INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA

CAMPUS CAMAÇARI

Monã Leal

Jenival Menezes

Roberto Azevedo de Lima

Edmilson

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Pesquisa apresentada a disciplina de Introdução à Mátemática do Curso de Licenciatura em Matemática do IFBA – Instituto Federal da Bahia – Campus Camaçari

Prof(a).: Karine Purgas

CAMAÇARI - BAHIA

2015

FunçaoQuadratica

Em matemática, uma função quadrática, um polinômio quadrático, um polinômio

de grau 2 ou um polinômio de segundo grau, é uma função polinomial em uma ou mais

variáveis em que o termo de maior grau tem grau igual a dois.

Toda lei de associação de uma função do segundo grau pode ser escrita conforme

abaixo:

Forma geral

Podemos dizer que uma Função é Quadrática ou Polinomial do 2º Grau, qualquer

função f de IR(domínio) em IR(contradomínio) dada por uma fórmula:

f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c IR e a ≠ 0

Onde existem três coeficientes (cada um com sua importância) “a”, “b”, e “c”

números reais com a ≠ 0, tais que todo “x” pertence a IR.

“a” é o coeficiente de x2;

“b” é o coeficiente de x;

“c” é o termo independente;

Chama-se função completa aquela que “a”, “b” e “c” não são nulos, e função

incompleta aquela em que “b” ou “c” são nulos

Coeficientes

É muito importante saber distinguir cada um dos coeficientes, pois é com eles que

é feito qualquer tipo de cálculo em uma função do segundo grau.

Os coeficientes da função vão determinar de forma direta o formato da parábola

(concavidade para cima ou para baixo) e o ponto de intersecção com o eixo y. Os

coeficientes são “a”, “b” e “c”. Cada um tem um papel no gráfico, vamos analisar um

por um:

Coeficiente “a”

O coeficiente “a” desempenha no gráfico a propriedade de concavidade da

parábola. Significa que se o “a” for positivo (a > 0), a parábola terá concavidade para

cima (boca sorridente), como no exemplo:

Se este fosse negativo ( a < 0), a parábola teria concavidade para baixo (boca

triste). Veja o exemplo:

Este é o coeficiente mais conhecido e mais barbada de todos, e o único que não

pode ser zero na função, pois senão ela deixa ser do segundo grau e passa a ser do

primeiro.

O coeficiente “b” é o mais difícil, portanto vamos deixar ele para o final. Vamos

agora ver o “c”.

Coeficiente “c”

A função do coeficiente “c” é nos indicar onde a parábola “corta” o eixo Y. Se ele

for positivo ela irá “cortar” o eixo Y acima da origem; se for negativo irá “cortar” acima

da origem e; se for ZERO, irá cortar o eixo Y na origem, ou seja, ponto (0,0). Veja o

exemplo:

Veja que os coeficientes não dependem um do outro. Podemos ter “a” positivo

com “b” negativo; “a” positivo com “b” positivo, ou seja qualquer combinação de

sinais.

Coeficiente “b”

O coeficiente “b”. A análise do coeficiente “b” nos diz a inclinação que a parábola

toma após passar o eixo Y. Viu como é um pouco o complicado? Mas vamos falaar em

miúdos. Primeiro olhe a figura abaixo:

Neste exemplo, o “b” é negativo (b < 0), pois seguindo a parábola para direita a

partir do ponto de corte do eixo Y, iremos descer; então é negativo. Veja outros

exemplos:

Neste exemplo o “b” é maior que zero, pois acompanhando a curva iremos subir

após o ponto de corte.

Neste exemplo, “b” é igual a zero, pois logo após o ponto de corte, iremos reto.

Este exemplo é muito particular, porque você pode achar que é positivo, pois irá subir.

Porém, a regra diz que tem que ser no ponto mais próximo do corte, ou seja,

milimetricamente, então neste exemplo vai reto. b = 0.

Discriminantes e Raizes

A fórmula resolutiva para equações completas e incompletas do 2º grau é

x = ±√ , onde = b2 – 4.a.c.

O discriminante, representado pela letra grega (lê-se “delta”) corresponde ao

radicando da fórmula resolutiva e tem o valor do coeficiente “b” elevado à segunda

potência, menos o produto de quatro pelos coeficientes “a” e “c”.

Coeficientes são números reais que acompanham as incógnitas, no caso de “a” e

“b”, ou é independe das incógnitas, no caso de “c”.

A representação geral de uma equação do 2º grau é:

ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0.

Algumas peculiaridades do discriminante merecem atenção. Vejam cada uma

delas:

1 = 0. Quando o discriminante é igual à zero a equação de 2º apresenta duas

raízes reais iguais.

Exemplo:

Resolva a equação x2 – 6x + 9 = 0, separando os coeficientes: a = 1, b = -6 e c = 9.

Calculando o valor do discriminante:

= b2 – 4.a.c

→ = (-6)2 – 4 . 1 . 9

→ = 36 – 36

→ = 0

x2 – 6x + 9 = 0

x = ±√ = ( )±√.

= ou seja, x1 = x2 = 3.

2. > 0. Quando o valor do discriminante é maior que zero, a equação apresenta

duas raízes reais distintas e diferentes.

Exemplo:

Resolva a equação x2 + 3x – 4 = 0, separando os coeficientes a = 1, b = 3 e c = -4.

Calculando o valor do discriminante:

= b2 – 4.a.c

→ = 32 – 4.1.(-4)

→ = 9 + 16

→ = 25

x2 + 3x – 4 = 0

x = ±√ = ±√ .

= ± = ou seja, x1 ≠ x2.

x1= = 3

x2= = 3

x1= = = 1

x2= = = −4

3. < 0. Quando o discriminante é menor que zero, não existem raízes reais (em

IR).

Exemplo:

Determine o conjunto solução da equação quadrática x2 + 5x + 7 = 0. Separando

os coeficientes: a = 1, b = 5 e c = 7.

Calculando o valor do discriminante

= b2 – 4.a.c

→ = 52 – 4 . 1 . 7

→ = 25 – 28

→ = -3

x2 + 5x + 7 = 0

x = ±√ = ±√ .

= → Em R, não existe raiz de número negativo.

Portanto, o conjunto solução desta equação é: S =

Vamos ver o que é raiz de uma função. Raiz nada mais é do que os valores de “x”

para o qual a função vale zero. Isso quer dizer que devemos calcular quais são os

valores de “x” em que a parábola “corta” o eixo dos X.

Exemplo de raiz graficamente:

O exemplo tem duas raízes, e é sempre duas raízes. Uma função do segundo grau

sempre terá duas raízes. Elas podem ser iguais, mas sempre terá duas (se fosse do

terceiro grau teria três, do quarta grau teria quatro..).

E para calcular as raízes desta função do segundo grau, utilizamos uma fórmula

muita conhecida por todos que estudam no ensino médio, a famosa fórmula de

Bhaskara:

x = ±√

Onde cada letra desta fórmula representa os coeficientes da função do segundo

grau que queremos resolver. Basta substituir e achar os valores. Podem notar que há um

± no meio da fórmula. Pois é, é daí que irá sair dois resultados: um com o sinal de + e

outro com o sinal de –

Exemplo:

f (x) = 2x2 – 6x – 20

Neste exemplo temos os coeficientes, a = 2, b = -6 e c = -20 (Atenção para os

sinais). Agora substituindo na fórmula de Bhaskara:

−b ± √b − 4ac2a =

−(−6) ± (6) − 4. 2. (−20)2.2 =

6 ± √36 + 1604 =

6 ± √1964

= 6 ± 14

4

Agora chegamos no momento crucial do cálculo das raízes.

Separemos estas contas em duas: uma com o sinal de “+” e a outra com o sinal “-“

. Assim:

6 + 144 =

204 = 5

6 − 144 =

−84 = −2

Vértice e Gráfico

O que é vértice de uma parábola? É o ponto em que a parábola atinge seu valor

máximo ou mínimo.

Exemplo:

O vértice de todas as parábolas tem uma característica própria, ele sempre se

encontra “equidistante” de ambas as raízes, ou seja, a coordenada “x” do vértice fica

exatamente no meio das coordenadas das duas raízes. Trocando em miúdos, a

coordenada “x” do vértice e a média aritmética das coordenadas “x” das raízes, isto é, a

soma das duas dividido por dois. Vamos chama-los de Xv (“x” do vértice):

Xv = =

Xv = −

Esta é a fórmula para encontrarmos o Xv.

Xv = −

Agora que já sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv (“y” do vértice). Este valor

podemos conseguir substituindo o “x” da função pelo “Xv”, pois com isso estaremos

calculando qual o valor de Y para o Xv, que é justamente o Yv ou f(Xv). A equação

geral de uma função do segundo grau é f(x) ax2 + bx + c. então vamos substituir todos

“x” pelo valor de Xv da fórmula acima:

f(Xv) = 푎 − + 푏(− ) + c

f(Xv) = = + 푐

f(Xv) = − + 푐

f(Xv) =

f(Xv) = = ( )

Veja que na última igualdade temos como denominador –(b2 – 4 .a. c) e isso é

justamente à - , portanto a fórmula final para o cálculo de Yv, também chamado de

F(Xv) é:

Yv =

Imagem

Vimos como calcular o Yv, podemos calcular a imagem de qualquer função do

segundo grau. Imagem é o conjunto de todos os valores do eixo Y em que a função

existe.

Imaginem agora uma prensa “esmagando” toda função em cima do eixo Y, como

nos desenhos abaixo:

A imagem da função será o conjunto de todos valores de Y que conseguirmos

esmagar a função. Nas figuras acima, o conjunto imagem é de 1 para cima, ou seja, é o

intervalo [ 1, +).

Para calcular a imagem de qualquer função, temos que analisar somente duas

coisas: a concavidade da parábola (sinal do coeficiente “a”) e o valor do Yv.

Se o “a” for positivo (a > 0) a concavidade é para cima, então a imagem é do Yv

até “mais” infinito [ Yv, + );

Se o “a” for negativo (a<0) a concavidade é para baixo, então a imagem é de

“menos” infinito até o Yv, Yv].

Exemplos:

f(x) = x2 – 15x + 56

a > 0 e yv = = ( )²

= ( ) = −

portanto, o conjunto imagem desta função é o intervalo

[- , + )

f(x) = -2x² + 12x – 16

a < 0 e yv =

= (( ) ( ) ( ) = ( ) = = 2

portanto, o conjunto imagem desta função é o intervalo

(-, 4]

Gráfico

Devido ao fato de o gráfico de uma função do 2º grau (quadrática) ser uma

parábola e não uma reta, como no caso de uma função afim, para montarmos o seu

gráfico não nos basta conhecer apenas dois pares ordenados pertencentes à curva da

função, no caso da função quadrática precisamos de mais alguns pontos para termos

uma boa ideia de como ficará a curva no gráfico.

Vamos analisar o gráfico abaixo e a tabela que contém alguns pontos deste

gráfico:

X y = -x² + 10x - 14

2 Y = - 2² + 10 X 2 – 14 = - 4 + 20 – 14 = 2

3 Y = -3² + 10 X 3 - 14= - 9 + 30 – 14 = 7

4 Y = -4² + 10 X 4 – 14 = - 16 + 40 – 14 = -16 + 40 – 14 = 10

5 Y = -5² + 10 X 5 – 14 = - 25 + 50 – 14 = 11

6 Y = -6² +10 X 6 – 14 = - 36 + 60 – 14 = 10

7 Y = -7² +10 X 7 -14= - 49+ 70 – 14 = 7

8 Y = - 8² + 10 X 8 – 14 = - 64 + 80 – 14 = 2

Nesta tabela temos cada um dos sete pontos destacado no gráfico.

Para traça-lo, primeiro identificamos no plano cartesiano cada um dos pontos

setes pontos sete pontos da tabela e depois fazemos as interligações, traçano linhas

curvas de um ponto a outro seguindo a curvatura própria de uma parábola.

Normalmente é mais fácil traçarmos a parábola se a começamos pelo seu vértice,

que neste caso é o ponto (5, 11), visualmente o ponto máximo do gráfico desta parábola.

Ponto de Intersecção da Parábola com o Eixo das Ordenadas

De uma forma geral a parábola sempre intercepta o eixo Y no ponto (0, c).

Na função y = -x² + 10x – 14, vista acima, o coeficiente c é igual a – 14, portanto

a intersecção da parábola do gráfico da função com o eixo das ordenadas ocorre no

ponto ( 0, - 14).

O gráfico de uma função do 2º (quadrática) é dado por uma parábola com

concavidade voltada para cima ou para baixo. A parábola intersecciona ou não, o eixo

das abscissas (x), isso depende do tipo de equação do 2º grau que compõe a função.

Para obtermos a condição dessa parábola em relação ao eixo x, precisamos aplicar o

método de Bhaskara, trocando f(x) ou y por zero. Devemos sempre lembrar que uma

equação do 2º grau é dada pela expressão ax² + bx + c = 0, onde os coeficientes a, b, e c

são números reais e “a” deve ser diferente de zero. Uma função do 2º grau respeita a

expressão f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, onde “x” e “y” são pares ordenados

pertencentes ao plano cartesiano e responsáveis pela construção da parábola.

O plano cartesiano responsável pela construção das funções é dado pela

intersecção de dois eixos perpendiculares, enumerados de acordo com reta numérica dos

números reais. Todo número do eixo “x” possui imagem corresponde no eixo “y”, de

acordo com a função fornecida. Observe uma representação do plano cartesiano:

Vamos demonstrar as posições de uma parábola de acordo com o número de

raízes e o valor do coeficiente “a”, que ordena a concavidade voltada para cima ou para

baixo.

Condições:

a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima.

a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo.

> 0, a parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos.

= 0, a parábola intercepta o eixo das abscissas somente em um ponto.

< 0, a parábola não intercepta o eixo das abscissas.

a > 0

= 0

< 0

Observe algumas funções do 2º grau e seus respectivos gráficos.

Exemplo 1

f(x) = x² - 2x – 3

Exemplo 2

f(x) = - x² + 4x -3

Exemplo 3

f(x) 2x² - 2x + 1

Exemplo 4

f(x) = -x² - 2x – 3

Máximos e Mínimos (Coordenadas do vértice da parábola)

Toda função do 2º grau o gráfico é uma parábola que, dependendo do valor do

coeficiente “a”, terá a concavidade voltada para cima ou para baixo. Se o coeficiente “a”

for negativo (a < 0) a concavidade da parábola será voltada para baixo. Se ocorrer o

contrário, ou seja “a” for positivo ( a > 0 ), a parábola apresenta alguns pontos notáveis:

as raízes, que são os pontos onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas, e o vértice,

que pode ser o ponto de máximo absoluto ou de mínimo absoluto da função. Faremos o

estudo do vértice da parábola, a fim de determinar as suas coordenadas e compreender

sua importância no estudo da função de 2º grau.

Como foi dito anteriormente, o vértice da parábola pode ser o ponto de máximo

absoluto ou de mínimo absoluto da função do 2º grau. Se a concavidade da parábola for

voltada para cima, o vértice é ponto mínimo da função, ou seja, é o menor valor que a

função pode assumir. Se a concavidade da parábola estiver voltada para baixo, o vértice

é o ponto de máximo da função, ou seja, o maior valor que a função pode assumir. O

uso desses conceitos é bastante útil na teoria de lançamentos oblíquos.

Dada a função do 2º grau f(x) = ax² + bx + c, as coordenadas do vértice V da

parábola descrita por essa função são:

Onde

? = b² - 4ac

Alguns exemplos de aplicação.

Exemplo 1: Veririque se as seguintes funções apresentam ponto de máximo ou

mínimo absoluto.

a) f(x) -2x² + 3x + 5

Solução: No caso da função do 2º grau, para determinarmos se há ponto de

máximo e mínimo absoluto basta verificar se a concavidade da parábola descrita pela

função apresenta concavidade voltada para baixo ou para cima. Nesse caso, temos que:

a = – 2 < 0 → concavidade da parábola está voltada para baixo.

Como a concavidade da parábola está voltada para baixo, a função apresenta

ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola.

b) y = 5x2 – 3x

Solução: Temos que

a = 5 > 0 → concavidade da parábola está voltada para cima.

Assim, podemos afirmar que a função apresenta ponto de mínimo absoluto, que é

o vértice da parábola.

Exemplo 2. Determine as coordenadas do vértice da parábola descrita pela função

f(x) = 2x2 – 4x + 6.

Solução: Analisando a função f(x) = 2x2 – 4x + 6, obtemos:

a = 2, b = – 4 e c = 6

Segue que:

Logo

Exemplo 3. Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação

y = -9x2 + 90x. Determine a altura máxima atingida pela bala do canhão, sabendo que y

é a altura em metros e x é o alcance, também em metros.

Solução: Como a parábola possui equação y = – 9x2 + 90x, podemos constatar

que sua concavidade está voltada para baixo e que a altura máxima atingida pela bala de

canhão corresponde à coordenada y do vértice, uma vez que o vértice é ponto de

máximo absoluto.

Assim, para determinar a altura máxima atingida pela bala do canhão, basta

determinar o valor y do vértice.

Temos que: a = – 9, b = 90 e c = 0. Logo, teremos:

Portanto, a altura máxima atingida pela bala de canhão é de 225 metros.

Estudo do sinal e aplicações

Toda expressão matemática no formato: f(x) = ax² + bx + c é considerada uma

função do 2º grau. O sinal de uma função depende dos valores de x, os quais

determinam:

f(x) > 0, função positiva

f(x) < 0, função negativa

f(x) = 0, função nula

No caso de uma função do 2º grau, temos que o valor do discriminante (∆) e do

coeficiente a determinam os seus sinais.

∆ > 0, a função possui duas raízes reais e diferentes

∆ = 0, a função possui uma única raiz

∆ < 0, a função não possui nenhuma raiz

a > 0, o gráfico da parábola possui concavidade voltada para cima

a < 0, o gráfico da parábola possui concavidade voltada para baixo

a > 0

a < 0

a = 0

Referencias bibliográficas

1 - http://www.moodle.ufba.br/mod/book/view.php?id=166490&chapterid=33624

2 - https://www.stoodi.com.br/blog/2014/01/05/funcao-quadratica-papel-dos-

coeficientes-no-grafico-da-funcao/

3 - http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/quadratica.htm

4 - http://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-de-segundo-grau.htm

5 - https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_quadr%C3%A1tica

6 - http://interna.coceducacao.com.br/ebook/pages/4054.htm

7 - http://alunosonline.uol.com.br/matematica/grafico-da-funcao-do-2-grau.html

8

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_segundo_gra

u/funcao_segundo_grau_05_exercicios_resolvidos.php

9 - BIANCHINI, Edwaldo. Matemática, 9º ano. – 7. ed. – São Paulo: Moderna,

2011.

10 -

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_segundo_gra

u/funcao_segundo_grau_02_01.php

11 - http://alunosonline.uol.com.br/matematica/funcao-quadratica.html

12 - http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/sinal-funcao-2-grau.htm