unidade iii. centro de massa e momento linear

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UNIDADE III. SISTEMAS DE PARTÍCULAS E CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR Prof. Dr. Helder H. Ch. Sánchez IV.1 Movimento do Centro de Massa Vamos considerar um sistema de n-partículas de massas conhecidas m i como mostrado na Fig.1. Define-se o centro de massas do sistema de patículas, como o par ordenado (x C , y C ) tal que: Fig.1 Sistema de n massas pontuais m i , cujas posições ( x i , y i ) são conhecidas. (1) x C = m 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m n x n m 1 + m 2 + ... + m n = i n x i m i M , onde a massa total (2) M = i =1 n m i . Expressões semelhantes se definem para as coordenada y C e z C (no caso 3-dimensional): (3) y C = i n y i m i M , (4) z C = i n z i m i M , O raio vetor do centro de massa r C = x C i + y C j + z C k (5) r C = x C i + y C j + z C k = i n I x i m i i + y i m i j + z i m i k M M = i n r i m i M , e o raio vetor da i-éssima massa pontual é dado por r i = x i i + y i j + z i k . No caso de uma distribuição continua de massas, as somas em (8), (10), (11) e (12) se substituem por

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Page 1: Unidade III. Centro de Massa e Momento Linear

UNIDADE III. SISTEMAS DE PARTÍCULAS E

CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR

Prof. Dr. Helder H. Ch. Sánchez

IV.1 Movimento do Centro de Massa

Vamos considerar um sistema de n-partículas de massas conhecidas mi como mostrado na Fig.1.

Define-se o centro de massas do sistema de patículas, como o par ordenado (xC, yC) tal que:

Fig.1 Sistema de n massas pontuais mi, cujas posições (xi, yi) são conhecidas.

(1)xC =m1 x1 + m2 x2 + ... + mn xn

m1 + m2 + ... + mn

=Úi

nxi mi

M

,

onde a massa total

(2)M = âi=1

n

mi.

Expressões semelhantes se definem para as coordenada yC e zC (no caso 3-dimensional):

(3)yC =Úi

nyi mi

M

,

(4)zC =Úi

nzi mi

M

,

O raio vetor do centro de massa rÓ

C = xC i`

+ yC j`

+ zC k`

(5)rÓ

C = xC i`

+ yC j`

+ zC k`

=Úi

n Ixi mi i`

+ yi mi j`

+ zi mi k`M

M

=Úi

nrÓ

i mi

M

,

e o raio vetor da i-éssima massa pontual é dado por rÓ

i = xi i`

+ yi j`

+ zi k`.

No caso de uma distribuição continua de massas, as somas em (8), (10), (11) e (12) se substituem

por

Page 2: Unidade III. Centro de Massa e Momento Linear

(6)

xC =ÙM

x â m

M

, yC =ÙM

y â m

M

, zC =ÙM

z â m

M

,

e o raio vetor do centro de massas : rÓ

C =ÙM

â m

M

.

Se as partículas se movem com velocidades independentes entre si, vi, logo seu centro de massas

terá o vetor velocidade que pode ser achado derivando (5) com relação ao tempo

(7)ΥC = ΥxC i`

+ ΥyC j`

+ ΥzC k`

=Úi

nΥi mi

M

,

Se derivamos outra vez encontramos a aceleração do centro de massas:

(8)aC =Ha1 m1 + a2 m2 + ... + an mnL

M

=Úi

nai mi

M

,

pela segunda lei de Newton, cada termo ai mi representa a força agindo sobre a partícula i-ésima.

Forças agindo sobre uma partícula caim em duas categorias: forças internas devido as interações

com outras partículas dentro do sistema, e forças externas devido a agentes fora do sistema:

(9)F i = ai mi = F i,internas + F i,externas

por isto, escrevemos a Eq.(8) assim

(10)M aC = âi

n

F i,interno + âi

n

F i,externas.

Devido a terceira lei de Newton, o primeiro térmo do lado direito da Eq.(10) deve ser zero:

Úin

F i,interno = 0 porque a cada força agindo sobre uma partícula, existe uma força contrária e da

mesma magnitude agindo sobre a outra partícula, de modo que ao somar todas essas forças se

anulam. Assim, teremos apenas forças externas agindo sobre o sistemas de massas pontuais:

(11)M aC = âi

n

F i,externas = F tot,externa.

esta é a equação da segunda lei de Newton para um sistema de partículas. Podemos tirar a

seguinte conclusão da Eq.(11): O centro de massas de um sistema de partículas se move como

uma partícula de massa M = Úi=1n

mi sob a influência da força externa total agindo sobre

sistema. Este teorema é importantante porque descreve o movimento do centro de massas para

qualquer sistema de partículas: O centro de massas se comporta como sendo apenas uma

partícula pontual sob a qual agem as forças externas. Os movimentos das partículas individuais do

sistema são usualmente mais complexos e não são descritos pela (11).

Problema. Um projétil é lançado no ar com uma velocidade inicial de 24.5 m/s à 36.9� com

relação a horizontal. No ponto mais alto, explode em dois fragmentos de igual massa. Um

fragmento cai direto em terra. Onde cai o outro fragmento?

Fig.2

Solução.Como a única força externa agindo é a gravidade, o centro de massa, o qual está no meio

entre os fragmentos, continua em seu movimento parabólico como se não tive-se explosão

(Fig.2). O alcançe horizontal é x = R, de modo que o primeiro fragmento que cai reto em terra

tera sua posição x1 = 0.5R. O outro fragmento deve ter a posição x2 = 1.5R. Seja m a massa de

cada fragmento. Podemos verificar nosso raciocínio com o cálculo:

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Page 3: Unidade III. Centro de Massa e Momento Linear

Solução.Como a única força externa agindo é a gravidade, o centro de massa, o qual está no meio

entre os fragmentos, continua em seu movimento parabólico como se não tive-se explosão

(Fig.2). O alcançe horizontal é x = R, de modo que o primeiro fragmento que cai reto em terra

tera sua posição x1 = 0.5R. O outro fragmento deve ter a posição x2 = 1.5R. Seja m a massa de

cada fragmento. Podemos verificar nosso raciocínio com o cálculo:

xC =m x1 + m x2

2 m

, � R =0.5 R + x2

2, x2 = 1.5 R.

O alcançe horizontal é calculado como um problema puramente cinemático:

R =Υ0

2

g

SenH2 ΘL = 58.8 m,

por tanto

x2 = 1.5 R = 88.2 m.

Problema. Na molécula de amônia (NH3) da Fig.3, três átomos de hidrogênio (H) formam um

triângulo equilátero, com o centro do triângulo a uma distância d = 9.40�10-11

m de cada átomo de

hidrogênio. O átomo de nitrogênio (N) está no vértice superior de uma pirâmide, com os três átomos de

hidrogênio formando a base. A razão entre as massas do nitrogênio e hidrogênio é 13.9 e a distância

nitrogênio-hidrogênio é L = 10.14�10-11

m. Quais são as coordenadas a) x e b) y do centro de massa da

molécula?

Fig.3

Solução.(a) A figura é simétrica com relação ao eixo y, por conseguinte xC = 0.

(b) Para encontrar yC notamos que

yC =mH y1 + mH y2 + mH y3 + mN yN

3 mH + mN

=mN yN

3 mH + mN

,

onde yN é a ordenada do átomo de nitrogênio, cujo valor é

yN = L2

- d2

= 3.803� 10-11

m,

logo

yC =mN yN

3 mH + mN

=HmN � mHL yN

3 + HmN � mHL =H13.9L 3.803�10-11

3 + H13.9L m = 3.13 ´ 10-11m.à

Um caso especial do movimento do centro de massa de um sistema é quando sobre o sistema não

existe força externa total agindo sobre ele. Neste caso, aC = 0 e o sistema se moverá com veloci-

dade constante, isto é, o centro de massas se moverá de modo bem simples ainda quando cada

partícula do sistema pode ter movimentos complexos.

UNIDADE III. CENTRO DE MASSA E MOMENTO LINEAR.nb 3

Page 4: Unidade III. Centro de Massa e Momento Linear

IV.2 Conservação do Momento Linear

O momento linear de uma partícula p é definido como o produto de sua massa vezes sua

velocidade:

(12)p = m vÓ,

Em termos deste conceito re-formulamos a segunda lei de Newton para cada partícula de massa m

(13)Fext = m a = md v

Ódt

=d p

dt,

assim, o momento linear total de um sistema de partículas será dado pelo momento linear de seu

centro de massa:

(14)PC = M vÓ

C = âi

n

i mi.

Se admitirmos que a força total externa agindo sobre o sistema é zero, de acordo com a Eq.(11)

teremos um princípio de conservação do momento linear:

(15)PC = M aC = âi

n

i mi = Constante.

Esta lei da conservação do momento linear de um sistema dize: se a força externa total sobre

um sistema é zero, o momento linear total do sistema permanhece constante.

Problema. Uma bola se move com uma velocidade de 1.20m/s na diração +y sobre uma mesa

de cinuca e bate em uma bola igualmente massiva inicialmente em repouso (veja Fig.4). A bola

de cinuca é defletida tal que sua velocidade tem uma componente de 0.80m/s na direção +y e

uma componente de 0.56m/s na direção +x. Qual é a velocidade da batida da bola imediata-

mente depois da colisão?

Fig.4

Solução.O mais imediato para se fazer é escrever as velocidades inicial e final da bola que foi

lançada:

1 i = 1.20 j`

m � s, , vÓ

1 f = I0.56 i`

+ 0.80 j`M m � s,

Podemos usar a Eq.(15) e projetamos ela nos dois eixos x e y:

p1 i

= p1 f

+ p2 f

, � p1 iy = p1 fy + p2 fy, � p1 ix = p1 fx + p2 fx,

v1 iy = v1 fy + v2 fy, ou 1.20 m � s = 0.80 m � s + v2 fy,

logo v2 fy = 0.40 m � s.

De

p1 ix = p1 fx + p2 fx, � 0 = v1 fx + v2 fx,

ou v2 fx = -v1 fx = -0.56 m � s

4 UNIDADE III. CENTRO DE MASSA E MOMENTO LINEAR.nb

Page 5: Unidade III. Centro de Massa e Momento Linear

A velocidade da segunda bola é

2 f = I-0.56 i`

+ 0.40 j`M m � s, Υ2 f = H-0.56L2

+ H0.40L2m � s = 0.69 m � s.

IV.3 Colisões

Não existindo forças externas no sistema de partículas o momento linear se conserva, por outro

lado, se as forças entre as partículas são conservativas, e não existem perdas nem ganhos da

energia mecânica; a energia cinética total do sistema é a mesma tanto antes como depois da

colisão. Este último aspecto diferencia entre os diferentes tipos de colisões: se durante uma

colisão a energia cinética se conserva, isto é, a energia cinética total do sistema é o mesmo

antes e depois da colisão, a colisão é ELÁSTICA. Do contrário, a colisão é inelástica. Também,

se os corpos ficam totalmente grudados depois da colisão, falamos de colisão totalmente

inelástica.

IV.3.1.Impulso e Força Média

Durante as colisões são exercidas forças muito grandes sobre cada objeto que colide usualmente

durante intervalos de tempos muito curtos. Por exemplo, a força exercida por uma batida de

baseball sobre uma bola, podem ser mil vezes o peso da bola, porem esta enorme força é exer-

cida por apenas um mili segundo. Semelhantes forças são as vezes chamadas forças impulsivas.

A Fig.5 mostra a variação no tempo de uma força típica exercida por um objeto sob o outro

durante uma colisão. A força é grande durante grande parte do intervalo de tempo que dura a

colisão. Para outros tempos a força é desprezívelmente pequena. O impulso da força durante o

intervalo de tempo é um vetor definido como

Fig.5 A variação da componente x da força durante uma colisão vs tempo t de sua duração. A área

debaixo à curva representa o módulo do impulso ao longo do eixo x.

(16)IÓ

= àt1

t2

F ât

O impulso é uma medida tanto da intensidade e duração da força na colisão.

Usando a segunda lei de Newton como a taxa em que varia o momento linear na unidade de

tempo F =d p

dt, vemos que

(17)IÓ

= àt1

t2

F ât = àt1

t2 d p

dtât = à

p1

p2

â p = p2 - p1 = D p,

a Eq.(17) é chamada o teorema impulso-momento para uma partícula. Também o impulso sob

um sistema devido as forças externas é igual a variação total do momento linear do sistema:

UNIDADE III. CENTRO DE MASSA E MOMENTO LINEAR.nb 5

Page 6: Unidade III. Centro de Massa e Momento Linear

a Eq.(17) é chamada o teorema impulso-momento para uma partícula. Também o impulso sob

um sistema devido as forças externas é igual a variação total do momento linear do sistema:

(18)IÓtota ext = à

t1

t2

F tota ext ât = D Psist,

que é o teorema impulso-momento para um sistema de partículas.

Por definição, a força média para um intervalo Dt = t2 - t1 é definido por

(19)Fm =1

Dtà

t1

t2

F ât =1

DtIÓ

do qual

(20)IÓ

= Fm Dt

A força média é a força constante que da o mesmo impulso como a força principal no intervalo de

tempo como mostrado pelo retângulo na Fig.5. A força total média pode ser calculada da variação

no momento linear se o tempo da colisão é conhecido. Este tempo pode ser estimado usando o

deslocamento de um dos corpos durante a colisão.

Problema. Uma bola de borracha de 100g é deixada cair desde uma altura de 2.00m acima de

um piso duro. A Fig.6 anexa mostra a força que o piso exerce sob a bola. A que altura a bola

pula?

Fig.6

Solução.O problema deve ser divido em três partes: 1) queda livre para baixo, 2) colisão impul-

siva e 3) pulo livre para cima. Uma representação gráfica é mostrada na Figura anexa.

Fig.7

A velocidade da bola imediatamente antes da colisão Υ1 y é encontrada pela cinemática da queda

livre

Υ1 y

2= Υ0 y

2- 2 g Hy - y0L = 0 - 2 * 9.81 H-2.00L,

6 UNIDADE III. CENTRO DE MASSA E MOMENTO LINEAR.nb

Page 7: Unidade III. Centro de Massa e Momento Linear

Υ1 y

2= Υ0 y

2- 2 g Hy - y0L = 0 - 2 * 9.81 H-2.00L,

Υ1 y = -6.26 m � s Ha sinal indica a direção para abaixoLO teorema momento-impulso é dado pela Eq.(17) Iy = p2 y - p1 y ou p2 y = p1 y + Iy. O momento

linear justo antes da colisão é p1 y = mΥ1 y = -0.626 kgm �s. A força do piso é para cima, tal que seu

impulso Iy é positivo. Da Figura dada no problema

Iy = área debaixo da curva da força =1

2�H300L H0.0080L Ns = 1.200 Ns.

Logo

p2 y = p1 y + Iy = -0.626 kgm � s + 1.200 Ns = 0.574 kgm � s.

a velocidade associada a este momento linear

Υ2 y =1

m

p2 y = 5.74 m � s.

que é a velocidade da bola imediatamente depois de colidir. Agora use cinemática da queda livre

para encontrar a altura

Υ3 y

2= Υ2 y

2- 2 g y � 0 = 5.742

- 2 H9.81L y, � y =5.742

2 H9.81L = 1.68 m .

Problema. Determine o impulso nas seguintes situações: a) A força aplicada sobre uma

partícula de 250g varia com o tempo como mostrado na Fig.8(a). b) A força aplicada sobre uma

partícula de 3.0kg varia com o tempo como mostrado na Fig.8(b).

Fig.8

IV.3.2.Colisões em 1-Dimensão

IV.3.2.1.Colisões Perfeitamente Inelásticas

Na Fig.(9) mostramos duas partículas de massas m1 e m2 se movendo com velocidades iniciais Υ1 i

e Υ2 i ao longo da mesma linha reta. As partículas colidem frontalmente, ficando depois disso

grudadas, e logo se movem com uma velocidade comum Υ f depois da colisão. Como o momento

de um sistema isolado é conservado em qualquer colisão, podemos dizer que o momento total

antes da colisão é igual ao momento total do sistema composto depois da colisão

(21)m1 Υ1 i + m2 Υ2 i = Hm1 + m2L Υ f

Fig.(9) Representação gráfica de uma colisão perfeitamente inelástica frontal, (a) antes e (b)

depois da colisão.

Resolvendo para a velocidade final dá

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Page 8: Unidade III. Centro de Massa e Momento Linear

Fig.(9) Representação gráfica de uma colisão perfeitamente inelástica frontal, (a) antes e (b)

depois da colisão.

Resolvendo para a velocidade final dá

(22)Υ f =m1 Υ1 i + m2 Υ2 i

m1 + m2

IV.3.2.2.Colisões Elásticas

Na Fig.(10) mostramos duas partículas de massas m1 e m2 se movendo com velocidades iniciais

Υ1 i e Υ2 i ao longo da mesma linha reta. As partículas colidem frontalmente de modo completa-

mente elástico, ficando depois disso separadas com velocidades grudadas, e logo se separam cada

qual com velocidades Υ1 f e Υ2 f . Neste caso, tanto o momento linear e a energia cinética do

sistema são conservados. Por conseguinte, considerando as velocidades ao longo da direção

horizontal na Fig.(10). Consideramos velocidades positivas se apontam para à direita e

negativas se as velocidades apontam para à esquerda, logo as equações para a conservação do

momento linear e da energia cinética são:

(23)m1 Υ1 i - m2 Υ2 i = -m1 Υ1 f + m2 Υ2 f

(24)m1

2Υ1 i

2+

m2

2Υ2 i

2=

m1

2Υ1 f

2+

m2

2Υ2 f

2

Fig.(10) Representação gráfica de uma colisão perfeitamente elástica frontal, (a) antes e (b)

depois da colisão.

Supondo que as massas e velocidades iniciais são conhecidos as equações (23) e (24) podem ser

obtidos expressões para as velocidades finais:

(25)Υ1 f =Hm2 - m1Lm1 + m2

Υ1 i +2 m2

Hm1 + m2L Υ2 i

(26)Υ2 f =2 m1

m1 + m2

Υ1 i +Hm1 - m2LHm1 + m2L Υ2 i

Se m1 = m2 temos

(27)Υ1 f = Υ2 i

(28)Υ2 f = Υ1 i,

o que mostra que as partículas trocam de velocidades.

Se a partícula 2 está inicialmente em repouso Υ2 i = 0:

(29)Υ1 f =Hm2 - m1Lm1 + m2

Υ1 i

(30)Υ2 f =2 m1

m1 + m2

Υ1 i.

Problema. O pêndulo balístico (Fig.11) é um aparelho utilizado para medir a velocidade de um

projéctil em movimento rápido, tal como uma bala. Uma bala de massa m1 é disparado em um

grande bloco de madeira de massa m2 suspenso de alguns fios, como mostrado na figura. A bala

se incorpora no bloco, e o sistema como um todo sobe uma altura h. Como podemos determi-

nar a velocidade da bala com a medição de h?

Fig.11

8 UNIDADE III. CENTRO DE MASSA E MOMENTO LINEAR.nb

Page 9: Unidade III. Centro de Massa e Momento Linear

Problema. O pêndulo balístico (Fig.11) é um aparelho utilizado para medir a velocidade de um

projéctil em movimento rápido, tal como uma bala. Uma bala de massa m1 é disparado em um

grande bloco de madeira de massa m2 suspenso de alguns fios, como mostrado na figura. A bala

se incorpora no bloco, e o sistema como um todo sobe uma altura h. Como podemos determi-

nar a velocidade da bala com a medição de h?

Fig.11

Solução.Primeiro calculamos a velocidade do sistema bloco + bala, a qual pode-se considerar

como uma colisão totalmente inelástica. Usamos a Eq.(22), sendo que ΥBi = 0

ΥB =m1 Υ1 A

m1 + m2

Quando o sistema inteiro bala + bloco sobe uma altura h, chamamos esta nova posição como C e

podemos usar conservação da energia total entre as posições inferior B e no topo C:

m1 + m2

2ΥB

2+ UB =

m1 + m2

2ΥC

2+ UC

como UB = 0, ΥC = 0, UC = Hm1 + m2L gh obtemos

m1 + m2

2

m1 Υ1 A

m1 + m2

2

= 0 + Hm1 + m2L gh

a solução para Υ1 A é

Υ1 A =m1 + m2

m1

2 gh .

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