Prof. Oscar

Centro de Massa e Momento Linear

(Colises)

Capitulo 9

O centro de massa Mesmo quando um corpo gira ou vibra, existe um ponto

nesse corpo, chamado centro de massa, que se desloca da mesma maneira que se deslocaria uma nica partcula, com a massa deste corpo e sujeita ao mesmo sistema de foras que ele.

O centro de massa

Uma bola arremessada para

cima segue uma trajetria

parablica, o centro de

massa de um taco de

beisebol lanado para cima

com um movimento de

rotao tambm mais os

outros pontos do taco

seguem trajetrias mais

complexas.

Sistema de partculas - Uma dimenso

Vamos definir inicialmente a posio xcm do centro de massa

para um sistema composto de duas partculas de massas m1 e m2 e

que ocupam as posies x1 e x2.

Para um sistema de N corpos dispostos ao longo de uma linha reta,

podemos fazer uma extenso da definio anterior:

Sistema de partculas - Duas

dimenses

Para a definio do centro de massa de um sistema de N partculas

distribudas em um plano podemos, por analogia com as definies

anteriores, considerar que:

Exemplo 1.:

1. Quais so as coordenadas do centro de massa das trs partculas que

aparecem no desenho a seguir? A unidade das distncias o metro.

Momento Linear

O termo Quantidade de Movimento tem um significado

nico e preciso em fsica. A quantidade de Momento

Linear de uma partcula um vetor , definido como Q.

Q mv

Em muitos livros o momento linear representado pelo vetor P.

A taxa de variao com o tempo da quantidade de

movimento de uma partcula igual fora resultante

que atua sobre a partcula e possui a mesma direo e o

mesmo sentido dessa fora.

Momento Linear

res

dQF

dt

( )resdQ d dv

F mv m madt dt dt

A Quantidade de Movimento Linear de um

Sistema de Partculas

Considere agora um sistema de n partculas, cada uma com sua prpria massa,

velocidade e quantidade de movimento linear. As partculas podem interagir

uma com as outras, e foras externas tambm podem agir sobre elas. O sistema

como um todo possui uma quantidade de movimento linear Q, que definida

como a soma vetorial das quantidades de movimentos lineares das partculas

individuais. Assim,

1 2 3 ... nQ Q Q Q Q

....332211 nnvmvmvmvm

Conservao da Quantidade de Movimento

Linear

Suponha que a fora externa resultante que atua sobre um sistema

de partculas seja nula (que o sistema seja isolado) e que no haja

partculas saindo nem entrando no sistema (que o sistema seja

fechado).

0resF

0dQ

dt

Q = constante (sistema isolado, fechado).

Este resultado chamado de lei de conservao da

quantidade de movimento linear. Ela tambm pode ser

escrita como

Conservao da Quantidade de Movimento

Linear

i fQ Q(sistema isolado, fechado)

(quantidade de movimento linear total em algum instante inicial ti) =

(quantidade de movimento linear total em algum instante posterior tf ).

Exemplo 2:2. Um vago de 14.000kg se movimenta horizontalmente a 4m/s em

direo a um ptio de manobra. Ao passar por um silo de

alimentao, 2000kg de gro caem subitamente no interior do

vago. Quanto tempo ser gasto pelo vago para percorrer uma

distncia de 500m a partir do silo em direo ao ptio? Admita que

os gros caiam na direo vertical e que a leve desacelerao

devida ao atrito por rolamento ou a resistncia do ar sejadesprezvel.

Exemplo 3:

3. Uma urna de votao com massa m=6.0 kg desliza com

velocidade v=4,0 m/s em um piso sem atrito no sentido

positivo de um eixo x. Repentinamente ela explode em dois

pedaos. Um pedao, de massa 4kg se desloca no sentido

positivo do eixo x com velocidade 2 m/s. Qual a velocidade do

segundo pedao, de massa 2kg?

COLISES

Uma coliso um eventosolado no qual dois ou maiscorpos (os corpos quecolidem) exercem uns sobreos outros forasrelativamente elevadas porum tempo relativamentecurto.

O que uma Coliso?

Devemos ser capazes de distinguir instantes que esto

antes, durante e depois de uma coliso.

Impulso e Quantidade de Movimento Linear

d QF

dt

QF

t

( )dQ F t dt Q F t

Impulso e Quantidade de Movimento Linear

( )f f

i i

Q t

Q tdQ F t dt Q F t

( )f

i

t

tI F t dt

Definio Impulso

medI F t

Impulso e Quantidade de Movimento Linear

Exemplo 4:4. Com um golpe de carat, voc

pode quebrar um bloco de concreto.

Considere que sua mo possua uma

massa de 0,70kg e se mova a 5,0m/s

quando atinge o bloco, e pra a

6mm do ponto de contato. (a) Qual

o impulso que o bloco exerce

sobre a sua mo? (b) Qual o tempo

aproximado de coliso e a fora

mdia que o bloco exerce sobre sua

mo?

Exemplo 5:5. Um carro equipado com um boneco (80kg) instrumentado para

testes de impacto colide com uma parede rgida a 25m/s. estime a

fora que o cinto de segurana exerce sobre o boneco durante o

impacto. Admita que o carro e o boneco tenham se movimentado

1m aps a parte frontal ser completamente destruda.

Exemplo 6:

6. Uma bola de beisebol de 150 g, lanada com uma velocidade de

40 m/s rebatida para o arremessador na mesma direo em que

chegou com uma velocidade de 60m/s. Qual a intensidade da fora

mdia que o basto exerce sobre a bola se o basto estiver em

contato com a bola por 5,0 ms?

Exemplo 7:

7. Uma bola de 1,2 kg cai na vertical sobre um piso, acertando-o

com uma velocidade de 25m/s. Ela ressalta com uma velocidade

inicial de 10m/s. (a) Que impulso atua sobre a bola durante o

contato? (b) Se a bola estiver em contato com o piso por 0,020 s,

qual a intensidade da fora mdia que a bola exerce sobre o piso.

Exemplo 8:

8. bem sabido que balas e outros

objetos disparados no Super-Homem

simplesmente voltam ao bater no seu

peito (Fig.). Suponha que um gngster

d uma rajada no peito do Super-

Homem com balas de 3 g a uma taxa de

100 balas/mim e que a velocidade de

cada bala seja de 500 m/s. Suponha

tambm que as balas voltem na mesma

direo sem mudar de velocidade. Qual

a intensidade da fora media que o fluxo

de balas exerce sobre o peito do Super-

Homem?

Quantidade de Movimento e Energia Cintica

em Colises

Coliso Elstica

Coliso Inelstica

Quantidade de movimento Linear

Em um sistema isolado e fechado, contendo uma coliso, a

quantidade de movimento linear de cada corpo que colide

pode variar, mas a quantidade de movimento linear total Q

do sistema no pode variar, seja a coliso elstica ou

inelstica.

Colises Inelsticas em Uma Dimenso

Coliso Unidimensional

1 2 1 2i i f fQ Q Q Q (conservao da quantidade de movimento linear).

ffii vmvmvmvm 22112211

Coliso Completamente Inelstica

1 1 20i f fQ Q Q

Vmmvm i )( 2111

VmVmvm i 2111

.1

21

1iv

mm

mV

Juntos aps

a coliso

9. Um projtil de 10g de massa atinge um pndulo balstico de 2kg de massa.

O centro de massa do pndulo eleva-se de uma altura de 12cm.

Considerando-se que o projtil permanea embutido no pndulo, calcule

a velocidade inicial do projtil.

Exemplo 9:

10. Voc repete a proeza do exemplo anterior, mas agora com uma caixa

vazia como alvo. O projtil atinge a caixa e a atravessa completamente.

Um sensor a laser indica que o projtil emergiu com metade de sua

velocidade inicial. Sabendo disso, voc corretamente revela at que altura

o alvo oscilou. Que altura essa?

Exemplo 10:

Exemplo 11:11. Um carro de 2000kg, movendo-se a 25m/s, colide com outro

carro de 1500kg inicialmente em repouso. Se a coliso perfeitamente

inelstica, determine (a) a velocidade de cada um dos carros aps a

coliso e (b) a razo entre a energia cintica final do sistema e sua

energia cintica inicial.

Colises Elsticas em Uma Dimenso

(Alvo em Repouso) (energia cintica total antes da coliso) = (energia cintica total depois da

coliso)

Em uma coliso elstica, a energia cintica de cada corpo que colide pode

variar, mas a energia cintica total do sistema no pode variar.

(quantidade de movimento linear)

Colises Elsticas em Uma Dimenso

(Alvo em Repouso)

ffi vmvmvm 221111

2

22

2

11

2

112

1

2

1

2

1ffi vmvmvm (energia cintica)

reescrevemos

ffi vmvvm 22111 )(

.))(( 22211111 ffifi vmvvvvm

Aps dividirmos uma equao pela outra e um pouco de

lgebra obtemos:

Colises Elsticas em Uma Dimenso

(Alvo em Repouso)

if vmm

mmv 1

21

211

.1

21

12

2if v

mm

mv

Coliso elstica em duas dimenses Vamos considerar uma partcula de massa m1 e velocidade v1 se

deslocando em direo de uma outra partcula de massa m2que se encontra em repouso.

Exemplo 12:12. Os dois blocos da figura a seguir deslizam sem atrito.

a) Qual a velocidade do bloco de m1 = 1,6kg aps a coliso?

b) A coliso elstica?

13. Uma bola de ao de 0,5kg de massa presa a uma corda, de

70cm de comprimento e fixa na outra ponta, e liberada quando a

corda est na posio horizontal. No ponto mais baixo de sua

trajetria, a bola atinge um bloco de ao de 2,5kg inicialmente em

repouso sobre uma superfcie sem atrito. A coliso elstica. a)

Encontre a velocidade da bola imediatamente aps a coliso.

Exemplo 13:

b) Encontre a velocidade do bloco imediatamente aps a coliso.

14. Uma bola de 300g com uma velocidade v = 6m/s atinge uma parede a uma

ngulo = 300 e, ento, ricocheteia com mesmo ngulo e velocidade demesmo mdulo. Ela fica em contato com a parede por 10ms .

a) Qual foi o impulso sobre a bola?

b) Qual a fora mdia exercida pela

bola sobre a parede?

Exemplo 14:

Exemplo 15: Voc est dirigindo um carro de 1200kg, viajando para o leste em um

cruzamento quando um outro veculo de 3000kg, viajando para o norte,

atravessa o cruzamento e bate em seu carro(veja figura). Seu carro e outro

permanecem grudados aps a coliso. Verifique se seu carro estava acima da

velocidade permitida que 80km/h, sabendo que no houve marcas de freada,

e o caminho ficou com o velocmetro preso na indicao de 50km/h, e que os

dois deslizam a 590 ao norte do leste ?

Um corpo de massa m1, com rapidez inicial de 20m/s, sofre uma coliso no

frontal com um segundo corpo, de massa m2. O segundo corpo est

inicialmente em repouso. Depois da coliso, o primeiro corpo est se movendo

a 15m/s, a um ngulo de 250 com a orientao de sua velocidade inicial. Qual

o ngulo de afastamento do segundo corpo?

Exemplo 16: