MOMENTO LINEAR, IMPULSO E COLISÕES

Prof. Fábio de Oliveira BorgesCurso de Física I

Instituto de Física, Universidade Federal Fluminense

MOMENTO LINEAR, IMPULSO E COLISÕES Quando um meteorito colide com a superfície de um planeta, quanta energia cinética do meteorito é liberada no impacto?

Essas perguntas envolvem forças sobre as quais pouco se sabe e que não podem ser solucionadas com a aplicação direta da

segunda lei de Newton.

MOMENTO LINEAR E IMPULSOConsidere uma partícula de massa constante m. Como ,podemos escrever a segunda lei de Newton na forma:

Logo, a segunda lei de Newton afirma que a força resultante que atuasobre a partícula é igual à derivada em relação ao tempo da massa dapartícula pela sua velocidade. Essa grandeza é chamada de momentoou momento linear da partícula:

Quanto maior a massa m e o módulo da velocidadev, maior será o módulo do momento linear mv.

O momento linear é uma grandeza vetorial quepossui direção e sentido que coincidem com o vetorvelocidade

MOMENTO LINEAR E IMPULSOAs unidades do módulo do momento linear são unidades de massavezes a velocidade; no SI, as unidades de momento linear sãodadas por kg.m/s.

Logo: A força resultante (soma vetorial de todas as forças) que atua sobre uma partícula é dada pela taxa de variação do momento linear da partícula

em relação ao tempo. em relação ao tempo.

O teorema do impulso-momento linear

Vamos considerar uma força resultante constante atuando sobreuma partícula durante um intervalo t de t1 a t2. O impulso da forçaresultante, designado pelo vetor , é definido como a força resultantemultiplicada pelo intervalo:

O impulso é uma grandeza vetorial; ele possui a mesma direção e omesmo sentido do vetor força resultante. No SI o impulso possui asmesmas unidades de momento linear.

O teorema do impulso-momento linearVamos examinar novamente a segunda lei de Newton formulada emtermos do momento linear.

O teorema do impulso-momento linear também é válido quando as forças não são constantes.

O teorema do impulso-momento linear

Se a força resultante é constante

UMA BOLA COLIDINDO COM UMA PAREDESuponha que você jogue uma bola de massa igual a 0,40 kgcontra uma parede. Ela colide com a parede quando está semovendo horizontalmente para a esquerda a 30 m/s,retornando horizontalmente para a direita a 20 m/s. (a) Calcule oimpulso da força resultante sobre a bola durante sua colisão coma parede. (b) Sabendo que a bola permanece em contatocom a parede durante 0,010 s, ache a força horizontal média quea parede exerce sobre a bola durante a colisão.a parede exerce sobre a bola durante a colisão.

CHUTANDO UMA BOLA DE FUTEBOLA massa de uma bola de futebol é igual a 0,40 kg. Inicialmente, elase desloca da direita para a esquerda a 20 m/s e a seguir échutada, deslocando-se 45º para cima e para a direita, comvelocidade igual a 30 m/s (Figura). Calcule o impulso da forçaresultante e a força resultante média, supondo um tempo decolisão t =0,010 s.

CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEARPela Terceira Lei de Newton, sabemos que a força que umapartícula exerce sobre outra é igualada por uma força na direçãooposta sobre primeira. Portanto, os impulsos que atuam sobreessas partículas possuem o mesmo módulo e a mesma direção,mas seus sentidos são contrários e as variações do momentolinear também são iguais e contrárias.

Como:

e

CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEARSe a taxa de variação do momento linear total é igual a zero, omomento linear total do sistema é constante, embora osmomentos lineares de cada partícula que compõe o sistemapossam variar.

Quando a soma vetorial das forças externas que atuam sobre um sistema é igual a zero, o momento linear total do

sistema permanece constante.sistema permanece constante.

O ponto importante dessa lei é que sua aplicação não depende danatureza detalhada das forças internas entre as partículasconstituintes do sistema. Isso significa que podemos aplicar a lei daconservação do momento linear mesmo quando (como geralmenteocorre) sabemos muito pouco a respeito das forças internas entre aspartículas.

CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEARPodemos generalizar esse princípio para um sistema contendoum número qualquer de partículas A, B, C, ... que interagemapenas mediante forças internas. O momento linear total dessesistema é dado por:

ATENÇÃO: A conservação do momento linear significa a conservação de seus

componentes Quando você aplicar a lei da conservação do momento linear, é essencial lembrar-se de que o momento linear é uma grandeza vetorial. Assim, você deve usar as

regras da soma vetorial para calcular o momento linear total de um sistema

CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR

A lei da conservação do momento linear vale mesmo quando existem forças que não são conservativas

a lei da conservação do momento linear é mais geral que oprincípio da conservação da energia mecânica.

COLISÃO AO LONGO DE UMA LINHA RETADois cavaletes com massas diferentes se deslocam em sentidoscontrários em um trilho de ar linear sem atrito (Figura). Depois dacolisão, o cavalete B se afasta com velocidade final de +2,0 m/s.Qual é a velocidade final do cavalete A ?

COLISÃO EM UM PLANO HORIZONTALA Figura abaixo mostra dois robôs em combate que deslizamsobre uma superfície sem atrito. O robô A, com massa de 20 kg,move-se com velocidade de 2,0 m/s paralelamente ao eixo Ox. Elecolide com o robô B, com massa de 12 kg, que está inicialmenteem repouso. Depois da colisão, verifica-se que a velocidade dorobô A é de 1,0 m/s, com uma direção que faz um ângulo de 30ºcom a direção inicial (Figura). Qual é a velocidade final do robôB?B?

COLISÕES

Colisão interação entre dois corpos com uma duraçãorelativamente curta.

Quando as forças entre os corpos forem muito maiores que asforças externas, como em geral ocorre na maior parte dascolisões, podemos desprezar completamente as forças externase considerar os corpos como um sistema isolado.

Em uma colisão o momento linear se conserva o momentolinear total do sistema é o mesmo antes e depois da colisão.

Colisões elásticas e inelásticascolisão elástica ocorre quando as forças entre os corposforem conservativas, de modo que nenhuma energia mecânica éadquirida ou perdida durante a colisão, ou seja, a energia cinéticatotal do sistema é a mesma antes e depois da colisão.

Lembre-se da seguinte regra: em toda colisão na qual asforças externas sejam desprezíveis, o momento linear seconserva e o momento linear total é sempre o mesmo antes edepois; somente no caso da colisão elástica a energiacinética total antes é igual à energia cinética total depois.

Colisões elásticas e inelásticascolisão inelástica Uma colisão na qual a energia cinética totaldo sistema depois da colisão é menor do que antes da colisão.

colisão completamente inelástica ocorre quando em umacolisão inelástica os corpos aderem-se e movem-se como um sócorpo após a colisão .

ATENÇÃO Uma colisão inelástica não tem de sercompletamente inelástica. Existem muitos casos de colisãoinelástica nas quais os corpos não ficam unidos, o choqueentre dois carros por exemplo.

Colisões completamente inelásticasVamos examinar o que ocorre com a energia cinética e com omomento linear em uma colisão completamente inelástica entredois corpos (A e B),

Como os dois corpos ficam colados depois da colisão

A lei da conservação do momento linear fornece a relação

Conhecendo-se as massas e as velocidades iniciais, podemoscalcular a velocidade final comum v2.

UMA COLISÃO COMPLETAMENTE INELÁSTICA

Dois cavaletes com massas diferentes se deslocam em sentidoscontrários em um trilho de ar linear sem atrito como na figura.Suponha que, na colisão, os dois cavaletes não sejam rebatidos,mas permaneçam colados após a colisão. Calcule a velocidadefinal e compare a energia cinética inicial com a final.

PÊNDULO BALÍSTICOA Figura mostra um pêndulobalístico, um sistema simplespara medir a velocidade de umabala. A bala, com massa mB, édisparada contra um bloco demadeira com massa mM,suspenso como um pêndulo, como qual produz uma colisãoo qual produz uma colisãocompletamente inelástica. Depoisdo impacto com a bala, o blocooscila atingindo uma alturamáxima y. Conhecendo-se osvalores de y, mB e mM, qual é avelocidade inicial v1 da bala?

Classificação de colisões As colisões são classificadas em função da energia.

1. Uma colisão na qual a energia cinética é conservadadenomina-se elástica.

2. Uma colisão na qual a energia cinética total diminui denomina-se inelástica.

3. Quando os dois corpos possuem uma velocidade final comum,diz-se que a colisão é totalmente inelástica.diz-se que a colisão é totalmente inelástica.

4. Também há casos em que a energia cinética final é maior queo valor inicial, esta colisão é conhecida como superelástica(Por exemplo: o recuo de um rifle)

Mais de colisões elásticaConsidere as duas partículas que se submetem a umacolisão frontal elástica tanto o momento quanto a energiacinética são conservados.

Geralmente, há duas quantidades desconhecidas (como v1f ev ) que queremos determinar. Assim, da eq. (01), temos:

Momento linear (01)

Energia cinética (02)

v2f) que queremos determinar. Assim, da eq. (01), temos:

e da eq. (02), temos:

Em seguida, fatoramos ambos os lados ad eq. (04):

(04)

(03)

(05)

Mais de colisões elásticaDividindo a eq. (05) pela eq. (03):

Ou separando as velocidades finais e iniciais:

Com as eq’s (01) e (06), finalmente obtemos que:

(06)

(07)

(08)

Mais de colisões elásticaVamos supor um alvo estacionário. Seja m2 emrepouso (v2i=0), as eq’s (08) tomam a seguinteforma:

Situações especiais:

I. Massas iguais (m1=m2)

II. Alvo pesado (m2>>m1)

III. Projétil pesado (m1>>m2)

Não aceleração dos nêutrons por colisões

Em um reator nuclear, nêutrons são produzidos quando osátomos 235U92 se dividem em um processo chamado fissão. Essesnêutrons movem-se a aproximadamente 107m/s e devem serdesacelerados para aproximadamente 103m/s antes queparticipem de outro evento de fissão. Eles também sãodesacelerados quando passados por um material sólido oulíquido, chamado moderador. O processo de não aceleraçãoenvolve colisões elásticas. Vamos mostrar que um nêutron podeenvolve colisões elásticas. Vamos mostrar que um nêutron podeperder a maior parte da sua energia cinética caso colidaelasticamente com um moderador contendo núcleos leves, comodeutério (em “água pesada”, D2O).

Colisão em um cruzamento

Um carro de 1500kg viajando para o leste com velocidade de25,0m/s colide em um cruzamento com um caminhão de 2500kg,deslocando-se para o norte com uma velocidade de 20,0m/s,como mostrado na Figura. Encontre a direção e o módulo davelocidade dos destroços após a colisão, considerando que osveículos ficaram unidos depois da batida.

Centro de massaAgora, vamos descrever o movimento global de um sistema departículas com respeito a um ponto muito especial chamadocentro de massa do sistema. Essa noção nos dá confiança nomodelo de partículas, porque vemos que o centro de massaacelera como se todas as massas do sistema fossemconcentradas naquele ponto e todas as forças externas agissemali. A posição do centro de massa de um sistema

pode ser descrita como a posição média dapode ser descrita como a posição média damassa do sistema. Por exemplo, o centro demassa do par de partículas descrito na Figuraao lado está localizado no eixo x, em algumlugar entre as partículas. Neste caso,coordenada x do centro de massa é

Centro de massaPodemos estender esse conceito a um sistema de muitaspartículas em três dimensões. A coordenada x do centro demassa de n partículas é definido como:

As coordenadas y e z do centro de massa são definidas demaneira similar pelas equações:maneira similar pelas equações:

O centro de massa também pode ser localizado pelo vetorposição rCM

Centro de massaA Equação anterior é útil para encontrar o centro de massa de umnúmero relativamente pequeno de partículas discretas. Comofazer com um corpo, que tem uma distribuição de massacontínua?

Em conponentes cartesianas:Em conponentes cartesianas:

Centro de massa

O centro de massa de um corpo homogêneoe simétrico deve estar no eixo de simetria.

O centro de massa de uma esfera, um cuboou um cilindro homogêneo deve estar no seucentro geométrico.

O centro de massa de umO centro de massa de umsistema é frequentementeconfundido com o centro de

gravidade do sistema. O centro degravidade coincide com o centro de massasomente se o campo gravitacional foruniforme.

CENTRO DE MASSA DE UMA MOLÉCULA DE ÁGUA

A Figura mostra a estrutura simplificada de uma molécula deágua. A distância entre os átomos é dada por d=9,5710–11m. Cadaátomo de hidrogênio possui massa igual a 1,0 u, e o átomo deoxigênio possui massa igual a 16,0 u. Calcule a posição do centrode massa.

O centro de massa de uma haste

Suponha que uma haste seja não uniforme, tal que sua massapor unidade de comprimento varie linearmente com x de acordocom a expressão l=x, em que é uma constante. Encontre acoordenada x do centro de massa como uma fração de L.

Movimento do centro de massa

Para visualizarmos o significado do centro de massa de umacoleção de partículas, devemos perguntar o que ocorre com ocentro de massa quando as partículas se movem. Os componentes ri das coordenadas da velocidade do centrode massa, vcm,i, são dados pela derivada em relação ao tempo dercm,i.

Movimento do centro de massa

O momento linear total é igual à massa total multiplicada pela velocidade do centro de massa.

Para um sistema de partículas no qual a força resultanteexterna é igual a zero, o momento linear total P é constante e avelocidade do centro de massa vcm=P/M também é constante.

Movimento do centro de massa

O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa descreve uma parábola, como uma partícula.

UM CABO DE GUERRA SOBRE O GELOJaime (massa de 90,0kg) está a uma distância de 20,0m deRamon (massa de 60,0kg), e ambos estão em pé sobre asuperfície lisa de um lago congelado. Na metade da distânciaentre os dois, uma caneca contendo a bebida favorita deles estáapoiada sobre o gelo. Eles puxam as extremidades de umacorda leve esticada entre eles. Quando Jaime se desloca 6,0m nosentido da caneca, em que sentido Ramon se desloca e qual é adistância percorrida por ele?distância percorrida por ele?

O arqueiro

Um arqueiro de 60 kg está em pé, em repouso, sobre gelo sematrito e atira uma flecha de 0,030 kg horizontalmente a 85 m/s(Fig.). Com que velocidade o arqueiro se move pelo gelo depoisde lançar a flecha?

Jogando golf

Uma bola de golf com 5.010-2 kg de massa é arremessada comum bastão como na figura. A força sobre a bola varia desde zero,quando ocorre o contato, até algum valor máximo (quando adeformação da bola é máxima) e depois regressa a zero quando,a bola deixa o bastão. Suponha que a bola deixa o bastão comuma velocidade de 44 m/s. a) Encontre a magnitude do impulsodevido a colisão. b) Quantifique a força média que atua na bolasabendo que o intervalo de tempo em que a colisão ocorre é desabendo que o intervalo de tempo em que a colisão ocorre é de9,110-4 s.

Faça seguro contra colisão!

Um carro de 1800 kg parado em um semáforo é atingido natraseira por outro, de 900 kg. Ambos ficam presos, movendo-seao longo do mesmo caminho do carro que se movia inicialmente.Se esse estivesse se movendo a 20,0 m/s antes da colisão, qualseria a velocidade dos carros emaranhados após a colisão?

Colisão de dois corpos com uma mola!Um bloco de massa m1= 1,60 kg movendo-se inicialmente paraa direita com uma velocidade de 4,00 m/s em um trilho horizontalsem atrito colide com uma mola leve presa a um segundo bloco demassa m2 = 2,10 kg movendo-se inicialmente para a esquerdacom uma velocidade de 2,50 m/s, como mostrado na Figura. Aconstante da mola é 600 N/m. Encontre as velocidades dos doisblocos após a colisão.

Colisão na mesa de sinucaA bola branca da sinuca é arremessada com uma velocidade inicialdada por v1i=(3,0i+5,0j)m/s e se choca elasticamente com a bola 8(preta) que tem uma velocidade inicial dada por v2i=(1,0i+2,0j)m/s.Depois da colisão a bola branca tem uma velocidade final dada porv1f=(1,0i+3,0j)m/s. Qual é a velocidade final da bola 8?

Centro de massa de dois carros em movimentoUm utilitário de 1.200 kg desloca-se a 12,0 m/s ao longo de umelevado retilíneo. Outro carro de 1.800 kg, deslocando-se a 20,0 m/s,tem seu centro de massa situado a uma distância de 40,0 m nafrente do centro de massa do utilitário (Figura).(a) Calcule a posição do centro de massa do sistema constituídopelos dois carros.(b) Calcule o módulo do momento linear total do sistema usando osdados citados.(c) Calcule a velocidade do centro de massa do sistema.(c) Calcule a velocidade do centro de massa do sistema.(d) Calcule o módulo do momento linear total do sistema usando avelocidade do centro de massa do sistema. Compare sua respostacom o resultado obtido no item (b).

Centro de massa de dois carros em movimento

Centro de massa de dois carros em movimento

Centro de massa dos cosmonautasDois cosmonautas na estação espacial MIR se empurrãomutuamente. Sabendo que o cosmonauta 1 com 75kg está a -2,0mda origem do empurrão e o cosmonauta 2 está a 3,0m da origem doempurrão, calcule o peso do cosmonauta 2.

Valentina Tereshkova

TESTE 051) Uma força é F aplicada paralelamenteao eixo x a um modelo de carro comcontrole remoto de 2,0 kg. O componente xda força varia com a coordenada x docarro, conforme indicado na Figura.Calcule o trabalho realizado pela forçaquando o carro se desloca de x1=0 ax2=7,0 m;x2=7,0 m;

TESTE 052) Você e sua bicicleta possuem massa total igual a 80,0 kg.Quando você atinge a base de uma ponte, está se deslocandocom uma velocidade de 5,0 m/s (Figura). No topo da ponte, vocêsubiu uma distância vertical h e sua velocidade diminuiu para 1,5m/s. Despreze o trabalho realizado pelo atrito e qualquerineficiência na bicicleta ou em suas pernas. Qual é o trabalhototal realizado quando a bicicleta vai da base ao topo da ponte?

TESTE 053) Um bloco com massa de 1,6 kg é preso a uma mola horizontalque tem força constante de 1000 N/m, como mostrado na Figura.A mola é comprimida 2,0 cm e depois liberada do repouso. Calculea velocidade do bloco conforme ele passa pela posição deequilíbrio se uma força de atrito constante de 4,0 N retarda seumovimento a partir do momento em que é solto.

TESTE 061) Dois garotos um com massa de 90,0 kg e outro com massa de 50,0 kgestão a uma distância de 10,0 m, e ambos estão em pé, com patins, sobrea superfície lisa de uma pista de gelo. Eles puxam as extremidades de umacorda leve esticada entre eles. (a) Onde eles vão se encontrar e qual o valor dacoordenada?

(b) Quando os garotos se encontrarem, o garoto de 50,0 kg terá percorrido quedistância?

TESTE 062) Em um teste de colisão, um carro de massa1500 kg colide contra o muro, como mostrado naFigura. As velocidades inicial e final do carro são vi =–15,0î m/s e vf= 2,60î m/s, respectivamente. Se acolisão dura 0,150 s, encontre o impulso causadopela colisão e a força resultante média exercida sobreo carro.

TESTE 063) Dois asteróides de igual massa no cinturão entre Marte e Júpiter colidementre si com um estouro luminoso. O asteróide A, que se deslocavainicialmente a 40,0 m/s, é desviado em 30,0º de sua direção original, enquantoo asteróide B, que estava em repouso, se desloca a 45,0º da direção originalde A (Figura). Ache o módulo da velocidade de cada asteróide após a colisão.

TESTE 06 - continuação3) Dois asteróides de igual massa no cinturão entre Marte e Júpiter colidementre si com um estouro luminoso. O asteróide A, que se deslocavainicialmente a 40,0 m/s, é desviado em 30,0º de sua direção original, enquantoo asteróide B, que estava em repouso, se desloca a 45,0º da direção originalde A (Figura). Ache o módulo da velocidade de cada asteróide após a colisão.

FIM