caderno do aluno matemática 3ª serie 3º bimestre

Caro(a) aluno(a),

Neste Caderno, o foco de estudo ser a ideia de funo, que a traduo, em linguagem matemtica, da relao de interdependncia entre duas ou mais grandezas. Estudam-se funes tanto no Ensino Fundamental como no Ensino Mdio, em diversas situaes: na proporcionalidade direta ou inversa, nas funes polinomiais, nas funes exponenciais e logartmicas, nas funes trigonomtricas. Assim, nas primeiras atividades deste Caderno voc estudar as funes j apresentadas em anos anteriores, tendo em vista no somente a reviso de suas principais caractersticas, mas tambm a construo de um panorama comparativo das relaes de interdependncia j conhecidas. No estudo das funes, voc poder relacionar determinado tipo de funo com seu respectivo grfico, compreender a funcionalidade da construo de um grfico, verificar que as funes so importantes na explicao de vrios fatos do nosso cotidiano e que, a partir dessa ideia, podemos realizar conexes com outras reas do conhecimento. O Caderno vai ainda apresentar a voc, aluno(a), as trs formas bsicas de crescimento e decrescimento, tentando caracterizar a rapidez com que elas ocorrem por meio da taxa de variao. Descortinar uma srie de ideias sobre a variao de funes poder ser til na compreenso de alguns fenmenos naturais e econmicos, como as taxas de inflao, por exemplo. Esperamos que voc participe de todas as atividades propostas por seu professor e, com isso, possa aprender cada vez mais!

Equipe Tcnica de Matemtica rea de Matemtica Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas CENP Secretaria da Educao do Estado de So Paulo

Matemtica - 3a srie - Volume 3

SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 GRANDEZAS, INTERDEPENDNCIA: UM PANORAMA SOBRE FUNES

Leitura e Anlise de Texto Uma grandeza algo que pode ser medido; seu valor o resultado dessa medida e pode ser constante ou varivel em cada situao concreta. Chamaremos uma grandeza varivel (ou constante) apenas de varivel (ou constante). Quando uma varivel y depende de outra varivel x de tal forma que a cada valor que atribumos livremente a x corresponde um nico valor para y, dizemos que y uma funo de x e escrevemos y = f(x). Dizemos que x a varivel independente e que y a varivel dependente. Naturalmente, qualquer letra pode representar as variveis dependente e independente. Quando escrevemos w = f(z), por exemplo, queremos dizer que a varivel dependente w uma funo da varivel independente z. Uma grandeza pode depender dos valores atribudos a duas outras; a rea A de um retngulo, por exemplo, depende dos comprimentos de seus dois lados, x e y. Dizemos, nesse caso, que A uma funo das duas variveis independentes x e y. Na escola bsica, somente estudamos funes de uma varivel, mas podemos facilmente imaginar situaes prticas em que uma grandeza depende simultaneamente de vrias outras, sendo uma funo de diversas variveis.

PESQUISA INDIVIDUAL

Muitos livros didticos de Matemtica, destinados aos alunos do Ensino Mdio, tratam de funes. Utilize alguns exemplares dessas sries para pesquisar e anote, em uma folha avulsa, as principais caractersticas das seguintes funes: Funode1o grau: y = ax + b, com a e b constantes, a 0. Funode2o grau: y = ax2 + bx + c, com a, b e c constantes, a 0. Funesexponencialelogartmica:y = ax e y = loga x, com a > 0 e a 1. Funestrigonomtricas:y = sen x, y = cos x, y = tg x.3

k Funoy = __ , com k constante, k 0. x


VOC APRENDEU? 1. Com base na pesquisa realizada anteriormente, foi possvel relacionar determinado tipo de funo com seu respectivo grfico. A seguir, temos uma tabela que traz, na coluna da esquerda, alguns desses tipos de funes e, na coluna da direita, a representao de alguns grficos. Relacione cada funo sua respectiva imagem grfica:

( I. O comprimento C de uma circunferncia uma funo de seu raio x: C =2x

)

t

( II. A rea A de um quadrado uma funo de seu lado x: A = x2

)

( III. A massa m de uma substncia radioativa diminui com o tempo, ou seja, uma funo do tempo de decomposio t: m = f(t). Para certa substncia, tem-se m = mo.2 0,1t, onde mo a massa inicial e t o tempo de decomposio em horas. IV. Uma pequena bola presa a uma mola ( perfeitamente elstica. Afastada da posio O de equilbrio, a uma distncia a, a bola oscila em torno da mola, deslocando-se em uma superfcie lisa, horizontal. A distncia x da bola at o ponto O depende do instante t considerado, ou seja, uma funo de t: x = f(t). No caso, temos x = a.cos(kt), onde k uma constante que depende da elasticidade da mola e da massa da bola.4

)

)C

2p 1

x


V. Mantendo-se a temperatura constante, a presso P de um gs no interior de um recipiente de volume varivel V uma funo k de V: P = f(V). No caso, temos P = __ , onde V k uma constante.

(

)a O a

x

t

2.NafiguraseguinteestrepresentadaumavigaretaAB,quesustentaumarcoABdeparbola, construdo em ferro e apoiado em hastes verticais. A largura L do vo de 40 m e a flecha f do arco de parbola tem 5 m. Sabendo que as hastes verticais so igualmente espaadas no vo, calcule seus comprimentos y1, y2 e y3.y

f A 0 L

y1 x1

y2 x2

y3 x3

B x

3.Entretodososretngulosdepermetro24m,qualdelestemamaiorrea?Registresuaresposta no espao a seguir.

1m 11 m

6m

6m

5


4. A populao N de determinado municpio cresce exponencialmente desde a sua fundao, h 20anos,deacordocomaexpressoN= 3 000 . 100,1t, sendo t em anos. a) Esboce o grfico de N como funo de t. (Sugesto: atribua para t valores mltiplos de 10.)

6


b) Calcule o valor da populao N, 15 anos aps a fundao do municpio.

c) Depois de quanto tempo, aps a fundao, o valor de Natingiu216000habitantes?

5. Certa substncia radioativa se decompe de tal forma que sua massa m reduz-se metade do valor inicial a cada 4 horas, ou seja, m = mo.20,25t, sendo mo o valor inicial da massa (t em horas). Partindo de 60 g da substncia, pede-se: a) o grfico de m como funo de t;

7


b) a massa m restante aps 8 horas;

c) a expresso de t como funo de m;

d) apsquantotempoamassarestanteseriguala12g?

6. Uma pequena bola presa a uma mola perfeitamente elstica, apoiada em uma superfcie horizontal lisa, conforme mostra a figura. Com a mola em seu comprimento normal, a bolinha fica em equilbrio, parada. Afastando-se a bolinha 10 cm da posio de equilbrio, a mola fica esticada; abandonando-se, ento, a bolinha, ela passa a oscilar em torno da posio inicial, realizando um movimento de vai e vem. possvel mostrar que o afastamento x da bolinha em relao posio de equilbrio uma funo peridica do tempo t e pode ser expressa pela frmula x = 10.cos(kt), com x em centmetros e t em segundos. Notando que a bolinha retorna posio em que foi abandonada (x = 10) a cada 4 segundos:

a

posio inicial

O x x = a.cos(kt)

a) determine o valor de k;

8


10 b) calcule o valor de x para t = 1 s, t =2s,t= 3 s e t = ___ s; 3

c) construa o grfico de x como funo de t.

LIO DE CASA

Leitura e Anlise de Texto Para esboar o grfico de funes polinomiais como f(x) =(x1).(x2).(x5) importante considerar os seguintes passos: Calcular as razes da funo, isto , pontos que cruzam o eixo x. Podemos perceber que o grfico corta o eixo xnospontos(1;0),(2;0)e(5;0),ouseja, x = 1, x =2ex= 5 so razes da equao polinomial de grau 3, correspondente igualdade f(x) = 0. Isso suficiente para um esboo do grfico de f(x), pelas seguintes razes:9


curvaquerepresentaogrficodeumafunopolinomialcontnua,suave,asa sumindo todos os valores intermedirios entre dois valores dados; nmeroderazesreaisdeumaequaopolinomial(algbrica)degrau3,no o mximo, 3; mconsequncia,ogrficonocortaroeixox em outro ponto, alm dos 3 j e identificados; opontodogrficoquecruzaoeixoy o valor de f(0), isto : f(0) =(1).(2).(5)= 10, ou seja, o ponto (0; 10). Reunindo as informaes anteriores, temos o esboo do grfico:y f(x) =(x1).(x2).(x5)

0

1

2

5

x

10

Construindo o grfico efetivamente, usando um software, obtemos:14 y 12 10 8 6 4 2 0 2 0 4 6 8 10 12 14 16

x 1 2 3 4 5 6 7

1

interessante notar que, na funo polinomial f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, quando x assume valores muito altos, os valores de f(x) acompanham de perto os valores absolutos de ax3. Esses valores sero muito altos se a > 0; ou muito baixos, se a < 0. No exemplo, como a = 1, temos valores de f(x) muito altos para valores muito grandes de x e valores de f(x) muito baixos para valores muito pequenos de x.10


1. Esboce o grfico da seguinte funo polinomial: f(x) =x.(x+1).(x2).(x3)

11


12


SITUAODEAPRENDIZAGEM2 CONSTRUO DE GRFICOS: UM OLHAR FUNCIONAL

Leitura e Anlise de Texto Geralmente, traamos grficos de funes apoiados na construo de tabelas. Contudo, muitos grficos podem ser obtidos sem tomar por base as concluses que resultam de uma representao de pontos isolados. Nesse trabalho importante ler e interpretar as indicaes de quais operaes devemos realizar com a varivel independente (x) para obter valores referentes varivel dependente (y). Para ilustrar o que pretendemos dizer, vamos explorar a construo de alguns grficos. A funo f(x) = x 2 7 indica, por exemplo, que para encontrar os valores de y = f(x) devemos elevar a varivel independente x ao quadrado e diminuir 7 unidades do resultado obtido. Desse modo, para representar os pontos (x;y) em que y = x 2 7, podemos imaginar que o grfico de y = x 2 foi deslocado 7 unidades para baixo na direo do eixo y. Dessa forma, o grfico de f(x) = x 2 7 pode ser construdo a partir da construo de um grfico mais simples: f(x) = x 2.y = x2 10 5 6 4 2 5 0 2 y f(x) = x2 7 4 6 x

No caso da funo de f(x) =2+senx,osvaloresdey sero determinados depois que encontrarmos o valor do seno da varivel independente x e a esse valor adicionarmos 2unidades.Nessecaso,podemosimaginarqueogrficomaissimplesdafunodey= sen x serdeslocado2unidadesparacimanadireodoeixoy.4 2 15 10 5 2 4 0 5 10 y = sen x 15 x y f(x)=2+ sen x

13


VOC APRENDEU? 1. Utilizando o mesmo sistema de coordenadas, esboce os grficos das seguintes funes: a) f(x) = x2 + 9 b) g(x) = x2 9 c) h(x) = 9 x2 d) m(x) = 9 x2

14


2.Agora,esboceosgrficosdasfunesindicadasaseguirnomesmosistemadecoordenadas: a) f(x) = cos x b) g(x) = 5 + cos x c) h(x) = 3 + cos xy 6 4 2 0,75 0,5 0,25 0 2 4 6 0,25 0,5 0,75 1,25 1,5 1,75 2 x

3. Para o grfico de f(x) = (x 3)2, podemos imaginar o grfico de y = x2 deslocado 3 unidades para a direita na direo do eixo x. O grfico de y = (x 3)2 como se fosse o de y = X2, sendo X = x 3. O vrtice da parbola desloca-se do ponto em que x = 0 para o ponto em que x = 3. A seguir, construa o grfico dessa funo.8 y

6

4 2

3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

x

4. O grfico de f(x) = 3(x +2) pode ser construdo a partir do grfico de y = 3x. Nesse caso, poderemos perceber um deslocamento para a esquerda na direo do eixo x. O grfico de y = 3(x + 2) como se fosse o de y = 3X, sendo X =x+2.comoseoeixoy se deslocasse horizontalmente de tal forma que o antigo ponto em que x = 0 coincidisse com o novo ponto em que x =2 (ou seja, X = 0). Faa um esboo dessa situao no sistema de eixos a seguir.15


y 25

20

15

10

5

4,5

4 3,5

3 2,5

2 1,5 1 0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5 x

5. Para obter o grfico de y = 4 + log2 (x 5), podemos imaginar o grfico de y = log2 x deslocado 5 unidades para a direita, como se estivssemos construindo o grfico de y = log2 X, sendo X = x 5. Faa o esboo da situao descrita para obter o grfico de y = 4 + log2(x 5).8 6 4 2 2 1 2 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x y

1 6. Vamos agora pensar no grfico de f(x) = _____ . Para construir o grfico de f(x), podemos x2 + 1 comear com o de y = x2. A seguir, fazemos o grfico de y = x2 + 1, deslocando uma unidade para cima o de y = x2, na direo do eixo y. A partir da, para obter o grfico de f(x), representamos os pontos (x ; y) tais que o valor de y seja o inverso de x2 + 1, para cada valor de x.16


importante notar que: no ponto onde x = 0, x2 + 1 vale 1 e o inverso de x2 + 1 tambm igual a 1; em todos os outros pontos, x2 + 1 positivo e maior que 1; logo, seu inverso positivo e menor que 1; 1 assim, o grfico de f(x) = _____ situa-se sempre acima do eixo x, aproximando-se mais e x2+ 1 mais dele medida que o valor de x aumenta, pois quanto maior for o valor de x2 + 1, menor ser o valor de seu inverso. 1 Resumindo, na construo do grfico de f(x) = _____ , podemos seguir os seguintes passos: x2+ 1 construir o grfico de y = x2; construir o grfico de y = x2 + 1; 1 construir o grfico de f(x) = _____ . x2+ 1 1 Faa o esboo da situao descrita para traar o grfico de f(x) = _____ . x2+ 1y

7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

x

1 7. Para o grfico de f(x) = __, podemos fazer o grfico de y = x e representar, para cada valor de x, x a ordenada y, que o inverso de x. importante notar que: quandox= 0, no existe o inverso de x, ou seja, a funo f(x) no est definida;17


uantomaisprximode0o valordex, maior o valor absoluto do inverso de x, q sendo que valores de x positivos tm inversos positivos e valores de x negativos tm inversos negativos; uantomaiorovalorabsolutodex, tanto positivo quanto negativo, mais prximo de 0 q o inverso de x, sendo o sinal de x sempre igual ao sinal de seu inverso. 1 Faa o esboo da situao descrita para obter o grfico de f(x) = __. x5 4 3 2 1 y

4,5 4 3,5

3 2,5

2 1,5 1 0,5 1 2 3 4 5

0 0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5 x

LIO DE CASA

1. O grfico de f(x) = 3 sen x anlogo ao de y = sen x, com a amplitude aumentando de 1 para 3 unidades, ou seja, os valores de f(x) oscilaro entre +3 e 3. Faa o esboo des se grfico no plano a seguir.18


y 3 2 1 x 1,25p p 0,75p 0,5p 0,25p 1 2 3 0 0,25p 0,5p 0,75p p 1,25p 1,5p 1,75p 2p 2,25p 2,5p

2.Esboce,nomesmosistemadecoordenadas,osgrficosdasfunesindicadasaseguir: a) f(x) = 3x b) g(x) = 3x 1 c) h(x) = 3x + 1 d) m(x) = 3x e) n(x) = 3x + 1y 20

15

10

5

x 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

19


20


SITUAO DE APRENDIZAGEM 3 AS TRS FORMAS BSICAS DE CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO: A VARIAO E A VARIAO DA VARIAO A forma-padro de crescimento ou decrescimento: f(x) = ax + b

Desafio! Os grficos a seguir representam o preo mdio P dos alimentos da mesma cesta bsica, em diferentes pases, em funo do tempo t, ao longo de determinado ano.P P P pas A pas A P pas A pas A P pas C pas C P pas C pas C

P

P

t

t

t P

t

P

P

t pas B pas B

t

P

pas Dt

pas D

t

P

P pas B pas B

P

P pas D pas D

t P

t P P

t

t

P

t pas E

t pas E21

t

t

P

P

P

P pas G pas G

pas E

pas E

pas G

pas G

t Matemtica - 3a srie - Volume 3 t P P P pas F pas E pas E P t P P t t t

pas H pas G pas G

P pas C t t t P t P P t pas F pas D pas F pas I pas H P t

sA

t t P P pas H

t t t P pas E pas G pas J t

t t

t

P

t t P t

22pas H

pas F


Pergunta-se: a) Em que pas os preos estiveram estabilizados ao longo do ano?

b) Em que pas os preos cresceram a uma taxa constante?

c) Em que pas os preos cresceram a taxas crescentes?

d) Em que pas os preos decresceram a uma taxa constante?

e) Em que pas os preos cresceram a taxas decrescentes?

f ) Em que pas os preos decresceram a taxas decrescentes?

g) Em que pas os preos inicialmente cresceram a uma taxa constante e, posteriormente, cresceram a taxas decrescentes?

h) Em que pas os preos decresceram a taxas crescentes?

i) Em que pas os preos inicialmente cresceram a taxas crescentes, depois cresceram a taxas decrescentes?

j) Em que pas os preos inicialmente decresceram a taxas crescentes, depois decresceram a taxas decrescentes?

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Leitura e Anlise de Texto As funes de 1o grau, expressas na forma f(x) = ax + b, so crescentes (a > 0) ou so decrescentes (a < 0), sendo que o coeficiente a representa a variao em f(x), quando x aumenta em 1 unidade a partir de qualquer valor inicial. O valor de a chamado taxa de variao unitria de f(x), ou somente taxa de variao de f(x). Naturalmente, se a = 0, ou seja, se a taxa de variao zero, ento a funo f(x) constante: f(x) = b.y a 1 1 a (a > 0, funo crescente) f(x) = ax + b (a < 0, funo decrescente)

b a = 0 (funo constante) x taxa de variao = a = variao de f(x) por unidade a mais de x a = f(x + 1) = f(x) = constante

De modo geral, dizemos que uma funo f(x) crescente nos intervalos em que ocorre o seguinte: se os valores de x crescem, ento os correspondentes valores de f(x) tambm crescem. Dizemos que f(x) decrescente nos intervalos em que ocorre o seguinte: se os valores de x crescem, ento os correspondentes valores de f(x) decrescem. O significado do crescimento ou do decrescimento no grfico de f(x) bastante expressivo:y f(x) crescente yy2 y f(x) crescente

y y2

y1

f(x) decrescentey1

f(x) decrescente

y aumenta

y aumenta

y diminui

y diminui y2

y1

y2y1

x x1 x1 x2 x2 x aumenta x aumenta

xx

x

x1

x2 x1 x aumenta aumenta x

x2

24


Consideremos uma funo que no de 1o grau, ou seja, cujo grfico no uma reta. Ao observ-lo, constatamos que a taxa de variao unitria de f(x), ou seja, a variao de f(x) por unidade a mais de x, no mais constante, isto , a diferena f(x + 1) f(x) passa a depender do valor de x a partir do qual ela calculada. Por exemplo, ef(x)= 5x + 7, ento f(x + 1) f(x) = 5(x + 1) + 7 (5x + 7) = 5, ou seja, a taxa s de variao unitria de f(x) = 5x + 7 constante e igual a 5; exatamente o valor de a na funo: a = 5. oentanto,sef(x)= 5x2 + 7, ento f(x + 1) f(x) = 5(x + 1)2 + 7 (5x2 + 7) = 10x + 5, n ou seja, a taxa de variao unitria de f(x) = 5x2 + 7 igual a 10x + 5; portanto, a taxa varia com o valor de x para o ponto considerado. Assim, chamaremos o valor da diferena f(x + 1) f(x) de taxa de variao unitria de uma funo para cada valor de x.B y a

f(x) cresce a taxas crescentes a < a < a f(x) = ax + b cresce a uma taxa constante1

A

1

a1

a

a1

a1 1

C a

a1

a

1

a1

f(x) cresce a taxas decrescentes a > a > ax

Quando uma funo f(x) cresce a taxas crescentes, seu grfico fica curvado para cima; quando ela cresce a taxas decrescentes, seu grfico fica curvado para baixo. Basicamente, em cada intervalo considerado, estas so as trs formas de crescimento: crescer linearmente, com taxa de variao constante; crescer cada vez mais rapidamente, ou seja, com taxas de variao crescentes, o que faz com que o grfico fique curvado para cima;25


crescer cada vez mais lentamente, o que faz com que o grfico fique curvado para baixo. De forma anloga, em dado intervalo, uma funo pode decrescer de trs modos distintos: decrescer linearmente, com taxa de variao constante; decrescer cada vez mais rapidamente, ou seja, com taxas de variao crescentes em valor absoluto (as taxas so negativas); decrescer cada vez mais lentamente, ou seja, com taxas de variao decrescentes em valor absoluto (as taxas so negativas). O grfico a seguir ilustra as trs formas de decrescimento:y1

a1

a1

1 1

a a1 1

a

f(x) decresce a taxas decrescentes (em valor absoluto)a B x

1

a a1

A a C

f(x) decresce a taxas crescentes (em valor absoluto)

f(x) decresce a uma taxa constante

Quando uma funo decresce a taxas decrescentes, seu grfico fica curvado para cima; quando ela decresce a taxas crescentes, seu grfico fica curvado para baixo.

Observao! Nas atividades a seguir, sempre que fizermos meno a decrescimentos, as taxas sero consideradas em valor absoluto, isto , em mdulo.26


VOC APRENDEU?

1. Com base nos conhecimentos apresentados na seo Leitura e Anlise de Texto, retome o Desafio! inicialmente proposto nesta Situao de Aprendizagem e corrija-o, se necessrio.

2.Nogrficoaseguiridentifiqueosintervalosnosquais:y

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12 x

a) a funo f(x) positiva;

b) a funo f(x) negativa;

c) a funo f(x) constante;

d) a funo f(x) crescente;

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e) a funo f(x) decrescente;

f ) a funo f(x) cresce a uma taxa constante;

g) a funo f(x) decresce a uma taxa constante;

h) a funo f(x) cresce a taxas crescentes;

i) a funo f(x) cresce a taxas decrescentes;

j) a funo f(x) decresce a taxas crescentes;

k) a funo f(x) decresce a taxas decrescentes.

3. Quando uma pedra lanada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 40 m/s, a partir de uma altura inicial de 45 m, ela sobe com velocidade cada vez menor, at atingir uma altura mxima em relao ao solo, quando momentaneamente para. A partir da, ela desce cada vez mais rapidamente at chegar ao solo. Sabemos que, por causa da fora da gravidade (peso), que age sobre a pedra, sua velocidade diminui a uma taxa constante de aproximadamente 10 m/s a cada segundo no movimento de subida. Podemos descrever o movimento da pedra por meio de uma28


funo de 1o grau, que representa sua velocidade, e de umafunode2o grau, que representa sua altura em relao ao solo. Nesse caso, as funes que representam a velocidade e a altura so as seguintes: v = 40 10t (a partir do valor inicial 40 m/s, a velocidade diminui 10 m/s a cada segundo, ou seja, a taxa de variao da velocidade de 10 m/s por s, que se escreve 10 m/s2) h = 45 + 40t 5t2 (a partir do valor inicial 45 m, a altura aumenta at um valor mximo, diminuindo posteriormente at atingir o valor zero). Pede-se: a) construir o grfico de v como funo de t; b) construir o grfico de h como funo de t; c) determinar o valor mximo de h(t); d) determinar o valor de t quando a pedra voltar a passar pela posio inicial; e) calcular depois de quanto tempo a pedra atinge o solo.1 t=0

2

h mx v=0

v = 40 m/s

45 m

3

0

f ) Observando os grficos de h(t) e v(t), assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) nas frases seguintes: ( ) A velocidade decresce a uma taxa constante. ( ) A altura h cresce cada vez mais lentamente at atingir o valor mximo; depois decresce cada vez mais rapidamente.

( ) A altura cresce a taxas decrescentes at o valor mximo; depois decresce a taxas crescentes.

29


30


LIO DE CASA

1.Considereogrficodafunode2o grau f(x) = (x 5).(x + 1), indicado a seguir.y f(x) = (x + 1).(x 5) 0 1 2 3 4 5 6 7

3 2 1 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x

a) Identifique os intervalos em que f(x) > 0 e os intervalos em que f(x) < 0.

b) Identifique os intervalos em que f(x) crescente e os intervalos em que decrescente.

c) Qualifique o crescimento e o decrescimento de f(x), informando se eles ocorrem a taxas crescentes ou a taxas decrescentes.

31


2.Construaogrficodasfunesaseguir: a) f(x) = 3x b) g(x) = 3x c) h(x) = log3 x d) m(x) = log__ x 13

Identifique, em cada caso, se a funo crescente ou decrescente, bem como se o crescimento ocorre a taxas crescentes ou a taxas decrescentes.y 8 6 4 2 0 2 4

3,5

3

2,5

2 1,5

1

0,5

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5 x

32


VOC APRENDEU?

1. No mesmo sistema de coordenadas, construa o grfico das funes f(x) = sen x e g(x) = cos x entre x = 0 e x =2.y 2 1,5 1 0,5 x 0 0,5 1 1,5 0,25p 0,5p 0,75p p 1,25p 1,5p 1,75p 2p 2,25p

a) Identifique os intervalos em que f(x) e g(x) so crescentes e os intervalos em que so decrescentes.

b) Compare os grficos de f(x) e de g(x), observando que os valores mximos de uma das funes ocorrem nos pontos em que a outra se anula e vice-versa.

33


c) Compare os grficos de f(x) e de g(x), verificando que a concavidade de f(x) muda (de grfico encurvado para baixo para grfico encurvado para cima ou vice-versa) nos pontos em que g(x) assume valores extremos (mximo ou mnimo) e vice-versa em relao a g(x).

34


SITUAO DE APRENDIZAGEM 4 OS FENMENOS NATURAIS E O CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO EXPONENCIAL: O NMERO Leitura e Anlise de Texto As funes so instrumentos fundamentais para a representao das relaes de interdependncia entre grandezas, conforme estamos vendo neste volume. As funes de 1o grau f(x) = ax + b, por exemplo, prestam-se muito bem para representar relaes que envolvem proporcionalidade. J na representao de fenmenos peridicos, utilizamos funes trigonomtricas como f(x) = sen x ou f(x) = cos x e, para expressar crescimento ou decrescimento exponenciais, entram em cena as funes na forma f(x) = ax. A funo exponencial uma propriedade caracterstica J conhecemos a funo f(x) = ax, com a > 0 e a 1. Vamos agora destacar uma propriedade caracterstica dessa funo que pode ter passado despercebida. Consideremos a funo f(x) = 2x e seu grfico. Calculemos f(x) para os valores inteiros de x, comeando com x = 0.32 y 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 2 1 0 1 2 f(x)=2x 16

8 4 2 3 4 5 6 x

x 0 1 2 3 4 5 6 7

2x 1 2 4 8 16 32 64 128

f(x + 1) f(x) 1 2 4 8 16 32 64 ...

Notamos que quando x aumenta em 1 unidade, a partir de x = 0, a variao em f(x) igual,sucessivamente,a1,2,4,8,16,32,64,...,ouseja,ataxadevariaounitria,que igual a f(x + 1) f(x), igual ao valor de f(x): f(1) f(0) =f(0) f(3)f(2)=f(2) f(5)f(4)= f(4) f(2)f(1)= f(1) f(4) f(3) = f(3) e assim por diante. A taxa de variao unitria de f(x) =2x , portanto, igual a f(x). Chamaremos essa taxa de f1(x). Calculando f1(x) para um valor qualquer de x, temos, de fato: f1(x) = f(x + 1) f(x) =2x + 12x =2x.(21)=2x.35


VOC APRENDEU? 1. Analogamente ao que foi feito anteriormente para f(x) = 2x, calcule a taxa de variao unitria para f(x) = 3x. Para isso, inicialmente complete a tabela a seguir:81 y 78 75 72 69 66 63 60 57 54 51 48 45 42 39 36 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 10

54

18 6 1 2 3 4 5 x

x 0 1 2 3 4 5

3x 1

f(x + 1) f(x) 2

Quadro-resumo De modo geral, calculando a taxa unitria f1(x) para a funo f(x) = ax, obtemos: f1(x) = f(x + 1) f(x) = ax + 1 ax = ax.(a 1), ou seja, o valor de f1(x) diretamente proporcional ao valor de f(x).36


2.UmapopulaoP de bactrias aumenta com uma rapidez que diretamente proporcional ao seu valor em cada instante, ou seja, quanto maior o valor de P, mais rapidamente a populao aumenta. Partindo de um valor P0 = 1 000, observa-se que a populao dobra a cada hora, ou seja, o valor de P pode ser expresso pela funo: P = f(t) = 1 000 . 2t (t em horas) a) Calcule a taxa de variao unitria nos instantes t = 1 hora e t =2horas.

b) Mostre que o aumento no valor de P entre os instantes t = 6 horas e t = 7 horas igual ao valor da populao para t = 6 horas.

LIO DE CASA

1. A populao N de ces de certa regio cresce exponencialmente de acordo com a expresso N = 600 . 10t, sendo t em dcadas. a) Calcule a taxa de variao unitria para t =2dcadas.

b) Mostre que o aumento no valor de P entre os instantes t = 7 e t = 8 igual a 9 vezes o valor da populao para t = 7.

37


Leitura e Anlise de Texto Fenmenos naturais e crescimento exponencial O nascimento do nmero ( 2,71828) Quando se estuda o crescimento de uma populao, seja de seres humanos, seja de animais, consideram-se as taxas porcentuais de crescimento ou decrescimento. Quando se diz, por exemplo, que certa populao Ncresceaumataxade20%aoano,issosignifica que, considerando N uma funo do tempo t em anos, a taxa de variao unitria, ou seja, o aumento de N por unidade a mais de tiguala0,20N.Querdizer,ento,queoaumento de N por ano diretamente proporcional ao valor de N, ou seja, N deve ser uma funo exponencial do tempo t em anos. Para descobrir qual a base dessa funo exponencial, vamos examinar o significado do crescimento populacional em situaes concretas. O que significaria, ento, dizer que o valor de Naumenta20%emumano?Certamentenoseriaocasodeimaginarqueapopulao ficariaconstanteaolongodoano,aumentandoem20%tologoseinicieoanoseguinte.Na verdade, uma pressuposio mais razovel, mais natural em todos os sentidos, a de que o crescimento anunciado distribui-se uniformemente ao longo do ano. justamente quando se tenta descrever matematicamente tal distribuio, que surge o nmero de que falamos inicialmente. Vamos acompanhar o raciocnio a seguir para compreender como surge tal nmero na descrio de processos naturais de crescimento (ou decrescimento). Certa populao N uma funo do tempo: N = f(t), t em anos. Os dados disponveis informam que Ncresceaumataxade100%aoano,ouseja,dobraacadaano.Como podemos expressar o valor de N em funo de t? Uma primeira hiptese, bem pouco natural (na verdade, absurda), de que N ficaria constante ao longo de cada ano, dobrando de valor ao final, na passagem para o ano seguinte. O grfico de N em funo de t seria o seguinte:N 4No

2No No t 0 1 2 3

Umahiptesemaisrazovelseriaadequeocrescimentode100%aoanodistribui-se ao longo do ano. Vamos considerar, inicialmente, que tal distribuio ocorra do modo38


maissimples:50%emcadasemestre.Nessecaso,apsoprimeirosemestre,apopulao 1 seria No +50%deNo, ou seja, a populao inicial seria multiplicada pelo fator 1 + __ , 2 1 tornando-se No 1 + __ . Aps o segundo semestre, novamente a populao inicial 2

1 1 ficaria multiplicada por 1 + __ , tornando-se N 1 + __ . No perodo seguinte, a popula2 2 1 o seria N 1 + __ e assim por diante. O grfico da populao N em funo do tempo 22 o 3 o

seria o representado a seguir:1 No 1 + __ 25

N

1 No 1 + __ 2

4

1 No 1 + __ 2

3

1 No 1 + __ 2

2

1 No 1 + __ 2

No

t 0 1 __ 2 1 3 __ 2 2 5 __ 2 3

Para se aproximar ainda mais de uma situao concreta envolvendo crescimento, seriaaindamaisrazovelsuporqueos100%decrescimentosedistribuamaolongodo ano,sendo25%acadatrimestre.Nessecaso,aofinaldoprimeirotrimestre,apopulao 1 seria No +25%deNo, ou seja, No 1 + __ . Ao final do segundo trimestre, o valor inicial 4 2 1 1 do trimestre ter sido multiplicado novamente por 1 + __ , tornando-se No 1 + __ ; 4 4 3 1 aps o terceiro trimestre, a populao seria No 1 + __ e assim por diante. O grfico da 4 populao N em funo do tempo seria o representado a seguir:

39


NN

1 8 No 1 + __ 4

1 No 1 + __ 4

7

1 No 1 + __ 4

6

1 No 1 + __ 4 1 No 1 + __ 4

5

4

1 No 1 + __ 4 1 2 No 1 + __ 4 __ No 1 + 1 4

3

No t0

1 __ 4

2 __ 4

3 __ 4

1

5 __ 4

6 __ 4

7 __ 4

2

9 __ 4

10 __ 4

11 __ 4

3

Seimaginarmosocrescimentode100%aoanodistribudomsams,sendoocresci1 mento mensal igual a ___ de100%,entoteramosovalordapopulao: 12 1 ao final do primeiro ms igual a No 1 + ___ ; 12

1 ao final do segundo ms igual a No 1 + ___ ; 122

1 3 ao final do terceiro ms igual a No 1 + ___ ; 12

1 12 e assim por diante, de modo que, ao final do primeiro ano, teramos N = No 1 + ___ . 12 Seoanofossedivididoem100partesiguais,sendoocrescimentode100%aoano distribudoaolongodelas,sendode1%emcadauma,apopulao,aofinaldoano, seria 1 100 igual a: N = No 1 + ____ . 100 Comosepodeobservarnosgrficos,seumapopulaocresceaumataxade100%ao ano, o valor da populao ao final do primeiro ano igual a:40


2No, quando se considera que seu valor permaneceu constante ao longo do ano, dobrando ao final; 1 No 1 + __ ,ouseja,2,25No, quando se considera o crescimento distribudo, sendo 2 50%emcadasemestre; 1 No 1 + __ ,ouseja,aproximadamente2,44No, quando o crescimento distribu4 doaolongodostrimestres,sendo25%aotrimestre; 1 No 1 + ___ , ou seja, aproximadamente 2,61No, quando ele uniformemente 12 distribudo ms a ms, e assim por diante. Seimaginarmosocrescimentode100%aoanodistribudouniformementeaolongo 1 do ano, subdividido em n partes, o valor de N ao final do ano ser N = No 1 + __ . nn

2

4

12

1 n No clculo anterior, chama a ateno o nmero 1 + __ para valores grandes de n. n Recorrendo a uma calculadora, podemos verificar que, quanto mais aumenta o valor 1 de n, mais os valores da expresso 1 + __ se aproximam de um nmero determinado: nn

1 para n = 100, temos: 1 + ____ 100 1 para n = 365, temos: 1 + ____ 365

100

=2,704813829... =2,714567485...

365

1 para n = 1 000, temos: 1 + _____ 1 000

1 000

=2,716923932... =2,718145927...

1 para n = 10 000, temos: 1 + ______ 10 000

10 000

1 para n = 1 000 000, temos: 1 + ________ 1 000 000

1 000 000

=2,718280469... =2,718281815...

1 para n = 1 00 000 000, temos: 1 + __________ 100 000 000

100 000 000

Dizendo de outra maneira: quanto maior o valor de n, mais o valor da expresso n 1 1 + __ se aproxima do nmero 2,7182818... Este nmero diferente representado n pela letra e escrevemos: 2,7182818. Assim, conclumos que se uma populao Nocresceaumataxade100%aoano,distribuda uniformemente ao longo do ano, seu valor ao final do ano ser igual a No . , ou seja,aproximadamente,2,718.No.41


Seguindo esse raciocnio, podemos mostrar que, ao final de dois anos, o valor da populao ser igual a No . 2, ao final de trs anos ser No . 3 e, generalizando, ao final de t anos, teremos N = No . t. Se a taxa knofor100%,isto,k1,massim20%,ouseja,k=0,2,teremos,aofinal de t anos: N = No . 0,2t. De modo geral, para uma taxa porcentual k qualquer (0 < k < 1) teremos, ao final de t anos, N = No . kt. Em muitas outras situaes prticas, em diferentes contextos, deparamos com o nmero . Apesar de ser um nmero de aparncia diferente, sua presena muito frequente no estudo de fenmenos naturais que envolvem crescimento ou decrescimento exponencial, como desintegrao radioativa e juros compostos. Talcomoonmero,onmero irracional e transcendente. Isso significa que irra__ cionais, como 2 no so razes entre inteiros, mas so razes de equaes algbricas com , coeficientes inteiros (por exemplo, x22= 0). Um irracional transcendente quando no existe equao algbrica com coeficientes inteiros que o tenha como raiz e esse o caso de nmeroscomoe. Tais fatos, no entanto, no nos interessaro no presente momento. Interessa-nos apenas conhecer uma funo exponencial particular, que vai ampliar significativamente o repertrio de recursos para o tratamento matemtico de diversos fenmenos em diferentes contextos. Vejamos como o nmero pode ser aplicado ao clculo de juros em uma situao similar que foi descrita acima. Quando um capital Coaplicadoaumataxade100%ao ano, se os juros forem incorporados ao capital apenas no final do ano, o valor do capital, depoisdeumano,seriguala2Co; depois de dois anos, ser 4Co e assim por diante. Entretanto, se os juros forem distribudos uniformemente ao longo do ano, de modo que a 1 100% cada perodo de __ do ano sejam incorporados os juros de ______, no final do ano o novo n n n 1 __ . Se os juros forem incorporados continuamente ao capital, capital ser igual a Co 1 + n o valor montante, ao final de um ano, ser C = Co . e, ao final de t anos, ser C = Co . t. Se a taxa knofor100%,isto,k1,massim10%,ouseja,k= 0,1, teremos, ao final de t anos: C = Co . 0,1t. De modo geral, para uma taxa k (0 < k < 1), teremos, ao final de t anos, C = Co . kt. Quando se estuda o fenmeno da propagao de doenas, tambm se considera o fato de que a rapidez com que o nmero de doentes aumenta diretamente proporcional ao nmero de doentes em cada instante. Na descrio matemtica do fenmeno, deparamos novamente com o nmero . Assim, reafirmamos: sempre que tentamos descrever matematicamente o modo como variam funes presentes em fenmenos naturais de diferentes tipos, mas que tm em comum o fato de que envolvem grandezas que crescem ou decrescem com uma rapidez que 42


diretamente proporcional ao valor da grandeza em cada instante, naturalmente encontramos o nmero . Um valor aproximado de pode ser obtido a partir da expresso 1 n 1 + __ : quanto maior o valor de n, mais prximos estaremos do nmero . Para todos os n fins prticos, 2,71828,oucomumaaproximaomelhor, 2,718281828459045. Em consequncia, em situaes concretas que descrevem fenmenos naturais que apresentem crescimento ou decrescimento exponencial, a funo f(x) = x, cujo grfico apresentamos a seguir, tem uma presena marcante.36 y 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0 y = 3x f(x) = x y =2x

1

1

2

3

4

5

x

Assim como o nmero serve de base para uma particular e importante funo exponencial, ele tambm serve para a correspondente funo logartmica: se y = x, ento x = loge y. Em outras palavras, funo exponencial de base corresponde sua inversa, a funo logartmica de base . A funo g(x) = loge x costuma ser representada por g(x) = ln x, uma abreviatura para logaritmo natural de x. Os grficos de f(x) = x e de sua inversa, g(x) = ln x, so representados abaixo. interessante notar que, como funes inversas, a cada ponto (a;b) do grfico de f(x) corresponde um ponto (b; a) do grfico de g(x), ou seja, os grficos so simtricos em relao reta y = x.14 y 12 10 8 6 f(x) = x 4 2

y=x

g(x) = ln x x

22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 2 4 6 8 10 12 14

43


VOC APRENDEU?

1.UminvestidoraplicaumaquantiadeR$1000,00aumataxadejurosde12%aoano.Calcule o valor do capital investido ao final do primeiro ano, supondo que: a) os juros sejam incorporados ao capital apenas no final de cada ano (juros simples);

b) os juros sejam distribudos uniformemente, sendo incorporados ao capital ao final de cada ms;

c) os juros sejam incorporados continuamente ao capital (juros compostos) ao longo do ano. (Dado: 0,12 1,1275.)

2.UminvestidoraplicaumaquantiaCoaumataxadejurosde12%aoano.Calculedepoisde quanto tempo o capital investido dobrar de valor, supondo que: a) os juros sejam incorporados ao capital apenas ao final de cada ano;

44


b) os juros sejam incorporados ao capital ao final de cada ms;

c) os juros sejam incorporados continuamente ao capital (juros compostos).

LIO DE CASA

1. Quando uma substncia radioativa se decompe, a rapidez com que ela se transforma diretamente proporcional quantidade restante, em cada momento, ou seja, seu decrescimento exponencial. Sabendo que a massa inicial mo de certa substncia radioativa 60 g e reduz-se metade a cada 4 h, determine a expresso de sua massa m em funo do tempo t em horas: a) supondo que m(t) = mo.2bt, determine o valor de b;

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b) supondo que m(t) = mo . at, determine o valor de a;

c) mostre que as expresses obtidas nos itens a e b so equivalentes;

d) calcule a massa restante aps 8 horas;

e) apsquantotempoamassarestanteseriguala12g?

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PESQUISA INDIVIDUAL

Construo de grficos com o auxlio de um software Alguns softwares livres como o Graphmatica ou o Winplot podem ser utilizados para construir grficos de funes de vrios tipos. Para o estudo dos grficos das funes, procure baixar da internet um software para construo de grficos ou, se possvel, utilize a sala de informtica de sua escola. Com o auxlio de um desses softwares, desenhe os grficos indicados. 1. Faa os grficos das quatro funes a seguir, em um mesmo sistema de eixos, e responda s perguntas. f(x) = x g(x) = x h(x) = ln x (x > 0) m(x) = ln (x) (x < 0)

a) Qual das funes cresce a taxas crescentes? b) Qual das funes cresce a taxas decrescentes? c) Qual das funes decresce a taxas crescentes? d) Qual das funes decresce a taxas decrescentes? 2. Ogrficodafunof(x)= x chamado curva normal e representa a distribuio em torno do valor mdio das frequncias de ocorrncia de um experimento aleatrio em uma populao. Muitas medidas de caractersticas fsicas como altura, massa, dimenses dos ps, dos colarinhos, entre outras, ao serem representadas estatisticamente, conduzem a uma curva normal. De forma geral, as diversas curvas do tipo normal (ou curva de Gauss) so todas do tipo f(x) = a . b.x , com diversos valores para os parmetros a e b. Utilizando o programa para construo de grficos, elabore algumas curvas de Gauss, variando os valores dos parmetros a e b.2 2

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caderno do aluno matemática 3ª serie 3º bimestre

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