Roteiro para prática experimental– Curso de Física – UCB

Conservação do momento linear

1 Introdução teórica

A motivação deste experimento consiste em estudar a dinâmica de interação dos objetos sem apresença de uma força externa sobre o conjunto dos objetos estudados.

Antes de ir para o experimento propriamente dito, vamos desenvolver os conceitos para analizareste tipo de sistema.

Imagine três objetos A, B, C, interagindo entre si. À interação entre estes objetos chamaremosde interação interna ao sistema. Da mesma forma, à interação de um outro corpo – externo aogrupo A, B e C – com um destes objetos ou o conjunto deles, denominaremos como interaçãoexterna sobre o sistema. Na Figura 1, representamos estes três objetos se repelindo, mas não éuma condição necessária.

Figura 1: Os objetos A, B e C interagem entre si. No caso, esta interação está representada comouma força de repulsão resultante. A força ~Fbc(a) consiste na resultante das forças de B e C sobreA.

Observando a Na Figura 1 os objetos A, B e C interagem internamente resultando em forçasde repulsão. Assim, a força ~Fbc(a) é a resultante das forças de B e C sobre A. Consequentemente~Fab(c) é a resultante das forças de A e B sobre C e, por fim, ~Fac(b) é a resultante das forças de A eC sobre B.

Matemáticamente, poderiamos escrever:

~Fbc(a) = ~Fb(a) + ~Fc(a) , (1a)

~Fab(c) = ~Fa(c) + ~Fb(c) , (1b)

~Fac(b) = ~Fa(b) + ~Fc(b) . (1c)

A força resultante sobre o sistema é a soma das tas três forças, ou seja,

~Fbc(a) + ~Fab(c) + ~Fac(b) .

Usando as Equações (1) (a), (b) e (c), e rearranjando os temos, a força resultante fica:

~Fbc(a) + ~Fab(c) + ~Fac(b) =(~Fb(a) + ~Fa(b)

)+(~Fc(a) + ~Fa(c)

)+(~Fb(c) + ~Fc(b)

). (2)

1

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Como foi afirmado, não houve interação externa, ou seja, o sistema está isolado. Mas,internamente, cada partícula exerce uma força sobre a parte restante do sistema e vice-versa,obedecendo a terceira lei de Newton:

~Fa(b) = −~F(b)a . (3)

Assim a Equação (2) fica:

~Fbc(a) + ~Fab(c) + ~Fac(b) =(~Fb(a) − ~Fb(a)

)+(~Fc(a) − ~Fc(a)

)+(~Fb(c) − ~Fb(c)

), (4a)

e continuando,~Fbc(a) + ~Fab(c) + ~Fac(b) = 0 . (4b)

A primeira consequência que se observa é que, em um sistema isolado que obedece a terceiralei de Newton, a força resultante sobre todo o sistema é igual a zero.

Uma segunda consequência aparece, ao utilizarmos a segunda lei de Newton:1∑~F(a) = ma~aa . (5)

Ou seja, o somatório das forças sobre o objeto A é igual ao produto massa de A e sua aceleração.Assim escrevemos:

~Fbc(a) = ma~aa , (6a)

~Fab(c) = mc~ac , (6b)

~Fac(b) = mb~ab . (6c)

Temos que ~a = ∆~v/∆t. Assim, a Equação (4b), fica:

ma∆~va∆t

+mb∆~vb∆t

+ma∆~vc∆t

= 0 . (7)

Como as interações aconteceram no mesmo intervalo de tempo, podemos cancelar o ∆t, demaneira que a Equação (7) fica:

ma∆~va +mb∆~vb +mc∆~vc = 0 . (8)

Continuando, se chamarmos a velocidade da partícula A antes da interação de “~va” e a voleci-dade depois da interação de “~v ′a” temos que ∆~va = ~v ′a − ~va. Temos que:

ma

(~v ′a − ~va

)+mb

(~v ′b − ~vb

)+mc

(~v ′c − ~vc

)= 0 , (9a)

portanto,ma~va +mb~vb +mc~vc = ma~v

′a +mb~v

′b +mc~v

′c . (9b)

Para analizar melhor este resultado vamos introduzir uma nova grandeza: O momento linear(~p).

Esta grandeza vetorial é definida como o produto da velocidade pela massa, ou seja:

~pa = ma~va . (10)

Substituindo a Equação (10) na Equação (9b).

1Estamos considerando que os objetos mantém sua massa constante, do contrário, teremos que escrever∑ ~F =

d~pdt

.

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~pa + ~pb + ~pc = ~p ′a + ~p ′b + ~p ′c . (11)

Ao chamar a soma dos momentos lineares de momento linear total,

~pT = ~pa + ~pb + ~pc

a equação acima fica:~pT = ~p ′T (12)

Ou seja, em um sistema fechado, o momento total antes da interação é igual ao mo-mento total depois da interação.

A esta propriedade denominamos de :

Conservação do momento linear

Se a resultante das forças externas que atuam sobreum sistema for nula, o momento total ~p deste sistemase conserva.

Esta propriedade pode ser generalizada para inúmeras partículas, desde que elas pertençam aomesmo sistema interno.

2 O experimento

A observação de uma situação na qual o momento linear se conserva nas três dimensões é difícil,pois deve-se anular a resultante das forças externas nas três direções.

No entanto, como o momento linear é uma grandeza vetorial, a conservação se dá vetorialmentetambém. Ou seja, se existe força externa aplicada sobre um sistema na direção y mas não existenas direções x e z, só não ocorrerá a conservação do momento ao longo do eixo y.

Agora, imagine duas esferas em queda livre e colidindo. Sem dúvida se terá a força gravitacionalagindo sobre o sistema. Mas, dependendo do formato e da densidade dos objetos interagentes, aresistência do ar pode ser desprezível. Assim se despreza a possível força externa na horizontal,reduzindo a análise para duas dimensões, ou seja, apenas no plano horizontal.

No experimento que se segue, Figura 2, temos uma esfera A em movimento com relação aolaboratório e que colide com uma outra B em repouso. Após a colisão, ambas as esferas estão emmovimento.

Assim, na horizontal, desprezando as forças externas, o sistema se torna isolado e o momentolinear total se conserva, isto é, o momento linear total antes da interação é igual ao momentolinear total depois.

~pT = ~p ′T ou de outra maneira (~pa + ~pb) = (~p ′a + ~p ′b)

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Figura 2: Colisão entre duas esferas ( A e B ) vista de cima. (a) Antes da colisão. (b) Depois dacolisão.

3 Materiais

• 01 canaleta.

• 01 placa de madeira ousimilar.

• 02 pedaços de papel car-bono.

• 01 compasso.

• 01 fita adesiva (durex ousimilar).

• 02 esferas metalicas demassas iguais.

• 01 fio de prumo.

• 01 régua (± 0,05 cm).

• 01 transferidor (± 0,5◦ ou ±0,9·10−2 rad).

• 01 nível de bolha.

• 01 cartolina.

• 01 papel milimetrado (opcio-nal).

4 Montagem experimental.

A idéia fundamental do experimento consiste em relacionar o deslocamento horizontal de duasesferas em queda oblíqua diretamente com o momento linear horizontal delas, antes e depois de sechocarem. Isso só é possível quando as esferas detêm a mesma massa.

Sendo assim, o procedimento experimental é fazer uma esfera (A) rodar pela canaleta dispostaencima de uma mesa, colidir com uma esfera (B) em repouso, e marcar os pontos de queda nochão, ver Figura 3.

Figura 3: Montagem experimental.

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Figura 4: Detalhes da montagem experimental.

Para montar, adote os seguintes passos, veja a Figura 4:

¬ Fixe a canaleta sobre uma mesa e com o auxílio do nível coloque sua base na horizontal.

­ Alinhe a base de apoio da esfera B de maneira que as duas esferas não permaneçam namesma direção depois do choque. Deve-se apertar bem o parafuso embaixo da canaleta paraque a base de apoio não se mova após o choque.

® Forre a região de queda das esferas no chão com o material EVA (para isolar acusticamentedo andar abaixo).

- Disponha sobre o EVA uma placa de madeira para que a cartolina não rasgue quando aesfera cair.(não aparece na foto)

¯ Forre a placa de madeira com uma cartolina e prenda com fita adesiva.

5 Roteiro

5.1 Realizando o experimento

(A) Disponha a esfera B em repouso no seu apoio. Verifique o ponto no qual a esfera A deverácoliidir com a esfera B e, com ajuda do prumo, marque a projeção desse ponto na cartolina.(B) Escolha uma posição fixa para abandonar a esfera A na canaleta – marque – e libere a esfera.Verifique se ambas as esferas caíram na região coberta pela cartolina. Em caso positivo coloquecada pedaço do papel carbono no local de queda. Caso negativo, procure uma nova posição paraliberar a esfera A até conseguir o resultado positivo.

(C) Da posição encontrada no item (B), repita o procedimento de choque 10 vezes.

(D) Retire a esfera B e afaste a base de apoio para que a esfera A possa cair livremente.

(E) Libere a esfera A da mesma altura que do item (C) mas agora sem choque, marcando o novolocal de queda com papel carbono 10 vezes.

5.2 Recolhendo os dados

Repare na Figura 5(F) Retire a cartolina do chão e com ajuda de um compasso faça um círculo envolvendo a regiãode queda de cada esfera.

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Figura 5: Cartolina com as marcas das quedas, os círculos desenhados e os vetores deslocamento.

Anote o resultado para o raio de cada círculo:

(raio do círculo para a esfera A sem choque) δSa =

(raio do círculo para a esfera A com choque) δS ′a =

(raio do círculo para a esfera B com choque) δS ′b =

Estes números representam a flutuação (ou incerteza) do experimento.

(F) Agora, meça o módulo do vetor deslocamento para esfera A sem choque. Meça tomando adistância do ponto do choque até o centro do círculo desenhado com o compasso.(F’) Agora, meça o módulo do vetor deslocamento para esfera A com choque, esfera B com choque.Meça tomando a distância do ponto de queda da esfera sem choque até a distância do centro docírculo desenhado com o compasso para as outras duas.

(esfera A sem choque) ∆Sa = (esfera A com choque) ∆S ′a =

(esfera B sem choque) ∆Sb = (esfera B com choque) ∆S ′b =

5.3 Tratamento de dados

(G) Defina agora o vetor,∆~ST = ∆~Sa + ∆~Sb , (13a)

e o vetor ,∆~S ′T = ∆~S ′a + ∆~S ′b . (13b)

Feito isso calcule os módulos de (lembre-se que é uma soma vetorial)

∆ST = e ∆S ′T =

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(H) Da mesma maneira, calcule a incerteza (δS ′T ) da medida ∆S ′T usando a equação seguinte:

δS ′T =2

∆S ′T

[∥∥∆S ′a + ∆S ′b cos(θ)∥∥ δS ′a +

∥∥∆S ′b + ∆S ′a cos(θ)∥∥ δS ′b +

∥∥∆S ′a∆S ′b sen (θ)∥∥ δθ] .

Perceba que δθ deve ser escrito em radianos, tal como expresso na Seção Materiais.(I) Agora tome um papel milimetrado ou um papel escalonado por você e desenhe dois segmentosde retas. Um deles representará o valor ∆ST e ou outro segmento representará o valor ∆S ′T .Também represente os intervalos das incertezas δST e δS ′T, com pequenos segmentos de retasperpendiculares, veja a Figura 6.

Figura 6: Representação dos segmentos de retas ∆ST e ∆S ′T e de suas respectivas incertezas.

(J) Por fim, compare os valores das medidas ∆ST e ∆S ′T e suas incertezas e verifique se as duasmedidas são diferentes ou iguais. Perceba que os valores de ∆ST e ∆S ′T não precisam ser idênticos.O que se necessita é que o intervalo das incertezas tenham uma interseção, veja a Figura 7.

Figura 7: Comparação entre as medidas. Em (a), as medidas são iguais, em (b) as medidas nãosão iguais.

(H) Para entender a precisão do experimento faça o seguinte cálculo:√(∆ST

δST

)2

+

(∆S ′TδS ′T

)2

× 100% ,

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que dará a porcentagem de incerteza. Quanto menor, mais preciso foi o experimento.

5.4 Conclusão

Faça um relatório deste experimento onde:

• O objetivo deve ser explicitado de forma clara e sucintas

• A introdução teórica deve conter a justificativa – argumento e dedução – do porquê sepoder vincular o vetor deslocamento ∆~S com o vetor momento linear ~p.

• A lista dos materiais deve ser a mesma que a indicada aqui.

• O procedimento deve ter uma pequena redação dissertativa explicando os passos e cuidadostomados para a obtenção de dados.

• A análise dos dados deve contar a análise feita neste experimento, bem como as suasopiniões pessoais – sob luz da teoria – a respeito dos dados.

• A conclusão deve fazer uma síntese, explicando se o objetivo foi alcançado ou não, umareafirmação da observação mais importante feita na análise de dados. Caso o objetivo nãotenha sido atingido, quais as justificativas possíveis para este fato.