caderno do aluno matemática 8ª serie 2º bimestre

Caro(a) aluno(a), Neste Caderno voc ir estudar as equaes de 2 o grau e compreender a linguagem algbrica na representao e resoluo de problemas. As equaes de 2 o grau so utilizadas em diversas situaes do cotidiano, por exemplo: a regio de um jardim onde no se tem todas as medidas do canteiro ou at mesmo o projeto de uma casa a ser construda. Alm disso, o Caderno convida voc, aluno(a), a conhecer um pouco mais da histria da Matemtica a partir do uso das equaes de 2 o grau e a vivenciar atividades que resgatam modelos de problemas que foram criados por grandes matemticos do passado a fim de registrarem seus conhecimentos. Voc ter ainda a oportunidade de estudar mais a ideia de proporcionalidade expressando algumas situaes-problema presentes na linguagem algbrica. Nesse volume, as noes de proporcionalidade podem ser vistas, assim como as equaes de 2o grau, em diferentes contextos. Esperamos que voc goste de aprender com as atividades do Caderno. Bons estudos!Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas CENP Secretaria da Educao do Estado de So Paulo Equipe Tcnica de Matemtica

Matemtica - 8a srie/9o ano - Volume 2

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 ALGUNS MTODOS PARA RESOLVER EQUAES DE SEGUNDO GRAUVOC APRENDEU?

1. Os participantes de um festival de msica decidiram que, ao final do evento, fariam uma festa de encerramento. Nessa festa, cada um dos participantes daria uma flor de presente a cada colega que participou do evento. Quantas flores sero distribudas se o total de participantes for igual a 5? E se for igual a 6? E igual a 7?

2. Complete a tabela a seguir: Nmero de participantes 3 4 5 6 11 x y+1 3. Se o total de flores distribudas na festa for igual a 930, ento o nmero de participantes ser: a) 29 b) 30 c) 313

Nmero de flores que cada um vai receber2

Total de flores3.2=6

d) outro


4. Para responder questo anterior, um aluno de 8a srie, aplicando seus conhecimentos algbricos, fez a seguinte reflexo: Escreveu a expresso algbrica relativa ao problema Aplicou a propriedade distributiva Deixou todos os termos no primeiro membro da equao, igualando-a a zero x(x 1) = 930 x2 x = 930 x2 x 930 = 0

Para resolver essa equao, o aluno substituiu a incgnita x pelos valores das alternativas e, assim, descobriu a alternativa correta. Use o mesmo procedimento e, em seguida, compare o resultado com a sua resposta, obtida na Atividade 3.

5. Traduza as situaes a seguir por meio de uma equao. Depois resolva essa equao e encontre a resposta do problema. (Dica: desenhe as figuras e represente os lados desconhecidos por uma letra.) a) A rea de um quadrado de lado x igual a 49 cm2. Qual a medida do lado desse quadrado?

4


b) Um retngulo tem rea igual a 242 cm2 e o seu lado maior o dobro do lado menor. Qual a medida do lado maior desse retngulo?

c) A rea de um tringulo retngulo issceles 18 cm2. Determine as medidas de seus catetos e de sua hipotenusa.

d) A rea do retngulo representado pela figura a seguir igual a 65 cm2. Calcule seu permetro.x+8 x

e) Um quarteiro na forma de um quadrado foi reduzido de modo a ser contornado por uma calada com 2 metros de largura, conforme a figura a seguir. Com isso, sua rea passou a ser de 144 m2. Qual era a medida da rea original desse quarteiro?2m

144 m2

5


LIO DE CASA 6. Escreva as equaes elaboradas na Atividade 5 da seo Voc aprendeu? na tabela abaixo. Em seguida, faa as operaes algbricas necessrias de tal modo que o segundo membro da equao seja igual a zero. Item a) b) c) d) e) Quais so as principais semelhanas e diferenas que podem ser observadas entre as cinco equaes obtidas? Equao utilizadax2 = 49

Equao transformadax2 49 = 0

VOC APRENDEU? 7. Resolva as equaes a seguir e depois verifique se os valores encontrados satisfazem as mesmas. a) x +4=9 b) 2 x = 162

6


c) x3 9x = 0

d) x 4 16 = 0

8. Obtenha as razes das equaes a seguir: a) x2 = 9 b) 4x2 36 = 0

c) 3x2 = 27

d) x2 4 = 12

7


e) 4x2 25 = 0

f)

5 . x2 2 = 2 5

g) x2 + 1 = 0

h) 4 = x2

i) 2x2 + 7 = 0

j) x2 = 0

k) 3x2 = 0

l) x2 + 1 = 1

8


9. Se o produto de dois fatores zero, necessariamente um deles igual a zero. Assim, obtenha as razes reais das seguintes equaes: a) (x + 2).(x 6) = 0 1 b) (3x + 2).( x ) = 0 2

c) x2 + 4x = 0

d) x2 + x = 0

e) (x 3).(2x 10) = 0

9


LIO DE CASA

10. Obtenha as razes reais das equaes a seguir: a) x 2 9 = 27 b) (x + 7).(x + 11) = 0

c) 2x 2 + 1 = 0

d) 3x2 12x = 0

e) 5x 2 125 = 0

10


Leitura e Anlise de Texto Considere o seguinte problema: A rea de um quadrado acrescida de 8 vezes o seu lado igual a 65. Qual a medida do lado desse quadrado? Na lgebra moderna, esse problema pode ser traduzido pela seguinte expresso algbrica: x2 + 8x = 65. Resolvendo a equao, podemos obter a soluo do problema. Antigamente, contudo, os matemticos no dispunham das mesmas ferramentas da lgebra moderna. Usavam, ento, outras estratgias para resolver problemas desse tipo. Uma delas foi desenvolvida pelo matemtico persa Al-Khowarizmi, que viveu em Bagd no sculo IX. O mtodo desenvolvido por ele seguia os seguintes passos: I. As expresses x2 e 8x eram interpretadas como as reas de um quadrado e de um retngulo. A soluo do problema , ento, a medida do lado do quadrado:x x x2 8 8x

mais

x

igual a 65

x 2 + 8x = 65 II. O retngulo era dividido em dois retngulos de mesma rea. A equao era interpretada como:x

x

x2

mais

x

4x

4x

igual a 65

4

4

x 2 + 2 . 4x = 6511


III. Cada retngulo era arranjado de modo que ficassem justapostos a dois lados do quadrado. Com essa composio, a rea da figura continua sendo 65.x 4

x

x2

4x

4

4x

IV. De modo a completar o quadrado acrescentava-se um quadrado no canto da figura anterior. A medida do lado desse quadrado a mesma do lado conhecido do retngulo, ou seja, 4. Assim, a rea do novo quadrado 4 . 4 = 16. Com esse mtodo, completava-se um quadrado perfeito de lado x + 4 e rea igual a 65 + 16 = 81.x x 4

x2

4x

4

4x

16 4

4

x 2 + 2 . 4x + 16 = 65 + 16 ou (x + 4)2 = 81 V. Sendo a nova rea 81, ento a medida do lado do novo quadrado Assim, o lado do quadrado x + 4 = 9, portanto x = 5 a soluo. 81 = 9.

VOC APRENDEU? 11. Resolva o problema abaixo usando o mtodo desenvolvido por Al-Khowarizmi, apresentado na seo Leitura e Anlise de Texto. Desenhe as figuras e escreva as equaes equivalentes a cada etapa, no espao a seguir. A rea de um quadrado acrescida de 12 vezes o seu lado igual a 13. Qual a medida do lado desse quadrado?

12


13


LIO DE CASA

12. Encontre as razes das equaes de 2o grau aplicando o mtodo do completamento do quadrado desenvolvido por Al-Khowarizmi. (Observao: desenhe a figura do quadrado que representa a soluo de cada equao.) a) x2 + 20x = 300

b) x2 + 5x = 6

14


c) x2 + 2x + 1 = 0

VOC APRENDEU? 13. Quais dos seguintes trinmios referem-se a quadrados perfeitos? Escreva-os na forma fatorada. a) x2 + 4x + 4 b) x2 6x + 9

c) 4x2 + 12x + 9

d) 25x2 + 100x + 100

15


e) x2 x + 1

14. Encontre o termo que falta para que o trinmio seja um quadrado perfeito: a) x2 + 18x + b) 9x2 + c) x2 20x + d) 4x2 e) x + 49 x2 30x + 25 x+4

15. Resolva as seguintes equaes de 2o grau. (Dica: use a forma fatorada do trinmio quadrado perfeito.) a) x2 6x + 9 = 0 (x 3) 2 = 0. Logo, x = 3. c) x2 4x + 4 = 0

b) x 2 + 12x + 36 = 0

1 d) x 2 + x + __ = 0 4

16


16. Descubra dois nmeros cuja soma e produto sejam, respectivamente, iguais a: a) 7 e 12 + . b) 11 e 24 + . c) 11 e 12 + . = = = = f ) 6 e 40 + . = = = = e) 13 e 40 + . = = d) 10 e 24 + . = =

17. Use a ideia da soma e do produto e fatore os trinmios de 2o grau a seguir, conforme o exemplo abaixo: a) x2 + 17x + 30 I. Descobrir dois nmeros cuja soma seja 17 e cujo produto seja 30: 2 e 15; II. Fatorar o trinmio x2 + 17x + 30: (x + 2).(x + 15); III. Verificar se o produto obtido corresponde ao trinmio original: x2 + 15x + 2x + 30 = x2 + 17x + 30. b) x2 12x + 32

c) x2 7x 60

d) x2 4x 60

17


18. Agora, resolva as equaes a seguir, usando a fatorao de 2o grau (mtodo da soma e do produto): a) x2 2x 15 = 0 Fatorando o trinmio, obtemos (x 5).(x + 3) = 0 Logo, x = 5 ou x = 3. b) x2 + 7x + 12 = 0 d) x2 + 5x 36 = 0

c) x2 12x + 36 = 0

e) x2 13x + 36 = 0

LIO DE CASA

19. Complete a tabela a seguir, resolvendo as equaes apresentadas por meio de fatorao. Equao a) x2 2x 8 = 0 b) x2 8x + 16 = 0 c) x2 10x + 24 = 0 d) x2 + 2x = 0 e) 6x2 18x + 12 = 0 f ) 2x2 18x + 36 = 018

Forma fatorada (x 4).(x + 2) = 0 (x 4).(x 4) = 0 ou (x 4)2 = 0

Soluo x = 4 ou x = 2


VOC APRENDEU? 20. Ao preparar uma atividade para seus alunos, um professor queria escrever uma equao de 2o grau cujas razes fossem os nmeros 8 e 9. Para tal, procedeu da seguinte maneira:

(x 8).(x 9) = 0 uma equao cuja soluo 8 e 9. Aplicando a propriedade distributiva, obtemos: x2 9x 8x + 72 = 0, ou seja, x2 17x + 72 = 0

Obteve, dessa forma, uma equao de 2o grau, na forma ax2 + bx + c = 0, com as razes desejadas. Agora sua vez! Escreva equaes de 2o grau que tenham como razes os nmeros: a) 5 e 3 2 1 d) __ e __ 2 3

b) 4 e 12

e) 0 e 12

c) 2 e 2,5

f ) 5 e 5

19


b b 4ac 21. Resolva as equaes a seguir usando a frmula de Bhaskara x = _____________ .2

_______

2a

Lembre-se de que, para aplic-la, a equao deve estar na forma ax + bx + c = 0.2

a) x2 + 2x 3 = 0

d) 2x2 + x = 1

b) 3x2 + 5x + 2 = 0

e) 3x2 2x + 1 = 0

c) 7x x2 6 = 0

f ) 4x2 + 12x + 9 = 0

20


22. Discuta com seus colegas a seguinte afirmao: Dependendo do valor da expresso b2 4ac, uma equao de 2o grau pode admitir duas razes reais distintas, duas razes reais idnticas (uma raiz dupla), ou no admitir razes reais.

Registre as concluses da discusso no espao abaixo.

LIO DE CASA

23. Resolva as equaes a seguir por meio do mtodo que julgar mais apropriado. Lembre-se de que uma equao de 2o grau pode ter duas razes reais distintas, uma raiz real dupla ou nenhuma raiz real. a) x2 4x + 4 = 0

b) y2 + y + 1 = 0

21


c) x2 = 8x 15

d) y + 2y2 = 4

e) x2 + 2x + 3 = 0

f ) x2 2x 3 = 0

g) 10x2 + 20x + 30 = 0

24. Explique por que as trs ltimas equaes da atividade anterior tm as mesmas razes.

22


VOC APRENDEU? 25. Desenvolvendo-se algebricamente as equaes a seguir, possvel obter equaes de 2o grau. Utilize essa estratgia para resolv-las. a) x+5 2 = 3 x b) 10 2 9 = + x +1 x x + 2

23


24


SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 EQUAES DE 2o GRAU NA RESOLUO DE PROBLEMAS

Leitura e Anlise de Texto A ndia foi palco de um grande desenvolvimento matemtico entre os sculos VII e XII. Embora no haja fato histrico que relacione a frmula da resoluo de uma equao de 2o grau figura do matemtico hindu Bhaskara, faz-se de certa forma justia ao associar um importante fato matemtico ao povo hindu em geral. Relevantes contribuies no campo das equaes tambm foram dadas pelos rabes e babilnios. As atividades apresentadas a seguir resgatam modelos de problemas que esses povos criaram para aplicar e registrar seus conhecimentos sobre equaes quadrticas. Alguns desses modelos so adaptaes do livro Lilavati, escrito por Bhaskara.

VOC APRENDEU? 1. Responda s seguintes questes: a) O quadrado da oitava parte de um bando de macacos saltitava em um bosque, divertindo-se com a brincadeira, enquanto 12 restantes tagarelavam no alto de uma colina. De quantos macacos constitudo o bando?

b) Em ambas as margens de um rio existem duas palmeiras, uma em frente outra. A altura de uma 30 cvados; a da outra, 20. A distncia entre seus troncos de 50 cvados. Na copa de cada palmeira est um pssaro. Subitamente os dois pssaros descobrem um peixe que aparece na superfcie da gua. Os pssaros lanam-se sobre ele e o alcanam no mesmo instante. A que distncia do tronco da palmeira maior apareceu o peixe?25


A situao est descrita na figura abaixo. Conexo Editorial

30 20

x

50 x

c) Adicionei sete vezes o lado de um quadrado a onze vezes a sua rea e o resultado foi 6,25. Qual a medida do lado do quadrado?

26


2. Perguntaram a um professor de Matemtica sobre o nmero de pessoas que o acompanharam na visita a uma exposio. Como resposta, o professor criou um probleminha explicando que todas as pessoas que o acompanharam, ao se encontrarem, cumprimentaram-se apertando as mos e que, assim, ele observou 66 cumprimentos. Encontre esse nmero de pessoas.

3. Mostre que no existem dois nmeros reais tais que sua soma seja igual a 5 e seu produto igual a 10.

4. Considere a equao de 2o grau x2 + bx + 9 = 0, sendo b um nmero real. a) Substitua b por 10 e calcule as razes da equao.

27


b) Determine um valor de b para o qual a equao possua duas razes reais e iguais (pode-se dizer tambm uma raiz real dupla).

c) Determine um valor de b para o qual a equao no possua razes reais.

5. A diagonal de um polgono convexo o segmento que une dois vrtices no consecutivos. Exemplo: na figura a seguir, os vrtices C, D, E, F e G no so consecutivos ao vrtice A.B C

A

D H E

G F

28


Considerando essa definio, responda: a) Quantas diagonais tem um retngulo? E um pentgono?

b) Complete a tabela apresentada a seguir: Nmero de lados de um polgono 3 4 5 6 7 ... n c) Qual o nmero de diagonais de um polgono com 15 vrtices? Nmero de diagonais de um polgono0 2 5

d) Sabendo-se que um polgono tem 44 diagonais, quantos lados tem esse polgono?

29


e) Utilizando seus conhecimentos sobre equaes de 2o grau, mostre que no existe um polgono com exatamente 42 diagonais.

LIO DE CASA

6. O projeto de um jardim retangular prev que se coloquem pedras ornamentais, formando com o jardim uma rea maior, tambm retangular. Na figura a seguir, a regio cinza representa o lugar em que as pedras devero ser colocadas.x 15 m

6m

x

Sabendo-se que a rea ocupada pelas pedras de 46 m2, calcule a medida x, em metros.

30


7. Em uma pea retangular de tecido, parcialmente representada na figura a seguir, o nmero de fios de linha vermelha excede o nmero de fios de linha azul em 5, sendo que o total de pontos de cruzamento entre as linhas azuis e vermelhas igual a 6 800. Calcule o nmero de fios de linhas azul e vermelha usados na confeco desse tecido.fios de linha vermelha

8. Um vitral retangular colorido de dimenses 2 m por 4 m ser emoldurado conforme indica a figura (os quatro cantos da moldura so quadrados idnticos). Sabendo que a rea total da moldura de 7 m2, calcule a medida x do lado dos quadrados nos cantos da moldura.x x 4m x x

fios de linha azul

2m

x x x

x

31


Desafio! 9. Com os procedimentos j estudados para solucionar equaes de 2o grau, voc pode resolver tambm alguns tipos de equaes de outros graus. Assim, resolva as seguintes expresses algbricas: a) x3 6x = 0

b) x3 6x2 = 0

32


33


SITUAO DE APRENDIZAGEM 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS: ESTUDO FUNCIONAL, SIGNIFICADOS E CONTEXTOVOC APRENDEU? 1. Discuta com seus colegas a seguinte situao: Paulo foi feira e encontrou as seguintes ofertas para as mas: Conexo Editorial

Voc acha que a oferta das 10 mas vantajosa para Paulo? Justifique sua resposta.

2. A tabela a seguir indica como varia a grandeza y em funo da grandeza x. Analise-a e, levando em conta os valores apresentados, diga se as grandezas envolvidas so ou no diretamente ou inversamente proporcionais. Em cada caso, procure escrever a sentena algbrica que relaciona x e y. a) x y 1 10 2 20 3 30 4 40 5 50 6 60 7 70

34


b)

x y

1 48

2 24

3 16

4 12

5 9,6

6 8

10 4,8

c)

x y

1 3

2 5

3 7

4 9

5 11

6 13

7 15

d)

x y

1 2

2 8

3 18

4 32

5 50

6 72

7 98

LIO DE CASA

3. Refaa a tabela apresentada na Atividade 2, item c da seo Voc aprendeu?, e verifique se h proporcionalidade entre x e y 1. Justifique sua resposta. x y y1 1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 6 13 7 15

35


4. Faa a mesma anlise com o item d, da Atividade 2 apresentado na seo Voc aprendeu?, verificando se h proporcionalidade entre os valores de y e os de x2. Justifique sua resposta. x x2 y 2 8 18 32 50 72 98 1 2 3 4 5 6 7

5. Em cada um dos casos apresentados a seguir, verifique se h ou no proporcionalidade direta entre as medidas das grandezas correspondentes. Se houver, expresse tal fato algebricamente, indicando o valor da constante de proporcionalidade, quando possvel. a) A massa m de uma pessoa diretamente proporcional a sua idade t?

b) Quando compramos x metros de determinado fio, o preo p a pagar diretamente proporcional a x?

c) O preo a ser pago por uma fotocpia diretamente proporcional ao nmero de cpias?

36


d) O permetro p de um tringulo equiltero diretamente proporcional ao seu lado de medida a?

e) A diagonal d de um quadrado diretamente proporcional ao lado a do quadrado?d

a

a

f ) O comprimento C de uma circunferncia diretamente proporcional ao seu raio r?

g) A rea de um crculo diretamente proporcional medida do raio? E ao quadrado do seu raio?

VOC APRENDEU? 6. Ao dirigir um automvel o motorista deve estar atento distncia percorrida pelo automvel quando o freio acionado. O cdigo de segurana nas estradas sugere uma relao entre a distncia de segurana, isto , a distncia percorrida pelo carro aps acionado o sistema de freios, e a velocidade do automvel no instante da frenagem. A tabela a seguir mostra alguns valores encontrados em uma pista de testes.37


Velocidade v (km/h) Distncia de segurana d (metros)

0 0

10 1

20 4

30 9

40 16

50 25

100 100

120 144

Observando a tabela, podemos escrever que d = k . v2. a) Qual o valor da constante de proporcionalidade k ?

b) A uma distncia de 83 m o automvel encontra um obstculo. Qual deve ser, aproximadamente, sua velocidade mxima de modo que ele no atinja o obstculo?

c) Qual a distncia de segurana quando a velocidade do automvel for v = 80 km/h?

7. Para produzir x unidades de um produto A, o custo total C composto por uma parcela fixa de R$ 1 000,00 e uma parcela varivel, que diretamente proporcional a x. O custo total da produo de x produtos , ento, C = 1 000 + kx, sendo C em reais. A constante k representa o aumento no custo total C quando a quantidade produzida aumenta uma unidade. Sabendo-se que, para produzir 100 unidades do produto A, o custo total igual a R$ 1 500,00, responda s seguintes questes: a) Qual o valor de k na expresso C = 1 000 + kx?

38


b) Quanto aumentar o custo total se a quantidade produzida aumentar de 579 para 580? E de 2 938 para 2 939?

c) Para qual valor de x o custo varivel ser igual ao custo fixo?

d) O custo total C diretamente proporcional a x?

e) A diferena entre o custo total C e o custo fixo diretamente proporcional a x?

39


f ) Preencha a tabela de acordo com os dados apresentados no enunciado do problema. Diferena entre o custo total e o custo fixo (custo varivel)1005 1000 = 5

No de produtos (x) 1 2 3 4 10

Custo total1000 + 5 . 1 = 1005

Razo entre a diferena e x5 ___ = 5 1

8. Uma determinada revista americana apresentou duas leis que representam a relao entre o nmero do sapato (n) e o comprimento do p (c) de uma pessoa em polegadas. Para as mulheres, a lei n = 3c 22 e para os homens a lei n = 3c 25. Assim, responda: a) Qual o nmero do sapato de uma mulher cujo comprimento do p 13 polegadas? E o de um homem com 16 polegadas?

b) Se um homem e uma mulher possuem o p de mesmo comprimento, qual deles calar o sapato de nmero maior?

40


c) Existe alguma medida de comprimento de p que torne o nmero do sapato masculino igual ao do feminino?

LIO DE CASA

9. Quando mergulhamos no mar, a presso aumenta com a profundidade. Na superfcie do mar, a presso resultante do peso do ar atmosfrico e sua medida igual a 1 atmosfera. Quando nos encontramos a x metros de profundidade, a presso p uma soma de duas parcelas: a presso ao nvel do mar mais a presso resultante do peso da gua, que diretamente proporcional profundidade x, ou seja, p = 1 + kx (p em atmosferas, x em metros, k a constante de proporcionalidade). Sabendo que a cada 10 m que descemos verticalmente na gua do mar a presso aumenta em 1 atmosfera, responda s questes a seguir: a) Qual o valor de k na relao p = 1 + kx?

b) Qual ser o aumento da presso se descermos verticalmente mais um metro na gua?

c) A qual profundidade x o valor da presso triplica em relao ao valor na superfcie?

41


d) A presso p diretamente proporcional profundidade?

e) A diferena entre a presso p e a presso na superfcie diretamente proporcional profundidade?

VOC APRENDEU? 10. A rea A de uma imagem projetada dada em funo da distncia d a que o projetor est da tela.

Conexo Editorial

d=1 d=2 d=3

a) Observando a figura, complete a tabela que relaciona a rea A da imagem com a distncia d do projetor: Distncia (d) rea (A) 1 1 2 3 4 5 6 7

b) Qual das expresses a seguir representa a relao entre A e d: A = 2d ( ) A=d+4 ( )42

A = d2 (

)

A=d+1 (

)


c) A rea A da imagem diretamente proporcional distncia d do projetor? Se sim, quanto vale a razo de proporcionalidade?

d) A rea A da imagem diretamente proporcional ao quadrado da distncia d ao projetor? Se sim, quanto vale a razo de proporcionalidade?

43


SITUAO DE APRENDIZAGEM 4 REPRESENTAO GRFICA DE GRANDEZAS PROPORCIONAIS E DE ALGUMAS NO PROPORCIONAISVOC APRENDEU? 1. Considere as grandezas distncia de casa e o tempo decorrido nas situaes a seguir e indique o grfico que melhor corresponde a cada uma: I. Paulo saiu de sua casa de automvel para ir ao seu trabalho, mas o pneu furou. Depois de troc-lo, ele continuou o trajeto. Grfico

II. Ana saiu de casa para ir ao banco, mas precisou retornar para pegar sua bolsa. Depois disso, ela foi ao banco. Grfico III. Pedro saiu de casa devagar, mas aumentou cada vez mais sua velocidade para chegar mais rpido ao seu destino. Grfico a)distncia de casa

b)

distncia de casa

tempo

tempo

c)

distncia de casa

d)

distncia de casa

tempo

tempo

44


2. Mediram-se as massas de pequenas amostras de ferro de diversos volumes. A unidade de medida da massa foi o grama (g) e a do volume foi expressa em centmetros cbicos (cm3). Com os dados encontrados, construiu-se o grfico a seguir:massa (gramas) 37,5

30

22,5

15

7,5

0

1

2

3

4

5

volume (centmetros cbicos)

a) Qual a massa de uma amostra de ferro cujo volume 4 cm3?

b) Qual o volume de uma amostra de ferro de 15 g de massa?

c) Explique por que as grandezas volume e massa de amostras de ferro representadas no grfico so grandezas diretamente proporcionais.

45


d) Qual a constante de proporcionalidade?

e) Escreva a relao entre a massa m e o volume V por meio de uma sentena.

3. O grfico a seguir indica a velocidade que um automvel precisa desenvolver em funo do tempo para percorrer uma distncia de 120 km.v (km/h) 120

60

40 30 24 20

0

1

2

3

4

5

6

t (h)

a) A partir do grfico complete a tabela a seguir: t (h) v (km/h) 1 120 1,5 2 60 3 4 5 6 8 12

b) Explique por que as grandezas velocidade e tempo representadas no grfico so inversamente proporcionais.

46


c) Escreva a sentena que relaciona v e t.

LIO DE CASA

4. Analise o grfico a seguir. Ele indica o preo em reais de cada camiseta que uma confeco produz de acordo com o nmero de camisetas compradas pelas lojas.(preo em reais) 18 16 14 12 10 8 6 4 2 100 200 300 400 500 600 (quantidade de itens)

O grfico mostra que, quanto maior for a quantidade de camisetas compradas, menor o preo por unidade. Veja: se uma loja comprar 100 camisetas, o preo de cada uma R$ 16,00; se comprar 200, o preo por camiseta passa a ser R$ 14,00 e assim por diante. Agora responda: a) As grandezas envolvidas, preo unitrio p e quantidade q, so diretamente ou inversamente proporcionais? Explique.

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b) O que acontece com o preo da camiseta quando variamos a quantidade vendida em 100 unidades?

c) Qual seria a diminuio no preo para um aumento de uma unidade vendida?

d) A partir dessas informaes, escreva uma sentena que relacione o preo p com a quantidade q.

5. Dona Alice faz doces por encomenda. Ela fez 36 bombons e vai usar apenas um tipo de caixa para embal-los, colocando a mesma quantidade de bombons em cada uma delas. a) As grandezas (nmero de bombons e nmero de caixas) so inversamente proporcionais? Explique.

b) Preencha a tabela a seguir: No de bombons 2 3 4 6 9 1248

No de caixas


c) Construa um grfico que represente a situao indicada na tabela anterior.

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VOC APRENDEU? 6. Observe os trs retngulos abaixo e responda s questes a seguir:8 cm 10 cm 3 cm 5 cm 1 cm II

I

6 cm

III

a) Calcule o permetro e a rea de cada um deles e, em seguida, preencha a tabela:

Retngulos I II III

Permetro (cm)

rea (cm2)

b) Considere um retngulo de mesmo permetro que os anteriores, cujos lados medem x e y centmetros. Expresse y em funo de x.

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c) Construa uma tabela para a funo anterior com valores inteiros de x variando de 0 a 11. Com base nesses dados, construa o grfico dessa funo. Tabela x y 0 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0

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d) Como varia y medida em que aumentamos o valor de x? O grfico caracterstico de uma variao proporcional entre x e y? Justifique.

e) Indicando por A a rea do retngulo do item anterior, escreva-a em funo de x.

f ) Preencha a tabela a seguir com os valores da rea A para x variando de 0 a 11. x A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

g) A rea A proporcional medida de x? Justifique.

h) O grfico a seguir representa a funo da rea A de um retngulo em relao a seu lado de medida x. A partir dele, determine o valor de x que torna a rea mxima.y 30

20

10

0

10

x

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7. Um quadrado de lado x (x > 0) tem permetro p e rea A. a) Expresse algebricamente a relao existente entre os valores de p e de x.

b) Expresse algebricamente a relao existente entre os valores de A e de x.

c) Mostre que existe um valor de x para o qual a rea e o permetro de um quadrado so expressos pelo mesmo nmero.

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LIO DE CASA

8. Um grupo de alunos da 8a srie formou uma banda e precisa determinar o preo x, em reais, do ingresso para um show de apresentao. Eles imaginaram que, se o valor dos ingressos for muito alto, no conseguiro vend-los e, se for muito baixo, no conseguiro lucro para permitir uma melhor condio nos ensaios da banda. Tomando como base os valores cobrados por outras bandas, os alunos concluram que o lucro L de cada espetculo, em reais, poderia ser dado pela expresso L = x2 + 12x 20. Vale observar que L > 0 significa lucro e L < 0, prejuzo.y 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 0 7 12 15 16 15 12 7 0

1

Observe o grfico e a tabela e responda: a) Qual ser o lucro caso eles decidam que o preo do ingresso R$ 4,00?

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b) Se o preo do ingresso for superior a R$ 6,00, podemos afirmar que o grupo ter prejuzo? Justifique.

c) Para que intervalo de valores de x o lucro aumenta? E para qual ele diminui?

d) Qual o valor do ingresso para que o lucro do grupo seja mximo? Qual o valor do lucro mximo?

e) O que acontece quando o valor dos ingressos inferior a R$ 2,00 ou superior a R$ 10,00?

f ) O que ocorre com o lucro quando os ingressos so vendidos a R$ 3,00 ou a R$ 9,00?

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caderno do aluno matemática 8ª serie 2º bimestre

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