caderno do aluno matemática 1ª serie 4º bimestre

Caro(a) aluno(a), Voc est recebendo o ltimo volume do Caderno de Matemtica. Ao longo deste ano, voc encontrou desafios que exigiram os conhecimentos e as habilidades desenvolvidos durante o curso. Parabns pelo esforo! Agora, h outros desafios pela frente. Neste Caderno, o contedo bsico a relao entre a Geometria e a Trigonometria. Essa relao expressa no estudo das razes trigonomtricas j apresentadas no Ensino Fundamental. Voc ter a oportunidade de consolidar tais ideias a partir da sua contextualizao em diferentes situaes prticas. Neste Caderno, voc ter contato com atividades que permitam compreender a ideia de inclinao de uma rampa com a reapresentao/consolidao da tangente de um ngulo agudo. Saber que a origem das razes seno, cosseno, tangente e de todos os estudos de Trigonometria partiram de clculos astronmicos relacionados posio e ao movimento das estrelas. Ainda neste volume, aprofundando os conhecimentos das relaes essenciais entre a Geometria e a Trigonometria, voc ser convidado a explorar o estudo das regularidades na inscrio e na circunscrio de polgonos. Para finalizar, voc perceber que, por meio da Trigonometria, possvel relacionar os lados e os ngulos de um tringulo retngulo e tambm conhecer duas relaes importantes entre os lados e os ngulos de um tringulo qualquer: a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos. O objetivo deste Caderno contribuir para que o estudo da Matemtica seja cada vez mais prazeroso. Aproveite bastante!Equipe Tcnica de Matemtica rea de Matemtica Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas Cenp Secretaria da Educao do Estado de So Paulo

Matemtica - 1a srie - Volume 4

SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 RAMPAS, CORDAS, PARSECS RAZES PARA ESTUDAR TRINGULOS RETNGULOSVOC APRENDEU? 1. Dizemos que uma rampa tem inclinao de 10% se nos elevarmos verticalmente 10 metros a cada 100 metros percorridos horizontalmente. Faa um desenho, em escala, de uma rampa com inclinao de 40%.

3


2. Para calcular a inclinao a de uma rua, podemos observar o ngulo b formado pelo poste (vertical) com o leito da rua, conforme indica a figura a seguir. Se tal ngulo for igual a 84, qual ser a inclinao da rua? (Dica: consulte a tabela trigonomtrica disponvel no Anexo, no final deste Caderno.)

b a a

3. Ao lado de uma rua, na forma de uma rampa de inclinao de 10%, foi construda uma escada para pedestres. O trecho da rua em que ela foi construda tem 80 m de comprimento, medidos horizontalmente. Se os degraus da escada devem ser iguais, tendo uma altura de, no mximo, 16 cm, quantos degraus, no mnimo, dever ter a escada?

4


4. Em uma circunferncia de raio 1 m, podemos traar cordas de todos os tamanhos possveis de 0 m a 2 m. Algumas dessas cordas, de comprimento c1 a c7 , esto representadas na figura a seguir. Os quatro ngulos indicados tm medida de 60.

c4

c5

c3

c1 c2 c6

c7

a) Calcule o comprimento de cada uma das cordas.

5


b) Calcule a razo entre a semicorda e o raio em cada caso. Em seguida, faa uma tabela com os valores da semicorda e da razo anteriormente referida. Indique tambm na tabela os ngulos centrais correspondentes a cada corda e os ngulos dos quais tais razes so os senos.

c) Explique como voc poderia utilizar a tabela que construiu para calcular o comprimento de uma corda correspondente a um ngulo central de 60 em uma circunferncia de raio 5 m.

6


d) Calcule o raio de uma circunferncia na qual uma corda de 100 m corresponde a um ngulo central de 60.

e) Calcule o raio de uma circunferncia na qual uma corda de 100 m corresponde a um ngulo central de 6.

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Leitura e Anlise de Texto No tringulo retngulo de hipotenusa c, o ngulo a oposto ao cateto a e o ngulo b a a oposto ao cateto b. J sabemos que a razo __ a tangente de a, a razo __ o seno de a c b b b e, analogamente, a razo __ a tg b e a razo __ o sen b. a csen a = a ; tg a = a c b sen b = b ; tg b = b c a a b c b a

Das consideraes anteriores sobre as retas secantes s circunferncias, podemos c concluir que o que se chama secante de a a razo __, sendo representada por sec a; b c analogamente, sec b = __. a Assim, como se convencionou chamar o seno do complementar de a de cosseno de a, representando-se por cos a o sen (90 a), tambm se convenciona chamar: atangente do complementar de a de cotangente de a, representando-se por cotg a; asecante do complementar de a de cossecante de a, representando-se por cossec a.

LIO DE CASA

1. Com base no texto apresentado na seo Leitura e Anlise de Texto, mostre que: a) sen a = cos b

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b) sen b = cos a

c) cossec b = sec a

d) tg a = cotg b

1 e) sec a = _____ cos a

1 f ) cossec b = _____ sen b

sen a g) tg a = _____ cos a

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cos a h) cotg a = _____ sen a

i) sen2 a + cos2 a = 1

j) 1 + tg2 a = sec2 a

k) 1 + cotg2 a = cossec2 a

Leitura e Anlise de Texto Quando observamos um ponto P fechando os olhos alternadamente, temos uma viso um pouco diferente. Aparentemente, o ponto muda de posio e essa mudana pode ser medida por um ngulo chamado paralaxe.P o1 o2 a a = ngulo de paralaxe

Analogamente, quando olhamos para o Sol a partir de um ponto P da superfcie da Terra, temos uma viso ligeiramente diferente da que teramos se estivssemos no centro C da Terra. Tal efeito chamado paralaxe, e tambm se mede por um ngulo, conforme a figura a seguir:10


P C

a

S

a = ngulo de paralaxe

O ngulo de paralaxe muito utilizado em trabalhos cientficos de Astronomia para a medida de distncias entre os corpos celestes. As ideias bsicas a seu respeito so: s observaes astronmicas so comumente feitas tendo o Sol como referncia. A Ao se observar uma estrela E vista da Terra T e do Sol S, haver uma diferena angular (paralaxe) entre as duas observaes. uanto maior for o efeito de paralaxe, mais prxima estar a estrela e, quanto Q menor o ngulo de paralaxe, mais distante estar a estrela. onvenciona-se que a unidade para distncias interestelares a distncia que C 1 1 corresponde a um ngulo de paralaxe de 1 ___ do minuto, ou seja, _____ do grau . 60 3 600 alunidadededistnciachamadaparsec (uma contrao das palavras paralaxe e T second ). A figura a seguir representa essa afirmao:

T

distncia TS = 150 milhes de km (distncia da Terra ao Sol) a S E se o ngulo a = 1, ento a distncia SE ser 1 parsec (a figura no est em escala)

ST ST Para calcular 1 parsec em km, basta notar que tg a = ___ e, em consequncia, SE = ____. tg a SE Sabemos que a distncia aproximada (mdia anual) da Terra ao Sol de 150 milhes de km. Obtendo-se o valor da tangente de 1 em uma tabela de tangentes ou em uma calculadora, encontramos tg 1 = 0,000004848. 150 . 106 Logo, SE = ___________ 3,09 . 1013 km, ou seja, 1 parsec 3,09 . 1013 km. 0,000004848 Exemplo ilustrativo Quando observada da Terra, a estrela Alfa Centauri, que a mais prxima do Sistema Solar, apresenta um ngulo de paralaxe de 0,75. Como menor do que 1, tal ngulo mostra que a distncia de Alfa Centauri at o Sol maior do que 1 parsec. De fato, obtendo a tangente de 0,75 em uma calculadora, temos tg 0,75 = 0,000003636. Logo, a distncia SE igual a: 150 . 106 SE = ___________ 4,13 . 1013 km 1,34 parsec 0,00000363611


VOC APRENDEU? 5. Responda s questes a seguir. a) Se uma estrela est a 10 parsec do Sol, o ngulo de paralaxe maior ou menor do que 1?

b) A distncia da Terra ao Sol conhecida como Unidade Astronmica e representada pela sigla UA. A quantas UA corresponde 1 parsec?

c) Uma unidade muito utilizada para medir grandes distncias o ano-luz, igual distncia percorrida pela luz em 1 ano. A quantos anos-luz corresponde 1 parsec? (Dica: a velocidade da luz no vcuo de 300 000 km/s.)

6. Uma estrela vista da Terra apresenta um ngulo de paralaxe de 0,5. Calcule: a) a distncia da estrela ao Sol em UA;

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b) a distncia da estrela Terra em parsec.

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 DOS TRINGULOS CIRCUNFERNCIA VAMOS DAR UMA VOLTA?

VOC APRENDEU? 1. Sabemos que sen a + cos a = 1. Tendo como referncia a circunferncia de raio igual a 1 representada a seguir, calcule o valor do sen 45o e, com ele, complete a tabela com os valores do seno de cada um dos ngulos indicados. ngulo 45135o 45o 225o 315o

seno

135 225 315

2. Considere o hexgono regular de lado igual a 1 representado na figura abaixo. Lembrando 1 que sen 30 = __ , calcule, no espao a seguir, o seno dos ngulos a, b, y e d indicados. 2

b

a

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LIO DE CASA 1. Construa uma tabela com os valores das seis razes trigonomtricas (sen, cos, tg, cotg, sec e cossec) para os ngulos de 0, 90, 180, 270 e 360, indicando tambm os sinais das razes nos intervalos compreendidos entre tais valores.

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VOC APRENDEU?

3. Construindo-se uma circunferncia de raio 1 com centro no sistema de coordenadas, podemos representar geometricamente todas as razes trigonomtricas. J vimos que o seno e o cosseno de um ngulo a, medidos a partir do eixo x em sentido anti-horrio, so, respectivamente, a ordenada e a abscissa do ponto A da circunferncia que corresponde ao ngulo a. Identifique, na circunferncia citada, o segmento orientado que representa: a) a tangente de a b) a secante de a

3 1 4. Conhecendo os valores do sen 30 = __ e do cos 30 = ____, calcule o seno e o cosseno dos n-

__

gulos a indicados a seguir: a) 120

2

2

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b) 150

c) 210

d) 240

e) 300

f ) 330

LIO DE CASA 2. Em uma circunferncia de raio 1 m, um ponto P percorre um arco s correspondente a um ngulo central a. Calcule os valores de s e do seno de a nos casos indicados a seguir:

180

90

45

30

360

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a) a = 360

b) a = 180

c) a = 90

d) a = 45

e) a = 30

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VOC APRENDEU? 5. Em uma circunferncia de raio R, a um ngulo central de medida a em graus corresponde um arco de comprimento s e uma corda de comprimento c. Complete a tabela a seguir: a 180 120 90 60 30 10 0 s c

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 3 POLGONOS E CIRCUNFERNCIAS REGULARIDADES NA INSCRIO E NA CIRCUNSCRIOLeitura e Anlise de Texto ngulos notveis em polgonos regulares inscritos Todo polgono regular pode ser inscrito em uma circunferncia, isto , pode ter todos os seus vrtices pertencentes a uma mesma circunferncia, que chamada circunferncia circunscrita ao polgono. Chamaremos de l3 o lado do tringulo regular inscrito (tringulo equiltero), de l4 o do quadriltero regular (quadrado), de l6 o do hexgono regular, e assim por diante.

l6

l4 l3

Na figura, esto representados os trs polgonos regulares citados. Observamos que o ngulo central correspondente ao lado de cada um deles igual a 360 divididos pelo nmero de lados, ou seja, de 120 para o tringulo equiltero, de 90 para o quadrado e de 60 para o hexgono.

l6 l4 60 120 90 l3

20


De modo geral, sendo n o nmero de lados do polgono regular inscrito considerado, 360 a medida do ngulo central correspondente ao lado igual a _____. O ngulo central n correspondente ao lado do pentgono regular, por exemplo, igual a 72. Sendo a o ngulo central correspondente ao lado de um polgono regular de n lados, 360 temos, ento: a = _____. n

120 l6

l4 l3

30

60

90

120

120

30

Consideremos agora a medida do ngulo interno de cada um dos polgonos inscritos. Ele igual a 60 no caso dos tringulos equilteros, 90 no caso dos quadrados e 120 no caso dos hexgonos. De modo geral, notamos que, em cada caso, a soma de duas metades do ngulo interno com o ngulo central deve ser igual a 180, uma vez que tais ngulos constituem um tringulo. Em consequncia, sendo ai o ngulo interno de um polgono regular de n lados, temos: ai 360 360 2 __ + _____ = 180, ou seja, ai= 180 _____. n n 2 Comparando as expresses obtidas para a e para ai, notamos que, em cada polgono, esses ngulos so suplementares, ou seja, a + ai = 180.21


VOC APRENDEU? 1. Complete a tabela a seguir, indicando o ngulo central correspondente ao lado e o ngulo interno de cada um dos polgonos regulares indicados. Polgono regular (n lados) tringulo (n = 3) quadrado (n = 4) pentgono (n = 5) hexgono (n = 6) heptgono (n = 7) octgono (n = 8) enegono (n = 9) decgono (n = 10) dodecgono (n = 12) pentadecgono (n = 15) icosgono (n = 20) hectgono (n = 100) quilgono (n = 1 000)22

ngulo central a (em graus)

ngulo interno ai (em graus)


2. Observando a tabela obtida na atividade anterior, notamos que, quanto maior o nmero de lados de um polgono regular, menor seu ngulo central e mais prxima de 180 a medida de seu ngulo interno, o que significa que o polgono vai ficando cada vez mais arredondado. Podemos imaginar uma circunferncia como se fosse um polgono com um nmero de lados to grande que o ngulo central correspondente a cada lado zero e o ngulo interno 180. Tente desenhar um icosgono regular de lado 1 cm e verifique como ele pode, praticamente, ser identificado com uma circunferncia. Agora, imagine o que aconteceria se voc tentasse desenhar um quilgono regular... Registre suas concluses.

LIO DE CASA 1. Descubra se existe um polgono regular: a) cujo ngulo externo seja igual ao ngulo interno;

b) cujo ngulo interno seja igual ao dobro do ngulo externo;

c) cujo ngulo central seja igual ao ngulo interno.

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Leitura e Anlise de Texto Inscrevendo polgonos na circunferncia Quando inscrevemos um polgono regular em uma circunferncia de raio 1, existe uma relao simples entre o lado x do polgono e o ngulo central a correspondente. a a x De fato, temos sen __ = __ e, em consequncia, x = 2 . sen __ . 2 2 2

Li x a a 2 l x 2 R Li 2

Se o raio da circunferncia for igual a R, ento o lado Li do polgono inscrito ser proR Li porcionalmente maior, e teremos: __ = __ . 1 x a Logo, temos Li = R . x, ou seja, Li = 2Rsen __ . 2

Exemplos ilustrativos Na tabela a seguir, esto indicados os ngulos centrais correspondentes aos lados dos polgonos regulares de 3, 4, 5, 6, 7 e 8 lados e os comprimentos dos lados correspondentes. Polgonos regulares tringulos quadrados pentgonos hexgonos heptgonos octgonos ngulo central (em graus) 120 90 72 60 51,4 4524

Comprimento do lado __ R__ 3 R 2 1,176R R 0,867R 0,765R


Observao! a) Os valores dos senos necessrios foram obtidos em uma tabela ou em uma calculadora. b) Note que, dividindo Li por 2R, obtemos o seno da metade do ngulo central, em cada caso. 360 c) Como a medida do ngulo central a igual a _____, o comprimento do lado do n polgono regular inscrito fica determinado pelo valor de n: para cada valor de n associamos o valor de a correspondente e, para cada a, o valor de Li est determinado. Analogamente, quando circunscrevemos um polgono regular a uma circunferncia de raio 1, sendo Lc o lado do polgono circunscrito, temos: Li a polgono inscrito: __ = sen __ 2 2 Lc a polgono circunscrito: __ = tg __ 2 2

Li l a

Lc tg

a a sen 2 2 l

a 2

Logo, conclumos que, em uma circunferncia de raio 1, os valores de Li e Lc so tais que: a a Li = 2sen __ Lc = 2tg __ 2 2

Se a circunferncia tiver raio R, analogamente ao que foi mostrado para os polgonos inscritos, o valor de Lc ampliado na mesma proporo do raio, que passou de 1 para R. Assim: a Li = 2Rsen __ 2

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a Lc = 2Rtg __ 2


VOC APRENDEU? 3. Calcule o lado do polgono regular de n lados inscrito e do polgono de n lados circunscrito circunferncia de raio 1 no caso em que: a) n = 3, 6, 12, 24 b) n = 4, 8, 16, 32 (Observao: obtenha valores aproximados para os lados, usando a tabela de senos disponvel no final deste Caderno ou uma calculadora.)

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4. Em uma circunferncia de raio 5 cm, inscreve-se um polgono regular de 36 lados. Tendo por base o comprimento da circunferncia, qual a diferena porcentual entre o permetro desse polgono e o comprimento da circunferncia? (Dado: sen 5 0,0872.)

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5. Em uma circunferncia de raio 1 dm, circunscreve-se um polgono regular de 36 lados. A rea do polgono circunscrito supera em quantos porcento a rea do crculo correspondente? (Dado: tg 5 0,0875.)

Li l a

Lc tg

a 2

a sen a 2 2 l

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 4 A HORA E A VEZ DOS TRINGULOS NO RETNGULOSVOC APRENDEU? 1. Mostre que, se um ngulo a inscrito em uma circunferncia, sua medida igual metade da medida do ngulo central t correspondente (ver figura).

2. Dado um tringulo qualquer de lados a, b e c, sempre podemos inscrev-lo em uma circunferncia, de modo que os ngulos correspondentes a, b e y sejam ngulos inscritos na circunferncia, conforme mostra a figura a seguir.

B b c a a A b C

30


a b c Mostre que vlida a proporo: _____ = _____ = _____ (Lei dos Senos). sen a sen b sen y

3. Um tringulo tem lados de medidas 5 m, 6 m e 10 m. a) Esse tringulo retngulo?

b) Se dobrarmos as medidas dos trs lados, o novo tringulo ter seus ngulos alterados?

c) Seria possvel reduzir o lado de 6 m ao meio, construindo um tringulo de lados 5 m, 3 m e 10 m?

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d) Qual a razo entre o seno do ngulo oposto ao lado de 5 m e o seno do ngulo oposto ao lado de 10 m?

LIO DE CASA 1. Um ngulo a inscrito em uma circunferncia de dimetro 10 m subentende uma corda de 5 m. Determine a medida de a em graus.

a 10

a

a 5

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VOC APRENDEU? 4. Um tringulo tem ngulos a, b e y e lados a, b e c respectivamente iguais a 2 m, 3 m e 4 m. a) Esse tringulo retngulo?

b) Calcule o cosseno do ngulo y.

c) Calcule o seno dos ngulos a e b.

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5. Quando duas foras de intensidades F1 e F2 agem simultaneamente sobre o mesmo ponto P, a fora resultante pode ser representada pela Regra do Paralelogramo e tem uma intensidade R que pode ser calculada de acordo com a Lei dos Cossenos. Sendo t o ngulo formado pelas duas foras (ver figura), mostre que devemos ter R2 = F12 + F22 + 2F1. F2 . cos t.F1 R P F2 F1

LIO DE CASA 2. Duas foras de 100 N so aplicadas a uma pequena esfera. O ngulo formado pelas suas linhas de ao igual a t, conforme mostra a figura. Calcule a intensidade da resultante R das duas foras em N para os seguintes valores de t:

100 100

R

a) 0

34


b) 30

c) 45

d) 60

e) 90

35


f ) 120

g) 150

h) 180

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ANEXOTABELA TRIGONOMTRICA ngulo (em graus) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Seno 0,017452 0,034899 0,052336 0,069756 0,087156 0,104528 0,121869 0,139173 0,156434 0,173648 0,190809 0,207912 0,224951 0,241922 0,258819 0,275637 0,292372 0,309017 0,325568 0,342020 0,358368 0,374607 0,390731 0,406737 0,422618 0,438371 0,453990 0,469472 0,484810 0,537

Cosseno 0,999848 0,999391 0,998630 0,997564 0,996195 0,994522 0,992546 0,990268 0,987688 0,984808 0,981627 0,978148 0,974370 0,970296 0,965926 0,961262 0,956305 0,951057 0,945519 0,939693 0,933580 0,927184 0,920505 0,913545 0,906308 0,898794 0,891007 0,882948 0,874620 0,866025

Tangente 0,017455 0,034921 0,052408 0,069927 0,087489 0,105104 0,122785 0,140541 0,158384 0,176327 0,194380 0,212557 0,230868 0,249328 0,267949 0,286745 0,305731 0,324920 0,344328 0,363970 0,383864 0,404026 0,424475 0,445229 0,466308 0,487733 0,509525 0,531709 0,554309 0,577350


ngulo (em graus) 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Seno 0,515038 0,529919 0,544639 0,559193 0,573576 0,587785 0,601815 0,615661 0,629320 0,642788 0,656059 0,669131 0,681998 0,694658 0,707107 0,719340 0,731354 0,743145 0,754710 0,766044 0,777146 0,788011 0,798636 0,809017 0,819152 0,829038 0,838671 0,848048 0,857167 0,866025

Cosseno 0,857167 0,848048 0,838671 0,829038 0,819152 0,809017 0,798636 0,788011 0,777146 0,766044 0,754710 0,743145 0,731354 0,719340 0,707107 0,694658 0,681998 0,669131 0,656059 0,642788 0,629320 0,615661 0,601815 0,587785 0,573576 0,559193 0,544639 0,529919 0,515038 0,5

Tangente 0,600861 0,624869 0,649408 0,674509 0,700208 0,726543 0,753554 0,781286 0,809784 0,839100 0,869287 0,900404 0,932515 0,965689 1 1,035530 1,072369 1,110613 1,150368 1,191754 1,234897 1,279942 1,327045 1,376382 1,428148 1,482561 1,539865 1,600335 1,664279 1,732051

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ngulo (em graus) 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

Seno 0,874620 0,882948 0,891007 0,898794 0,906308 0,913545 0,920505 0,927184 0,933580 0,939693 0,945519 0,951057 0,956305 0,961262 0,965926 0,970296 0,974370 0,978148 0,981627 0,984808 0,987688 0,990268 0,992546 0,994522 0,996195 0,997564 0,998630 0,999391 0,999848 1

Cosseno 0,484810 0,469472 0,453990 0,438371 0,422618 0,406737 0,390731 0,374607 0,358368 0,342020 0,325568 0,309017 0,292372 0,275637 0,258819 0,241922 0,224951 0,207912 0,190809 0,173648 0,156434 0,139173 0,121869 0,104528 0,087156 0,069756 0,052336 0,034899 0,017452 0

Tangente 1,804048 1,880726 1,962611 2,050304 2,144507 2,246037 2,355852 2,475087 2,605089 2,747477 2,904211 3,077684 3,270853 3,487414 3,732051 4,010781 4,331476 4,704630 5,144554 5,671282 6,313752 7,115370 8,144346 9,514364 11,43005 14,30067 19,08114 28,63625 57,28996 -

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caderno do aluno matemática 1ª serie 4º bimestre

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