caderno do aluno matemática 1ª serie 1º bimestre

Caro(a) aluno(a), Para viver no mundo atual com qualidade de vida preciso ter cada vez mais conhecimentos, respeitar valores e desenvolver atitudes positivas em relao a si e aos outros. Os conhecimentos que a humanidade construiu ao longo do tempo so um valioso tesouro que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decises... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se so algumas formas de compartilhar esse tesouro. Este material foi elaborado especialmente para ajudar voc a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos. O objetivo das Situaes de Aprendizagem deste Caderno apresentar os conhecimentos matemticos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construda como parte de sua vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas no devem ser consideradas exerccios ou problemas a serem resolvidos simplesmente com tcnicas transformadas em rotinas automatizadas. Muitas dessas Situaes podem ser vistas como ponto de partida para estudar ou aprofundar uma noo ou propriedade matemtica. Aprender exige esforo e dedicao, mas tambm envolve curiosidade e criatividade, que estimulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que voc participe das aulas, observe as explicaes do professor, faa anotaes, exponha suas dvidas, no tenha vergonha de fazer perguntas, procure respostas e d sua opinio. Se precisar, pea ajuda ao professor. Ele pode orient-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informaes sobre um assunto. Reserve todos os dias um horrio para fazer as tarefas e rever os contedos; assim voc evita que eles se acumulem. E, principalmente, ajude e pea ajuda aos colegas. A troca de ideias fundamental para a construo do conhecimento. Aprender pode ser muito prazeroso. Temos certeza de que voc vai descobrir isso.Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas CENP Secretaria da Educao do Estado de So Paulo Equipe Tcnica de Matemtica

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Matemtica - 1a srie - Volume 1

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 CONJUNTOS NUMRICOS; REGULARIDADES NUMRICAS E GEOMTRICASLeitura e Anlise de Texto

Observando padres e regularidades Voc j reparou que as pessoas, em muitos momentos do dia, esto diante de situaes que envolvem uma sequncia de nmeros? O torcedor procura, em uma tabela no caderno de esportes do jornal, a posio de seu time no campeonato nacional. Para localizar uma determinada residncia em uma rua, o carteiro observa certa regra na numerao das casas: de um lado, esto dispostas as casas de numerao par em sequncia crescente ou decrescente e, do outro lado, as de numerao mpar. Em um edifcio, a numerao dos apartamentos indica tambm o andar em que ele se localiza. No hospital, a enfermeira orientada sobre a sequncia de horrios em que deve administrar certo medicamento ao paciente. O ser humano tambm observa vrios movimentos naturais que seguem uma determinada sequncia, formando, assim, certo padro: os perodos do dia, as estaes do ano, as fases da Lua e o perodo de aparecimento de um cometa so alguns desses movimentos. Desde a Antiguidade, grande parte do trabalho dos matemticos e cientistas tem sido observar e registrar fenmenos que ocorrem segundo um padro. O encontro de um padro ou de uma regularidade ser uma das possibilidades de compreenso, previso e controle desses fenmenos. Para abordar esse assunto, este Caderno explora, inicialmente, as sequncias numricas que podemos construir a partir dos conjuntos numricos que conhecemos, so estes: os naturais, os inteiros, os racionais e os reais.

Para lembrar: Conjunto dos nmeros naturais IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...} = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} Conjunto dos nmeros inteiros

VOC APRENDEU? 1. Dados os conjuntos seguintes, descritos em linguagem cotidiana, encontre, em cada caso, seus elementos e traduza a descrio dada para a linguagem matemtica.3


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a) O conjunto A formado por nmeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a 11.

b) O conjunto B formado por nmeros naturais menores ou iguais a 6.

c) O conjunto C formado por nmeros inteiros maiores ou iguais a 3 e menores do que 5.

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d) O conjunto D formado por nmeros inteiros maiores ou iguais a 2.

2. Quais so os cinco menores nmeros que pertencem a cada um dos seguintes conjuntos? a) E o conjunto dos nmeros naturais que so divisveis por 4.

b) F o conjunto dos nmeros naturais mpares maiores do que 7.

c) G o conjunto dos nmeros inteiros que elevados ao quadrado resultam em um nmero menor do que 10.

d) H o conjunto dos nmeros naturais que quando dobrados e somados a 1 resultam em um nmero maior do que 7.

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3. Descreva em linguagem matemtica os conjuntos E, F, G e H, apresentados no problema anterior.

4. Abaixo so apresentadas trs sequncias numricas infinitas. Observando cada uma delas, encontre o que se pede: a) 1, 1, 1, 1, 1... Qual o 100o termo?

b) 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1... Qual o 120o termo?

c) 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4... Qual o 25o termo?

5. A seguir apresentada uma sequncia na forma figurativa. Descreva em palavras o padro de a regularidade desta sequncia e indique qual deve ser a figura que ocupa a 152- posio.

1

2

3

4

5

6

7

8

6. Observe a sequncia de figuras:

1

2

3

4

5

6

7

Supondo que a lei de formao continue a mesma, desenhe as figuras que devero ocupar as posies 38a e 149a nessa sequncia. Justifique sua resposta no espao a seguir.6


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7. Observe a sequncia (1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1...). Supondo que permanea a lei de formao dessa sequncia, determine o 38o e o 149o termos.

8. Hoje quarta-feira. Devo pagar uma dvida daqui a exatamente 90 dias. Em que dia da semana cair o 90o dia?

9. Um processo de reflorestamento previa a plantao de um certo nmero x de mudas de rvores. No primeiro dia, foram plantadas 120 rvores, e planejou-se que nos dias seguintes seriam plantadas, por dia, 10 rvores a mais do que teria sido plantado no dia anterior. Isso sendo feito: a) quantas rvores sero plantadas no 7o dia?

b) qual o nmero x, se no final do 10o dia havia sido plantada a metade do total previsto inicialmente?

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10. Observe os seis primeiros termos de uma sequncia.1 A B C D 2 (I) 3 4 A B C D 1 (II) 2 3 4 A B C D 1 (III) 2 3 4 A B C D 1 (IV) 2 3 4 A B C D 1 (V) 2 3 4 A B C D 1 (VI) 2 3 4

Supondo que a regularidade observada na formao desses termos seja mantida para a formao dos demais, isto , que o termo (I) seja igual ao termo (VII), que o termo (II) seja igual ao termo (VIII), e assim por diante: a) quais quadrculas estaro pintadas no termo (XXX)?

b) quantas vezes a quadrcula B2 ter sido pintada desde o termo (I) at o termo (XIX)?

LIO DE CASA

1. Aproveitando as condies apresentadas na Atividade 9 da seo anterior, crie trs questes acompanhadas de sua resoluo.

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2. Atribui-se ao matemtico grego Hipsicles (240-170 a.C.) uma regra para criar uma nova sequncia numrica a partir de outra. O mtodo consiste em tomar uma sequncia numrica, como a sequncia (1, 2, 3, 4, 5, 6...) e criar uma outra em que cada termo igual soma dos anteriores. Isto : Sequncia nova 1 3 6 10 15 ...

1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5 ...

Pela regra de Hipsicles, a sequncia (1, 2, 3, 4...) gerou a sequncia (1, 3, 6, 10, 15, 21...). Aplique a regra de Hipsicles e encontre os 8 primeiros termos de duas novas sequncias numricas geradas a partir da sequncia (1, 3, 6, 10, 15, 21...).

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3. Uma sequncia numrica crescente composta por cinco termos. O terceiro termo o nmero 1 e o quarto e quinto termos so as razes da equao x2 8x + 15 = 0. Encontre o primeiro e o segundo termos dessa sequncia.

VOC APRENDEU?

Sequncias definidas por sentenas matemticas1. Em uma sequncia numrica, o primeiro termo uma frao de numerador 1 e denominador 4. Os termos seguintes ao primeiro podem ser obtidos adicionando sempre uma unidade ao numerador e ao denominador da frao do termo imediatamente anterior. a) Quais so os cinco primeiros termos dessa sequncia?

b) Chamando o primeiro termo de a1, o segundo termo de a2, o terceiro de a3, e assim por diante, quanto a9?

c) Quanto a54?

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d) Como se pode determinar um termo an qualquer?

2. Em uma sequncia numrica, o primeiro termo igual a 2 e os seguintes so obtidos a partir do acrscimo de trs unidades ao termo imediatamente anterior. Nessa sequncia: a) quais so os cinco primeiros termos?

b) qual o a10?

c) qual o a20?

d) como se pode determinar um termo an qualquer?

3. Para obter os termos de uma sequncia numrica, necessrio fazer o seguinte: I. Elevar a posio do termo ao quadrado, isto , calcular 12 para o primeiro termo, 22 para o segundo termo, 32 para o terceiro termo, e assim por diante. II. Adicionar duas unidades ao resultado obtido aps elevar ao quadrado a posio do termo. Para essa sequncia numrica: a) quais so os cinco primeiros termos?

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b) qual o 8o termo?

c) qual o a20?


5 3 7 4. Observe os cinco primeiros termos da seguinte sequncia numrica: 3, 2, , , .. 3 2 5 n+2 Verifique que possvel determinar os termos dessa sequncia a partir da expresso an = _____, n atribuindo a n valores naturais maiores do que zero.

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5. A expresso an =

n 1 a expresso do termo geral de uma sequncia numrica, isto , os n +1 termos da sequncia podem ser obtidos se forem atribudos a n valores naturais maiores do que zero. Para essa sequncia, encontre: a) a1;

b) a5;

c) o 8o termo;

d) a posio do termo que igual a

9 . 11

1 6. Determinada sequncia numrica tem a1 = 9, a2 = 3, a3 = 1 e a4 = . Nessa sequncia, qual : 3 o a) o 5 termo?

b) o a6? 1 ? 81

c) a posio do termo que igual a

7. Qual das duas expresses listadas a seguir a expresso do termo geral da sequncia da atividade anterior? (Lembre-se que n o nmero que d a posio do termo na sequncia, isto , se n = 2, temos o segundo termo, se n = 5, temos o quinto termo, e assim por diante.) an = 9 3n a n = 33n

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8. A sequncia dos nmeros pares positivos esta: 0, 2, 4, 6, 8, 10... Nessa sequncia: a) qual o 10o termo?

b) qual o 15o termo?

c) qual o a35?

d) qual o a101?

e) qual a posio do termo que igual a 420?

f ) como se pode determinar um termo an qualquer?

9. Escreva os cinco primeiros termos da sequncia dos nmeros mpares positivos. Nessa sequncia: a) qual o 10o termo?

b) qual o a13?

c) qual o a25?


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10. Observe esta sequncia numrica 1, 4, 9, 16, 25... Nessa sequncia, qual : a) o 6o termo?

b) o a7?

c) a expresso de seu termo geral?

LIO DE CASA 1. Uma sequncia numrica dada pelo seguinte termo geral: a n = n +1 Para essa sequncia, determine: a) os cinco primeiros termos;

b) os cinco primeiros termos que sejam nmeros inteiros.

2. Observe a sequncia de figuras:

a) Quantos quadrinhos brancos dever ter a 6a figura dessa sequncia?

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b) Escreva uma frmula que permita calcular a quantidade de quadrinhos brancos, em funo da posio n da figura, na sequncia. (Sugesto: voc pode organizar os dados em uma tabela como a que segue.)

Posio da figura na sequncia 1 2 3 4 n

Nmero de quadrinhos pretos 1

Nmero de quadrinhos brancos 0

c) Quantos quadrinhos brancos dever ter a 39a figura dessa sequncia?

3. A seguir, esto os primeiros elementos de uma sequncia de figuras que representam os chamados nmeros quadrangulares. Analise-os e responda s questes propostas.

1

2

3

4

5

a) Quantos quadrinhos dever ter o 6o elemento dessa sequncia? E o 10o termo?

b) Escreva a expresso do termo geral dessa sequncia.

4. Observe a figura:

1

3

5

7

9

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Nessa representao, os nmeros escritos logo abaixo da figura indicam a quantidade de quadrinhos de cada um desses conjuntos. Sendo assim responda: a) Qual a soma dos nmeros escritos abaixo da 5a figura?

b) Que relao pode ser estabelecida entre esse resultado e a figura analisada?

c) Utilize os resultados de suas observaes para determinar, sem efetuar a adio, o resultado de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15.

5. Observe as linhas completas da tabela e complete as que estiverem em branco. Adio 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 A soma dos 5 primeiros nmeros mpares igual ao quadrado de 5. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 2.n 1 = n2 Descrio A soma dos 2 primeiros nmeros mpares igual ao quadrado de 2. A soma dos 3 primeiros nmeros mpares igual ao quadrado de 3.

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 PROGRESSES ARITMTICAS E PROGRESSES GEOMTRICAS

VOC APRENDEU? 1. Considere as sequncias de (I) a (VI) para responder s questes propostas. (I) (0, 3, 6, 9, 12...) (II) (1, 4, 7, 10, 13...) (III) (2, 5, 8, 11, 14...) (IV) (2, 4, 8, 16, 32...) (V) (0,2; 0,4; 0,6; 0,8...) (VI) (1, 4, 16, 64, 256...) a) Escreva os trs termos seguintes de cada uma dessas sequncias.

b) verdade que o algarismo 8 no aparece em nenhum nmero da sequncia (II)? Justifique.

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c) possvel que um mesmo nmero natural aparea em duas das trs primeiras sequncias? Justifique.

d) O nmero 1 087 um termo de qual(is) sequncia(s)?

e) Mostre que o nmero 137 no pertence sequncia (II).

f ) Escreva o termo geral da sequncia (I).

g) Escreva o termo geral da sequncia (II).

h) Escreva o termo geral da sequncia (III).

i) Escreva o termo geral da sequncia (IV).

j) Escreva o termo geral da sequncia (V).

k) Escreva o termo geral da sequncia (VI).

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l) Escolha um critrio, justificando-o, e separe as seis sequncias em dois grupos.

2. Sabe-se que as Olimpadas, a Copa do Mundo e os Jogos Pan-Americanos ocorrem de quatro em quatro anos. Se essas competies ocorreram nos anos 2004, 2006 e 2007, respectivamente, e considerando que continuem a acontecer segundo essa regra por muito tempo, responda: a) Qual competio ocorrer em 2118? E em 2079 e 2017?

b) Haver algum ano em que ocorrer mais de uma dessas trs competies? Explique.

3. Determinada sequncia numrica respeita a seguinte condio: a diferena entre dois termos consecutivos sempre a mesma e igual a 6. Se o primeiro termo dessa sequncia 8: a) quais so os cinco primeiros termos?

b) qual o a9?

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c) qual o 15o termo?

d) qual o 20o termo?

e) quanto a diferena entre a12 e a5?

f ) qual a expresso de seu termo geral, isto , qual a frmula matemtica que relaciona um termo qualquer (an) posio do termo (n)?

4. O primeiro termo de uma sequncia numrica 0,02. Para obter os termos seguintes, basta multiplicar o termo imediatamente anterior por 5. Dessa forma, qual : a) o 2o termo?

b) o a3?

c) o a4?

d) o resultado da diviso entre a6 e a4?

e) o termo geral da sequncia, isto , qual a frmula matemtica que relaciona um termo qualquer (an) posio do termo (n)?

5. Considere que: uma progresso aritmtica uma sequncia (a1, a2, a3, ..., an...) de nmeros an, em que a diferena entre cada termo an+1 e seu antecedente an uma constante. Essa diferena constante chamada de razo da progresso aritmtica, e representada por r. Assim, em uma progresso aritmtica de razo r, temos: an+1 an = r; para todo n natural, n 1. De acordo com essa definio, indique quais das sequncias que seguem so progresses aritmticas. Em caso afirmativo determine a razo.21


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a) (2, 5, 8, 11...)

b) (2, 3, 5, 8...)

c) (7, 3, 1, 5...)

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2 2 2 2 d) __, __, __, __... 3 3 3 3

3 1 e) __, 1, __, 0... 2 2

2 2 f ) 6, 2, __, __... 3 9

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6. Considere as sequncias dadas por seus termos gerais: I) an = 4.n + 1, com n 8 n, n 1; II) an = 4.n2 1, com n 8 n, n 1; III) a1 = 2 e an = an1 . 3, com n 8 n, n 2; IV) a1 = 2 e an = an1 + 3 , com n 8 n, n 2. Obtenha os cinco primeiros termos de cada uma dessas sequncias e destaque a razo daquelas que forem progresses aritmticas.

7. Considere que: uma progresso geomtrica uma sequncia (a1, a2, a3, ..., an...), em que cada termo an, a partir do segundo, obtido pela multiplicao de seu antecedente an 1 por uma constante diferente de zero. De acordo com essa definio, quais das sequncias abaixo so progresses geomtricas? Justifique sua resposta no espao a seguir. I) (1, 3, 9, 27...); II) (1, 2, 6, 24...); III) (36, 12, 4, 4 ...); 3

IV) (1, 2, 4, 8...); 8 7 V) 3, __, __, 2... ; 3 3 __ __ VI) 2 , 2, 2.2 , 4... .24


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8. Considere as sequncias: I) an = 3.n + 1 , com n 8 n, n 1; II) an = 3.n2 1 , com n 8 n, n 1; III) an = 3.n, com n 8 n, n 1; IV) a1 = 3 e an = an1 . 2 , com n 8 n, n 2; V) a1 = 3 e an = an1 + 2, com n 8 n, n 2. Determine os cinco primeiros termos de cada sequncia e destaque a razo daquelas que forem progresses geomtricas (PGs) ou progresses aritmticas (PAs).

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9. Observe a sequncia de figuras e responda s questes propostas.

1

2

3

4

a) Quantos quadradinhos comporo a 5a figura dessa sequncia? E a 6a figura?

b) Associe a essa sequncia uma outra que indique o nmero de quadradinhos de cada figura. Essa sequncia uma PG? Justifique.

c) Construa uma frmula que possa ser utilizada para determinar um termo qualquer dessa sequncia. Para auxili-lo nessa tarefa, a tabela a seguir organiza os dados, a fim de que as regularidades sejam mais facilmente observadas, elemento necessrio construo da frmula: Posio de um termo na sequncia 1 2 3 4 ... n Clculo 3 3.2 = 3.21 Quantidade de quadradinhos 3 6

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10. Nesta figura, cada quadradinho formado por quatro palitos de comprimentos iguais.

1 1

2 2

3

4

5

a) A sequncia formada pelas quantidades de palitos necessrios para a construo das figuras forma uma PA? Justifique sua resposta.

b) Quantos palitos sero necessrios para a construo da 6a figura? E da 7a?

c) Quantos palitos sero necessrios para construir a 78a figura?

d) Escreva uma frmula que expresse a quantidade de palitos da figura que ocupa a posio n nessa sequncia.

11. Sabe-se que o nono termo de uma PA de razo 4 29. Qual o 20o termo dessa PA?

12. Sabe-se que a sequncia (8, x, 4, y) uma progresso aritmtica. Determine os valores de x e y.

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LIO DE CASA

1. Invente uma progresso aritmtica. Separe apenas os termos cuja posio n indicada por um nmero mltiplo de 6 e forme uma outra sequncia de nmeros. Essa nova sequncia tambm uma progresso aritmtica? Em caso de resposta afirmativa, determine a razo da PA. Justifique sua resposta.

2. Determine o 8o termo de cada uma das progresses geomtricas: I) (1, 3, 9, 27...) 1 II) 8, 4, 2, 1, __... 2

3. Determine o 12o termo de uma PG de razo 2, sabendo que o 5o termo dessa sequncia 4.

4. Uma bola lanada de uma altura de 18 m e seu impacto com o solo provoca saltos sucessivos, de tal forma que, em cada salto, a altura que ela atinge igual a 80% da altura alcanada no salto anterior. Que altura ser alcanada pela bola quando ocorrer o 5o salto? E o 10o salto? (Use uma calculadora.)28


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1 5. Dada a PG __, x, 32, y , determine os valores de x e y. 2

6. Suponha que a populao de uma cidade tenha uma taxa de crescimento constante e igual a 20% ao ano. No fim do ano 2007, a populao era de 50 000 habitantes. a) Calcule a populao da cidade ao fim de cada um dos quatro anos seguintes e escreva os resultados obtidos em forma de sequncia.

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b) A sequncia obtida uma PG? Em caso afirmativo, qual a razo?

c) Encontre uma frmula que permita calcular a populao dessa cidade daqui a n anos contados a partir de 2007.

7. Suponha que o valor de um automvel diminua a uma taxa constante de 10% ao ano. Hoje o valor desse automvel R$ 20 000,00. a) Calcule o valor desse automvel daqui a quatro anos.

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b) Encontre uma frmula que permita calcular o preo desse automvel daqui a n anos.

VOC APRENDEU?

Tratamento das progresses sob o ponto de vista funcional1. Um conjunto A formado apenas pelos seguintes elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Assim, podemos escrever: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Um conjunto B formado por elementos numricos obtidos a partir dos elementos do conjunto A da seguinte forma: cada elemento de B 4 unidades a mais do que o triplo do elemento correspondente de A. Dito de outra forma, se chamarmos cada elemento do conjunto A de n, e cada elemento do conjunto B de p, temos: p = 4 + 3n. a) Quais so os elementos do conjunto B?

b) Qual o tipo de sequncia numrica formada pelos elementos do conjunto A?

c) Qual o tipo de sequncia numrica formada pelos elementos do conjunto B?

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2. Cada elemento de um conjunto D ser obtido a partir de um elemento correspondente do conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, da seguinte forma: d = 5c + 15, onde c representa um elemento do conjunto C e d representa um elemento do conjunto D. a) Quais so os elementos do conjunto D?

b) Qual o tipo de sequncia numrica formada pelos elementos do conjunto D?

3. Determinada regra matemtica transforma cada elemento do conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5, 6...} em um outro nmero, conforme mostra a seguinte representao:1 2 3 4 5 R E G R A

7 13 19 25 31

a) Qual o resultado associado ao nmero 6?

b) Qual o resultado associado ao nmero 10?

c) Se cada elemento do conjunto E for identificado pela letra n, e cada resultado for identificado pela letra p, qual a equao matemtica que relaciona p e n?

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d) Ordenando os resultados obtidos, qual ocupar a nona posio?

e) Qual o tipo de sequncia numrica formada pelos elementos do conjunto dos resultados?

LIO DE CASA 1. Na Antiguidade, era muito comum associar adivinhaes a problemas matemticos. Veja esse exemplo: Quando ia a Bagd Encontrei um homem com 7 mulheres Cada mulher tinha 7 sacos Cada saco, 7 gatos Cada gato, 7 gatinhos. Gatinhos, gatos, sacos e mulheres Quantos iam a Bagd? Escreva uma sequncia com os elementos da charada e conclua sobre que tipo de sequncia numrica formada.

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2. Um nmero chamado de palndromo quando o mesmo se lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda. Assim, os nmeros 55, 121 e 2 002 so palndromos. a) Um conjunto A formado por todos os nmeros palndromos de 2 algarismos. Quais so os elementos de A e qual o tipo de sequncia numrica formada por esses elementos?

b) Um conjunto B formado por todos os nmeros palndromos de 3 algarismos. Observando os elementos do conjunto B, podemos dizer que eles formam uma PA? Justifique sua concluso.

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 3 SOMA DOS TERMOS DE UMA PA OU DE UMA PG FINITAS; APLICAES MATEMTICA FINANCEIRA

VOC APRENDEU?

Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finitas1. Calcule a soma dos termos da progresso (10, 16, 22, ..., 70).

2. Calcule a soma dos termos da progresso (13, 20, 27...) desde o 21o termo at o 51o.

3. Calcule a soma dos nmeros inteiros, divisveis por 23, existentes entre 103 e 850.

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4. A figura a seguir apresenta os primeiros elementos de uma sequncia de nmeros chamados nmeros triangulares.

a) Escreva a sequncia numrica correspondente a essa figura, considerando o nmero de bolinhas que formam cada tringulo: 1, 3, ........, ........., ........., ........., ........, ..........., .........., .........., .......... b) Que regularidade voc observou na construo desses nmeros triangulares?

c) Escreva uma frmula que permita calcular um termo qualquer dessa sequncia utilizando a recorrncia, ou seja, definindo um termo a partir de seu precedente.

d) Construa uma frmula que calcule um termo qualquer dessa sequncia, sem necessariamente recorrer ao termo anterior. Para auxili-lo nessa tarefa, voc pode organizar os dados na tabela a seguir. Posio de um termo na sequncia 1 2 3 4 ... Processo de contagem das bolinhas Quantidade de bolinhas em cada termo

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5. A seguir, esto os primeiros elementos de uma sequncia de figuras que representam os chamados nmeros pentagonais.

1

2

3

4

5

a) Quantas bolinhas deve ter a 6a figura dessa sequncia? E a 7a?

b) Observe as regularidades que existem no processo de construo da figura 2 a partir da figura 1, no processo de construo da figura 3 a partir da figura 2, e assim por diante. Organize os dados na tabela abaixo e, em seguida, procure construir uma frmula que permita determinar a quantidade de bolinhas da figura n nessa sequncia. Posio da figura na sequncia Clculo Nmero de bolinhas

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6. Considere a PG (1, 2, 4, 8...). Calcule a soma dos 20 primeiros termos dessa PG, deixando indicada a potncia.

7. Resolva a equao 2 + 4 + 8 + ... + x = 510, sabendo que as parcelas do primeiro membro da equao esto em PG.

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8. (Vunesp, 2003) - Vrias tbuas iguais esto em uma madeireira. A espessura de cada tbua 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tbuas colocando-se uma tbua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas j houveram sido colocadas anteriormente.

Pilha na 1a vez

Pilha na 2a vez

Pilha na 3a vez

Determine, ao final de 9 operaes: a) quantas tbuas ter a pilha.

b) a altura, em metros, da pilha.

9. Uma pessoa compra uma televiso para ser paga em 12 prestaes mensais. A primeira prestao de R$ 50,00 e, a cada ms, o valor da prestao acrescido em 5% da primeira prestao. Quando acabar de quitar a dvida, quanto a pessoa ter pago pela televiso?

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10. A primeira parcela de um financiamento de 6 meses de R$ 200,00, e as demais so decrescentes em 5%. Assim, a segunda parcela 5% menor do que a primeira, a terceira parcela 5% menor do que a segunda, e assim por diante. Adotando 0,955 = 0,77, calcule: a) Qual o valor da ltima parcela?

b) Quanto ter sido pago quando a dvida for totalmente quitada?

LIO DE CASA

1. Dada a progresso aritmtica ( 4, 1, 6, 11...), obtenha: a) o termo geral da sequncia;

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b) a soma dos 12 primeiros termos;

c) uma expresso para o clculo da soma dos n primeiros termos.

2. A soma de n termos de uma progresso aritmtica pode ser calculada pela expresso Sn = 3n2 2 5n. Para essa sequncia, determine: a) a soma dos seis primeiros termos;

b) a soma dos sete primeiros termos;

c) o 7o termo;

d) os cinco primeiros termos.

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3. Um atleta fora de forma, desejando recuperar o tempo perdido, planeja correr diariamente uma determinada distncia, de maneira que a cada dia a distncia corrida aumente 20% em relao ao que foi corrido no dia anterior. Comeando a correr 10 km no primeiro dia: a) quanto estar correndo no 4o dia?

b) quantos quilmetros ter corrido em 10 dias? (Dado: 1,210 6,2.)

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Leitura e Anlise de Texto Aplicaes na Matemtica Financeira O crescimento de um capital a uma taxa constante de juros simples se caracteriza por envolver uma srie de termos que formam uma Progresso Aritmtica. Por outro lado, no clculo do crescimento de um capital a uma taxa constante de juros compostos, aparece uma Progresso Geomtrica. No exemplo a seguir, podemos comparar a evoluo de um capital inicial quando submetido a juros simples e a juros compostos.

VOC APRENDEU?

1. Complete: Tabela A Capital = C Taxa de juros = 5% ao ms

Evoluo do capital a juros simples Inicial Depois de 1 ms Depois de 2 meses Depois de 3 meses Depois de 4 meses C 1,05.C 1,10.C

Evoluo do capital a juros compostos C 1,05.C 1,052.C

2. Suponha que um cidado aplique mensalmente, durante 8 meses, uma quantia fixa de R$ 200,00 a juros simples de 5%. Ao final, depois dos 8 meses de aplicao, quanto ter acumulado essa pessoa? A tabela de capitalizao a seguir pode ajud-lo a organizar o mtodo de resoluo:43


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Tabela B Ms 1o 200 2o 210 200 3o 220 210 200 Capital 4o 230 220 210 200 200 200 200 200 5o 240 230 220 6o 250 240 230 7o 260 250 240 8o 270 260 250 Final 280 270 260

3. Em relao ao problema anterior, alterando apenas a forma de incidncia da taxa de juros, de simples para compostos, pode ser escrita a seguinte Tabela C, que precisa ser completada: Tabela C

Ms

1o

2o

3o

4o

5o

6o

7o

8o

Final

200 200.1,05 200.1,052 200.1,053 200.1,054 200.1,055 200.1,056 200.1,057 200.1,058 200 200.1,05 200.1,052 200.1,053 200.1,054 200.1,055 200.1,056 200.1,057 200 200.1,05 200.1,052 200.1,053 200.1,054 200.1,055 200.1,056 200 200.1,05 200.1,052 200.1,053 200.1,054 200.1,055 200 200 200 200

Capital

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4. Uma financeira remunera os valores investidos base de 4% de juros simples. Quanto conseguir resgatar nesse investimento uma pessoa que depositar mensalmente R$ 500,00 durante 10 meses?

5. Laura aderiu a um plano de capitalizao de um banco, depositando mensalmente R$ 1 000,00 durante 12 meses. Se o banco promete remunerar o dinheiro aplicado taxa de 2% de juros compostos ao ms, calcule quanto Laura resgatar ao final do perodo. (Dado: 1,0212 = 1,27.)

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6. Carlos deseja comprar um automvel que custar, daqui a 10 meses, R$ 15 500,00. Para conseguir seu objetivo, Carlos resolveu depositar uma quantia x em um investimento que promete remunerar o dinheiro aplicado razo de 10% de juros simples ao ms. Qual deve ser o valor mnimo de x para que Carlos consiga comprar o automvel ao final dos 10 meses?

7. Uma geladeira cujo preo vista de R$ 1 500,00 ser financiada em 6 parcelas mensais fixas. Se os juros compostos cobrados no financiamento dessa geladeira so de 3% ao ms, qual o valor da parcela mensal? (Dado: 1,036 = 1,19.)

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LIO DE CASA

1. Julia guardou mensalmente R$ 200,00 em um banco que remunerou seu dinheiro base de 4% ao ms de juros compostos. Ao final de 8 meses de aplicao, Julia usou o dinheiro que havia guardado para dar de entrada em um pacote de viagem que custava, vista, R$ 5 000,00. Julia pretende financiar o saldo devedor em 5 vezes, em parcelas iguais e fixas, taxa de 2% ao ms. (Dados: 1,048 1,37; 1,025 1,10.) a) Quanto Julia deu de entrada no pacote de viagem?

b) Qual o valor da parcela mensal fixa do financiamento do saldo do pacote de viagem?

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PESQUISA INDIVIDUAL

A histria do jogo de xadrez um exemplo bastante interessante de como nossa percepo pode ser enganada quando somamos um grande nmero de termos de uma sequncia. Faa uma pesquisa sobre essa histria. Voc pode recorrer a sites de busca ou ao livro O homem que calculava, de Malba Tahan.

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 4 LIMITE DA SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA PG

Leitura e Anlise de Texto Na Grcia antiga, a contraposio entre discreto e contnuo trazia j alguns problemas de interpretao. Para os pitagricos, o nmero era a referncia de toda dvida e toda dificuldade. Segundo eles, se no fosse pelo nmero e por sua natureza, nada do que existe poderia ser compreendido por algum, nem em si mesmo, nem com relao a outras coisas. Os nmeros constituam o verdadeiro elemento de que era feito o mundo. Chamavam um ao ponto, dois linha, trs superfcie e quatro ao slido. A partir de Um, Dois, Trs e Quatro podiam construir um mundo. A concepo geomtrica dos gregos do sculo V a.C., influenciada pela viso dos pitagricos, entendia que o nmero de pontos de uma linha determinada seria finito, muito embora no fosse possvel quantific-los. Em outras palavras, a noo do contnuo no fazia parte das ideias geomtricas de ento. Essa concepo de uma srie de pontos justapostos, como uma grande fila, de maneira que qualquer segmento pudesse ser mensurvel, quantificado como uma determinada quantidade de pontos, caiu por terra a partir da descoberta da incomensurabilidade entre a diagonal e o lado do quadrado.

Para refletir: Dentre os conjuntos numricos que voc j estudou, qual deles nos permite representar grandezas contnuas?

Desafio! O tringulo ABC da figura equiltero de lado 1. Unindo os pontos mdios dos lados desse tringulo, obtemos o segundo tringulo PQR. Unindo os pontos mdios dos lados do tringulo PQR, obtemos o terceiro tringulo STU, e assim sucessivamente. Determine a soma dos permetros dos infinitos tringulos construdos por esse processo.

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P A S T Q

B

R

U

C

a) Quanto mede o lado PQ do tringulo PQR? E os lados PR e RQ?

b) Qual o permetro dos tringulos ABC, PQR e STU?

c) Escreva uma sequncia numrica cujos termos so os permetros dos tringulos ABC, PQR, STU e mais outros dois tringulos construdos segundo o critrio.

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11/19/09 5:13:21 PM


VOC APRENDEU?

1. Por mais que aumentemos o nmero de termos na adio, 1 1 1 S = 2 + __ + __ + ___ + ... 2 8 32 existir um valor limite, isto , um valor do qual a soma se aproxima cada vez mais, porm nunca o atinge. Qual esse valor?

2. Calcule o resultado limite das seguintes somas: a) S = 10 + 1 0,1 + 0,01 0,001 + 0,0001 ...

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11/19/09 5:13:21 PM


1 1 2 1 1 b) S = __ + __ + ___ + ___ + ___ + ... 5 5 10 20 40

3. Uma bola de borracha cai da altura de 6 m, bate no solo e sobe at a tera parte da altura inicial. Em seguida, a bola cai novamente, bate no solo, inverte o sentido de movimento, e sobe at atingir a tera parte da altura anterior. Continuando seu movimento segundo essas condies, isto , atingindo aps cada batida a tera parte da altura que atingiu aps a batida imediatamente anterior, qual ser a distncia vertical total percorrida pela bola at parar?

Conexo Editorial

6m

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11/19/09 5:13:21 PM


4. Resolva a equao em que o primeiro termo da igualdade o limite da soma dos termos de uma x x x + ... = 18 PG infinita: + + 2 8 32

LIO DE CASA

1. (Adaptado do Paradoxo de Zeno) Uma corrida ser disputada entre Aquiles, grande atleta grego, e uma tartaruga. Como Aquiles 10 vezes mais rpido do que a tartaruga, esta partir 10 metros frente de Aquiles, conforme representado no esquema a seguir. Conexo Editorial

10 m

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11/19/09 5:13:25 PM


Quando Aquiles chegou ao ponto em que a tartaruga estava inicialmente, depois de percorrer 10 m, a tartaruga, 10 vezes mais lenta, estava 1 m frente. Conexo Editorial

1m

Aquiles ento correu 1 m at o ponto em que a tartaruga estava, mas ela j no estava mais l: estava 10 cm frente, pois correu, no mesmo intervalo de tempo, 10 vezes menos que Aquiles, e a dcima parte de 1 m 10 cm. Conexo Editorial

10 cm

Repetindo esse raciocnio para os intervalos de tempo seguintes, parece que Aquiles nunca alcanar a tartaruga, pois ela sempre ter percorrido 1 do que Aquiles percorrer. Ser mesmo verdade 10 que ele nunca alcanar a tartaruga? a) Escreva a sequncia das distncias que Aquiles percorre at chegar ao ponto em que a tartaruga estava a cada vez.

b) A sequncia das distncias uma PG. Qual a razo dessa PG?

c) Calcule a soma das infinitas distncias percorridas por Aquiles at chegar ao ponto em que se encontrava a tartaruga a cada vez.

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11/19/09 5:13:29 PM


d) Quantos metros percorrer Aquiles at alcanar a tartaruga? Ou voc acredita que ele no a alcanar?

2. Escreva a expresso 2. 2. 2. 2. 2. 2 ... como um produto de potncias de dois e, depois, encontre o valor da expresso.

3. Uma dvida foi paga mensalmente da seguinte maneira: 1o ms: metade do valor inicial da dvida; 2o ms: metade do valor restante aps o pagamento da parcela anterior; 3o ms: metade do valor restante aps o pagamento da parcela anterior; 4o ms: metade do valor restante aps o pagamento da parcela anterior; e assim, sucessivamente, at a quitao total da dvida. Verifique que a soma das parcelas pagas corresponde ao valor total da dvida.

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11/19/09 5:13:29 PM


4. Determine a geratriz da dzima 1,777...

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11/19/09 5:13:34 PM

caderno do aluno matemática 1ª serie 1º bimestre

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