caderno do aluno matemática 7ª serie 1º bimestre

Caro(a) aluno(a), Para viver no mundo atual com qualidade de vida preciso ter cada vez mais conhecimentos, respeitar valores e desenvolver atitudes positivas em relao a si e aos outros. Os conhecimentos que a humanidade construiu ao longo do tempo so um valioso tesouro que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decises... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se so algumas formas de compartilhar esse tesouro. Este material foi elaborado especialmente para ajudar voc a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos. O objetivo das Situaes de Aprendizagem deste Caderno apresentar os conhecimentos matemticos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construda como parte de sua vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas no devem ser consideradas exerccios ou problemas a serem resolvidos simplesmente com tcnicas transformadas em rotinas automatizadas. Muitas dessas Situaes podem ser vistas como ponto de partida para estudar ou aprofundar uma noo ou propriedade matemtica. Aprender exige esforo e dedicao, mas tambm envolve curiosidade e criatividade, que estimulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que voc participe das aulas, observe as explicaes do professor, faa anotaes, exponha suas dvidas, no tenha vergonha de fazer perguntas, procure respostas e d sua opinio. Se precisar, pea ajuda ao professor. Ele pode orient-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informaes sobre um assunto. Reserve todos os dias um horrio para fazer as tarefas e rever os contedos; assim voc evita que eles se acumulem. E, principalmente, ajude e pea ajuda aos colegas. A troca de ideias fundamental para a construo do conhecimento. Aprender pode ser muito prazeroso. Temos certeza de que voc vai descobrir isso.Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas CENP Secretaria da Educao do Estado de So Paulo Equipe Tcnica de Matemtica

Matemtica - 7a srie/8o ano - Volume 1

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 OS RACIONAIS COMO MOSTRURIO DAS FRAES

Leitura e Anlise de Texto Os nmeros racionais so associados ideia de razo. Uma frao uma razo entre dois nmeros inteiros, ou seja, uma frao um nmero racional. Mas qual a diferena entre uma frao e uma razo entre dois nmeros quaisquer? E qual a diferena entre uma frao e um nmero racional? Na base da construo das respostas a essas perguntas est a noo de relao de equivalncia. Quando temos diante de ns um conjunto muito bagunado de elementos e queremos organiz-lo, recorremos ideia de equivalncia. O conjunto de automveis que circulam neste momento em nossa cidade um conjunto bagunado; podemos olhar para ele, no entanto, com a inteno de organiz-lo segundo algum critrio. Podemos fazer isso considerando apenas o fabricante de cada automvel ou, se preferirmos, considerando a sua cor. Se considerarmos apenas a cor de cada automvel, tratando como equivalentes todos os automveis de mesma cor, o conjunto dos automveis ficar organizado em classes de equivalncia. De acordo com esse critrio, todos os automveis brancos estaro em uma mesma classe, todos os automveis azuis estaro em outra, e assim por diante. A definio da relao de equivalncia dois automveis so equivalentes se e somente se tm a mesma cor conduziu a uma organizao do conjunto inicial de automveis em um conjunto de classes de equivalncia. Fixando-se uma relao de equivalncia ter o mesmo fabricante , o conjunto inicial pode ser reduzido a uma espcie de mostrurio, em que um representante de cada fabricante suficiente para mapear todo o conjunto. O mostrurio representar, ento, o conjunto das cores: Mostrurio do conjunto dos automveis quanto s cores Branco Azul Preto Prata Cinza Verde Outros3

PRATA PRETO BRANCO

VERDE

CINZA AZUL OUTROS


Da mesma forma, podemos organizar o conjunto das fraes, considerando equivalentes e situando em uma mesma classe de equivalncia todas as fraes 1 3 5 que representarem a mesma parte da unidade, como, por exemplo, ; ; ; 2 6 10 13 7 232 5 ; ; ; ... (todas representam a metade da unidade), ou ento ; 0,5; 26 14 464 3 10 500 300 ; 1,666...; ; ; ... (todas representam um inteiro mais dois teros). 6 300 180 Se o conjunto de todas as fraes que existem for organizado assim, agrupando-se em uma mesma classe as fraes equivalentes, ento o mostrurio do conjunto das fraes o conjunto dos nmeros racionais. Um nmero racional , portanto, o representante de uma classe de fraes equivalentes. Assim, um nmero racional representa o que h de comum entre todas as fraes que representam a mesma parte da unidade.430 6 ; 2; 215 3 ...; ...; ... 2 ; 4 ; 0,4; 6 ; 400 5 10 15 1 000

1; 0,142857...; 3 7 21

1,666...; 7 ; 2,333...; 35 3 15

5 15 15 ; ; 3 9 9

1 ; 3 ; 7 ; 15; 3 9 21 45 2 ; 111 6 333

1 ; 3 ; 0,5; 13; 231 ; 7 ; 45 2 6 26 462 14 90

Mostrurio das fraes: Conjunto dos Nmeros Racionais 1 2 1 3 1 7 2 2 7 5 3 ...4


VOC APRENDEU? 1. Podemos organizar o conjunto de todos os polgonos que existem organizando-os em classes de equivalncia segundo o critrio do nmero de lados. Nesse caso: a) Quais seriam as classes de equivalncia?

b) Qual seria o mostrurio do conjunto dos polgonos?

2. Considere o conjunto dos nmeros inteiros no nulos representados na reta numerada e a relao de equivalncia seguinte: dois nmeros inteiros so equivalentes se e somente se estiverem mesma distncia da origem, onde est o nmero zero.

4

3

2

1

0

1

2

3

4

Nesse caso: a) Quais seriam as classes de equivalncia?

b) Qual seria o mostrurio?

5


3. Considere o conjunto de todas as fraes positivas. Para organiz-lo em classes, consideremos equivalentes todas as fraes cuja soma do numerador com o denominador resulta sempre no 1 3 24 estaria na mesma mesmo nmero. Por exemplo, 2 estaria na mesma classe de e de ; 6 4 13 5 1 7 classe de e , e assim por diante. Nesse caso: 36 30 a) Quais seriam as classes de equivalncia? Antes, para ajud-lo na tarefa, preencha a tabela seguinte, escrevendo na coluna direita as fraes cuja soma do numerador e denominador vem indicada na coluna da esquerda: Soma igual a 2 Soma igual a 3 Soma igual a 4 Soma igual a 5 Soma igual a 6

b) Qual seria o mostrurio?

A localizao dos nmeros racionais na reta4. Localize na reta a seguir os nmeros racionais: 1, 2, 1 5 3 , , e 0,5. 3 2 42

0

5. Responda s perguntas: a) Qual o nmero natural sucessor de 15? b) Qual o nmero inteiro sucessor de 7?6


1 ? 3 d) Quantos nmeros inteiros existem entre 6 e 0? c) Qual o nmero racional consecutivo de e) Quantos nmeros racionais existem entre 6 e 0? f ) Quantos nmeros racionais existem entre 0,1 e 0,2? 6. Na atividade anterior voc observou que, diferentemente dos nmeros naturais e inteiros, no existe sucessor de um nmero racional, e que sempre entre dois nmeros racionais existe uma infinidade de outros nmeros racionais. Os conjuntos que possuem essa propriedade so chamados de conjuntos densos. Encontre um nmero racional que esteja entre: a) 1 3 e 2 4

b) 1 e

5 4

c) 0,88 e 0,889

7


d) 1,010010001000011 e 1,010010001000012

LIO DE CASA 1 1 1. Desenhe uma reta e localize nela os nmeros e . Identifique trs nmeros fracionrios 8 10 que estejam entre ambos.

2. Onde h mais nmeros racionais: entre 0 e 1 ou entre 0 e 0,1?

3. Em nossa vida, lidamos com conjuntos que tm a qualidade de serem densos. Um exemplo disso o tempo: qual o instante que sucessor das 10 horas? impossvel se definir, assim como percebemos que entre dois instantes de tempo h uma infinidade de instantes. Pense em outras duas situaes que envolvam conjuntos densos.

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 AS DZIMAS PERIDICAS SO PREVISVEIS...

Desafio! Cada casa da tabela abaixo corresponde a uma frao cujo numerador e denominador so identificados nas respectivas linha e coluna. Assim, por exemplo, a casa assinalada na 3 tabela com a letra E corresponde frao , enquanto a casa assinalada com a letra M 4 6 corresponde frao . Assinale com um X as casas correspondentes s fraes geratrizes 7 de dzimas peridicas.

Numerador 1 1 2 Denominador 3 4 5 6 7 8 9 M E 2 3 4 5 6 7 8 9

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VOC APRENDEU? 1. Analisando a tabela da seo Desafio!, identifique quando uma frao irredutvel no gera uma dzima se for dividido o numerador pelo denominador.

2. Quando uma frao com denominador igual a 3 no gera uma dzima?

3. verdade que todas as fraes irredutveis com denominador contendo apenas fator primo igual a 3 geram dzimas peridicas? Escreva exemplos para justificar sua resposta.

4. Escreva a sequncia dos nmeros primos menores do que 30.

5. Quais dos nmeros primos que voc escreveu na atividade anterior podem ser combinados para formar o denominador de uma frao irredutvel e geradora de uma dzima peridica?

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6. Escreva cinco exemplos de fraes, diferentes das vistas em sala de aula, nas quais, com certeza, a diviso entre numerador e denominador resultar em uma dzima peridica.

LIO DE CASA

1. Quando a diviso entre numerador e denominador de uma frao irredutvel gera uma dzima peridica?

2. Escreva cinco exemplos de fraes, diferentes das vistas em sala de aula, nas quais, com certeza, a diviso entre numerador e denominador no resultar em uma dzima peridica.

Leitura e Anlise de Texto Dzimas peridicas e cclicas Quando uma frao corresponde a uma dzima peridica, podemos notar que possvel uma estimativa do tamanho mximo do seu perodo, isto , do nmero de casas decimais que se repetiro.12


Observe a diviso de 1 por 7: 7 1 0 0,142857... 3 0 quocientes 2 0 6 0 4 0 5 0 1

r e s t o s

Nessa diviso, acrescentando os zeros necessrios para produzir as casas decimais, observamos que as divises parciais no so exatas e os restos possveis so menores do que 7, ou seja, sero 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 o resto 0 (zero) no includo, pois sua presena indicaria que a diviso tem um resultado exato, sendo, portanto, um decimal finito. Assim, na stima casa decimal certamente ocorrer a repetio de um resto, e a partir da, como sempre completamos com zero para continuar a diviso, todos os outros restos se repetiro, produzindo a dzima peridica. Poderamos prever que, nesse caso, a dzima resultante da diviso teria um perodo de, no mximo, 6 casas decimais, o que efetivamente ocorreu. Quocientes 1 4 2 8 5 7 Restos 1 3 2 6 4 5 1

Na tabela construda ao lado da diviso, colocamos na ordem os quocientes decimais e os restos que esses produzem. 2 Vamos agora observar o desenvolvimento decimal de : 72 0 r 6 0 0,285714 quocientes e 4 0 s 5 0 t 1 0 o 3 0

7

Quocientes Restos2 8 5 7 1 413

s

2

2 6 4 5 1 3 2


Comparando os perodos gerados pelas duas fraes, podemos observar que possuem os mesmos algarismos, s que dispostos em ordem diferente e respeitando um movimento 2 cclico. Observando que a diviso de comea com resto 2, que tambm aparece como 7 1 resto na diviso de , os restos, a partir desse ponto, tambm vo coincidir em ambas as 7 1 divises, uma vez que o desenvolvimento de tem perodo de comprimento mximo: 7

1 7

Quocientes 1 4 2 8 5 7

Restos 1 3 2 6 4 5 1

i n c i o do ciclo

resto inicial

2 = 0,285714... 7

Desafio! 1 Sem efetuar a diviso e apoiado na tabela da seo anterior, referente diviso de , 7 5 encontre o desenvolvimento decimal de . 7

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VOC APRENDEU? 1. Tome agora, para estudo, a seguinte frao: 1 = 0,0769230769 1313 1 00 0,076923... r 9 0 quocientes e 12 0 s 3 0 t 4 0 o 1 s Quocientes 0 7 6 9 2 3 Restos 1 10 9 12 3 4 1

Aplicando o mtodo discutido anteriormente, escreva as fraes abaixo na sua forma decimal peridica: a)10 = 13 13

b) 9 = c)3 = 13 13

d) 4 = 2. possvel, observando a tabela de quocientes e restos, encontrarmos o desenvolvimento deci2 mal de ? Justifique sua resposta e tente encontr-lo.13

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3. Determine a frao geratriz de cada uma das seguintes dzimas peridicas: a) 2,7777...

b) 0,454545...

c) 1,2343434...

d) 3,1672867286728...

LIO DE CASA 7 a a 6 1. Escreva o nmero racional na forma , sendo uma frao irredutvel. b b 0,33333...

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2. Encontre o valor de x que soluo da equao: 3x + 0,1x + 0,05x + 0,005x + 0,0005x +... = 4.

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 3 DO GOOGOL AO ANGSTROM, UM CAMINHO PARA AS POTNCIAS

Leitura e Anlise de Texto A Matemtica, como linguagem, profundamente marcada pelo movimento da humanidade de intensificao do trabalho intelectual como forma de tornar mais simples e rpida a execuo de operaes, procedimentos e clculos. O uso de potncias um exemplo dessa simplificao. Ela um recurso til para a representao de nmeros muito grandes ou muito pequenos. Contudo, em sua simplicidade de registro, ela pode guardar uma dificuldade de estimar a grandeza que nela vem expressa. Por exemplo, dentre os nmeros 210, 103 e 107, qual deles escrito com maior nmero de dgitos? Diversas reas da cincia que trabalham rotineiramente com nmeros muito grandes ou muito pequenos se utilizam amplamente da linguagem das potncias na representao desses nmeros. Por exemplo, a velocidade da luz no vcuo, que , aproximadamente, igual a 300 000 km/s ou 300 000 000 m/s, pode ser escrita como 3 . 105 km/s ou 3 . 108 m/s.

VOC APRENDEU? 1. Em Astronomia, a distncia que a luz percorre em um ano chamada ano-luz. Pergunta-se: NASA

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a) Quantos metros tem 1 ano-luz?

b) Qual a distncia entre a Terra e o Sol em anos-luz, sabendo-se que essa distncia , aproximadamente, igual a 150 000 000 000 metros?

c) Quanto tempo um feixe de luz leva, aproximadamente, para chegar do Sol at a Terra?

PESQUISA INDIVIDUAL

Nos filmes de fico, muitas vezes os personagens indicam distncias entre estrelas utilizando as unidades de anos-luz e parsec. Faa uma pesquisa sobre unidades de medidas astronmicas encontrando alguns exemplos de sua aplicao e registre no espao a seguir.

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LIO DE CASA 1. O dimetro da Via Lctea de, aproximadamente, 100 000 anos-luz. Por que os astrnomos utilizam uma unidade to grande como o ano-luz para indicar distncias?

VOC APRENDEU?

Notao cientfica1. A tabela a seguir apresenta dados reais aproximados envolvendo potncias: Nmero de molculas em 1 grama de gua Nmero de tomos do corpo humano Raio da Terra Distncia entre a Terra e a Lua Distncia entre a Terra e o Sol Massa da Terra Idade da Terra Idade do Universo Nmero de habitantes da Terra (estimativa em 2007) Expectativa de vida dos brasileiros em 2005 PIB brasileiro em 2005 Nmero de clulas do corpo humano Nmero de possibilidades do sorteio dos seis nmeros da Mega-Sena20

3 . 1022 molculas 1028 tomos 6 . 106 m 4 . 108 m 1,5 . 1011 m 6 . 1024 kg 4,5 . 109 anos 1,5 . 1010 anos 6,7 bilhes 72 anos = 2,3 . 109 segundos 1,937 trilho de reais 100 bilhes = 1011 50 milhes = 5 . 107


Analisando-a, escreva cada um dos nmeros a seguir em notao cientfica, ou seja, na forma < m . 10n, com 1 m < 10. a) nmero de habitantes da Terra;

b) expectativa de vida dos brasileiros em segundos;

c) PIB brasileiro.

Leitura e Anlise de Texto Em certa ocasio, o matemtico americano Edward Kasner perguntou ao seu sobrinho Milton Sirotta, de nove anos, qual era o maior nmero que existia. A resposta do pequeno Milton qualquer coisa como guuugol no foi muito animadora, mas na mente criativa de Kasner isso virou uma bela brincadeira matemtica. Em homenagem ao sobrinho, Kasner chamou de googol o nmero 1 seguido de 100 zeros ou, dizendo de outra maneira, o nmero 10100. No tarefa fcil encontrar em nosso mundo real algo em quantidade to grande quanto 1 googol. Para se ter uma ideia, o nmero de gotas de chuva que caem na cidade de So Paulo em um sculo muito menor que 1 googol. Tambm o nmero total de gros de areia das praias do litoral brasileiro menor que 1 googol, assim como menor que 1 googol o nmero de eltrons em todo o Universo. Para no dizer que 1 googol um nmero insupervel, se imaginarmos o Universo inteiro ocupado por prtons e eltrons de tal forma que no sobre nenhum espao livre, ento, estima-se o nmero dessas partculas ( 10110 partculas) em um nmero maior que 1 googol. Vencida a barreira do googol, que tal pensarmos agora em um nmero ainda maior: 10 elevado a 1 googol (Kasner batizou esse nmero de googolplex). Se fosse possvel escrever um dgito a cada meio segundo, quanto tempo levaramos para escrever todos os zeros do nmero 1 googolplex? A resposta exige apenas algumas contas. Dizer que 100 1 googolplex 10googol = 1010 equivalente a dizer que esse nmero tem o primeiro dgito igual a 1, seguido de 1 googol de dgitos iguais a 0. Nas condies dadas, levaramos 0,5 . 10100 segundos para escrever por extenso o nmero de zeros de 1 googolplex. Como a idade estimada do Universo 1,5 . 1010 anos (ver tabela da atividade anterior), o que equivale, aproximadamente, a 4,7 . 1017 segundos, possvel afirmar que, desde o Big Bang at hoje, no haveria tempo suficiente para a empreitada de escrever todos os zeros de 1 googolplex.21


VOC APRENDEU? 1. Cerca de 70% da superfcie da Terra encontra-se coberta por gua, o que corresponde a um volume de, aproximadamente, 1 385 984 610 km (desse total, 97,5% de gua salgada, e 2,5% de gua doce). Sabendo que em cada cm temos 1 g de gua (a densidade da gua 1 g/cm), e consultando a tabela apresentada anteriormente, calcule o nmero de molculas de gua na superfcie da Terra. Em seguida, compare esse dado com 1 googol. Nessa atividade, desprezamos o fato de a densidade da gua salgada ser maior que 1 g/cm.

Leitura e Anlise de Texto Usando a calculadora Nas calculadoras com oito dgitos no visor, no conseguimos fazer diretamente a conta 370 000 . 2 100 000; contudo, com o conhecimento de potncias e notao cientfica, essa conta pode ser feita na calculadora. Sabendo que 370 000 = 3,7 . 105 e 2 100 000 = = 2,1 . 106, o produto procurado 2,1 . 3,7 . 1011. A calculadora nos fornece o resultado de 2,1 . 3,7 = 7,77, e nossos conhecimentos sobre potncia indicam que esse nmero multiplicado por 1011 ser igual a 777 000 000 000. Contudo, se voc tem uma calculadora cientfica, vai observar que ela usa a notao cientfica automaticamente. Nas calculadoras cientficas, o resultado dessa conta pode aparecer das seguintes formas, dependendo do fabricante:7 . 7711 ou 7 . 77 E11 ou 7 . 77 E + 11

Em todos os casos apresentados, o nmero 11 representa um expoente de uma potncia de base 10 que dever ser multiplicada por 7,77. Trs detalhes tambm devem ser observados.22


Em geral, as calculadoras usam o sistema ingls de representao dos nmeros, no qual a vrgula tem a funo do nosso ponto e vice-versa. Assim, o nmero 38.490,25 no nosso sistema aparece representado na calculadora como 38,490.35. A letra E que aparece em algumas calculadoras refere-se palavra em ingls exponent, que quer dizer expoente. Algumas calculadoras colocam o sinal de mais ou de menos ao lado da letra E para representar expoentes positivos ou negativos da potncia de 10. As calculadoras cientficas possuem uma tecla especfica para as potncias, o que facilita o seu manuseio. Em geral, a tecla indicada por x y ou, em alguns casos, uma tecla indicando o sinal de acento circunflexo

^

a que deve ser usada para elevar

uma base a um expoente. Exemplos de sequncias de teclas que devem ser digitadas nesses dois tipos de calculadora para se calcular 35:y

I. II.

3 3

x

5 5

= =

^

O resultado que aparecer no visor ser

243

VOC APRENDEU? 1. Faa algumas experincias com sua calculadora, registrando a seguir os valores encontrados.

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2. Suponhamos que, em determinado pas, a produo de um material tenha sido igual a 1 tonelada no ano 2000 e, em razo do desenvolvimento tecnolgico, passou a triplicar anualmente a partir da. Uma tabela com as quantidades produzidas ao final de cada ano apresentada a seguir. Complete os espaos em branco utilizando, quando possvel e necessrio, uma calculadora:

Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2015 2000 + n

Produo P (toneladas) 1

Potncia correspondente 30 31

9 33 34 243 729 37 6 561

14 348 907 ...

3. O nosso sistema de numerao Sistema Decimal Posicional formado segundo certa regularidade com relao s potncias de base 10. Interprete esse fato completando a tabela a seguir:

Milhar

Centena 100

Dezena

Unidade 1

Dcimos 0,1

Centsimos 0,01 102

Milsimos 0,001

103

101

100

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PESQUISA INDIVIDUAL

Faa uma pesquisa em jornais e revistas e selecione uma notcia que faz uso de nmeros muito grandes. Escreva um pargrafo resumindo o assunto da notcia e escreva os mesmos nmeros em notao cientfica.

4. A tabela a seguir indica uma srie de representaes com potncias de expoente negativo. Faa uma pesquisa sobre as unidades relacionadas e faa a converso entre as unidades, completando-a: 1 cm centmetro 1 mm milmetro 1m micrmetro 1 nanmetro 1 angstrom Massa da molcula de gua Dimetro de uma clula Comprimento de onda da luz visvel25

_____ metros _____ metros _____ metros _____ metros _____ metros _________ g _____________ metros _________ metros


LIO DE CASA

1. O comprimento de um cordo de DNA na clula de, aproximadamente, 107 m, o que corresponde a, aproximadamente, 1 000 angstrom. Com base nisso, calcule a equivalncia entre angstrom e metros.

2. O dimetro de um fio de cabelo humano de, aproximadamente, 2,54 . 105 m. Quantos fios de cabelo humano teriam que ser colocados lado a lado para formar 1 m?

3. Nossos fios de cabelo crescem taxa de, aproximadamente, 1,6 . 105 m por hora. Um caracol de jardim se locomove no ritmo de, aproximadamente, 3 . 102 m por hora. Quanto tempo nossos fios de cabelo demorariam para crescer o equivalente distncia que um caracol de jardim percorre em 1 hora?

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 4 AS POTNCIAS E A MEMRIA DO COMPUTADOR

Leitura e Anlise de Texto As unidades de memria dos computadores so amplamente conhecidas hoje em dia. O uso de termos como megabytes ou gigabytes para se referir capacidade de memria de dispositivos eletrnicos tornou-se to comum quanto o uso de quilograma para se referir massa de determinado produto. Fala-se com naturalidade em disquetes de 1,4 megabyte, CD-ROMs de 700 megabytes, DVDs de 4,7 gigabytes, entre outras coisas. Essas especificaes fazem parte do cotidiano no mundo da informtica. Contudo, o significado do termo byte e de seus mltiplos ainda alvo de muitas confuses. Na Cincia da Computao, o byte a unidade bsica de armazenamento de memria no computador. Um byte constitudo por 8 bits. O bit (binary digit, ou dgito binrio) a menor unidade lgica de armazenamento de informao em um computador. O valor de um bit determinado pelo estado de um dispositivo eletrnico interno do computador, chamado capacitor. Capacitor um dispositivo eletrnico que armazena energia em um campo eltrico. Ele pode ser usado para representar informao de forma binria em um computador, podendo assumir somente dois valores: 0, quando o capacitor est desligado (descarregado), e 1, quando est ligado (ou carregado). Por essa razo, as informaes em um computador esto codificadas em uma base de numerao binria, e no decimal. H duas dcadas, a memria dos computadores pessoais raramente ultrapassava algumas dezenas de quilobytes (KB). Alguns estudiosos notaram que o termo quilobyte tinha duas interpretaes distintas. Segundo o Sistema Internacional de Medidas (SI), o prefixo quilo (k) corresponde a 1 000 unidades. Assim, um quilobyte (1 KB), segundo o SI, corresponderia a 1 000 ou 103 bytes. Por outro lado, tomando-se como referncia a base binria de armazenamento de informao no computador, um quilobyte corresponderia a 210 bytes, ou seja, 1 024 bytes. A diferena relativa entre as duas interpretaes para o valor de um quilobyte (2,4%) era pequena, no ocasionando maiores problemas na poca. Contudo, com a rpida ampliao da capacidade de memria dos computadores, novas unidades de medidas tiveram que ser adotadas, tais como o megabyte, o gigabyte e o terabyte. Atualmente, j se fala em computadores com capacidade de memria medida em petabytes. A diferena relativa entre o sistema binrio e o Sistema Internacional aumentou, gerando uma discrepncia significativa no valor dessas unidades. Um gigabyte, no Sistema Internacional, corresponde a 1 000 000 000 ou 109 bytes.28


No sistema binrio, um gigabyte corresponde a 230 bytes, ou 1 073 741 824 bytes, um nmero 7,4% maior que o seu correspondente no SI. No caso do terabyte, essa discrepncia chega a aproximadamente 10%. Hoje em dia, h muita confuso sobre o real significado desses termos. Muitos fabricantes de memria adotam a base decimal na configurao de suas memrias, devido facilidade de compreenso por parte do usurio. Contudo, a maioria dos sistemas operacionais adota o sistema binrio, o que gera uma discrepncia entre a capacidade de memria declarada pelo fabricante e as medidas registradas nos sistemas operacionais. O Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM), um dos rgos responsveis pela regulao do SI, declara que os prefixos do Sistema Internacional de Medidas referem-se exclusivamente s potncias de dez, e no devem ser usados para representar bases binrias, como no caso do quilobyte. Em 2005, a Comisso Eletrotcnico Internacional (IEC) criou um sistema de unidades especficas para o uso no campo das tecnologias de informao e processamento de dados, tendo como base o sistema binrio. Foram definidos novos prefixos para designar os mltiplos das unidades de medida relacionadas memria dos computadores. Nesse novo sistema, 220 bytes passam a ser designados como mebibyte, e no mais como megabyte, que representa 106 bytes no SI. O prefixo mega foi substitudo por mebi, em que bi a abreviao de binrio. Na tabela a seguir possvel comparar as unidades do sistema decimal (SI) com o sistema binrio.

SI Base decimal quilobyte megabyte gigabyte terabyte

Quantidade de bytes

IEC Base binria quibibyte mebibyte gibibyte tebibyte

Quantidade de bytes

Diferena (%)

103 = 1 000 106 = 1 000 000 109 = 1 000 000 000 1012 = 1 000 000 000 000

210 = 1 024 220 = 1 048 576 230 = 1 073 741 824 240 = 1 099 511 627 776

2,4% 4,9% 7,4% 9,9%

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Bits, bytes e as potncias de doisUma informao pode ser codificada a partir de uma combinao de bits. A tabela a seguir mostra a codificao dos algarismos de 0 a 7 por meio da combinao de trs bits. Nas duas primeiras colunas da tabela esto representados os estados dos capacitores, da seguinte forma: o smbolo para desligado (ou no magnetizado) e o smbolo para ligado (ou magnetizado). Na terceira coluna, o nmero binrio correspondente configurao dos capacitores: 0 para desligado e 1 para ligado. Por se tratar de trs bits, o nmero binrio ter no mximo trs casas. Na quarta coluna encontra-se o nmero correspondente no sistema decimal associado configurao dos capacitores e ao nmero binrio.

Configurao dos capacitores

Estado: D desligado L ligado DDD DDL DLD DLL LDD LDL LLD LLL

Nmero binrio (3 bits) 000 001 010 011 100 101 110 111

Nmero correspondente no sistema decimal 0 1 2 3 4 5 6 7

Utilizando trs bits, foi possvel armazenar oito informaes diferentes. No exemplo da tabela, foram representados os oito nmeros de 0 a 7. O nmero 5, por exemplo, foi representado pelo nmero 101, enquanto o 7 foi representado pelo nmero 111. Utilizando apenas os algarismos 0 e 1, e as trs casas, no possvel representar nenhuma outra informao. Para representar mais nmeros, seriam necessrios mais bits.30


Se cada bit s pode assumir dois valores, o nmero total de informaes que podem ser armazenadas com 3 bits dado por 2 . 2 . 2 = 23. Portanto, com 4 bits pode-se armazenar 24 ou 16 informaes. Com 5 bits, 25 ou 32, e assim por diante. Com n bits possvel armazenar 2n informaes. Em uma tabela, essa situao pode ser representada da seguinte forma:

Nmero de bits Nmero de informao armazenada Total

1 21 2

2 22 4

3 23 8

4 24 16

5 25 32

... ... ...

n 2n mn

A mesma situao pode ser descrita aplicando-se um mtodo denominado diagrama de rvore:L capacitor 3 L capacitor 2 L D L D L D L D D

capacitor 1

8 possibilidades

D

L

D

Esse tipo de diagrama um modelo representativo do raciocnio multiplicativo aplicado em vrias situaes que envolvem contagens, como, por exemplo, de quantos modos diferentes podemos vestir uma camiseta e uma cala dispondo, para isso, de 3 camisetas e 2 calas.31


VOC APRENDEU? 1. Complete a tabela a seguir com todas as configuraes possveis envolvendo quatro capacitores e depois responda: Configurao dos capacitores Estado: D desligado L ligado

Nmero binrio (4 casas) 0000 0001 0010

Letra A B C D

DDLL 0100 0101

E F G H

1000 LDDL 1010

I J K L

1100 1101 LLLD

M N O P

32


a) Se cada configurao corresponder a uma letra do alfabeto, qual a ltima letra que pode ser representada com quatro bits (em ordem alfabtica)?

b) Qual a letra associada ao nmero binrio 0111?

2. Um byte composto por 8 bits. Quantas informaes podem ser armazenadas em um byte?

3. Quantos bits seriam necessrios para armazenar 1 000 informaes?

Mltiplos de byte4. No Sistema Internacional, os prefixos quilo, mega e giga expressam diferentes potncias de 10. Assim, um quilobyte (KB) equivale a 103 bytes, um megabyte (MB) a 106 bytes, um gigabyte (GB) a 109 bytes, e assim por diante. Com base no Sistema Internacional, faa as transformaes solicitadas e apresente as respostas na forma de potncia de 10. a) 10 megabytes em bytes;

b) 1 gigabyte em quilobytes;

c) 100 quilobytes em gigabytes;

d) 20 terabytes em megabytes;

e) 1 megabyte em terabytes.33


5. J no sistema binrio, os prefixos usados expressam potncias de 2. Um (1) quibibyte (KiB) equivale a 210 bytes; 1 mebibyte (MiB) a 220 bytes; 1 gibibyte (GiB) a 230 bytes, e assim por diante. Faa as transformaes abaixo e apresente as respostas na forma de potncia de 2. a) 2 mebibytes em quibibytes;

b) 16 gibibytes em bytes;

c) 1 quibibyte em mebibytes;

d) 10 tebibytes em bytes;

e) 32 quibibytes em gibibytes.

Quando um mebibyte um megabyte?6. A capacidade de armazenamento de dados de um CD-ROM est baseada no sistema binrio, apesar de ser expressa com os prefixos do sistema decimal (SI). Por exemplo: um CD-ROM de 700 MB (megabytes) tem, efetivamente, uma capacidade real de 700 MiB (mebibytes). Diferentemente, a capacidade real dos DVDs calculada com potncias de 10. Ou seja, um DVD de 4,7 GB (gigabytes) tem efetivamente uma capacidade de armazenamento de 4,7 gigabytes. Com base nessas informaes, responda: a) Qual a capacidade real em megabytes de um CD-ROM de 700 MB?

b) Qual a capacidade real em gibibytes (GiB) de um DVD de 4,7 gigabytes?

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LIO DE CASA

Usando potncias para contagem1. Suponha que voc tenha em seu estojo: um lpis, uma borracha e uma caneta. De quantas maneiras diferentes voc poder selecionar elementos dessa lista? Repare que para responder a essa questo voc pode pensar em tomar conjuntos de um s elemento, dois elementos e trs elementos. Vamos colocar esses objetos em uma tabela com uma fita sob eles: Lpis Borracha Caneta

Criemos ento a seguinte regra: o nmero 1 colocado na casa abaixo do objeto significar que o objeto foi selecionado; caso contrrio, colocaremos o zero. Assim, a fita numerada com 111 significar que escolhemos os trs objetos, enquanto a disposio 101 significa que foram escolhidos o lpis e a caneta. Dessa forma, cada fita em que se escreve 0 ou 1 representar uma nica maneira de selecionar os objetos. Agora, tendo por base as ideias desenvolvidas quando tratamos de bits, tente responder pergunta feita (1). Ateno: a tira com 000 deve ser excluda, uma vez que mostraria que no foi feita nenhuma escolha.

2. Aplique o mesmo raciocnio para 5 objetos.

Quantos algarismos usamos para escrever as potncias de 2?3. A tabela a seguir relaciona os expoentes naturais de 0 a 26, das potncias de 2, com o nmero de casas (algarismos) do resultado da potncia. Observe o exemplo e complete-a, calculando o valor das potncias. Se necessrio, utilize uma calculadora ou uma planilha eletrnica.35


n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

2 elevado a n

Nmero de algarismos

1 024

4

36


4. Construa um grfico, no plano cartesiano, relacionando o expoente das potncias de 2 da atividade anterior com o nmero de algarismos da escrita do resultado das potncias.

37


5. Caso tenha sua disposio computadores com uma planilha eletrnica, construa uma tabela, como a apresentada a seguir para potncias de 2, com expoentes maiores que 26 e complete os valores que faltam: n 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 2 elevado a n 134 217 728 268 435 456 536 870 912 1 073 741 824 2 147 483 648 4 294 967 296 8 589 934 592 17 179 869 184 34 359 738 368 68 719 476 736 1, 374E + 11 2, 749E + 11 5, 498E + 11 1, 100E + 12 2, 199E + ___ 4, 398E + 12 8, 796E + ___ 1, 759E + 1338

Nmero de algarismos 9 9 9 10 10 10 10 11 11 11 12 12 ___ ___ 13 ___ 13 14


6. A tabela e a construo do grfico nas atividades anteriores permitem-nos observar determinado padro na relao entre o expoente e o nmero de algarismos da potncia na base 2 para expoentes de 0 a 26. Sabendo que esse padro se repete pelo menos at o expoente 100, determine a quantidade de algarismos do nmero que representa 2100.

PARA SABER MAISVoc pode ainda pesquisar na internet vrios sites que tratam das unidades de medidas exploradas neste Caderno. Algumas palavras-chave que podem ser utilizadas em sites de busca so: bits; angstrom; parsec; anos-luz.39


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caderno do aluno matemática 7ª serie 1º bimestre

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