departamento de ciências exatas e...

4.1- Rotações, Centro de Massa e Momento

Física I

Prof. Roberto Claudino Ferreira

Universidade Estadual do

Sudoeste da Bahia

Departamento de Ciências Exatas e

Naturais

Índice 1. Movimento Circular Uniformemente Variado;

2. Movimento Circular Variado não Uniforme;

3. Centro de Massa;

4. Momento e Colisões;

5. Lei da Conservação do Momento.

2 Prof. Roberto Claudino

3

OBJETIVO GERAL

Alcançar um entendimento sobre os

conceitos e grandezas que envolvem os

movimentos rotacionais, centro de massa,

momento e lei da conservação do

movimento, assim como suas expressões,

unidades de medida e aplicações.

Prof. Roberto Claudino

4

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)

MCUV, apresenta:

Trajetória circular;

Velocidade escalar varia de acordo com

v = vo + at, e (a = constante ≠ 0); cuja

intensidade = aceleração tangencial (at);

Aceleração centrípeta não - nula, pois a

velocidade varia em direção e sentido.

Aceleração resultante:


cptr aaa

5

ACELERAÇÕES (MCUV)


Aceleração tangencial

tem sempre a direção

da velocidade do móvel

Aceleração

centrípeta é

perpendicular

a v

cptr aaa

dt

d

r

at

Aceleração angular

6

FUNÇÕES DO MCUV


²2

toto

²2

ta

votSoS

Forma linear: Forma angular:

atvov

Savov 2²²

to

2²² o

Sendo:

r

a

r

v

r

S

Ou, analogamente às

deduções lineares, partir

dos conceitos ao lado e

chegar às equações

angulares. dt

d

dt

d

Um objeto inicia seu movimento, a partir do

repouso, deslocando-se em trajetória circular de

raio 20 m. A aceleração tangencial em relação à

Terra tem módulo de 2m/s². Após 10s, pede-se:

a) Velocidade tangencial;

b)Aceleração angular;

c)Velocidade angular;

d)Deslocamento;

e)Deslocamento angular;

f)Aceleração centrípeta;

Prof. Roberto Claudino 7

1º Problema:

g) Aceleração total;

h) Direção

aceleração total.

8

Um pião gira com aceleração α = 5t³ - 4t, onde t

está em (s) e α está em (rad/s²). Em t = 0 a

velocidade angular do pião é 5 rad/s e uma reta

de referência traçada no pião está na posição

angular θ = 2 rad.

a) Obtenha uma expressão para a velocidade

angular do pião, ω(t).

b) Obtenha uma expressão para a posição

angular do pião, θ(t). Prof. Roberto Claudino

MOVIMENTO CIRCULAR VARIADO NÃO UNIFORME A velocidade angular e a aceleração angular variam segundo

suas funções que podem mudar de uma situação para outra.

2º Problema:

9 Prof. Roberto Claudino

4

4

00

4

5

05

4

5²25

²24

55

²2

4

4

5

)4³5(

tt

tt

tt

dtttd

dtd

dtd

dt

d

tt

t

t

too

43

³252

43

³252

5

1.

4

5

3

25

4

5²25

5

5

0

5

0

3

02

4

ttt

ttt

ttt

dtttd

dtd

dt

d

ttt

t

too

2º Problema: Resolução

10

ACELERAÇÕES (MCUV)


Aceleração tangencial

tem sempre a direção

da velocidade do móvel

Aceleração

centrípeta é

perpendicular

a v

cptr aaa

dt

d

r

at

Aceleração angular

11

FUNÇÕES DO MCUV


²2

toto

²2

ta

votSoS

Forma linear: Forma angular:

atvov

Savov 2²²

to

2²² o

Sendo:

r

a

r

v

r

S

Ou, analogamente às

deduções lineares, partir

dos conceitos ao lado e

chegar às equações

angulares. dt

d

dt

d

12

CENTRO DE MASSA PARA UM SISTEMA DE

PARTÍCULAS


Num sistema de partículas, trata-se de um ponto que

se move como se: (1º) toda a massa do sistema

estivesse concentrada nesse ponto e (2º) todas as

forças externas estivessem aplicadas nesse ponto.

21

2211

mm

xmxmxCM

Sistema com 2 partículas.

Sistema com n

partículas. Em 1 D

n

i

iiCM xmM

x1

1

Sendo M a massa total do sistema.

Sistema com n

partículas. Em 3 D

n

i

iiCM rmM

r1

1

13

CENTRO DE MASSA PARA UM CORPO

MACIÇO


Para objetos sólidos.

Onde dm é o elemento de massa.

Para objetos com massa específica uniforme.

xdmM

xCM

1

V

MdVdm

V

M

dV

dm

V

MdVx

MxCM

1

xdVV

xCM

1

Aqui dV é o volume ocupado por um elemento de

massa dm e V é o volume total do objeto.


3º Problema:

Três partículas de massas m1 = 1,2 kg, m2 = 2,5 kg e

m3 = 3,4 kg formam um triângulo equilátero de lado

a = 140 cm. Onde fica o centro de massa desse

sistema?

15

MOMENTO LINEAR


vmp.Para uma partícula:

Também chamado de quantidade de movimento.

É uma das duas grandezas criadas para a

correta descrição do inter-relacionamento entre

dois entes ou sistemas físicos.

Pelo conceito de momento chegamos a forma

diferencial da força:

dt

pdF


4º Problema:

Um caminhão de 2100 kg viajando para o norte a 41

km/h vira para leste e acelera até 51 km/h. (a) Qual é

a variação da energia cinética do caminhão? Quais

são (b) o módulo e (c) o sentido da variação do

momento?

17

MOMENTO LINEAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS


p

O sistema como um todo tem momento linear

total que é a soma vetorial dos momentos de

todas as partículas.

CM

nn

n

vMp

vmvmvmp

pppp

...

...

2211

21

18

COLISÕES e IMPULSO Consiste no choque entre duas partículas,

surgindo uma força suficiente para mudar o

momento.


dt

pdF

dttFpd )(

Definindo o intervalo de tempo:

dttFpd

f

i

f

i

t

t

p

p

)(

Jppp if

Impulso

dttFJ

f

i

t

t

)(

Jp

Teorema do momento linear e impulso


5º Problema:

Um carro colide com um muro de proteção conforme

figura. Antes da colisão o carro está se movendo com

uma velocidade escalar = 70 m/s, ao longo de uma

linha reta que faz um ângulo de 30º com o muro.

Após a colisão o carro está se movendo com

velocidade escalar = 50 m/s, ao longo de uma

linha reta que faz um ângulo de 10º com o muro. A

massa m do piloto é 80 kg.

(a) Qual é o impulso a que o piloto é submetido no

momento da colisão?

(b) A colisão dura 14 ms. Qual é o módulo da força

média que o piloto experimenta durante a colisão?

iv

fv

20

CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR


ii vmp.

Se um sistema de partículas não está submetido

a nenhuma força externa, o momento linear total

do sistema não pode variar.

11 . ff vmp

22 . ff vmp

fi pp

21 ffi ppp


6º Problema:

Uma urna de votação de massa m = 6,0 kg desliza

com velocidade v = 4,0 m/s em um piso sem atrito no

sentido positivo de um eixo x. A urna explode em dois

pedaços. Um pedaço de massa m1 = 2,0 kg, se move

no sentido positivo do eixo x com v1 = 8,0 m/s. Qual é

a velocidade do segundo pedaço, de massa m2?

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