Analise o movimento do CM do ônibus e do sistema ônibus+passageiro

E se não houver atrito no chão do

ônibus? O que acontece

quando o passageiro empurra o fundo do ônibus?

Momento Linear

Momento Linear de 1 partícula

• 𝐩 incorpora a informação da massa inercial𝑚

• É necessária uma grande força para alterar um grandemomento linear

𝐩 = 𝑚𝐯

𝑑𝐩

𝑑𝑡= 𝐅𝑡𝑜𝑡2ª Lei de Newton:

Impulso, ou ∆𝐩

Forças Não-Impulsivas

Forças Impulsivas1. Não são constantes2. Têm uma duração temporal muito

breve3. Não têm uma expressão matemática

definida (𝑚𝑔,−𝑘𝑥, … )4. São conhecidas pelo IMPULSO ∆𝐩

que produzem

𝐩𝑖𝐩𝑓

𝐉 = 𝐩𝑓 − 𝐩𝑖 = 𝐅𝑚𝑒𝑑(∆𝑡)𝑐𝑜𝑙

𝑝𝑖 = (57,75 g)(14,3 m/s)

𝑝𝑓 = (57,75 g)(9,2 m/s)

(∆𝑡)𝑐𝑜𝑙= 4,1 ms

𝐹𝑚𝑒𝑑 = 331 N

https://www.youtube.com/watch?v=zd2V4_FNMls

Ovo caindo no chão/espuma

𝑣 = 2𝑔ℎ

∆𝑡𝑐ℎã𝑜~ 5ms ∆𝑡𝑒𝑠𝑝~ 0,25 s

1 m

0𝑣 = 0

𝐽 = 0 − (50 g)(−4,4 m s) = +0,22 kg.m/s

𝐹𝑚𝑒𝑑 ~ 44 N 𝐹𝑚𝑒𝑑 ~ 0,9 N

Momento Linear de um SISTEMA de partículas e o CM

𝐏 =

𝑖

𝑚𝑖𝐯𝑖

Posição, Velocidade e Aceleração do CM

𝐑(𝑡) = 𝑖𝑚𝑖𝐫𝑖(𝑡)

𝑀

𝐕(𝑡) = 𝑖𝑚𝑖𝐯𝑖(𝑡)

𝑀

𝐀(𝑡) = 𝑖𝑚𝑖𝐚𝑖(𝑡)

𝑀

𝐏 = 𝑀𝐕

Momento linear total do sistema é o momento

linear do CM

𝑑𝐏

𝑑𝑡= 𝐅𝑒𝑥𝑡

𝐏 só pode ser alterado por forças EXTERNAS

𝑀𝐀(𝑡) = 𝐅𝑒𝑥𝑡

Lei de Newton do CM e 𝐏

𝐢

2 kg

1 kg

1 m/s

1 m/s

𝐕 =𝑚1𝐯1 +𝑚2𝐯2𝑀

= +0,33 m/s 𝐢

𝐏 = 𝑀𝐕 = +1 kg.m/s 𝐢

𝐏

Se 𝐅𝑒𝑥𝑡 = 0, 𝐀 = 0 e o momento linear total 𝐏fica inalterado (é “conservado”)

𝐩2𝐩1

𝐩1′

𝐩2′

𝐩1 + 𝐩2 = 𝐩1′ + 𝐩2

′

𝐩1′ 𝐩2

′

𝐏 = 𝐩1′ + 𝐩2

′

Applet “Collision Lab” (P e p´s em colisão elástica e inelástica 2D)

E se 𝐅𝑒𝑥𝑡 ≠ 0 ?

Se durante o breve intervalo (∆𝑡)𝑐𝑜𝑙, 𝐟 ≫ 𝐅 , o momento linear total imediatamente antes/depois de

(∆𝑡)𝑐𝑜𝑙 é conservado

𝑑𝐩1𝑑𝑡= 𝐟12 + 𝐅1

𝑑𝐩2𝑑𝑡= 𝐟21 + 𝐅2

≅ 𝐟12

≅ 𝐟21

durante (∆𝑡)𝑐𝑜𝑙

𝑥

𝑦

𝑥: 𝑚 𝑣0 cos 𝜃0 = 𝑚/2 𝑣𝑥

𝑦: 0 = 𝑚/2 𝑣𝑦𝐯 = 2𝑣0 cos 𝜃0 𝐢

𝑣 = 0

Cai 1,5 vezes mais longe

Colisões de veículos

Informação obtida das marcas de derrapagem

𝑉𝑓2 − 𝑉𝑖

2 = −2𝜇𝑘𝑔𝐿

𝑉𝑓 𝑉𝑖

𝐿

Algum dos carros estava acima da velocidadepermitida nas respectivas vias?

𝐿𝑎

𝐿𝑏

𝐿𝑎′

𝐿𝑏′

𝜃𝑎𝜃𝑏

𝐕0𝑎

𝐕0𝑏

Imediatamente ANTES da colisão:

Conservação de momento na colisão:

𝑉𝑎 = 𝑉0𝑎2 − 2𝜇𝑘𝑔𝐿𝑎

𝑉𝑏 = 𝑉0𝑏2 − 2𝜇𝑘𝑔𝐿𝑏

Imediatamente DEPOIS da colisão:

𝑉𝑎′ = 2𝜇𝑘𝑔𝐿𝑎

′

𝑉𝑏′ = 2𝜇𝑘𝑔𝐿𝑏

′

𝐿𝑎

𝐿𝑏

𝐿𝑎′

𝐿𝑏′

𝜃𝑎𝜃𝑏 𝑥

𝑦

𝑥: 𝑚𝑎𝑉𝑎 = 𝑚𝑎𝑉𝑎′ cos 𝜃𝑎 +𝑚𝑏𝑉𝑏

′ cos 𝜃𝑏

𝑦: 𝑚𝑏𝑉𝑏 = 𝑚𝑎𝑉𝑎′ sin 𝜃𝑎 −𝑚𝑏𝑉𝑏

′ sin 𝜃𝑏

Foguetes

𝑉 = (𝑚𝑣)/𝑀𝑣

Na ausência de um meio material para empurrar...

https://www.youtube.com/watch?v=1JRpfsTXXTU

https://www.youtube.com/watch?v=FzCsDVfPQqk

𝐯

𝑚

𝐯

𝑑𝐯

𝑚 − 𝑑𝑚

𝑑𝑚 𝐯𝑐𝑠

𝑚𝑣 = 𝑚 − 𝑑𝑚 𝑣 + 𝑑𝑣 − (𝑑𝑚)𝑣𝑐

(𝑚)𝑑𝑣 = 𝑑𝑚 𝑣 + 𝑣𝑐𝑠 = 𝑑𝑚 𝑣𝑐𝑓

(𝑚)𝑑𝑣 = 𝑑𝑚 𝑣𝑐𝑓 𝑣𝑐𝑓 = 2.580 m/s

𝐵 = 𝑑𝑚𝑑𝑡= 13,6 ton/s𝑚𝑎 = 𝐵𝑣𝑐𝑓 −𝑚𝑔

𝐵𝑣𝑐𝑓 = 35.100.000 N𝑎(𝑡) =𝐵𝑣𝑐𝑓

𝑚(𝑡)− 𝑔

𝑚 𝑡 = 𝑚0 − 𝐵𝑡 𝑚0 = 2.900 ton

𝑣 𝑡 = 𝑣𝑐𝑓 log𝑚0𝑚0 − 𝐵𝑡

− 𝑔𝑡

C

alcu

lar 𝑑𝑣

𝑑𝑡

no

qu

adro

• 𝑣𝑐𝑓 (velocidade de exaustão do gás) é uma propriedade

química do combustível (quanto maior a temperatura da queima, maior 𝑣𝑐𝑓)

• 𝐵 (taxa de queima) depende da densidade e da purezado combustível (querosene super-purificado) e do oxigênio (líquido, para aumentar densidade)

42

m

10 m

Foguete Saturno V (1966-1973)

𝑣(𝑡) durante o primeiro estágio do Saturno V

𝑣𝑠𝑜𝑚

𝑣 𝑡 = 𝑣𝑐𝑓 log𝑚0𝑚0 − 𝐵𝑡

− 𝑔𝑡

𝑡𝐵 = 165 s

𝑎 𝑡𝐵 = 43,8 m/s2 = 4,5 𝑔

∆𝑧 = 107 km

(2.240 ton de combustível)