caderno do aluno matemática 3ª serie 4º bimestre

Caro(a) aluno(a), Voc est recebendo o ltimo volume do Caderno de Matemtica e neste bimestre encerra-se o estudo referente Educao Bsica. Imagine o quanto voc aprendeu ao longo de todos esses anos! Quantos desafios certamente voc conseguiu vencer com os conhecimentos e as habilidades desenvolvidos. Parabns pelo esforo! Agora, h outros desafios pela frente. Neste Caderno, sero apresentados os tpicos de Estatstica, um dos contedos matemticos mais aplicados a situaes do cotidiano. Voc ter oportunidade de desenvolver habilidades indispensveis para o seu cotidiano, como interpretar dados de diferentes naturezas a partir de grficos estatsticos e relacionar as informaes de diversas fontes e linguagens. Nas atividades propostas, voc vai recordar o clculo da mdia aritmtica de um conjunto de dados. Nas Situaes de Aprendizagem, sero agregadas mdia aritmtica outras medidas estatsticas, como as chamadas medidas de tendncia central, que so a mediana e a moda, e as medidas de disperso que, neste Caderno, sero contempladas pelo estudo da amplitude e do desvio padro. Enfim, voc ter contato com a ideia de que para um bom retrato das caractersticas de uma populao, por exemplo, no necessrio estudar cada um de seus elementos. Assim, voc saber que possvel selecionar uma amostra representativa da populao e verificar qual o sistema de amostragem mais adequado aos objetivos definidos por uma pesquisa estatstica. O objetivo deste Caderno contribuir para que o estudo da Matemtica seja cada vez mais prazeroso. Aproveite bastante!Equipe Tcnica de Matemtica rea de Matemtica Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas Cenp Secretaria da Educao do Estado de So Paulo

a Matemtica - 3- srie - Volume 4

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 A APRESENTAO DE DADOS ESTATSTICOS: GRFICOS E TABELASLeitura e Anlise de Texto

Os dados de natureza qualitativa nos informam sobre as caractersticas dos objetos de estudo, como cor dos cabelos, time de futebol preferido, bairro de residncia, etc. Os dados quantitativos referem-se possibilidade de se efetuarem medidas ou contagens acerca da manifestao dos fenmenos. So dados de natureza quantitativa, por exemplo, altura, salrio mensal, nmero de irmos, etc. Nas pesquisas realizadas em Geografia, comum trabalharmos com dados, qualitativos ou quantitativos, provenientes de fontes secundrias, isto , das estatsticas e dos documentos cartogrficos. Depois de coletados, os dados so organizados em mapas, tabelas e/ou grficos. Os mapas so objeto de estudo da Cartografia. Os grficos no. Esses esto mais ligados Matemtica e, em particular, Estatstica. Isso porque grande parte dos grficos tem origem nas propostas de Nicole Oresme (1323-1382) e Ren Descartes (1596-1650) para a descrio da posio de pontos no plano, base da geometria analtica. A partir da foi possvel a elaborao de grficos de relaes e de funes na Matemtica, exploradas, depois, tambm na Estatstica. Diante de um mapa ou de um grfico, podemos nos interessar por um aspecto particular ou por um conhecimento global do assunto que est sendo representado. Assim, iniciamos a leitura identificando do que trata o mapa, a tabela ou o grfico. Para isso, ficamos atentos ao ttulo, que deve dizer o qu, onde e quando a respeito do tema, completando-se depois com outros dizeres que estaro sobre a tabela, o grfico ou o mapa, principalmente com a respectiva legenda que explica os significados das grandezas presentes. Em seguida, j sabendo do que se trata, analisamos a representao grfica, que ser mais eficaz quanto mais nos revelar o contedo da informao que ela encerra. Uma tabela, um grfico ou um mapa, portanto, ser eficaz quando possibilitar ao usurio resposta visual e rpida s questes por ele colocadas. Diante de grficos, podemos pensar principalmente em dois tipos de questo: 1. Questo sobre determinado detalhe (quanto choveu no ms de abril na cidade X?). 2. Questo sobre o conjunto (qual o regime anual das chuvas na cidade X?). Teremos essas questes em mente nas prximas atividades.3


VOC APRENDEU?

O climograma ou grfico termopluviomtricoMuitas vezes, para uma anlise comparativa de variveis, combina-se, em um mesmo grfico, a frequncia acumulada porcentual (grfico de linhas) com a frequncia relativa (grfico de barras). Uma aplicao muito comum dessa combinao o climograma ou grfico termopluviomtrico. A temperatura, por ser contnua, representada por uma linha. Para a precipitao, como acumulativa, utilizam-se as colunas. Um grfico assim construdo pode mostrar contrastes entre perodos secos e midos e, ainda, permitir a comparao entre vrios regimes climticos em vista de uma classificao estudada em Geografia. A tabela seguinte apresenta dados baseados nas caractersticas do clima da cidade de Catalo, em Gois. Nessa tabela, temos o ndice de chuvas, em milmetro, e a temperatura mdia ms a ms, em grau Celsius. Ms Janeiro Fevereiro Maro Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro ndice de chuvas (mm) 299 259 223 96 28 7 12 7 58 155 210 3784

Temperatura mdia (C) 23 23 23 22,5 21 19,5 20 21,5 23 23,5 23 22,5


A observao dos dados dessa tabela permite tirar uma srie de concluses, principalmente aquelas que dizem respeito a uma anlise detalhista, como, por exemplo, afirmar que a temperatura mdia de dezembro 22,5 C. No entanto, apesar de ser possvel obter diversas concluses com base nos dados registrados em tabelas, um grfico, relacionando todas as informaes, permite visualizar mais facilmente variaes entre os elementos dos conjuntos. O grfico seguinte, gerado a partir dos dados da tabela anterior, o climograma da cidade pesquisada.Climograma de Catalo400 350 300 (mm) 250 200 150 100 50 0 J F M A 96 28 M 58 7 J 12 J 7 A S O N D 5 023 23 23 22,5 21 19,5 20 21,5 23 23,5 23 378 22,5

25 20 15 C 10

299 259 223

210 155

ndice de chuvas (mm)

temperatura mdia (C)

Atividade 1 A respeito desse grfico, responda: a) Como possvel relacionar as estaes do ano ao ndice de chuvas apresentado no grfico?

b) Quais so as temperaturas mxima e mnima anuais? Em quais meses elas ocorrem?

c) A amplitude de um conjunto de dados definida como a diferena entre o maior e o menor valor do conjunto. Qual a amplitude do conjunto das temperaturas mdias da cidade de Catalo?

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d) Qual a temperatura mdia anual da cidade de Catalo?

e) Relacionando as duas variveis apresentadas no grfico, responda: verdade que chove mais nos meses mais frios? Justifique sua resposta.

Atividade 2 Observe o climograma seguinte, construdo com base em dados fictcios de outra cidade. Neste grfico, como no anterior, o ndice de chuvas dado em milmetro e a temperatura em grau Celsius.180 160 140 120 (mm) 100 80 60 40 20 0 J F M A M J J A S O N D12,5 14 20 20,5

167 139 117 106 119 122 11424 27

40 147 35 117 96 30 25 20 C17 13,5

28,5 28,5 122 26,5 89 22

15 10 5 0

ndice de chuvas (mm)

temperatura mdia (C)

A respeito dos dados representados nesse grfico, responda:6


a) A cidade em questo localiza-se no Hemisfrio Norte ou no Hemisfrio Sul? Por qu?

b) Nos meses de inverno chove, em mdia, mais ou menos do que nos meses de vero?

c) Qual a temperatura mdia anual dessa cidade?

d) A amplitude da variao dos valores dos ndices pluviomtricos (valor mximo valor mnimo) maior para essa cidade ou para a cidade de Catalo?

e) Como as caractersticas climticas dessa cidade diferenciam-se das caractersticas climticas de Catalo?

f ) O clima de Catalo classificado como tropical semimido, cujas caractersticas principais so: temperaturas elevadas no vero e amenas no inverno (mdia de 20 C); existncia de duas estaes: a mida e a menos mida; temperaturas mdias mensais altas ao longo de todo o ano; reduzida amplitude trmica anual.7


Caracterize o clima da cidade representada no grfico anterior, comentando sobre as mesmas variveis que definiram o clima tropical semimido para Catalo.

A distribuio da riqueza no BrasilAtividade 3 Observe o grfico que representa a distribuio de renda em nosso pas.46,9%

15,7% 4,5% 5,7% 7,3% 10%

3,4% 1% 2,5% 3%

10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% Porcentual da populao crescimento da riqueza Fonte: IBGE e Atlas da Excluso Social

Pelo grfico, podemos concluir que a distribuio da riqueza em nosso pas mostra, por exemplo, que os 10% mais pobres da populao brasileira detm apenas 1% da renda nacional, e que os 20% mais pobres ficam com 3,5% (1% + 2,5%). J os 10% mais ricos (acima de 90%) detm 46,9% da renda nacional. Supondo a populao brasileira igual a 200 milhes de habitantes, e o Produto Interno Bruto (PIB1) brasileiro igual a 2,4 trilhes de reais, responda, com base no grfico:1

O Produto Interno Bruto anual a soma de todas as riquezas produzidas no pas.

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a) Qual o porcentual da renda nacional destinado aos 40% mais pobres da populao brasileira?

b) Qual o PIB per capita do Brasil, isto , em mdia, quanto da riqueza produzida anualmente cabe a cada brasileiro?

c) Qual , em reais, a parte da riqueza nacional destinada aos 20% mais pobres da populao?

d) Qual , em reais, a parte da riqueza nacional destinada a cada um dos brasileiros situados entre os 20% mais pobres da populao?

e) Complete a tabela seguinte com o total da populao brasileira por faixa de concentrao de riqueza e com a renda per capita em cada faixa. Tabela: renda per capita por faixa de riqueza Porcentual mais pobre da Porcentual populao da riqueza At 10% Maior que 10% at 20% Maior que 20% at 30% Maior que 30% at 40% Maior que 40% at 50% f ) Calcule a renda per capita dos 10% mais ricos da populao brasileira e responda: Quantas vezes a renda per capita dos 10% mais ricos maior do que a renda per capita nacional? Valor absoluto Populao da riqueza (R$) Renda per capita (R$)

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g) Qual a relao entre a renda per capita dos 10% mais ricos e a renda per capita dos 10% mais pobres?

LIO DE CASA

A temperatura interna da casaUma das maneiras de avaliar o conforto e a viabilidade de um projeto de arquitetura residencial consiste em comparar a diferena entre a temperatura externa e a temperatura interna do imvel. Adotando limites superior e inferior para as temperaturas, que correspondam, respectivamente, s condies de conforto mximo e mnimo, os arquitetos geram um grfico em que registram as temperaturas de hora em hora, durante certo intervalo de tempo e, a partir dele e de outros fatores, julgam o nvel de conforto do imvel. Um desses grficos, representado a seguir, foi construdo com base em dois dias, sendo um deles um dia de inverno e o outro um dia de vero.residncia A temperaturatemperatura interior

residncia Btemperatura interior

mximo conforto

temperatura exterior

mnimo conforto

temperatura exterior

horas do dia

horas do dia

Atividade 4 Analisando os grficos, responda: a) Qual dos dois grficos, o da direita ou o da esquerda, corresponde ao perodo medido durante o vero? Por qu?

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b) O projeto em questo , com base no conforto interno, mais adequado para o perodo de vero ou para o perodo de inverno?

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 MDIA ARITMTICA E DISPERSO: QUAL A RELAO?

Atividade em grupo Jogo do desvio mdioNeste jogo, voc sortear amostras, utilizar seus conhecimentos de clculo proporcional, calcular mdias aritmticas e, por fim, aprender um importante conceito de Estatstica, o conceito de disperso. Leia as instrues a seguir e siga as orientaes de seu professor. Como o jogo? Cada grupo receber um saquinho contendo determinado nmero de peas coloridas (esse nmero ser comunicado ao grupo pelo professor). O trabalho do grupo ser descobrir o nmero de peas de cada cor, sem cont-las uma a uma, apenas efetuando amostragens. Uma amostra uma parte significativa da populao. No caso do saquinho com as peas coloridas, uma amostra pode ser composta de certo nmero de peas, retiradas ao acaso. Cada grupo dever: sortear amostras vrias vezes, registrando o nmero de peas de cada cor a cada retirada; colocar de volta no saquinho as peas de uma amostra, misturando-as bem s demais, antes de realizar a prxima amostra; organizar os resultados conforme forem sendo obtidos, registrando-os em uma tabela; discutir e resolver como faro a previso sobre o nmero total de peas de cada cor no saquinho; desenhar um grfico de barras para apresentar os resultados finais, isto , a previso sobre as quantidades de peas de cada cor no saquinho, semelhante, por exemplo, ao grfico seguinte:

Depois que todos os grupos desenharem os grficos, devero avaliar qual grupo conseguiu a melhor previso, isto , aquela que mais se aproximou dos valores reais das peas coloridas contidas no saquinho. Seu professor orientar os grupos sobre as prximas etapas.12


VOC APRENDEU?

Atividade 1 Observe o alvo desenhado a seguir, sobre o qual duas pessoas, A e B, atiraram 20 dardos cada uma. Os resultados obtidos por esses atiradores foram registrados na tabela a seguir.10 20 30 50

Atirador A B

Resultados 50 4 6 30 6 3 20 5 5 10 4 3 0 1 3

a) Qual a mdia de pontos por tiro de cada um dos atiradores?

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b) Compare os desvios mdios (DM) de cada uma das sries de tiros e decida qual o atirador com o desempenho mais regular?

Atividade 2 O grfico a seguir foi construdo pelo sndico de um condomnio para analisar o consumo de energia dos proprietrios.Consumo por residncia (kWh)80 70 60 50 40 30 20 10 0 200 400 600 20 31 17 12 9no de casas

68

3

2

800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800consumo (kWh)

a) Qual o nmero total de residncias pesquisadas?

b) Quantas residncias consomem 1 400 kWh ou menos?

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c) Considere que, em cada faixa, o consumo de todas as residncias seja igual ao ponto mdio entre os extremos do intervalo. Assim, por exemplo, todas as 20 residncias da primeira faixa consomem 300 kWh, que o valor mdio entre 200 e 400 kWh. Nessas condies, complete a tabela e, em seguida, determine, com base nos valores tabelados, o consumo mdio e o desvio mdio do consumo de eletricidade das famlias do condomnio. Faixa de consumo (kWh) Frequncia (no de casas)Obs.: Representao de intervalo real [a, b[ intervalo fechado esquerda intervalo aberto direita

[200, 400[

[400, 600[

[600, 800[

[800, [1 000, [1 200, [1 400, [1 600, 1 000[ 1 200[ 1 400[ 1 600[ 1 800[

Atividade 3 Em duas empresas, A e B, a distribuio dos salrios pagos aos funcionrios representada na tabela seguinte: Nmero de funcionrios Empresa A 6 8 12 16 6 2 5015

Salrios (R$) 1 000,00 2 000,00 3 000,00 4 000,00 5 000,00 6 000,00 Total

Empresa B 4 9 14 11 8 4 50


Em qual das duas empresas maior: a) O valor mdio dos salrios? Quanto a mais?

b) O desvio mdio dos salrios pagos? Quanto porcento a mais?

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 3 A CURVA NORMAL E O DESVIO PADRO: PROBABILIDADE E ESTATSTICA

Leitura e Anlise de Texto Introduo leitura e interpretao da curva normal Considerando, ao acaso, 900 pessoas de uma cidade qualquer para, em seguida, medir a presso arterial de cada uma delas e desenhar um grfico com os resultados, obteria-se, sem dvida, algo igual ou muito parecido com o seguinte grfico.160 140 120 Frequncia 100 80 60 40 20 0 50 70 90 110 130 150 170 190 210 Presso sistlica (em mmHg)

A certeza que temos, neste caso, deve-se ao fato de que a varivel presso arterial , como tantas outras, uma varivel normal 2. A presso arterial de praticamente 100% das pessoas varia em uma faixa que vai de 50 a 210 milmetros de mercrio (mmHg) ou, como mais comum, de 5 a 21 cmHg. Mas, como ocorre com todas as variveis normais, h poucas pessoas com presso sangunea prxima dos extremos e muitas com valores prximos do valor central, no caso, igual a 13 cmHg. Observe, por meio dos pontilhados assinalados no grfico, que, entre as 900 pessoas, cerca de 80 tm presso igual a 160 mmHg, enquanto 140 pessoas tm presso igual a 130 mmHg. Com base nos dados representados nesse grfico, faa o que se pede.2

ao de bombear sangue d-se o nome de sstole. A cada batimento cardaco, o sangue corre pelas artrias e arterolas mxima presso presso sistlica. Segue-se depois uma pausa muito breve, denominada distole, que ocorre entre os batimentos cardacos, quando a presso mnima. Esse perodo recebe o nome de presso diastlica. Presso arterial sistlica (PAS) o maior valor verificado durante a aferio de presso arterial. Exemplo: 120 x 80; em que 120 refere-se presso arterial sistlica e 80 refere-se presso arterial diastlica, ambas medidas em milmetros de mercrio (mmHg). (Fonte: .)

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VOC APRENDEU? Atividade 1 Complete a tabela com os valores aproximados do nmero de pessoas da populao representada no grfico com cada valor de presso. Presso (mmHg) 50 60 70 80 90 100 110 120 130 Atividade 2 Com a ajuda de uma calculadora e com base nos dados apresentados na tabela da atividade anterior, determine, para a varivel presso sangunea dessa populao, o valor da: a) moda, isto , o valor mais frequente da distribuio de dados; Frequncia (no de pessoas) Presso (mmHg) 140 150 160 170 180 190 200 210 220 Frequncia (no de pessoas)

b) mediana, isto , o valor central da distribuio ordenada dos dados;

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c) mdia aritmtica.

Atividade 3 Localize no grfico apresentado anteriormente na seo Leitura e Anlise de Texto os valores obtidos para moda, mediana e mdia aritmtica e responda: H muita ou pouca diferena entre esses valores?

Atividade 4 Aproximadamente, qual porcentagem da populao analisada tem presso sangunea maior ou igual a 130 mmHg?

Atividade 5 Se uma pessoa dessa populao for sorteada, qual a probabilidade, de acordo com os dados da tabela apresentada na Atividade 1, de ela possuir presso sangunea menor ou igual a 100 mmHg?

Leitura e Anlise de Texto Desvio padro de uma distribuio de dados O desvio padro (DP) uma medida de disperso de um conjunto de dados, ou seja, um nmero que mostra, de acordo com determinado modo de interpretar, quanto os elementos do conjunto esto prximos ou afastados da mdia aritmtica dos valores desse conjunto. O desvio padro est relacionado a uma curva bastante importante na anlise de dados estatsticos: a curva normal.19


A curva normal, tambm conhecida por curva de Gauss, tem um formato que reflete, visualmente, a distribuio de uma varivel analisada em uma populao. A maior concentrao de valores da varivel analisada prximos da mdia aritmtica da populao e tambm a igualdade terica entre mdia aritmtica, mediana e moda so as responsveis pela forma assumida pelo grfico de frequncias, quase igual a um sino, conforme podemos perceber na figura a seguir.y

0 Mdia aritmtica, mediana e moda

x

A concentrao de valores em torno dos valores mdios, no entanto, pode ser maior ou menor, como podemos observar nos grficos seguintes, desenhados com a mesma escala.

1

2

3

A observao dessas curvas nos mostra que todas possuem valores mdios iguais mdia aritmtica, moda e mediana , mas possuem disperses diferentes. A curva 1 , entre essas, a que possui menor disperso, enquanto a curva 3 a que apresenta maior disperso. Assim, de se esperar que, se forem calculados os desvios padro das distribuies que geraram essas curvas, o maior valor de desvio, entre todos, ser o obtido para a curva 3, e o menor, para a curva 1. Mas qual a relao entre o formato da curva normal e o desvio padro? Para compreender um pouco essa relao, precisamos aprender a calcular o desvio padro de um conjunto de dados. Consideremos, por exemplo, os seguintes valores de alguma varivel que estejamos analisando, e vamos obter o desvio padro desse conjunto de dados. {1, 4, 6, 7, 12} O primeiro passo no clculo do desvio padro a obteno da mdia aritmtica do conjunto de valores.20


Mdia aritmtica = 1 + 4 + 6 + 7 + 12 = 30 = 6 5 5 Em seguida, calculamos a diferena entre cada valor do conjunto e a mdia obtida. Diferenas: 1 4 6 7 12 6 6 6 6 6 = 5 = 2 =0 =1 =6

Elevamos cada diferena ao quadrado, somamos todos os resultados e calculamos a mdia aritmtica entre eles: Mdia da soma dos quadrados das diferenas (5)2 + (2)2 + 02 + 12 + 62 = 66 = 13,2 5 5 Por fim, extramos a raiz quadrada do valor anteriormente obtido e determinamos o desvio padro (DP) desse conjunto de valores. ____ DP = 13,2 3,63 Podemos resumir os passos realizados na seguinte expresso, em que a mdia identi_ ficada por x e cada um dos n elementos do conjunto de valores por xi:

O clculo do desvio padro de um conjunto de muitos valores trabalhoso e exige a utilizao de uma calculadora cientfica. A tecla usada para isso , normalmente, apresentada com o smbolo (sigma). Dessa forma, no com o clculo do desvio padro que devemos nos preocupar, mas, sim, com sua correta interpretao.

VOC APRENDEU? Atividade 6 Para os valores do conjunto seguinte, determine a mdia aritmtica e o desvio padro. {4, 5, 6, 7, 8}

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Atividade 7 Comparando a mdia aritmtica e o desvio padro dos conjuntos {1, 4, 6, 7, 12}, analisado na seo Leitura e Anlise de Texto, e {4, 5, 6, 7, 8}, da atividade anterior, discuta as diferenas e semelhanas entre esses resultados.

Atividade 8 Considere duas amostras de 100 pessoas cada, em que todas responderam pergunta: Qual seu nmero de horas dirias de sono?. Os dados obtidos com as respostas foram organizados e, em seguida, calcularam-se a mdia e o desvio padro de cada amostra.

Amostra A B

Mdia (horas) 6,5 6,9

Desvio padro (horas) 1,2 0,8

Em qual das duas amostras, A ou B, os valores das horas dirias de sono das pessoas esto mais afastados da mdia? Por qu?

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Atividade 9 As massas dos alunos de uma escola de Ensino Mdio distribuem-se normalmente, com mdia aritmtica igual a 62,5 kg e desvio padro igual a 1,2 kg. Se no intervalo entre 62,5 kg e 62,5 + 1,2 = 63,7 kg encontramos, aproximadamente, 34% dos alunos da escola, qual a porcentagem de alunos que, provavelmente, encontram-se entre 62,5 kg e 62,5 1,2 = 61,3 kg? Por qu?

Atividade 10 Observe a curva normal desenhada para a anlise de determinada varivel populacional.3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 %

60

70

80

90

100 110 120 130 140

Vamos desenhar sobre a curva um tringulo issceles que tenha, aproximadamente, rea de valor igual da regio compreendida entre a curva e o eixo horizontal.3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 %

60

70

80

90

100 110 120 130 140

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Vamos desenhar tambm um trapzio que tenha altura igual ao valor estimado do desvio padro dessa distribuio de valores.3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 %

60

70

80

90

100 110 120 130 140

Determine, de acordo com os valores representados nos eixos horizontal e vertical: a) o valor aproximado do desvio padro dessa distribuio;

b) a medida da rea do tringulo;

c) a medida da rea do trapzio.

Atividade 11 Em relao aos valores das reas do tringulo e do trapzio, determinadas na atividade anterior, avalie se seriam iguais ou diferentes caso a distribuio, mantendo-se normal, apresentasse um maior valor de desvio padro, de maneira que o grfico fosse mais achatado, semelhante ao da figura ao lado:3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 60 70 80 90 100 110 120 130 140 %

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Atividade em grupo Tratando dados e construindo o grfico de frequncias de uma varivel normalTodos os alunos de uma escola de Ensino Mdio tiveram sua altura medida pelo professor de Educao Fsica. Os resultados so apresentados na tabela seguinte.1,46 1,48 1,48 1,50 1,50 1,51 1,51 1,51 1,51 1,52 1,52 1,52 1,53 1,53 1,53 1,53 1,53 1,53 1,53 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,57 1,57 1,57 1,57 1,57 1,57 1,57 1,57 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 25 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,69 1,69 1,69 1,69 1,69 1,69 1,69 1,69 1,69 1,69 1,69 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,73 1,73 1,73 1,73 1,73 1,73 1,74 1,74 1,74 1,76 1,76 1,77 1,78 1,78 1,78 1,80


Com base nos dados apresentados na tabela, faa o que se pede: 1. Distribua os dados em intervalos de classes de 4 cm de amplitude cada um, isto , o primeiro intervalo pode abranger alturas de 1,46 m a 1,49 m; o segundo intervalo pode abranger alturas de 1,50 m a 1,53 m; o terceiro intervalo, alturas de 1,54 m a 1,57 m, e assim por diante. 2. Construa uma tabela organizada, contendo as classes, as frequncias, os porcentuais de frequncia, a frequncia acumulada e o porcentual de frequncia acumulada. 3. Construa um histograma e um polgono de frequncias. 4. Calcule a mdia aritmtica, a mediana e a moda. 5. Calcule o desvio padro. 6. Avalie a possibilidade de aproximar a distribuio dos dados da distribuio normal. Como fazer isso? Calculando o coeficiente de assimetria (C.A.) da curva, da seguinte maneira: _ 3(x mediana) _____________ C.A. = desvio padro Se o valor absoluto desse coeficiente for menor que 1, a assimetria moderada, e se for maior que 1, a assimetria forte. 7. Elabore um pequeno relatrio contendo resultados calculados, grficos e comentrios finais sobre a varivel analisada.

VOC APRENDEU?

Probabilidades e curva normalAtividade 12 A mdia das idades da populao da cidade 1 igual mdia das idades da populao da cidade 2. No entanto, o desvio padro das idades da cidade 1 o dobro do valor do desvio padro das idades da cidade 2. a) Qual a porcentagem de pessoas da cidade 1 que tm idades no intervalo compreendido entre a mdia e dois desvios padro acima da mdia?

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b) Qual a porcentagem de pessoas da cidade 2 que tm idades no intervalo compreendido entre a mdia e dois desvios padro abaixo da mdia?

c) Supondo-se a mdia de 39 anos, em qual das duas cidades mais provvel sortear uma pessoa com idade entre 39 e 42 anos? Justifique sua resposta.

Atividade 13 A mdia da altura das pessoas de uma comunidade 162,8 cm e o desvio padro 9 cm. Supondo uma distribuio normal, calcule a porcentagem de pessoas desse povoado com altura: a) entre 162,8 cm e 171,8 cm;

b) menor que 162,8 cm;

c) maior que 171,8 cm;

d) entre 154 cm e 162,8 cm.

27


Atividade 14 A altura mdia das pessoas que se candidataram vaga de vigilante em uma empresa igual a 1,71 m com um desvio padro de 16 cm. Se for estipulado um critrio de que sero aceitos somente candidatos com altura superior a 1,65 m, qual ser a porcentagem de candidatos no aceitos?

Atividade 15 Uma equipe de bilogos pesquisou durante dois anos uma populao de tartarugas marinhas. Entre outros dados, eles verificaram que a mdia da massa das fmeas de 4,5 kg com desvio padro de 0,5 kg, e que a mdia da massa dos machos de 5,0 kg com desvio padro de 0,8 kg. Durante um mergulho de observao, um pesquisador deparou-se com uma tartaruga. Qual a probabilidade de a tartaruga em questo ter massa entre 4,0 e 5,0 kg supondo tratar-se de: a) uma fmea;

b) um macho.

Atividade 16 O controle de qualidade de uma indstria de alimentos seleciona amostras da produo a fim de avaliar se os produtos esto com a massa esperada. Em uma dessas amostras foi verificado que a mdia da massa do produto era igual a 998,8 g e o desvio padro igual a 16 g. A massa oficial, registrada na embalagem do produto de 1 kg, e a legislao no permite que uma embalagem v para o mercado com 3% a menos do que a massa oficial. Supondo que a amostra analisada seja representativa de toda a produo, qual a chance de uma consumidora pegar uma unidade do tal produto em um supermercado com massa abaixo do limite legal?28


0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0

0,00 0,0000 0,0398 0,0793 0,1179 0,1554 0,1915 0,2257 0,2580 0,2881 0,3159 0,3413 0,3643 0,3849 0,4032 0,4192 0,4332 0,4452 0,4554 0,4641 0,4713 0,4772 0,4821 0,4861 0,4893 0,4918 0,4938 0,4953 0,4965 0,4974 0,4981 0,4987

0,01 0,0040 0,0438 0,0832 0,1217 0,1591 0,1950 0,2291 0,2611 0,2910 0,3186 0,3438 0,3665 0,3869 0,4049 0,4207 0,4345 0,4463 0,4564 0,4649 0,4719 0,4778 0,4826 0,4864 0,4896 0,4920 0,4940 0,4955 0,4966 0,4975 0,4982 0,4987

0,02 0,0080 0,0478 0,0871 0,1255 0,1628 0,1985 0,2324 0,2642 0,2939 0,3212 0,3461 0,3686 0,3888 0,4066 0,4222 0,4357 0,4474 0,4573 0,4656 0,4726 0,4783 0,4830 0,4868 0,4898 0,4922 0,4941 0,4956 0,4967 0,4976 0,4982 0,4987

0,03 0,0120 0,0517 0,0910 0,1293 0,1664 0,2010 0,2357 0,2673 0,2967 0,3238 0,3485 0,3708 0,3907 0,4082 0,4236 0,4370 0,4484 0,4582 0,4664 0,4732 0,4788 0,4834 0,4871 0,4901 0,4925 0,4943 0,4957 0,4968 0,4977 0,4983 0,4988

0,04 0,0160 0,0557 0,0948 0,01331 0,1700 0,2054 0,2389 0,2704 0,2995 0,3264 0,3508 0,3729 0,3925 0,4099 0,4251 0,4382 0,4495 0,4591 0,4671 0,4738 0,4793 0,4838 0,4875 0,4904 0,4927 0,4945 0,4959 0,4969 0,4977 0,4984 0,4988

0,05 0,0199 0,0596 0,0987 0,1368 0,1736 0,2088 0,2422 0,2734 0,3023 0,3289 0,3531 0,3749 0,3944 0,4115 0,4265 0,4394 0,4505 0,4599 0,4678 0,4744 0,4798 0,4842 0,4878 0,4906 0,4929 0,4946 0,4960 0,4970 0,4978 0,4984 0,4989

0,06 0,0239 0,0636 0,1026 0,1406 0,1772 0,2123 0,2454 0,2764 0,3051 0,3315 0,3554 0,3770 0,3962 0,4131 0,4279 0,4406 0,4515 0,4608 0,4686 0,4750 0,4803 0,4846 0,4881 0,4909 0,4931 0,4948 0,4961 0,4971 0,4979 0,4985 0,4989

0,07 0,0279 0,0675 0,1064 0,1443 0,1808 0,2157 0,2486 0,2794 0,3078 0,3340 0,3577 0,3790 0,3980 0,4147 0,4292 0,4418 0,4525 0,4616 0,4693 0,4756 0,4808 0,4850 0,4884 0,4911 0,4932 0,4949 0,4962 0,4972 0,4979 0,4985 0,4989

0,08 0,0319 0,0714 0,1103 0,1480 0,1844 0,2190 0,2517 0,2823 0,3106 0,3365 0,3599 0,3810 0,3997 0,4162 0,4306 0,4429 0,4535 0,4625 0,4699 0,4761 0,4812 0,4854 0,4887 0,4913 0,4934 0,4951 0,4963 0,4973 0,4980 0,4986 0,4990

0,09 0,0359 0,0753 0,1141 0,1517 0,1879 0,2224 0,2549 0,2852 0,3133 0,3389 0,3621 0,3830 0,4015 0,4177 0,4319 0,4441 0,4545 0,4633 0,4706 0,4767 0,4817 0,4857 0,4890 0,4916 0,4936 0,4952 0,4964 0,4974 0,4981 0,4986 0,4990

29


30


?

!

SITUAO DE APRENDIZAGEM 4 AMOSTRAS ESTATSTICAS: TIPOS, CONFIABILIDADE E MARGEM DE SEGURANA DOS RESULTADOS

Leitura e Anlise de Texto Tipos de amostras Para se obter um bom retrato das caractersticas de uma populao, no precisamos estudar cada um de seus elementos. Selecionando uma amostra representativa da populao, os resultados obtidos pela anlise dos poucos elementos que compem a amostra nos permitem especular, com boa margem de segurana, sobre as caractersticas de toda a populao. H mais de um tipo de mtodo de amostragem, e a escolha de um ou outro determinada pelo tipo e pela qualidade da varivel que se pretende analisar. Se o desejado for, por exemplo, avaliar a aceitao do novo perfume de um tipo de desodorante, ser importante perguntar sobre isso para quem j sentiu esse odor, isto , perguntar a quem j usou o desodorante em questo; quem no o usou, evidentemente, no poder opinar sobre isso. Por outro lado, em outro exemplo, a obteno de dados socioeconmicos, como renda familiar, capacidade de consumo ou preferncias partidrias, realizada por meio de amostras nas quais todos os cidados tm a mesma chance de participar. H uma histria bastante conhecida sobre um grave erro de escolha de amostragem de pesquisa, ocorrido na eleio americana de 1948. A eleio daquele ano foi disputada por dois candidatos, um deles republicano, Dewey, e o outro democrata, Truman. A pesquisa de inteno de voto apontava vitria de Dewey sobre Truman por boa margem de votos, mas o que ocorreu foi exatamente o contrrio: Truman venceu com vantagem de votos. Qual foi o erro da amostragem? O erro grosseiro cometido pelo instituto de pesquisa na eleio americana de 1948 foi ter escolhido a amostra com base no catlogo de telefones da poca. De acordo com o processo adotado, um nmero de telefone de uma residncia era sorteado da lista, algum ligava para a residncia e perguntava: Em quem o(a) sr.(a) vai votar: Truman ou Dewey?. As respostas obtidas e classificadas indicaram a vitria de Dewey que, sem dvida, seria o presidente americano caso comparecessem s urnas apenas as pessoas que tinham telefones em sua casa em 1948. E quem no tinha telefone, que naquela poca era privilgio de poucos? Esses preferiram Truman, que ganhou as eleies e governou os Estados Unidos por dois mandatos. Ao receber a notcia de sua vitria, Truman tomou em suas mos o jornal preparado para ir s ruas no final da eleio e, sorrindo ironicamente, se deixou fotografar por toda a imprensa. Nesse jornal, era possvel ler a manchete: Dewey derrota Truman.31


Dentre os principais processos de amostragem, destacam-se: amostragem casual simples, amostragem sistemtica, amostragem acidental e amostragem estratificada. Nas atividades a seguir, voc ter a oportunidade de refletir sobre cada uma delas.

VOC APRENDEU?

Atividade 1 A propaganda de uma marca de veculos anunciou que 90% dos compradores de tal modelo estavam plenamente satisfeitos com a compra. Qual o tipo de amostragem que, provavelmente, foi realizada pela indstria fabricante do veculo para que fosse obtido o ndice de satisfao que divulgam?

Atividade 2 Em um programa social da prefeitura de determinada cidade, um show foi promovido em um estdio. Ao entrar no estdio, cada pessoa doava 1 quilo de alimento no perecvel e recebia um tquete numerado para concorrer ao sorteio de 5 motos ao final do evento. Qual o tipo de amostragem que est implcito nesse processo?

Atividade 3 Uma indstria de caf solvel realiza um processo estatstico para o controle de qualidade da produo diria de latas. Se so produzidas 12 000 latas por hora, descreva como poderia ser realizada, para esse controle, uma amostragem do tipo: a) casual simples;

32


b) sistemtica.

Atividade 4 Observe a tabela com os porcentuais de pessoas que residem nos quatro distritos da cidade. Distritos Residentes (%) A 25 B 35 C 10 D 30

Uma pesquisa ser realizada para conhecer a opinio dos moradores da cidade a respeito das aes da prefeitura local. Pretende-se selecionar, em toda a cidade, 2 000 pessoas para serem entrevistadas. Supondo uma amostra casual simples, quantas pessoas devero ser escolhidas para responder pesquisa em cada distrito?

Atividade 5 Um pesquisador entrevistou 200 alunos calouros de uma universidade com o objetivo de saber em qual escola haviam concludo o Ensino Mdio. Veja os resultados obtidos: Escola Nmero de estudantes que entraram na universidade A 45 B 125 C 20 Outras 10

a) Qual o porcentual de entrevistados que estudaram em cada uma das escolas representadas na tabela?

33


b) correto afirmar que a escola B , entre todas, a que tem o maior nmero de alunos calouros nessa universidade? Por qu?

c) correto afirmar que a escola B , entre todas, a que tem o Ensino Mdio mais eficiente no que se refere aprovao no vestibular da tal universidade? Por qu?

Atividade 6 Uma pesquisa ser realizada com moradores de um bairro da zona sul da cidade de So Paulo para verificar a inteno de voto na prxima eleio para a prefeitura. Descreva, justificando, como poder ser realizada essa pesquisa no caso de o mtodo de amostragem adotado ser: a) casual simples;

b) acidental;

c) acidental e casual simples;

d) estratificada;

e) acidental e estratificada;

34


f ) sistemtica.

Leitura e Anlise de Texto Intervalos de confiana Na divulgao dos resultados de uma pesquisa de inteno de voto para determinada eleio, os institutos de estatstica sempre acrescentam uma margem de segurana aos porcentuais que preveem. Assim, comum ouvir, por exemplo, que determinado candidato tem 42,5% das intenes de voto, com 5% de margem de erro para mais ou para menos. Isso quer dizer que, nesse caso, esperado que o candidato em questo obtenha entre (42,5 5)% e (42,5 + 5)% dos votos, isto , entre 37,5% e 47,5%. O estabelecimento dessa margem de erro de 5% est relacionado ao grau de certeza desejado pelo instituto. Pode ser que, em outros casos, essa margem seja reduzida para 2,5%, ou ampliada para 8%. Para a definio dessas margens, preciso avaliar o intervalo de confiana do resultado. Embora os comunicados dos institutos no comentem, uma margem de erro de 2%, por exemplo, est associada a um intervalo de confiana de 95%, isto , h 95% de certeza de que o resultado divulgado acerca das intenes de voto esteja dentro da margem de 2% para mais ou para menos. Como a certeza no igual a 100% e nunca ser, sempre haver uma possibilidade de a previso no corresponder ao resultado da eleio. Isso j aconteceu algumas vezes. Como so definidos esses intervalos de confiana? Para responder, precisamos retomar a interpretao da curva normal, com a relao entre mdia aritmtica e desvio padro da amostra. A porcentagem esperada de elementos situados entre a mdia e um desvio padro acima da mdia, em uma situao normal, sempre igual a 34,13% da populao amostrada.aproximadamente 34% de toda a rea compreendida entre a curva e o eixo horizontal

x

x+

35


A simetria da curva normal, em torno da mdia, permite esperar que 34,13% da populao situe-se tambm entre a mdia e um desvio padro abaixo dela. Desse modo, entre um desvio padro acima e um abaixo da mdia encontramos 68,26%. Outros porcentuais, correspondentes a faixas da populao com limites diferentes de um desvio acima e outro abaixo da mdia, podem ser obtidos mediante consulta tabela utilizada anteriormente (Situao de Aprendizagem 3). No caso, por exemplo, da faixa compreendida entre 1,45 desvio padro acima e abaixo da mdia, encontraremos, de acordo com a tabela, 2 . 42,65% da populao, ou seja, 85,3%.

85,3%

x 1,45

x

x + 1,45

O fato de que 1,45 desvio padro corresponde a 85,3% da populao, de acordo com a tabela, permite-nos afirmar que temos 85,3% de certeza de pegar um elemento ao acaso da populao e ele pertencer faixa entre 1,45 desvio acima e 1,45 desvio abaixo da mdia. Dizemos tambm que 1,45 define um intervalo de confiana de 85,3%. Considere agora a faixa de rea da curva normal compreendida entre 1,72 desvio padro acima e abaixo da mdia.

x 1,72

x

x + 1,72

A leitura da tabela (Situao de Aprendizagem 3) nos mostra que o fator 1,72 corresponde a 45,73%, o que nos permite afirmar que na faixa destacada da curva encontram-se 2 . 45,73% da populao, isto , 91,46%. Dizemos, nesse caso, que temos 91,46% de certeza de que um elemento sorteado da populao esteja no intervalo que vai de 1,72 desvio abaixo at 1,72 desvio acima da mdia. Ou, de outra forma, dizemos que o intervalo de confiana de 91,46% definido pelo fator 1,72.36


VOC APRENDEU?

Atividade 7 Qual o fator que define um intervalo de confiana de 98%?

Atividade 8 Em uma populao normal de focas em que a mdia de peso de 102,5 kg e o desvio padro 4,6 kg, qual o intervalo de valores em que so encontradas 90% das focas?

Atividade 9 Defina os limites do intervalo de confiana de 88% para a altura de uma populao de meninos, normalmente distribudos, em que a mdia igual a 1,71 m e o desvio padro igual a 0,09 m.

37


Atividade 10 Em uma amostra normal de pessoas em que a mdia das massas igual a 68 kg e o desvio padro igual a 4 kg, qual a faixa de valores das massas em que se encontram 80% das pessoas?

Atividade 11 Qual o fator que define 95% de segurana em uma distribuio normal?

Leitura e Anlise de Texto Pesquisa eleitoral: o tamanho da amostra Um fato que costuma intrigar alunos e professores diz respeito quantidade de pessoas entrevistadas pelos institutos para a realizao de uma pesquisa de inteno de voto. comum ouvirmos, por exemplo, que o instituto tal entrevistou duas mil e poucas pessoas em todo o Brasil durante determinado perodo de tempo e, com base nas respostas obtidas, vir a pblico divulgar que o candidato X ter tantos porcento dos votos, com uma margem de segurana de 2% para mais ou para menos. Como que duas mil e poucas pessoas podem representar toda a populao de eleitores do pas? Como se definem esses 2% de margem de erro? Simplificadamente, podemos responder a essas dvidas com base nos seguintes aspectos: As pesquisas trabalham, normalmente, com margem de erro de 2%, em um intervalo de confiana de 95%. Um intervalo de confiana de 95% determinado pelo fator 1,96 (ver tabela). O clculo da quantidade de elementos de uma amostra de pesquisa com margem 1,96 __ de erro fixada em x% pode ser feito pela equao: x% = _____. 2n38


Resolvendo essa equao para x = 2%, obtemos para n o valor 2 401, que corresponde, portanto, ao nmero de pessoas que o instituto deve entrevistar para ter, em um intervalo de confiana de 95%, 98% de certeza de que as previses se confirmaro. Caso o intervalo de confiana da previso seja alterado para, por exemplo, 90%, o valor de n para os mesmos 2% tambm se alterar, tornando-se 1 681. Dessa maneira, mantendo-se constante a margem de erro de 2%, a confiana na resposta determinar o nmero de elementos amostrados: quanto maior a confiana, maior tambm o nmero de elementos que devero compor a amostra de pesquisa. Vale salientar, no entanto, que a preciso da pesquisa no est condicionada unicamente ao nmero de pessoas entrevistadas, e sim ao tipo de amostra selecionada. Se as 2 401 entrevistas, ou outro nmero plausvel, forem realizadas, por exemplo, na porta de sada do teatro em que se realizou a conveno do partido A, dificilmente os resultados apontaro vitria do candidato do partido B. Para que as pesquisas eleitorais possam, de fato, divulgar suas previses dentro de uma margem de erro de 2%, os institutos consideram a composio da amostra de pesquisa com a maior variedade possvel de indicadores, desde o Estado de origem dos pesquisados, passando pelo gnero, pela idade e, principalmente, pelas condies socioeconmicas dos pesquisados.

VOC APRENDEU? Atividade 12 Para uma pesquisa em que se pretende uma margem de erro de 2% e confiana de 94%, qual o nmero aproximado de elementos pesquisados?

Atividade 13 Complete a tabela com a quantidade aproximada de pessoas a serem entrevistadas em uma pesquisa eleitoral que pretende uma margem de erro de 2%, de acordo com o intervalo de confiana fixado. Intervalo de confiana Nmero de entrevistados39

97%

96%

92%


PESQUISA INDIVIDUALAtividade 14 Suponha que voc seja a pessoa responsvel pela elaborao de uma pesquisa eleitoral em que se deseja uma margem de erro de 2%. Como esse tipo de trabalho, de modo geral, realizado por uma equipe, converse com seus colegas sobre o procedimento que julgar mais adequado para atingir a margem de erro desejada. Considere que a pesquisa tem por objetivo avaliar a inteno de voto dos eleitores para trs candidatos prefeitura de uma grande cidade brasileira. Para organizar a discusso, voc pode buscar respostas para as seguintes questes: A pesquisa ser feita em qualquer ponto da cidade, indistintamente? A cidade ser ou no dividida em regies? O que ser importante considerar no caso de a cidade ser dividida em regies. Em todas elas, o nmero de pessoas pesquisadas ser o mesmo? Como ser o tipo de amostragem? Quantas pessoas ser necessrio entrevistar? Como ser o formulrio de pesquisa? Quais sero as perguntas? De que maneira os resultados da pesquisa sero organizados para produzir um relatrio final?

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caderno do aluno matemática 3ª serie 4º bimestre

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