caderno do aluno matemática 2ª serie 1º bimestre

Caro(a) aluno(a), Para viver no mundo atual com qualidade de vida preciso ter cada vez mais conhecimentos, respeitar valores e desenvolver atitudes positivas em relao a si e aos outros. Os conhecimentos que a humanidade construiu ao longo do tempo so um valioso tesouro que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decises... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se so algumas formas de compartilhar esse tesouro. Este material foi elaborado especialmente para ajudar voc a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos. O objetivo das Situaes de Aprendizagem deste Caderno apresentar os conhecimentos matemticos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construda como parte de sua vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas no devem ser consideradas exerccios ou problemas a serem resolvidos simplesmente com tcnicas transformadas em rotinas automatizadas. Muitas dessas Situaes podem ser vistas como ponto de partida para estudar ou aprofundar uma noo ou propriedade matemtica. Aprender exige esforo e dedicao, mas tambm envolve curiosidade e criatividade, que estimulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que voc participe das aulas, observe as explicaes do professor, faa anotaes, exponha suas dvidas, no tenha vergonha de fazer perguntas, procure respostas e d sua opinio. Se precisar, pea ajuda ao professor. Ele pode orient-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informaes sobre um assunto. Reserve todos os dias um horrio para fazer as tarefas e rever os contedos; assim voc evita que eles se acumulem. E, principalmente, ajude e pea ajuda aos colegas. A troca de ideias fundamental para a construo do conhecimento. Aprender pode ser muito prazeroso. Temos certeza de que voc vai descobrir isso.Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas CENP Secretaria da Educao do Estado de So Paulo Equipe Tcnica de Matemtica

Matemtica - 2a srie - Volume 1

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 O RECONHECIMENTO DA PERIODICIDADE

Leitura e Anlise de Texto O movimento aparente do Sol e o comprimento das sombras O mais elementar fenmeno peridico que podemos observar o movimento aparente do Sol, do nascente ao poente, durante a passagem dos dias do ano. O registro dessa periodicidade pode ser realizado por intermdio da medio do comprimento da sombra de uma estaca enfiada verticalmente no solo. Essa situao pode ter estimulado as pessoas a elaborarem os primeiros calendrios e a reconhecer as estaes do ano. Vamos imaginar um experimento em que fssemos medir o comprimento da sombra de uma estaca durante a passagem de determinado perodo de tempo, como, por exemplo, dois anos. A figura a seguir ilustra aproximadamente essa situao. Conexo Editorial

znite

caminho do Sol no inverno

sombra mnima (solstcio) de vero ima sombra mx de inverno) (solstcio

caminho do Sol no vero

Sabemos que o percurso do Sol durante o inverno mais inclinado em relao linha zenital1 do que o percurso similar realizado durante o vero. O comprimento da sombra da estaca em determinado horrio do dia, ao meio-dia, por exemplo, varia durante o ano desde um valor mnimo at um mximo, correspondendo s datas que marcam, respectivamente, o incio do inverno (21 de junho) e o do vero (22 de dezembro), denominados solstcios.1

Znite: o ponto em que a vertical de um lugar encontra a esfera celeste acima do horizonte.

3


VOC APRENDEU? 1. Imagine o acompanhar do comprimento da sombra da estaca durante dois anos e que tais comprimentos foram registrados em uma tabela. A tarefa agora ser imaginar como seria o formato de um grfico que representasse o comprimento da estaca em funo da passagem dos dias do ano, e desenhar aquilo que imaginou para essa situao. Utilize o espao seguinte para desenhar seu grfico, assumindo que o comprimento mximo da sombra de 1,0 m, e que o comprimento mnimo de 0,10 m.

Comprimento da sombra da estaca (m)

Meses do ano

4


2. Observe o grfico seguinte, em formato de onda, obtido a partir da observao de um fenmeno peridico.y

4 3 2 1

A x 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 P 0 1 2 3 4 5 6 7

Nesse grfico aparecem em destaque dois conceitos importantes, associados a fenmenos peridicos: a amplitude (A) e o perodo (P). Perodo a distncia horizontal entre dois picos sucessivos da onda, e amplitude a metade da distncia vertical entre dois picos. No grfico que voc desenhou na atividade anterior, deve ser possvel identificar o perodo e a amplitude, mesmo que ele no tenha o formato semelhante a esse que desenhamos acima. Escreva a seguir o perodo e a amplitude do fenmeno que voc registrou em seu grfico.

5


3. Imagem de uma funo o conjunto dos valores que a funo assume, ou, em outras palavras, o conjunto dos valores de y correspondentes aos valores de x. Observe a imagem de cada uma das seguintes funes representadas em seus grficos.4 3 2 1 x 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 40

y FUNO 1

1

2

3

4

5

6

7

Imagem (Funo 1) = {y 8 I / 3 y 3} Ry 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 50

FUNO 2

x 1 2 3 4 5 6 7

Imagem (Funo 2) = {y 8 I / y 4} R Qual o conjunto imagem do grfico representativo do comprimento da sombra que voc desenhou anteriormente?6


As sombras longas4. Imagine agora se a mesma estaca fosse enfiada verticalmente no solo e a variao do comprimento da sombra fosse observada durante alguns dias. Quando o Sol nasce e lentamente vai se elevando no horizonte, o comprimento da sombra da estaca, inicialmente muito grande, passa a diminuir at um valor mnimo, atingido, provavelmente, por volta das 12 horas do dia.

Comprimento da sombra diminuindo

No perodo da tarde a sombra da estaca muda de lado, e medida que o Sol inicia sua descida, o comprimento da sombra aumenta cada vez mais, at tornar-se novamente muito grande e no mais poder ser medida.

Comprimento da sombra aumentando no sentido oposto ao inicial

7

Conexo Editorial

Conexo Editorial


a) Haver um valor mximo para o comprimento da sombra? Por qu?

b) Assuma que o comprimento da sombra positivo pela manh e negativo tarde, e utilize o sistema de eixos seguinte para representar, em um grfico, a variao do comprimento da sombra durante dois dias.Comprimento da sombra (m)

Hora do dia

c) O grfico que voc desenhou tem um perodo. Qual ele?

8


5. Escreva o perodo, a imagem e a amplitude das funes representadas pelos grficos seguintes: a)y 2 1 x 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7

b)y 4 3 2 1 x 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7

9


c)6 4 2 x 14 12 10 8 6 4 2 2 4 6 0 2 4 6 8 10 12 14 y

LIO DE CASA

1. Uma mola tem comprimento de 40 cm e est com uma de suas extremidades presa ao teto (Figura 1). Na extremidade livre da mola colocado um bloco de metal, de tal maneira que a mola estique at que seu comprimento total atinja 60 cm (Figura 2). Se a mola for colocada a oscilar, seu comprimento variar entre um valor mximo e um valor mnimo (Figura 3). Conexo Editorial

Figura 1 40 cm

Figura 2 60 cm

Figura 3 20 cm

a) Desenhe um grfico para representar a variao no comprimento da mola, em 4 oscilaes, comeando pelo momento em que a mola est com seu comprimento mnimo. Lance os valores de comprimento no eixo vertical e coloque os valores de tempo no eixo horizontal, supondo que cada oscilao completa da mola demore 2 segundos.10


b) Complete: perodo? amplitude? 2. Qual das duas funes peridicas representadas a seguir tem maior valor de: a) perodo? b) amplitude?4 3 2 1 0 1 2 3 y

FunO 2 FunO 1x

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

11


12


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SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 A PERIODICIDADE E O MODELO DA CIRCUNFERNCIA TRIGONOMTRICA

Leitura e Anlise de Texto Construindo o modelo Retomando o experimento imaginrio realizado na Situao de Aprendizagem anterior, vamos agora fazer a sobreposio de um sistema de eixos cartesianos sobre a linha em que a sombra da estaca caminha, de maneira que a origem do sistema coincida com a extremidade final do comprimento da sombra nos equincios2.znite Conexo Editorial

do bra o m ia a so var o d de ent ixa Fa prim m co

caminho do Sol no inverno

sombra mnima(solstcio de vero)

caminho do Sol no vero

2

Equincio o nome que se d ao dia que marca o incio da primavera ou ao dia que marca o incio do outono. Segundo o dicionrio Michaelis (Michaelis Moderno Dicionrio da Lngua Portuguesa. So Paulo: Melhoramentos, 2007.), equincio refere-se a cada uma das duas pocas em que o Sol passa pelo Equador, fazendo os dias iguais s noites em todos os pases do mundo.

do a r al n omb s de s da da mi nto cio e tre n Ex rim equi mp nos co

a sombra mxim inverno) (solstcio de

13


O comprimento da sombra mximo no solstcio de inverno. O comprimento da sombra nos equincios considerado nulo.

Faixa de variao do comprimento da sombra

O comprimento da sombra mnimo no solstcio de vero.

Em seguida, a fim de acompanhar a evoluo do comprimento da sombra de um solstcio a outro, pode-se associar o movimento do Sol ao movimento de um ponto sobre uma circunferncia centrada no sistema de eixos cartesianos, de maneira que o comprimento da sombra seja definido pela distncia entre a origem e a projeo do ponto sobre o eixo vertical.Sentido do movimento aparente do Sol Comprimento da sombra em um dia entre o equincio de outono e o solstcio de inverno

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Sentido do movimento aparente do Sol Comprimento da sombra no solstcio de inverno

Sentido do movimento aparente do Sol Comprimento nulo da sombra no equincio de primavera

Sentido do movimento aparente do Sol Comprimento da sombra em um dia entre o equincio de primavera e o solstcio de vero

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Sentido do movimento aparente do Sol

Comprimento da sombra no solstcio de vero

Comprimento da sombra em um dia entre o solstcio de vero e o equincio de outono

Sentido do movimento aparente do Sol

Assim, uma volta completa do Sol em torno da circunferncia corresponder ao perodo de 1 ano e, desenhando uma escala sobre o eixo vertical, ser possvel associar ngulos de giro do Sol a medidas de segmentos. Veja como podemos implementar uma escala simplificada no eixo vertical, medida em fraes do raio da circunferncia (R):R 0,75R 0,5R 0,25R 0,25R 0,5R 0,75R R

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VOC APRENDEU? 1. Imaginem uma volta completa do Sol sobre a circunferncia. Preencham a tabela seguinte associando o ngulo de elevao do Sol () em relao ao eixo horizontal com a medida aproximada da projeo no eixo vertical. Se achar necessrio, utilize um transferidor.R 0,75R 0,5R 0,25R 0,25R 0,5R 0,75R R

ngulo () Projeo (kR) ngulo () Projeo (kR)

0 210

30

45

60 240

90 270

120 300

135 315

150 330

180 360

225

2. H ngulos que permitem medidas iguais para a projeo vertical, como se pode perceber pelas figuras seguintes.R 0,75R

0,5R 0,25R 0,25R 0,5R 0,75R R 30

17


R

0,75R 0,5R 0,25R 45

0,25R 0,5R 0,75R R

Quais so as medidas dos ngulos e ?

3. H pares de ngulos que permitem medidas simtricas para os valores da projeo horizontal, como se pode perceber pelas figuras seguintes.

R

R

0,75R 0,5R 0,25R 30

0,75R 0,5R 0,25R 60

0,25R 0,5R 0,75R

0,25R 0,5R 0,75R

R

R

18


Quais so as medidas dos ngulos e ?

4. Adotando a escala de 1 unidade de malha equivalente a 15 para a representao de valores no eixo horizontal, e de 10 unidades de malha equivalentes a 1R para a representao de valores no eixo vertical, desenhe no sistema de eixos a seguir o grfico da projeo vertical em funo da medida do ngulo de acordo com os valores da tabela que voc preencheu na Atividade 1.

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LIO DE CASA

1. Complete a tabela seguinte associando a medida do ngulo de elevao do Sol com a medida da projeo sobre o eixo horizontal. Em seguida, desenhe um grfico cartesiano para representar os dados tabelados. Escolha a escala que julgar mais adequada para cada um dos eixos cartesianos.

R 0,5R 0,75R 0,5R

R

0,25R 0,25R 0,75R

ngulo () Projeo (kR)

0

30

45

60

90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

20


2. H pares de ngulos que alternam os valores das medidas das projees horizontal e vertical, como o caso, por exemplo, da projeo vertical do ngulo de 60, que igual medida da projeo horizontal do ngulo de 30. Encontre mais um par de valores nessas condies.

3. H ngulos que apresentam valores iguais para projees horizontal e vertical. Encontre dois valores de ngulos nessas condies.

VOC APRENDEU?

Os grficos das funes y = senx e y = cosx1. Observe como as razes trigonomtricas seno e cosseno podem ser associadas ao ngulo de giro de um ponto sobre a circunferncia.

Raio (R) Medida da projeo vertical kR

Frao do raio (kR)

mR

Frao do raio (mR)

Medida da projeo horizontal

sen = kR = k R

cos = mR = m R

Antes de continuar, ser importante retomar os valores do seno e do cosseno de alguns ngulos, chamados ngulos notveis. So eles: 30, 45 e 60. Para cada item a seguir, calcule o valor de x em funo de m (sugesto: utilize o teorema de Pitgoras). Em seguida, utilizando os valores encontrados, calcule seno e cosseno dos ngulos notveis.

21


a) ngulo de 45.m

sen 45 =m x m

45 m

cos 45 =

22


b) ngulo de 60.sen 60 =m x 60 m ___ 2 m m ___ 2 60

m

30

cos 60 =

23


c) ngulo de 30.

m

30 x

sen 30 =m

60 m ___ 2 m

60 m ___ 2

cos 30 =

24


2. Na folha de papel quadriculado, desenhe uma circunferncia trigonomtrica de raio 10 unidades de malha e, em seguida, faa o que se pede. a) Adotando a escala 1:10 unidades, divida os eixos cartesianos em subunidades, como, por exemplo, de 0,1 em 0,1. b) Assinale sobre a circunferncia a extremidade final dos arcos de 30, 45 e 60, bem como os simtricos em relao aos eixos nos demais quadrantes. Para essa tarefa, utilize compasso ou transferidor.

25


c) Complete a tabela seguinte, relacionando todos os arcos assinalados s medidas de seus 2 3 senos e cossenos, lembrando que 0, 7 e que 0, 87 . 2 2ngulo (o) Seno Cosseno 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 210o 225o 240o 270o 300o 315o 330o 360o

3. Desenhe os grficos das funes y = senx e de y = cosx em um mesmo sistema de eixos cartesianos. (Ateno escala do eixo horizontal!)

26


LIO DE CASA

1. Complete: a) sen135 = b) cos 90 = c) sen180 = d) sen120 = e) sen 300 = f ) cos 210 =

2. verdade que: a) o seno de 100 negativo? b) o cosseno de 350 positivo? c) o seno de 75 maior do que o seno de 60? d) o cosseno de 125 maior do que o cosseno de 100?

VOC APRENDEU?

O radiano1. Responda: a) Em uma circunferncia, qual a razo entre o seu comprimento e o dimetro?C

D

C D

b) E a razo entre o comprimento da circunferncia e o raio?27


2. Um radiano a medida de um arco de comprimento igual ao do raio da circunferncia. Observe a imagem seguinte e responda s questes:3,14 RAD 1 RAD 1RAD 1 RAD

R

0

R

a) Meia circunferncia equivale a, aproximadamente, quantos radianos?

b) Quantos radianos mede um arco de semicircunferncia?

3. O arco AB representado na figura a seguir mede 1,5 rad, e as 3 circunferncias tm centro no ponto O.F D B O A C E

Quanto mede, em radianos, o arco: a) CD? b) EF?28


4. Na circunferncia da figura a seguir esto assinalados dois ngulos centrais: um de medida 60 e outro de medida 120.N 120 P 0 60 M Q

Quanto mede, em radianos e no sentido indicado, o arco: a) MP? b) MQ? c) MN? 5. A circunferncia do desenho apresenta-se dividida em 8 partes iguais pelos pontos A, B, C, D, E, F, G e H.C D E A B

F G

H

a) Quanto mede, em graus, o ngulo central ?

29


b) Quanto mede, em radianos, no sentido indicado no desenho, cada um dos arcos AB, AC, AD, AF e AH?

6. Observe a circunferncia do desenho a seguir. A medida do arco AB igual medida do raio da circunferncia.B r

C r

A

D

Responda: a) Quantas vezes o arco AC maior do que o arco AB?

b) Quantas vezes o arco AD maior do que o arco AB?

c) Quantos arcos de medida igual ao arco AB so necessrios para completar uma volta da circunferncia?

30


7. Considerando giros no sentido anti-horrio, assinale nas circunferncias a medida em radianos do arco que tem extremidade inicial em O e extremidade final em cada ponto, de A a R.

F 45

E O

B 30

A O

G

H

C

D

J

I P 60 O 36

N O

Q L M

R

LIO DE CASA

1. Observe o grfico da funo y = senx, desenhado no intervalo [0, 4]. Neste grfico esto 1 assinalados 4 valores de x, que so solues da equao senx = no intervalo considerado. 2y 1,0 1 __ 2 7p ___ 6 p 11p ____ 6 2p 19p ____ 6 3p 23p ____ 6 4p x

0 1 2__ 2 1,0

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Quais seriam as outras solues dessa equao no caso de o intervalo do grfico ser ampliado para: a) [0, 6]?

b) [0, 8]?

2. Consultando o grfico da atividade anterior, encontre a soluo de cada equao no intervalo [0, 4]: a) senx = 1

b) senx =

1 2

c) senx =

3 2

d) senx = 0

32


33


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SITUAO DE APRENDIZAGEM 3 GRFICOS DE FUNES PERIDICAS ENVOLVENDO SENOS E COSSENOSLeitura e Anlise de Texto

Construo do grfico a partir da tabela de valores A elaborao da tabela para a construo do grfico levar em conta os valores que mar3p p cam a diviso entre os quadrantes da circunferncia trigonomtrica, isto , 0, __, , ___, 2. 2 2 Para comear a construir em um mesmo sistema de eixos cartesianos os grficos de y = senx e de y = 2senx, voc pode elaborar a seguinte tabela de valores: x 0 p __ 2 3p ___ 2 2 y = senx 0 1 0 1 0 y = 2senx 0 2 0 2 0

Os dados tabelados permitem que seja desenhado o seguinte grfico:2 y

1

y = 2senx y = senx 0 2 3 2 2 x

1

2

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VOC APRENDEU?

1. Complete as tabelas e construa os grficos, utilizando o papel quadriculado e um sistema de eixos cartesianos para cada tabela.

Tabela 1 x 0 p __ 2 3p ___ 2 2 y = senx y = 1,5senx x 0 p __ 2 3p ___ 2 2

Tabela 2 y = cosx y = 3cosx

Tabela 1

35


Tabela 2

2. Observando os grficos construdos at agora nesta Situao de Aprendizagem, responda: qual a diferena entre o grfico da funo y = senx e o grfico da funo y = Asenx, onde A um nmero diferente de zero?

3. Observando os grficos construdos na Atividade 1, responda: qual a diferena entre o grfico da funo y = cosx e o grfico da funo y = Acosx, onde A um nmero diferente de zero?

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4. Observe a tabela seguinte. Nela esto registrados valores de pares ordenados das funes y = sen2x e y = 2sen2x. 2x 0 p __ 2 3p ___ 2 2 x 0 4 p __ 2 3p ___ 4 p __ y = sen2x 0 1 0 1 0 y = 2sen2x 0 2 0 2 0

Perceba que a primeira coluna da tabela, esquerda, contm os valores divisrios dos quadrantes, que so adotados para facilitar a construo. Para demonstrar melhor a importncia do fator 2, introduzido na equao, desenhamos os grficos de y = senx e de y = 2sen2x em um nico sistema de eixos cartesianos, conforme representado a seguir:2 y

1 y = 2sen2x y = senx 0 2 3 2 x

2

1

2

37


Complete a tabela e desenhe em um mesmo sistema de eixos cartesianos, no papel quadricu lado, os grficos de y = cosx e de y = cos x , no intervalo [0, 4]. 2

x __ 2 0 p __ 2 3p ___ 2 2

x

y = cosx

x y = cos 2

5. Escreva uma diferena entre os grficos das funes y = cosx e y = cos x . 2

38


6. Observe a tabela a seguir, que contm valores de pares ordenados das funes y = sen4x, 3p p y = 2sen4x e y = 1 + 2sen4x. Perceba que foram atribudos para 4x os valores 0, __, , ___ e 2, 2 2 que so os valores que dividem os quadrantes da circunferncia. a) Complete a tabela: 4x 0 p __ 2 3p ___ 2 2 x 0 8 p __ 4 3p ___ 8 p __ 2 p __ y = sen4x y = 2sen4x y = 1 + 2sen4x

b) Desenhe os grficos de y = senx e de y = 1 + 2sen4x em um nico sistema de eixos coordenados.

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Repare que em relao ao grfico de y = senx o grfico de y = 1 + 2sen4x foi deslocado verticalmente, 1 unidade para cima, e teve seu perodo diminudo 4 vezes e sua amplitude dobrada, efeitos esses causados, respectivamente, pelas constantes 1, 4 e 2. A partir dessa observao, complete a tabela a seguir: Comparao entre os dois grficos Funo y = senx y = 1 + 2sen4x Perodo Imagem Amplitude x 7. a) Complete a tabela a seguir e desenhe os grficos das funes y = 1 + 2sen e de y = senx 2 em um mesmo sistema de eixos cartesianos. x 2 0 p __ 2 3p ___ 2 2 x x 2sen 2 x y = 1 + 2sen 2

40


b) Complete a tabela com as caractersticas das funes cujos grficos voc construiu no item anterior. Comparao entre os dois grficos Funo Perodo Imagem Amplitude y = senx x y = 1 + 2sen 2

LIO DE CASA

1. Observe os grficos seguintes e escreva, para cada um, o perodo e a amplitude. Escreva tambm o conjunto imagem de cada funo.y y = 2 + senx 3 2 1 0 2 x 3 2 1 4 0 1 2 6 8 x y y = 1 + 2cos x 4

41


2. O grfico seguinte de uma funo do tipo y = AsenBx. Descubra os valores de A e de B e escreva a equao da funo.y

5

0 12 24 x

5

PARA SABER MAISConstruo de grficos com o auxlio de um software Alguns softwares livres, como, por exemplo, o Graphmatica ou o Winplot, podem ser utilizados para construir grficos de funes de vrios tipos. Veja, por exemplo, os grficos seguintes, das funes y = senx, y = 2senx e y = 3senx, desenhados com o auxlio do Graphmatica.4 3 2 12,5 2 1,5 1 0,5

y

y = 3senx y = 2senx y = senx 00,5

x2 2,5

1

1,5

1 2 3 4 5

42


VOC APRENDEU?

1. Caso voc tenha acesso ao computador, em casa ou na sala de informtica de sua escola, construa, com o auxlio de um desses softwares, os grficos e responda s questes a seguir. 2. Desenhe os grficos das seguintes funes: (I) y = senx

(II) y = 5senx (III) y = 3senx

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3. Observando os grficos construdos, responda: qual a alterao produzida no grfico de y = senx quando multiplicamos toda a funo por um valor constante A 0?

4. Observando todos os grficos desenhados, responda: a) Qual o domnio de uma funo do tipo y = Asenx?

b) Qual a imagem de uma funo do tipo y = Asenx?

c) Qual o perodo de uma funo do tipo y = Asenx?

5. Desenhe em um nico sistema de eixos os grficos: (I) y = senx (IV) y = sen2x (V) y = sen4x

44


6. Voc deve ter percebido uma diferena entre as formas senoidais dos trs grficos que voc desenhou na atividade anterior. Explique esta diferena.

7. Desenhe em um nico sistema de eixos os grficos das seguintes funes: (I) y = senx x 2 x (VII) y = sen 4 (VI) y = sen

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8. Desenhe os grficos: (VIII) y = cosx (IX) y = cos2x (X) y = cos x 2

9. Em funes do tipo y = AsenBx ou do tipo y = AcosBx, qual : a) o domnio? b) a imagem? c) o perodo?46


10. Responda: a) Qual o domnio da funo y = 4sen4x? b) Qual a imagem da funo y = 5sen x ? 5 c) Quais so os perodos das funes dos itens a e b?

Leitura e Anlise de Texto Grficos trigonomtricos em funo do tempo Fenmenos peridicos se repetem a cada intervalo determinado de tempo, mantendo suas caractersticas bsicas. Se queremos analisar os fenmenos peridicos, no podemos deixar de considerar as funes nas quais uma grandeza varia periodicamente em funo do tempo. Veja, por exemplo, o grfico representativo de um fenmeno que se repete de 2 em 2 segundos, isto , um fenmeno com perodo 2 segundos.

1

D (cm) y = sen(.t)

0 0,5 1 1,5 2 t (s)

1

A equao da funo que relaciona a grandeza D ao tempo : D = sen( . t), para o qual teremos as seguintes condies: Domnio:I + R* Imagem:[1,+1]___ Perodo:2p = 2s p

47


VOC APRENDEU?

A partir dessa ideia de movimento peridico representado em funo do tempo, resolva a seguinte atividade: 1. Um pequeno corpo gira em torno de uma circunferncia de raio 4 cm, no sentido indicado, completando uma volta a cada 2 segundos. Considerando que o corpo parte do ponto O assinalado na figura, determine a equao matemtica que permite calcular a medida da projeo do ponto sobre o eixo vertical e, em seguida, desenhe o grfico cartesiano representativo da equao obtida.

O

48


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SITUAO DE APRENDIZAGEM 4 EQUAES TRIGONOMTRICAS

Leitura e Anlise de Texto Clculo do perodo de claridade de uma cidade A inclinao do eixo de rotao da Terra o fator responsvel pela alterao da quantidade de insolao que uma cidade recebe durante o ano. Essa alterao da quantidade de horas de luz solar marca as estaes: primavera, vero, outono e inverno. Em cidades prximas linha do Equador quase no se percebe a passagem das estaes, pois o ndice de claridade anual praticamente o mesmo durante todo o ano, cerca de 12 horas/dia, o mesmo valendo para a temperatura mdia mensal. J em regies mais afastadas do Equador, a inclinao do eixo terrestre faz com que o vero tenha dias bem longos, com alto ndice de insolao, enquanto no inverno a situao se inverte, observando-se dias bem curtos, com poucas horas de claridade. Em uma regio um pouco afastada do Equador como, por exemplo, no Sul do Brasil, se registrarmos durante um ano o nmero de horas de claridade diria, perceberemos que os dados obtidos podem ser ajustados por uma funo trigonomtrica, isto , que a quantidade de horas de claridade diria varia periodicamente em funo do tempo. A equao seguinte traduz essa situao para determinada localidade, que chamaremos cidade B. 35 7 2px N 5 ___ 1 __ . sen ____ 3 3 365

A varivel x dessa equao corresponde ao nmero de dias contados a partir do dia 23 de setembro, dia que marca o incio da primavera no Hemisfrio Sul, dia esse chamado 2px equincio de primavera. O arco ____ medido em radianos e N a quantidade de horas 365 de claridade diria. Assim, no dia 23 de setembro, x = 0 e o valor de N pode ser assim obtido: 35 35 35 7 7 2p.0 N 5 ___ 1 __ . sen _____ 5 ___ 1 __ . sen0 5 ___ 7 11,7 horas 3 3 3 3 3 365

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VOC APRENDEU?

1. Como era de esperar, nos dias de equincio o nmero de horas de claridade prximo da metade da durao de um dia. a) Qual o nmero aproximado de horas dirias de insolao da cidade B no dia 21 de dezembro, dia de solstcio, que marca a entrada do vero no Hemisfrio Sul?

b) Qual o nmero de horas dirias de insolao da cidade B no dia 21 de junho, solstcio de inverno no Hemisfrio Sul?

c) De posse de uma tabela trigonomtrica, ou de uma calculadora cientfica, determine os dias do ano em que o nmero de horas de claridade na cidade B seja igual a 13 horas.

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A periodicidade da presso sangunea2. O grfico seguinte representa a variao da presso (P, em milmetros de mercrio, mmHg) nas paredes dos vasos sanguneos em funo do instante (t, em segundos) em que a medida da presso foi feita.P 120 100 80

0,375

0,75

1,125

1,5

1,875

2,25

t

3. Observando que a imagem da funo o intervalo [80, 120], que a amplitude 20 e que o 3 perodo 0,75 = , podemos escrever a equao da funo: 4 8t 8pt P(t) = 100 20cos ____ 3 3

a) Calcule a medida da presso no instante 2 segundos.

b) Quais so os instantes de tempo entre 0 e 1 segundo em que a presso sangunea igual a 100 mmHg?

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Leitura e Anlise de Texto A temperatura pode ser peridica? A temperatura de determinada localidade varia periodicamente, como, em geral, ocorre em muitos lugares durante certas pocas do ano. Observando e anotando os valores de temperatura dia a dia nesse local, percebe-se que possvel modelar a variao por intermdio da seguinte funo trigonomtrica: 2p t 101 T = 50sen __________ + 7 360 Nessa equao, o tempo t dado em dias, t = 0 corresponde ao 1o dia de janeiro, e a temperatura T medida na escala Fahrenheit. A temperatura do dia 11 de maio, por exemplo, 131 dias aps 1o de janeiro, pode ser assim prevista: 2p(131 2101) T = 50sen _____________ + 7 360 2p30 p T = 50sen _____ + 7 = 50sen__ + 7 360 6 1 1 = , temos que T = 50 . __ + 7 = 32 F 2 6 2 Lembrando que a converso entre C e F feita de acordo com a expresso: Uma vez que sen T(F) = 1,8.T(C) + 32 32 = 1,8.T(C) + 32 T(C) = 0

[

]

[

[

]

]

VOC APRENDEU? 1. A cidade em que a temperatura diria obedece a essa equao deve estar bem afastada da linha do Equador, uma vez que 11 de maio dia de outono no Hemisfrio Sul e de primavera no Hemisfrio Norte, no sendo comuns, nessa poca, temperaturas to baixas em cidades prximas ao Equador. a) Qual a temperatura da referida cidade, em C, em 26 de maio, 15 dias adiante da data do 2 exemplo comentado anteriormente? (Lembre-se de que sen45 = 0, 7 .) 2

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b) Qual a temperatura mxima dessa cidade? Em qual dia do ano ela ocorre?

c) De acordo com o resultado obtido no item anterior, correto afirmar que a referida cidade est situada no Hemisfrio Sul, assim como o Brasil?

Leitura e Anlise de Texto O fenmeno das mars A conjugao da atrao gravitacional entre os corpos do sistema Terra-Lua-Sol e a rotao da Terra em torno de seu eixo so os principais fatores responsveis pela ocorrncia do fenmeno das mars, no qual as guas do mar atingem limites mximo e mnimo com determinada regularidade. As atraes gravitacionais do Sol e da Lua sobre a Terra causam, em geral, duas mars altas por dia em cada ponto da Terra, separadas por cerca de 12 horas. De fato, se for observada uma mar alta s 10 horas da manh, por exemplo, a prxima mar alta, no mesmo ponto, ocorrer por volta de 22h12min, ou seja, cerca de 12 minutos alm das 12 horas de diferena. A Lua, por estar muito mais perto da Terra do que o Sol, tem a maior parte da responsabilidade sobre as mars, como representado na figura seguinte: Conexo Editorial

Lua nova Sol Atrao lunar Atrao solar

Lua cheia

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No entanto, quando Sol e Lua se alinham com a Terra, nas condies de lua cheia ou de lua nova, as atraes dos dois astros se somam e so observadas as mars mais altas dentre todas. O subir e descer das mars registrado por uma medida de comprimento, relativa s alturas, mxima e mnima, que a gua atinge em relao a um valor mdio. Em um intervalo aproximado de 12 horas, a altura mxima corresponde mar cheia e a altura mnima mar baixa. Vrios sites divulgam dados das alturas das mars baixa e alta a cada dia e em cada porto, como neste exemplo: Trecho da tbua de mars do porto de Santos, em maro de 2008 Data DOM 2/3/08 Horrio 00:21 08:15 12:56 18:02 00:56 07:45 13:23 18:47 01:30 07:45 13:54 19:26 Altura (m) 1,1 0,7 1,1 0,4 1,3 0,7 1,2 0,3 1,4 0,6 1,4 0,1

SEG 3/3/08

TER 4/3/08

Esta publicao no substitui as TBUAS DAS MARS, editadas pela DHN. As tbuas de previso de mars constantes desta publicao foram cedidas pela Diretoria de Hidrografia e Navegao, e reproduzidas mediante autorizao; Esta publicao no substitui as TBUAS DAS MARS, editadas pela DHN, mencionada no item 0240 das Normas para Embarcaes Empregadas na Navegao de Mar Aberto (NORMAN-01/DPC). Publicao para distribuio gratuita. No pode ser vendida.

Observa-se, por exemplo, que no dia 2 as mars altas alcanaram 1,1 m, enquanto as mars baixas mediram 0,7 m e 0,4 m. Nota-se tambm que a mar alta do dia 3 (1,3 m) foi de maior amplitude do que a do dia anterior (1,1 m), e de menor amplitude do que a mar alta do dia seguinte (1,4 m). Assim, a amplitude da mar alta est aumentando com a passagem dos dias representados na tbua.54


Escolhidos um porto e um perodo e selecionadas as alturas, em metros, das mars altas, e apenas delas, organizadamente e de acordo com a ordem de observao, possvel desenhar um grfico que reflete a periodicidade e que pode ser modelado por uma funo trigonomtrica. Observe, por exemplo, o grfico do porto do Recife durante um perodo de dois meses. No eixo horizontal esto assinalados os nmeros de observaes, cujo valor mximo chega prximo de 120, o que razovel, visto que ocorrem, em mdia, duas mars altas por dia e o perodo do grfico compreende 2 meses.Tbua de mars - Recife agosto/setembro 2004altura (m) 2,5 2 1,5 1 0,5 0 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111

Podemos obter a equao desse grfico, do tipo y = C + AsenBx, se fizermos algumas simplificaes: Adotar que o grfico uma senoide. Traar uma linha horizontal para identificar a constante C da equao. No caso, C 1,8. Identificar o valor da amplitude A 0,5. Deslocar a origem do sistema para o ponto de observao no 25, de maneira que todos os demais valores de observao passam a ser subtrados de 25. Identificar o perodo do grfico, correspondente, nesse caso, a 26 observaes. Como, em mdia, so duas observaes por dia, o perodo do grfico, em dias, aproximadamente 2 . igual a 13 dias. Assim, a constante B = 13Tbua de mars - Recife agosto/setembro 2004altura (m) 2,5 2 1,5 1 0,5 0 1 11 21 31 41 51 61 A

51 25 = 26 71 81 91 101 111

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Desafio! 1. De acordo com as simplificaes realizadas, qual a equao da funo que pode ser representada por esse grfico?

2. Qual ser a altura da mar no 39o dia de observao?

3. Em que dias a mar alta atingiu 2,05 m de altura?

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caderno do aluno matemática 2ª serie 1º bimestre

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