Aplicações: Densidade e Massa

( , ) - função densidade (em unidades de massa por unidade de área)no ponto ( , ) .

x y

x y D

lâmina

Aplicações: Momentos e Centro de Massa

( , ) 0 fora de .x y D

é a massa da parte lâmina que ocupa ,

onde A é a área de ij

ij

R

R

massa total da lâmina

Massa total da lâmina

Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 3 Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloOutro tipo de densidadeSe uma carga elétrica está distribuída sobre

uma região e a densidade de carga

(em unidades de carga por unidades de

área) é dada por em um

ponto então a carga total

é dada por

( , ) .D

Q x y dA

( , )x y

D

( , ) ,x y D Q

Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 3 Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 1Uma carga está distribuída sobre uma

região da figura de modo que a

densidade de carga em seja

medida em coulombs por

metro quadrado Determine a

carga total.

2(C / m ).

D

( , )x y

( , ) ,x y xy

Exemplo 1

Exemplo 1

Momentos e Centro de Massa

MomentosMomento em torno do eixo

Momento em torno do eixo

x

y

Centro de MassaAs coordenadas do centro de massa de uma lâmina são dadas por

onde (massa) e

é a função densidade.

( , )x y

Exemplo 2Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices

se a função

densidade é

(0,0),(1,0) e (0,2),

( , ) 1 3 .x y x y

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 3A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é proporcional à distância do centro do círculo. Determine o centro de massa da lâmina.

Exemplo 3

Exemplo 3Função densidade

onde é uma constante.Conversão para coordenadas polares

e a região é dada por D

Exemplo 3

Exemplo 3 (pois tanto a lâmina como a função densidade são simétricas com relação ao eixo ).y

Momento de InérciaO momento de inércia (segundo momento) de uma partícula de massa em torno de um eixo é definido como

onde é a distância da partícula ao eixo.

m2 ,mr r

Momento de InérciaMomento de inércia da lâmina em torno do eixo

Momento de inércia da lâmina em torno do eixo

x

y

Momento de InérciaMomento de inércia em torno da origem, também chamado momento polar.

Exemplo 4Determine os momento de inérciado disco homogêneo com densidade centro na origem e raio

Note que a fronteira de é o círculo que em coordenadas polares é descrito como

0, e x yI I ID

( , ) ,x y .a

D2 2 2x y a

D

Exemplo 4

Exemplo 4 e (da simetria do problema)

Portanto