seu interesse por descobertas e aspectos da Matemática que vão além daquela incluída necessariamente no programa escolar (ALMEIDA; DIAS, 2007, p.259).
Considerando essa caracterização para a modelagem, dois aspectos se
tornam fundamentais: problematização e investigação. A problematização refere-se
ao ato de criar perguntas ou problemas enquanto a investigação diz respeito à
busca, seleção, organização, manipulação de informações e reflexões sobre elas.
Considerando a inclusão de atividades de modelagem nas aulas de
matemática, Bassanezi (2002) defende que:
[...] o mais importante não é chegar imediatamente a um modelo bem sucedido, mas caminhar seguindo etapas em que o conteúdo matemático vai sendo sistematizado e aplicado [...] Mais importante do que os modelos obtidos são os processos utilizados, a análise crítica e sua inserção no contexto sócio- cultural. O fenômeno modelado deve servir de pano de fundo ou motivação para o aprendizado das técnicas e conteúdos da própria matemática. As discussões sobre o tema escolhido favorecem a preparação
do estudante como elemento participativo na sociedade em que vive. ( BASSANEZI, 2002, p.38).
No que se refere, a familiarização dos alunos com a modelagem, num
ambiente de ensino aprendizagem, segundo Almeida e Dias (2004) os trabalhos de
modelagem podem ser desenvolvidos de forma gradativa com os alunos,
caracterizando diferentes momentos, pois de modo geral não são familiares a eles.
Primeiro momento: a partir de uma situação problema estabelecida e
apresentada pelo professor na qual é feita a dedução, análise, a formulação de
hipóteses, investigação do problema e dedução do modelo são realizadas em
conjunto com todos os alunos e professor.
Segundo momento: uma situação problema já estabelecida e sugerida pelo
professor juntamente com um conjunto de informações, os alunos em grupos
realizam a formulação de hipóteses e a dedução do modelo durante a investigação e
a seguir validam o modelo encontrado.
Terceiro momento: os alunos em grupos conduzem o processo de
modelagem, a partir de uma situação-problema escolhida por eles, sendo
responsáveis pela coleta e análise de dados, identificação de conceitos
matemáticos, obtenção e validação do modelo, devidamente assessorados pelo
professor.
Esta maneira de encaminhar as atividades de modelagem tem-se mostrado
eficaz na prática da sala de aula em diferentes níveis de escolaridade.
As tecnologias de informações são ferramentas que podem contribuir no
processo do conhecimento matemático. Neste trabalho usamos o software
geogebra, pois é um sistema dinâmico, interativo, que permite realizar operações
bem como representações gráficas e em particular, proporciona a visualização
gráfica da função linear e quadrática. Por meio dessa ferramenta valiosa o aluno
pode perceber a relação de dependência das grandezas envolvidas, analisar e
validar os modelos matemáticos obtidos em sala de aula.
Neste contexto, a Modelagem Matemática aliada ao uso desta tecnologia
pode propiciar ao educando um ambiente facilitador no processo da construção do
seu conhecimento matemático.
3- ATIVIDADES DESENVOLVIDAS: O CONTEXTO DO TRABALHO
3.1 ATIVIDADES DO PRIMEIRO MOMENTO DE FAMILIARIZAÇÃO
3.3.1 O consumo de água em Apucarana – a dedução de um modelo
Esta atividade foi desenvolvida no que denominamos primeiro momento de
familiarização dos alunos com a Modelagem Matemática. A atividade refere-se ao
consumo de água relacionando o cálculo das faturas de contas de água baseados
nas tarifas residenciais de saneamento básico da Companhia de Saneamento do
Paraná – SANEPAR - em vigor a partir de março de 2011. Os dados da tabela 1
referem-se ao valor da água em função da quantidade consumida pelo usuário.
Quantidade consumida (m3) Tarifa
Até 10 m3 18,97
Mais do que 10m³ 18,97 + 2,84 por m3 que excede 10m3
Tabela 1: Informações sobre o consumo de água Fonte: http://site.sanepar.com.br/informacoes/tabela-de-tarifas (acesso 26/06/11).
Considerando os dados da tabela 1, o que a atividade se propõe a
determinar é: Encontrar um modelo matemático que represente o valor a ser pago
em função do consumo de água na cidade de Apucarana – PR.
Com esta finalidade, os alunos trouxeram para a sala de aula uma cópia da
última fatura de água paga de suas residências. Neste momento com a comparação
de valores pagos perceberam que o valor a pagar dependia dos metros cúbicos de
água consumidos. Perceberam também que existia um valor mínimo a ser pago até
o consumo de 10 metros cúbicos de água. Em seguida, foi entregue aos alunos a
informação conforme consta na tabela 1.
Para estudar a situação consideraram as variáveis:
x= metros cúbicos consumidos (m³); y= valor a pagar (reais);
Considerando as informações da tabela de que o valor a ser pago até 10 m³ de
consumo de água é de R$ 18,97 e o valor a ser pago por m³ excedente é de R$
2,84, construíram a Tabela 2 para o consumo de diferentes quantidades de água.
x (metros cúbicos consumidos) y (valor a ser pago em reais)
Até 10 18,97
11 18,97 + 2,84.(11-10)= 21,81
12 18,97 + 2,84.(12-10)=24,65
13 18,97 + 2,84.(13-10)=27,49
14 18,97 + 2,84.(14-10)=30,33
15 18,97 + 2,84.(15-10)=33,17
. .
. .
x y = 18,97 + 2,84.(x-10)
Tabela 2: Valor a ser pago em função da quantidade consumida
Os alunos concluíram com facilidade que seria possível generalizar a situação
com qualquer quantidade de consumo de m³ de água por meio do modelo
matemático representado pela expressão algébrica
y= 18,97 + 2,84(x -10) para x maior que 10.
Assim, o modelo que representa o consumo de água na cidade de Apucarana
é a função de duas sentenças:
10 se )10(84,297,18
100 se 97,18)(
xx
xxy
Num outro momento os alunos, acompanhados pela professora dirigiram-se
ao laboratório de informática para a construção do gráfico da função de 1º grau,
utilizando o software geogebra, onde puderam construir por meio do modelo
matemático obtido em sala de aula, o desenho gráfico da função linear conforme
mostra figura 1.
Figura 1- Representação gráfica do modelo construído
3.3.2 Sobre o consumo de água – mais modelos construídos
Esta atividade continua o estudo do consumo de água na cidade e foi
sugerida pela professora com a finalidade de proporcionar aos alunos oportunidade
de analisar dados por eles próprios coletados bem como proceder a análise desses
dados por meio de diferentes representações. Para a obtenção de dados a
professora organizou um questionário sobre o uso racional da água conforme mostra
o quadro 1.
Os alunos foram divididos em grupos com 4 elementos num total de seis
equipes. As perguntas foram sorteadas para cada equipe. Cada grupo ficou
responsável por uma pergunta do questionário elaborado pela professora sobre o
uso racional da água, pela coleta e tabulação de dados, construção e apresentação
dos resultados obtidos na comunidade escolar por meio de gráficos estatísticos de
setores e de barras.
A coleta de dados foi realizada por cada equipe em todas as salas de aula
do colégio num total de 155 entrevistados, registradas no caderno, trazidas para a
classe para fazer a tabulação dos dados e os cálculos necessários para a
construção dos gráficos. Com a realização da pesquisa estatística foi oportunizado
aos alunos a conscientização do uso racional da água, além de lhes proporcionar
uma aprendizagem de conteúdos matemáticos como: regra de três, cálculo de
porcentagem, tipos de gráficos e suas construções.
Questionário sobre o uso racional da água
1- Você faz uso racional de água? ( Economiza água)
( ) sempre ( ) às vezes ( ) não se preocupa com isto
2- Você costuma verificar se há vazamentos de água na sua residência? ( ) sempre ( ) às vezes ( ) nunca
3- Que dicas você daria para economizar água? Escolha a opção que você considera mais importante. ( ) tomar um banho rápido ( ) não usar mangueiras para lavar carros e calçadas ( ) verificar vazamentos em torneiras e sanitários ( ) aproveitar a água da máquina de lavar roupas para limpar as calçadas ( ) Outra. Qual?__________________________
4- Você tem costume de fazer a limpeza da sua caixa d’água? Com que frequência? ( ) sim ( ) não ( ) não possui caixa d’’agua ( ) menos de 6 meses ( ) de 7 meses a uma ano ( ) mais do que 1 ano ( ) não se preocupa com isto
5- Na região que você mora passa rede de esgoto? ( ) sim ( ) não
6- Se houver desperdício de água pela população, você acha que um dia poderá haver falta de água? ( ) sim é necessário a conscientização ( ) talvez se a população não se conscientizar ( ) não esta situação nunca irá acontecer ( ) não me preocupo com isto
Quadro 1: Questionário aplicado e analisado pelos alunos
Ao término desta atividade foi montado um mural para que todas as turmas
que colaboraram com os dados coletados também tivessem acesso ao resultado
alcançado. Na comunidade escolar pesquisada registrou-se que 81% dos
entrevistados não faz uso racional da água, ou seja, não se preocupa em
economizar água; 52% são contemplados com rede de esgoto; 87% acredita que
pode haver falta de água com seu desperdício; 64% não verificam se há vazamentos
na residência; a opção mais votada como dica para economizar água foi à utilização
da água da máquina para limpar calçadas e em relação à limpeza da caixa d’água
29% da população entrevistada não possuía caixa d’água e ainda 32% não costuma
fazer a limpeza da mesma.
A figura 2 mostra os resultados da pesquisa estatística realizada pela equipe
número 5 por meio de gráfico de setores.
Figura 2: Os resultados da pesquisa de um dos grupos
3.2 ATIVIDADE DO SEGUNDO MOMENTO DE FAMILIARIZAÇÃO
No segundo momento da Modelagem Matemática foi desenvolvida uma
atividade sugerida pela professora juntamente com um conjunto de informações
sobre o cálculo da distância de frenagem de um automóvel. Desta vez os alunos
receberam uma tabela (3) contendo a velocidade (Km/h) e a distância (m) com
relação à dependência entre as duas grandezas, conforme mostra a tabela 3.
Velocidade (Km/h) 30 60 90 120 150
Distância (m) 8 32 72 128 200
Tabela 3: Distância de frenagem de um veículo Fonte: Artigo Geraldo Ávila (http:www6.ufrgs.br acesso em 09-06-11)
Neste caso, a atividade consistia em determinar um modelo matemático que
estabeleça a relação entre a velocidade do veículo e a distância de frenagem,
usando os dados da tabela 3 e considerando este veículo em boas condições e em
pista seca.
Neste momento a professora atuou como orientadora, fazendo as
intervenções necessárias para a resolução do problema, pois muitos alunos
achavam que com a variação da velocidade, a distância de frenagem seria
diretamente proporcional a essa variação, ou seja, se dobrando a velocidade a
distância de frenagem seria dobrada, o que não acontece.
Baseado na tabela 3 se verifica que quando a velocidade duplica, triplica,
quadriplica, etc. a distância de frenagem fica multiplicada por 4, 9, 16, etc., ou seja, a
distância é proporcional ao quadrado da velocidade, somente assim perceberam o
perigo das altas velocidades, e a necessidade de se manter certa distância de
segurança entre os veículos.
Os alunos em duplas realizaram a definição de variáveis, percebendo que as
duas grandezas estão vinculadas, a velocidade (V- variável independente) e a
distância (d - variável dependente), formulação de hipóteses, dedução do modelo
durante a investigação e a sua validação. Construíram a partir dos dados da tabela 3
e com a orientação da professora a tabela 4.
Velocidade (Km/h) Distância (metros)
30 8
2.30=60 4.8=2².8=32
3.30=90 9.8=3².8=72
4.30=120 16.8=4².8=128
5.30=150 25.8=5².8=200
Tabela 4: Relação entre velocidade e distância de frenagem
Assim, para uma velocidade inicial (Vo), pode-se escrever esta relação
conforme indica a tabela 5.
Velocidade (Km/h) Distância (metros)
Vo Do
2.Vo 2².Do
3.Vo 3².Do
4.Vo 4².Do
5.Vo 5².Do
Tabela 5: A representação dos alunos
Ou seja, ao multiplicar Vo por um número qualquer (x) a distância de
frenagem fica multiplicada por x². Com os valores da tabela acima, ao dividir o
quadrado da velocidade inicial pela distância obtém-se uma constante no valor de
112,5. Como por exemplo: 30²=900: 8 = 112,5; 60²=3600:32=112,5.
Obtém-se um valor constante o qual se denomina (k). Com a orientação da
professora, os alunos chegaram à expressão algébrica que generaliza o cálculo da
distância de frenagem de um veículo para qualquer velocidade:
D(v) = 1/112,5. v² ou D(v)= v²/112,5
ou ainda
D= v²/k,
obtendo assim a fórmula geral de uma função quadrática.
Neste momento discutiu-se com a turma a necessidade de v assumir valores
positivos, visto que o veículo em movimento registra valores acima de zero. Após
todos esses cálculos e deduções utilizou-se o programa geogebra para a construção
e visualização da representação gráfica da função quadrática, formando uma curva
denominada parábola conforme mostra a figura 3.
Figura 3: Representação gráfica do modelo construído
3.3 O TERCEIRO MOMENTO DE FAMILIARIZAÇÃO COM A MODELAGEM
MATEMÁTICA
A partir deste momento, os alunos ficaram livres para formar equipes com 4
elementos, totalizando 6 equipes na turma e conduziram atividades de Modelagem
Matemática a partir de uma situação-problema com temas escolhidos por cada uma
delas como: alimentação, abastecimento de combustível, Lan House, Cyber House e
apresentaram uma resolução para a mesma.
Como as atividades anteriores foram aplicadas de forma gradativa, foi
possível observar que a sua autonomia em relação às ações para a definição e
desenvolvimento da atividade foi aumentando.
Todas as equipes elaboraram situações simples do seu dia a dia, porém
todas recaíram em funções do primeiro grau. Neste trabalho apresento uma das
situações elaboradas por uma das equipes. O grupo escolheu o tema sobre
alimentação, buscando elaborar uma situação-problema que representasse o preço
a pagar em função da quantidade de bolo encomendada.
Neste grupo tinha uma aluna que havia pesquisado em várias padarias o
preço do quilo do bolo para a festa de aniversário de seu irmão e para a situação
proposta utilizou os valores do local que encomendou. A Equipe chegou ao modelo
matemático, validou os dados obtidos e generalizou a situação com a expressão
algébrica y= 13.x conforme mostram as anotações realizadas pelos alunos e
apresentadas na figura 4.
O grupo percebeu que usando a operação inversa, obtém-se a quantidade
de bolo encomendada x. Assim, a quantidade de bolo x poderia ser obtida fazendo
13x
y o que conduz à
13
yx .
A Equipe fez uso do programa geogebra para visualizar a representação
gráfica da função de primeiro grau obtendo a reta conforme mostra a figura 5.
Figura 4: A dedução dos alunos
Figura 5: O gráfico construído com o geogebra
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A intenção desse texto de relatar como se deu a introdução do ensino de
funções do 1 º e do 2º grau por meio de atividades de Modelagem Matemática vem
aliada a considerações sobre as ações dos alunos, seu envolvimento com as
atividades e sua aprendizagem em relação a estes conteúdos.
Neste sentido, podemos conjecturar que o trabalho realizado em sala de
aula mediado por atividades de Modelagem Matemática conduziu a participação
efetiva dos alunos na resolução dos problemas propostos, um entusiasmo ao usar o
geogebra, pois ainda não tinham tido contato anteriormente com este programa para
a realização de outras tarefas. Além de se trabalhar o conteúdo curricular proposto
abriu-se um leque de discussões e reflexões de ordem social e ambiental.
O desenvolvimento das atividades segundo os três momentos de
familiarização dos alunos se mostrou adequado uma vez que tiveram oportunidade
de se inteirar das ações associadas ao desenvolvimento de uma atividade de
modelagem, passando a, no terceiro momento, definirem um tema de seu interesse
específico. Desta forma pode-se considerar que o aluno pode desenvolver
habilidades necessárias para o seu desenvolvimento e conhecimento reflexivo e
ainda compreender as aplicações da matemática no contexto social.
O desenvolvimento das atividades descritas também foi importante para
oportunizar o uso do software geogebra, levando-nos a inferir que se trata de um
recurso eficiente e facilitador para a construção do conhecimento, auxilia na
visualização da representação gráfica da função linear e quadrática, permitem
explorar situações-problema evidenciando relações entre objetos matemáticos
problemas a eles associados. Neste sentido, o software contribui para ampliar a
visão do conteúdo matemático. Não se pode também deixar de considerar que se
trata de um programa disponível para uso dos professores e alunos da rede pública
nos laboratórios de informática das escolas estaduais do nosso Estado.
É muito difícil prever com segurança o sucesso ou fracasso de um método
de ensino, porém o professor não deve temer em renovar e experimentar novas
metodologias. É muito provável que encontrará momentos desafiadores como o
tempo para aplicação da metodologia, o cumprimento do currículo e outros. Ao
verificar que não se alcançou os resultados esperados, é fundamental que o
professor retome todo o processo ou parte dele. A superação das dificuldades
específicas de cada turma depende da criatividade e competência da comunidade
escolar, pois no espaço de tempo trabalhado com a disciplina de matemática,
possibilita auxiliar, os alunos a minimizar suas defasagens de aprendizagem e
avançar em conhecimentos.
REFERÊNCIAS
ALMEIDA, L.M.W e DIAS, M. R. Um Estudo sobre o uso da Modelagem Matemática com estratégia de Ensino e Aprendizagem. Bolema, ano 17, n22, 2004.
ALMEIDA, L.M., DIAS, M.R. Modelagem Matemática em cursos de formação de professores. In: Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisas e práticas educacionais; org. Barbosa J.C.; Caldeira, A.D.; Araújo, J.L. Recife, 2007.
ALMEIDA, L.M.W, ARAÚJO,J.L.; BISOGNIN, Eleni. Práticas de Modelagem Matemática na Educação Matemática. Londrina: Eduel, 2011.
BASSANEZI, R.C. Ensino Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto, 2002.
BIEMBENGUT, M.S.; HEIN, N. Modelagem Matemática no Ensino. 3 ed. São Paulo: Contexto, 2003.
BURAK, Dionísio. Modelagem Matemática e a Sala de Aula. In: I EPMEM – Anais. I Encontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática. Londrina- PR, 2004.
PONTE, J. P. Investigações Matemáticas em sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.
Sites:
<http:www6.ufrgs.br> (acesso em 09-06-11)
<http:sanepar.com.br> (acesso em 26-06-11)