caderno do aluno matemática 1ª serie 2º bimestre

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Caro(a) aluno(a), Neste Caderno voc ir estudar o conceito de funo, que traduz uma relao de interdependncia entre duas grandezas. Explora-se, principalmente, as funes de 1o e de 2o grau, e suas aplicaes em diferentes contextos. A ideia de funo est presente na Matemtica, mas sobretudo em situaes do dia a dia que envolvem grandezas e suas relaes. Em qualquer movimento, seja o de uma pedra que cai, ou de um carro que participa de uma corrida, verificamos uma relao entre tempo e espao; o permetro de um quadrado uma funo de seu lado; o valor que se paga ao taxista dado em funo do quilmetro rodado. Enfim, as funes permitem analisar os fenmenos da natureza e as mais variadas atividades humanas, por isso, compreender esse conceito fundamental para desenvolver a capacidade de argumentar e intervir nesse mundo em constante transformao. Bons estudos! Faa das aulas de Matemtica um espao de investigao e conhecimento!Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas CENP Secretaria da Educao do Estado de So Paulo Equipe Tcnica de Matemtica

Matemtica - 1a srie - Volume 2

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 FUNES COMO RELAES DE INTERDEPENDNCIA: MLTIPLOS EXEMPLOS

Leitura e Anlise de Texto Grandezas e funes A altura de uma rvore que plantamos no quintal ao longo do tempo, o peso de uma pessoa ao longo de sua vida, o preo do barril de petrleo a cada dia, a produo de automveis de um pas ano aps ano, a temperatura de um refrigerante colocado em uma geladeira, o preo a pagar por uma corrida de txi so alguns exemplos de grandezas. Duas grandezas x e y podem variar de modo interdependente, de tal forma que assumam valores inter-relacionados. Quando, deixando variar livremente os valores de uma grandeza x, notamos que os valores de outra grandeza y tambm variam, de tal forma que a cada valor de x corresponde um e somente um valor de y, ento dizemos que y uma funo de x; dizemos ainda que x a varivel independente e y a varivel dependente. Por exemplo: a) a rea A de um quadrado uma funo de seu lado x; deixando os valores de x variarem livremente (naturalmente, x no pode assumir valores negativos), ento os valores de A variaro em funo de x, e escrevemos A = f(x). No caso, temos: A = f(x) = x2. b) a altura H de uma pessoa uma funo de sua idade t; podemos escrever H = f(t), sendo certo que a cada valor de t corresponda um nico valor de H. No caso, no sabemos exprimir a relao de interdependncia f(t) por meio de uma frmula. Quando x e y so duas grandezas diretamente proporcionais, elas aumentam ou diminuem y simultnea e proporcionalmente, ou seja, a razo __ constante, e resulta que y = k . x (k uma x constante). Quando x e y so duas grandezas inversamente proporcionais, sempre que uma delas aumenta, a outra diminui na mesma proporo, e vice-versa, de modo que o produto k das duas permanece constante: x . y = k, ou seja, y = __ onde k uma constante no nula. x Quando observamos os valores de duas grandezas interdependentes x e y, e notamos que um aumento no valor de x acarreta um aumento no valor de y, ou ento, um aumento no valor de x provoca uma diminuio no valor de y, somos tentados a dizer que x e y variam de modo diretamente proporcional, no primeiro caso, ou inversamente proporcional, no segundo. Entretanto, tais afirmaes nem sempre so corretas, uma vez que, como visto anteriormente, a proporcionalidade direta exige mais do que um aumento simultneo nos valores y de x e y; pois preciso que a razo __ seja constante e resulte em y = kx (k uma constante). x Analogamente, a proporcionalidade inversa mais do que uma diminuio nos valores de uma das grandezas, quando o outro aumenta; necessrio que o produto dos valores de x e y permanea constante, ou seja, x . y = k (k constante).3

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VOC APRENDEU? 1. Em cada um dos casos apresentados a seguir, verifique se h ou no proporcionalidade. Se existir, expresse tal fato algebricamente, indicando o valor da constante de proporcionalidade. Em caso negativo, justifique sua resposta. a) A altura a de uma pessoa diretamente proporcional sua idade t?

b) A massa m de uma pessoa diretamente proporcional sua idade t?

c) O permetro p de um quadrado diretamente proporcional ao seu lado a?

d) A diagonal d de um quadrado diretamente proporcional ao seu lado a?

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e) O comprimento C de uma circunferncia diretamente proporcional ao seu dimetro d?

2. As tabelas a seguir relacionam pares de grandezas. Indique se existe ou no proporcionalidade (direta ou inversa). a) Produo de automveis e produo de tratores (anual, em milhares). Pases Automveis Tratores A 100 8 B 150 12 C 200 16 D 225 18 E 250 20 F 300 24 G 350 28 H 400 32 I 450 36

b) rea destinada agricultura e rea destinada pecuria (em 1 000 km2). Pases Agricultura Pecuria A 80 60 B 100 70 C 110 80 D 120 98 E 150 100 F 160 124 G 180 128 H 200 132 I 250 136

c) Produto Interno Bruto (PIB, em milhes de dlares) e ndice de Desenvolvimento Humano (IDH). Pases PIB IDH A 300 0,90 B 400 0,92 C 510 0,80 D 620 0,88 E 750 0,78 F 760 0,89 G 880 0,91 H 1 000 0,80 I 1 100 0,86

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d) Expectativa de vida (em anos) e ndice de analfabetismo (% da populao). Pases Expectativa de vida ndice de analfabetismo A 67 11 B 68 10 C 69 9 D 70 8 E 71 7 F 72 6 G 73 5 H 74 4 I 75 3

3. Um prmio P da loteria deve ser dividido em partes iguais, cabendo um valor x a cada um dos n ganhadores. Considerando um prmio P de R$ 400 000,00, preencha a tabela a seguir e expresse a relao de interdependncia entre x e n. n x 1 2 3 4 5 8 10 20

4. Para cortar a grama de um canteiro quadrado de 5 m de lado, um jardineiro cobrou R$ 20,00. Mantida a proporo, para cortar a grama de um canteiro quadrado de 15 m de lado, quanto o jardineiro dever cobrar? A quantia a cobrar C diretamente proporcional medida x do lado do canteiro quadrado?

LIO DE CASA 1. A tabela a seguir relaciona os valores de trs grandezas, x, y e z, que variam de modo inter-relacionado: x y z 1 7 300 3 21 100 4 28 75 5 35 606

10 70 30

15 105 20

40 280 7,5

50 350 6

150 1 050 2

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Verifique se os diversos pares de grandezas (x e y, y e z, x e z) so diretamente ou inversamente proporcionais. Justifique sua resposta.

2. Quando uma pedra abandonada em queda livre (sem considerar a resistncia do ar ao movimento), a distncia vertical d que ela percorre em queda diretamente proporcional ao quadrado do tempo t de queda, ou seja, d = k . t2. Observando-se que aps 1 segundo de queda a pedra caiu 4,9 metros, pergunta-se: a) Qual o valor da constante de proporcionalidade k?

b) Qual ser a distncia vertical percorrida aps 5 segundos?

c) Quanto tempo a pedra levar para cair 49 metros?

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VOC APRENDEU?

Grficos de funes1. O valor a ser pago por uma pessoa para abastecer com combustvel seu automvel varia proporcionalmente em funo da quantidade de litros de combustvel colocada. Isso significa dizer que o preo uma funo da quantidade de litros de combustvel que abastece o automvel. Vamos imaginar que o litro da gasolina custe R$ 2,50. Denotando por P o preo a ser pago e por a quantidade de litros de gasolina com que um automvel abastecido, pede-se: a) Complete a tabela abaixo que relaciona P com . P 0 1 2 3 4 6

b) Qual o preo a ser pago quando se abastece o carro com 10 litros?

c) Calcule a diferena entre os preos a serem pagos quando se abastece um carro com 15 e 16 litros.

d) Observando a tabela, conclumos que P e so grandezas diretamente proporcionais, isto , P = constante = k, ou seja, P = f() = k . . Determine o valor de k.

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e) Na funo y = f(x), o conjunto de pontos (x;y) do plano cartesiano em que y = f(x) constitui o grfico da funo. Construa, em um plano cartesiano, o grfico da funo P = f().

PESQUISA INDIVIDUAL

1. As funes na forma y = f(x) = kx representam situaes em que esto envolvidas duas grandezas, x e y, diretamente proporcionais. Elabore quatro situaes distintas envolvendo duas grandezas diretamente proporcionais e construa seus respectivos grficos cartesianos. Com base em sua observao a respeito dos grficos, escreva o que eles tm em comum.

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2. Fixada a temperatura T, a presso P e o volume V de um gs variam segundo a sentena P . V = k (k uma constante). Faa uma pesquisa sobre essa relao e esboce o grfico de P em funo de V. (Dica: voc poder pesquisar sobre esse assunto em livros de Qumica.)

VOC APRENDEU? 1. O preo P a cobrar em uma corrida de txi composto por uma quantia a fixada, igual para todas as corridas, mais uma parcela varivel, que diretamente proporcional ao nmero x de quilmetros rodados: P = a + bx (b o custo de cada quilmetro rodado). Em certa cidade, temos P = 15 + 0,8x (P em reais e x em km). a) Qual o preo a cobrar por uma corrida de 12 km?

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b) Calcule a diferena entre os preos de duas corridas, uma de 20 km e outra de 21 km.

c) Esboce o grfico de P em funo de x.

2. Na casa de uma famlia que gasta cerca de 0,5 kg de gs de cozinha por dia, a massa de gs m contida em um botijo domstico de 13 kg varia com o tempo de acordo com a frmula m = 13 0,5t, onde t o tempo em dias. a) Calcule o nmero de dias necessrios para um consumo de 6 kg de gs.

b) Calcule a massa de gs que resta em um botijo aps 10 dias de uso.

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c) Esboce o grfico de m em funo de t.

LIO DE CASA

1. O grfico a seguir mostra o nvel da gua armazenada em uma barragem, ao longo de um ano. Analise atentamente o grfico e responda s