caderno do aluno matemática 1ª serie 3º bimestre

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Caro(a) aluno(a),

Neste Caderno o foco ser a ideia de crescimento ou decrescimento exponencial. Para esse estudo, voc revisar as potncias j apresentadas no Ensino Fundamen tal. Agora o significado de potncia ser consolidado com suas operaes, usando expoentes inteiros, racionais e reais. Com os estudos sobre potncia, voc compreender que esse conhecimento importante para a construo do grfico da funo exponencial e para o reconheci mento de uma funo crescente ou decrescente. Alm disso, o Caderno explora as propriedades dos logaritmos e sua linguagem, ampliando as possibilidades de compreenso de uma extensa classe de fenmenos associados ao crescimento e decrescimento exponencial. Este material vai ainda disponibilizar para voc, aluno(a), um panorama de con textos em que as ideias de potncias e logaritmos so entrelaadas pela definio das funes exponencial e logartmica comentadas acima. A partir de situaes contextualizadas, voc poder analisar os enunciados, utilizar a linguagem matem tica para expressar as condies descritas e interpretar os resultados de acordo com as informaes fornecidas pela situaoproblema. Esperamos que voc participe de todas as atividades propostas por seu professor e, com isso, possa aprender cada vez mais!

Equipe Tcnica de Matemtica rea de Matemtica Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas CENP Secretaria da Educao do Estado de So Paulo

Matemtica 1a srie Volume 3

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 AS POTNCIAS E O CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO EXPONENCIAL: A FUNO EXPONENCIAL

Leitura e Anlise de Texto Suponhamos que no pas X a produo de determinado alimento foi igual a uma tonelada no final do ano de 2000. Devido a incentivos econmicos, essa produo passou a triplicar anualmente a partir daquele momento. Uma tabela com as quantidades produzidas ao final de cada ano apresentada a seguir.

Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 ... 2015 2000 + n

Produo P (em toneladas) 1 3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 19 683 ... 14 348 907

Potncia correspondente 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 ... 315 3n

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Matemtica 1a srie Volume 3

A regularidade da multiplicao pelo fator 3, a cada ano, conduz naturalmente re presentao da produo correspondente de modo simplificado, por meio de uma potncia de 3. Observe que a cada aumento em uma unidade no ano, a produo em toneladas multiplicada por 3. Ao acompanhar a tabela, concluise que n anos aps o ano de 2000 o valor da produo P ser 3n toneladas.

VOC APRENDEU? 1. Tomando a situao descrita pela tabela apresentada na seo Leitura e Anlise de Texto, como voc representaria a produo P do pas X meio ano aps o incio da produo? E quatro anos e trs meses aps o incio do processo?

2. Uma populao N de micrbios cresce exponencialmente de acordo com a expresso N = 5 000 . 3t, sendo t em horas. a) Indique e calcule o valor de N para os seguintes valores de t: I. t = 2 h II. t = 0,5 h 2 III. t = __ h 3 IV. t = 1,25 h

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b) Esboce o grfico de N como funo de t: N = f(t). (Estabelea uma escala apropriada no eixo y.)

3. Em determinado pas X, a produo de automveis cresce em progresso geomtrica, ano aps ano, a partir do incio do ano de 2000, tendo aumentado 50% ao ano desde ento. Sabendose que em 2004 foram produzidos 162 000 automveis, perguntase: a) Qual foi a quantidade produzida no ano de 2000?

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b) Qual a produo estimada para o ano de 2010?

4. Para analisar a funo exponencial y = ax, ou seja, f(x) = ax, para a > 0 e a 1, para todo nmero real, construmos, a seguir, uma tabela com diversos valores de x e os valores correspondentes de f(x) para alguns valores de a. Preencha os espaos em branco da tabela.

x

2x

3x

21 __ 1 __ 2

x

31 __

x

1

2

2

22 = 4

1 1 __ = __ 3 92

3

23 = 8

33 = 27

1 1 __ = __ 2 83

0

30 = 1

1 __ = 1 20

3 __

1 1 33 = ___ = ___ 33 271 __ 2

1 __ 3

3

= 33 = 27

1 __ 2

2 = 2 1,41

2 1 __1 __ 2

___ 1 1 __ = __ = ____ 0,71 2 2

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5. Tendo como base os valores obtidos na tabela apresentada na atividade anterior, vamos esboar os grficos das funes exponenciais a seguir, observando o crescimento ou o decrescimento em cada caso. Para isso, construa os grficos das funes I e II em um mesmo sistema de eixos. Faa o mesmo para as funes III e IV. Divida o seguinte papel milimetrado em duas partes, uma para cada par de grficos. I. y = 2x 1 II. y = __ 2

x

III. y = 3x

1 IV. y = __ 3

x

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Quadro-resumo Analisando as tabelas e os grficos podemos observar que: uandox aumenta uma unidade a partir de qualquer valor, ax multiplicado por a. Q De fato, ax + 1 = ax . a, ou seja, para cada unidade a mais no valor de x, o valor de ax crescer ou decrescer, dependendo apenas do valor de a. endoa> 1, quando o valor de x aumenta, o valor de ax tambm aumenta, ou seja, S a funo f(x) = ax crescente. endo0< a < 1, quando o valor de x aumenta, o valor de ax diminui, ou seja, a funo S f(x) = ax decrescente.

PESQUISA INDIVIDUALConstruo de grficos com auxlio de um software Alguns softwares livres, como o Graphmatica ou o Winplot, podem ser utilizados para construir grficos de funes de vrios tipos. Veja a seguir, como exemplo, o grfico das fun ____ x es exponenciais y = 5x e y = 125 , desenhado com o auxlio do Graphmatica.y 45 40 35 30 25 20 15 10 5 2 1 0 1 2 x ____ y = (125 )x y = 5x

Para aprofundar o estudo dos grficos das funes exponenciais, procure baixar da in ternet um software especfico para a sua construo ou, se possvel, utilize o espao da sala de informtica de sua escola. Com o auxlio de um desses softwares, desenhe os grficos e, em seguida, responda s questes apresentadas.8

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1. Desenhe os grficos das seguintes funes e escreva o que voc observou. 1 I. f(x) = __ 2

x

II. f(x) = (2)x

2. Desenhe os grficos das seguintes funes em um mesmo sistema de eixos na malha a seguir: I. f(x) = 3x 1 II. f(x) = __ 3 III. f(x) = 32xx

IV. f(x) = 30,5x9

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a) Escreva cada uma das funes na forma y = (ak) , com a > 0 e a 1, identificando o valor de k.

x

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b) Analisando os grficos das funes, identifique quais delas so crescentes ou decrescentes.

c) Verifique, com base nos itens a e b, que, de modo geral, dada uma constante k, o grfico de uma funo do tipo f(x) = akx, com a > 0 e a 1, pode ser obtido imaginandose o x grfico de y = (ak) . Dependendo do valor de k, a funo poder ser crescente ou decres cente. Sendo a > 1, quando k positivo, a funo crescente; quando k negativo, a funo decrescente. Quadro-resumo 1 x 1 Assim, considerando a funo exponencial f(x) = __ , e notando que __ = 2 1, podemos 2 2 1 x 1 __ = 2(1)x = 2x. De modo geral, sendo 0 < a < 1, ento __ > 1, ou seja, escrever que: f(x) = a 2 1 x toda funo exponencial f(x) = a x decrescente pode ser representada na forma f(x) = __ . a

Observamos tal fato no grfico a seguir:y = 2x y = 3x y = 5x y 24 21 18 15 12 9 6 3 0 y = 5x y = 3x y = 2x

4

3

2

1

1

2

3

4

x

LIO DE CASA 1. A populao N de determinado municpio cresce exponencialmente desde a sua fundao, h 20 anos, de acordo com a expresso N = 3 000 . 100,1t, sendo t em anos. Calcule: a) O valor de N quando o municpio foi fundado (t = 0).

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b) O valor de N dez anos aps a fundao.

c) O valor de N nos dias atuais.

d) Depois de quanto tempo, aps a fundao, a populao atingir a marca de 3 000 000 de habitantes se o ritmo de crescimento permanecer.

e) Depois de quanto tempo, aps a fundao, o valor de N atingir 600 000.

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 QUANDO O EXPOENTE A QUESTO, O LOGARITMO A SOLUO: A FORA DA IDEIA DE LOGARITMO

Leitura e Anlise de Texto A ideia de logaritmo: mais viva e importante do que nunca Os logaritmos foram criados no incio do sculo XVII com o objetivo de simplificar clculos. Se comparada com o perodo atual, aquela era uma poca com poucos recursos tecnolgicos, em que os clculos eram realizados com parcos instrumentos e eram muito tra balhosos, sobretudo os referentes navegao. Quando surgiram, a principal caracterstica e a grande vantagem dos logaritmos era simplificar os clculos de um modo facilmente compreensvel. Hoje, no entanto, existem muitos instrumentos disponveis para efetuar os mais in trincados clculos: das calculadoras eletrnicas aos computadores (com preos cada vez mais acessveis). Para que, ento, estudar logaritmos? A histria da Matemtica, quando o assunto logaritmo, revelanos uma surpresa espe cial. A despeito de seu enorme sucesso no sculo XVII, hoje, em pleno sculo XXI, os loga ritmos so mais importantes do que foram no momento de sua criao. J no precisamos mais deles para simplificar os clculos, mas seu significado e a fora de sua linguagem tornaramse fundamentais para a expresso e a compreenso de fenmenos em diferentes contextos, alguns deles surgidos em pleno sculo XX: nas medidas da intensidade sonora, da energia destruidora dos terremotos, do ndice de acidez de um lquido, da rapidez com que uma substncia radioativa desintegrase, etc. Sem dvida, hoje, mais do que ontem, fundamental aprender logaritmos. Para iniciar nosso percurso na aprendizagem dos logaritmos, retornaremos, no en tanto, problemtica inicial: a simplificao dos clculos. Simplificao de clculos: uma ideia brilhante do sculo XVII Para compreender o significado dos logaritmos quando surgiram, imaginemos a seguinte situao: calcular o valor de E indicado na expresso a seguir. ____________________ 381,5 . (20,87)3 . (4 182)4 E = ____________________ (7,935)2

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Para realizar as operaes indicadas sem dispor de uma calculadora, o trabalho braal imenso. Uma simplificao muito interessante foi elaborada por alguns matemticos no incio do sculo XVII, entre os quais o ingls Henry Briggs (15611630) e o escocs John Napier (15501617). Cada um props uma alternativa a seu modo, mas a ideia central subjacente era a seguinte: possvel escrever qualquer nmero positivo N como uma potncia de 10: N = 10n; ssim procedendo, o clculo de uma multiplicao se transforma no clculo de a uma adio (dos expoentes); o clculo de uma diviso se transforma no clculo de uma subtrao (dos expoentes); o clculo de uma raiz se transforma no clculo de uma diviso (do expoente pelo ndice do radical), e assim por diante. Na expresso E apresentada anteriormente, se pudermos escrever

381,5 = 10a

20,87 = 10b

4 182 = 10c

7,935 = 10d

conhecendo os valores de a, b, c e d e usando apenas propriedades da potenciao, podemos afirmar que o valor ser:(a + 3b + 4c 2d) _______________ 5

E = 10

A chave da questo a representao de qualquer nmero positivo N como 10n, o que fcil quando se tem N igual a 10, 100, 1 000, 10 000, etc., mas j no parece to simples ____ para valores de N como 2, 17, 537 , 30, 200 ou 1 932,5, por exemplo. No simples, mas possvel. Esse o grande mrito dos matemticos que investiram nesse terreno. A possibilidade de se escrever N como 10n equivalente afirmao de que possvel calcular o valor da potncia 10x para qualquer nmero real x e no apenas para os valores inteiros de x. Pois bem, quando escrevemos N = 10n e nos preparamos para simplificar, daqui para frente, os clculos envolvendo tal nmero, estamos entrando na seara dos logaritmos. Se N = 10 n, ento o expoente n chamado logaritmo de N: n = log N.

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VOC APRENDEU?

1. Para a familiarizao com a linguagem, calcule os logaritmos dos nmeros abaixo, seguindo o modelo apresentado nos itens a e f: a) Sendo N = 100 = 102, ento o logaritmo de N 2: log 100 = 2. b) Sendo N = 10 = 101,

c) Sendo N = 1 = 100,

1 ___ __ d) Sendo N = 10 = 10 2,

e) Sendo N = 0,01 = 102,

f ) Sendo N = 13, como 101 < 13 < 102, ento o logaritmo de N um nmero n tal que 1 < n < 2; assim, 1 < log 13 < 2. g) Sendo N = 3,22,

Ateno! Sendo N menor ou igual a zero, ento N no tem logaritmo, pois 10n sempre positivo, para todo n.16

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Leitura e Anlise de Texto Tabelas de logaritmos Para facilitar os clculos, tal como era sugerido pelos criadores dos logaritmos, foram criadas longas tabelas contendo uma lista dos valores de N e do logaritmo correspondente, representado por log N. Tais tabelas (tbuas de logaritmos) eram disponibilizadas para os calculadores e constituram algo que se assemelha aos modernos softwares de hoje.

N (N = 10n) 10 000 6 000 3 000 2 000 1 000 600 300 200 100 60 30 20 10 6 3 2 1

n (n = log N) 4 3,77815 3,47712 3,30103 3 2,77815 2,47712 2,30103 2 1,77815 1,47712 1,30103 1 0,77815 0,47712 0,30103 0

Os valores apresentados foram escolhidos como exemplos, mas so sugestivos de certas regularidades existentes em uma tabela de logaritmos.17

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3 000 Por exemplo, como a razo _____ igual a 10, a diferena entre seus logaritmos deve 300 ser igual a 1, ou seja, eles tm a mesma parte decimal, diferindo apenas na parte inteira. O mesmo acontece com os logaritmos de 300, de 30 e de 3. Tambm notamos que, como 6 = 2 . 3, ento log 6 = log 2 + log 3 = 0,30103 + + 0,47712 = 0,77815. Fatos assim constituem indcios de que no necessrio colocar na tabela os logaritmos de todos os nmeros, o que seria impossvel. Tabelandose os logaritmos de alguns nmeros, por exemplo, os naturais de 1 a 10 000, os demais podem ser calcula dos aproximadamente a partir deles.

Observaes sobre a tabela de logaritmos (ou tbua de logaritmos) 1. Se na tabela aparecem apenas os nmeros naturais de 1 a 10 000, no vamos encontrar nela, por exemplo, 381,5. Entretanto, sabemos que seu logaritmo situase entre 2 e 3 e que sua parte decimal a mesma de 3 815. Assim determinamos o logaritmo de 381,5. 2. A construo de uma tabela um processo longo e trabalhoso. Os logaritmos dos nmeros que no so potncias inteiras da base so nmeros irracionais e, na prtica, so expressos em termos aproximados, com um nmero fixo de casas decimais. Acompanhe os passos do exemplo a seguir: o logaritmo de 1 0; o logaritmo de 10 1; para preencher as lacunas entre 1 e 10, podemos extrair a raiz quadrada de 10; 1 ___ ___ __ omo 10 = 10 2, segue que log 10 = 0,5; c ___ 4 extraindo a raiz quadrada da raiz quadrada de 10, temos o log 10 = 0,25; de modo geral, sendo A e B dois nmeros cujos logaritmos conhecemos, extraindo a raiz ___ 1 quadrada de A . B, temos log AB = __ (log A + log B); 2 assim, com pacincia, as lacunas entre as potncias inteiras podem ser preenchidas. As tbuas de logaritmos so um instrumento de importncia histrica, mas sem interesse no presente, uma vez que dispomos de muitos outros instrumentos para calcular logaritmos.18

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VOC APRENDEU?

1. Existem mtodos de clculo para os logaritmos dos nmeros que no so potncias inteiras de 10. Tais valores (aproximados, pois so nmeros irracionais) podem ser obtidos por meio de calcula doras (ou encontrados em tabelas de logaritmos) e esto disponveis para o uso de todos. Como sabemos, os nmeros entre 1 e 10 tm logaritmos entre 0 e 1. Em uma calculadora cientfica, obtemos: log 2 0,30 (ou seja, 2 100,30) e log 3 0,47 (ou seja, 3 100,47 ). Com base nesses valores aproximados, calcule: a) log 6 d) log 12

b) log 9

e) log 72

c) log 4

f ) log 3 600

LIO DE CASA

1. A populao de certa regio A cresce exponencialmente de acordo com a expresso NA = 6 000 . 100,1t (t em anos). Em outra regio B, verificase que o crescimento da popula o ocorre de acordo com a frmula NB = 600 . 100,2t (t em anos). De acordo com esses modelos de crescimento, responda s questes a seguir. a) Qual a populao inicial de cada uma das regies?

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b) Depois de quantos anos, a partir do instante inicial, as duas regies tero a mesma populao?

c) Qual a populao de cada uma das regies 15 anos aps o instante inicial? (Dado: 10 2 31,62.)3 __

Leitura e Anlise de Texto Logaritmos em qualquer base: significado e aplicaes J vimos que possvel es crever cada nmero positivo N como uma potncia de 10: se N = 10n, ento n = log N. Na verdade, podese escrever cada nmero positivo N como uma potncia de uma base a (a > 0 e a 1) que no necessita ser igual a 10. De modo geral, se N = a , ento dizemos que n o logarit mo de N na base a e escrevemos: n = loga N.n

Potncia 8 = 23 625 = 54 9 = 81 2 3 = 81 4 321 __

Logaritmo 3 = log2 8 4 = log5 625 1 __ = log 9 81 2 4 1 __ = log 3 81 1 5 = log2 ___ 323 1 __ = log 7 7

1 __

1 ___ = 253 7 = 7 3

__

Por exemplo, como 16 = 24, dizemos que 4 o logaritmo de 16 na base 2 e escrevemos: 4 = log2 16.

__

1 __

3

1 ____ = 5 __520

1 __ 2

1 1 __ __ = log5 ____ 2 5

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Potncia Quando a base escolhida para expressar um nmero N como uma potncia igual a 10, con vencionase que ela pode ficar su bentendida; se optarmos por outra base a, diferente de 10, somos obrigados a registrla. Assim, log N representa o logaritmo de N na base 10, tambm chamado loga ritmo decimal de N; j o logaritmo de N em qualquer outra base a dever ser escrito: loga N. N = N1 1 = 170 N = a7 N = 13a x = 3n x = yz

Logaritmo 1 = logN N 0 = log17 1 7 = loga N a = log13 N n = log3 x z = logy x

VOC APRENDEU? 1. Calcule os logaritmos indicados a seguir: a) log2 128 1 e) log2 ____ 256

b) log3 81

1 f ) log3 ____ 243

c) log13 169

g) log169 13

d) log5 3 125

h) log125 25

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Matemtica 1a srie Volume 3

2. Se um nmero N situase entre an e an + 1, ento loga N situase entre os inteiros n e n + 1. Com base nesse fato, indique dois inteiros consecutivos entre os quais se situam os logaritmos a seguir: a) log2 52 b) log3 300 c) log7 400 d) log5 813

(Observao: voc pode indicar a resposta usando a notao dos logaritmos, sem precisar calcullos.)

3. Uma populao N de micrbios cresce exponencialmente de acordo com a expresso N = 5 000 . 3t, sendo t em horas. Indique o valor de t para o qual se tem: a) N = 15 000 b) N = 25 000 c) N = 250 000 d) N = 350 000 e) N = 470 000

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Matemtica 1a srie Volume 3

LIO DE CASA

1. A partir de um valor inicial igual a 1 000, certa populao P1 de bactrias dobra a cada meia hora, ou seja, P1 = 1 000 . 22t (t em horas). Simultaneamente, partindo de um valor inicial oito vezes maior, outra populao P2 de bactrias cresce mais lentamente que P1, dobrando de valor a cada duas horas, ou seja, P2 = 8 000 . 20,5t (t em horas). Perguntase: a) Em que instante t as duas populaes tero o mesmo valor?

b) Em que instante t a populao P1 ser oito vezes maior que a populao P2?

c) Quais sero os valores de P1 e P2 quando t = 3? (Utilize o valor aproximado 2 2 = 2,83.)3 __

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2. Certa substncia radioativa decompese de forma que sua massa m reduzse metade do valor inicial a cada 4 horas, ou seja, m = mo . 20,25t, sendo mo o valor inicial da massa. Partindose de 60 gramas da substncia, perguntase: a) Qual ser a massa restante aps 8 horas?

b) Aps quanto tempo a massa restante ser igual a 12 gramas? (Utilize o valor aproximado 5 22,32 .)

Leitura e Anlise de Texto Logaritmos: propriedades fundamentais em qualquer base J vimos que os logaritmos nada mais so que expoentes. Suas propriedades mais fun damentais decorrem das correspondentes propriedades das potncias. Quem afirma, por exemplo, que para multiplicar potncias de mesma base mantmse a base e somamse os expoentes, ou seja, que am . an = am + n, est simultaneamente afirman do que o expoente a que se deve elevar a base a para se obter o produto (am . an) igual a (m + n), o que significa dizer que o logaritmo de (am . an) igual a (m + n). Em outras palavras, o logaritmo do produto igual soma dos logaritmos dos fatores. Podemos observar a relao entre as propriedades das potncias e dos logaritmos na tabela a seguir (a > 0, a 1; m, n e k, naturais quaisquer).

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Matemtica 1a srie Volume 3

Propriedade

Potncias M = am N = an

Logaritmos m = loga M n = loga N

Produto

M . N = am + n

loga (M . N) = loga M + loga N

Quociente

M ___ = am n N

M loga ___ = loga M loga N N

Potncia

Mk = amk

loga (Mk) = k . loga M

Raiz

k M = M k = a k

___

1 __

m ___

1 loga (M k ) = __ loga M k

1 __

Tais propriedades so vlidas para qualquer base a em que estamos calculando os loga ritmos. As propriedades relativas a potncias tambm podem ser estendidas para qualquer expoente real k. Para a determinao dos logaritmos na base 10, ou seja, dos logaritmos decimais, existem tabelas construdas desde o sculo XVII, por meio de aproximaes sucessivas. Atualmente, podemos obter os logaritmos utilizando calculadoras eletrnicas cientficas. Uma vez construda uma tabela de logaritmos para uma determinada base, por exem plo, a base 10, podemos determinar o logaritmo de um nmero N em qualquer outra base por meio de um procedimento simples, descrito a seguir: emosologaritmodeN na base 10, que igual a n, ou seja, N = 10n; t25

Matemtica 1a srie Volume 3

ueremosologaritmodeN em outra base a, ou seja, queremos saber o valor de m q tal que N = am; omoN= 10n = am, conhecendo o logaritmo da nova base a, ou seja, sabendo o c valor de k tal que a = 10k, podemos escrever: N = 10n = am = (10k) , de onde segue que 10n = 10km, e, ento, m = ouseja,empalavras: logaritmo de N na base 10 logaritmo de N na base a = _____________________ ; logaritmo de a na base 10 emnotaosimblica,temos: log N loga N = _____ log a omumprocedimentoanlogo,poderamosobteraexpressoquepermiteamu c dana de uma base conhecida a para uma nova base b: logaritmo de N na base a logaritmo de N na base b = _____________________ ; logaritmo de b na base a loga N logb N = ______ loga bm

n ; k

VOC APRENDEU?

1. Estabelecendose que log 2 = 0,30103, calcule: a) o logaritmo de 10 na base 2;

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b) o logaritmo de 5 na base 10;

c) o logaritmo de 5 na base 2;

d) o logaritmo de 64 na base 5.

Leitura e Anlise de Texto Logaritmos: uma linguagem sugestiva em diferentes contextos O contexto em que surgiram os logaritmos era o de simplificao de clculos no incio do sculo XVII. Tal significado prtico no , hoje, especialmente relevante diante dos inmeros recursos tecnolgicos disponveis para isso. No entanto, a relevncia dos logarit mos permaneceu e possvel afirmar que ela aumentou. Como explicar tal fato? A fora da ideia de logaritmo provm do fato de que os logaritmos so expoentes, que podem ser utilizados para simplificar clculos, mas que tambm so especialmente adequados para representar de modo sugestivo grandezas de valores muito grandes, como a energia liberada por ocasio dos terremotos, ou muito pequenas, como a quantidade de ons de hidrognio livres em um lquido. A expresso das grandezas correspondentes a esses fenmenos por meio de potncias de 10 torna os nmeros envolvidos menores (de 0 at por volta de 9 graus na escala Richter e de 0 a 14 na indicao do pH). Como se sabe, a gua tem pH igual a 7, a acidez de um lquido tanto maior quanto menor seu pH, entre 0 e 7, e o carter bsico, que se ope ao cido, significando menos H+ por litro, aumenta quanto mais o pH se aproxima de 14.27

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VOC APRENDEU? 1. A energia liberada por ocasio de um terremoto pode ser muito grande, sendo frequentemente expressa por uma potncia de 10. Para medir o potencial destrutivo de um terremoto, utili zase a escala Richter, que leva em considerao apenas o expoente da potncia considerada em cada caso. Esse expoente indica a magnitude do terremoto. Existem aparelhos apropriados para medir tal magnitude: so os sismgrafos. A tabela a seguir registra o local, o ano de ocorrncia e a magnitude de alguns terremotos que ficaram famosos pelos estragos produzidos.

Local Los Angeles Cidade do Mxico Chile ExUnio Sovitica Ilha de Krakatoa

Ano de ocorrncia 1994 1985 1960 1952 1883

Magnitude 6,6 8,1 8,3 8,5 9,9

Com base nas informaes anteriores, responda s seguintes questes: a) Um terremoto de 8 graus na escala Richter potencialmente quantas vezes mais destrutivo do que um terremoto de 4 graus?

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b) Um caminho muito pesado passou pela rua e produziu um pequeno tremor. Um sismgrafo registrou 2,5 graus na escala Richter. Se 4 caminhes passarem juntos pela rua, podemos afirmar que o tremor correspondente ser de 10 graus?

2. Para caracterizar a acidez de um lquido, usase um indicador chamado pH (potencial hidro geninico). O pH indica a quantidade aproximada de ons H+ que se encontram livres no lquido, indicando a concentrao (quantidade por unidade de volume) de tais ons. A prpria gua (H2O) tem ons H+ livres: so relativamente poucos, mas existem. H, na gua, cerca de 1 ongrama de H+ para cada 107 litros. Em uma limonada existem mais ons H+ livres: digamos, 1 ongrama para cada 102 litros. Em alguns lquidos h menos ons H+ do que na gua: no leite de magnsia, por exemplo, h cerca de 1 ongrama de H+ para cada 1010 litros. Dizemos que o pH da gua 7, o pH da limonada 2, e o pH do leite de magnsia 10. A escala do pH varia de 0 a 14, situando a gua bem no meio. Os lquidos com pH entre 0 e 7 tm carter cido; os que tm pH entre 7 e 14 tm carter bsico. Para combater a acidez estomacal, por exemplo, costumase ingerir uma colher de leite de magnsia. A tabela a seguir apresenta os valores aproximados do pH de alguns lquidos. Lquido cido sulfrico Suco de laranja Caf Leite gua Sangue humano gua do mar Leite de magnsia29

pH 0,1 3,0 5,0 6,9 7,0 7,4 8,2 10,0

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Com base nas informaes apresentadas, responda s seguintes questes: a) O que significa dizer que determinado lquido tem pH igual a 6?

b) Se um lquido tem 1 ongrama de H+ para cada 100 litros, qual o seu pH?

c) Se um lquido tem pH igual a 8, ele tem mais ou menos ons de hidrognio livres do que a gua? Quantas vezes?

d) Qual a diferena entre os valores do pH de dois lquidos, um deles com mil vezes mais ons H+ livres do que o outro?

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Observao! Como na atividade anterior, tudo o que se exige aqui, alm da ideia de logaritmo como expoente, a competncia leitora. A escala de pH tambm logartmica, ou seja, os valores so expoentes. Mas como se trata de nmeros pequenos, uma vez que a quantidade de ons H+ por litro pequena, os expoentes encontramse no denominador: 1 guatem1on-gramadeH+ para cada 107 litros, ou seja, a razo ____ e dize a 107 mos que seu pH 7; mcidotemmaisons-gramadeH+; por exemplo, tem 1 para cada 103 litros, ou u 1 seja, a razo ____ e dizemos que seu pH 3; 103 umlquidobsicotemmenosH+; por exemplo, tem 1 para cada 1012 litros, ou j 1 seja, a razo ____ e dizemos que seu pH 12. 1012 A escala de pH varia, ento, de 0 a 14, situandose a gua em seu ponto mdio.

LIO DE CASA

1. O ouvido humano muito verstil e percebe sons de uma gama de intensidade muito ampla. A intensidade sonora a medida da energia transportada pelas ondas por segundo e por uni dade de rea (perpendicular direo da propagao). Entre o som de baixa intensidade, quase inaudvel, e o rudo que produz dor nos ouvidos, a intensidade varia em uma escala que vai de 1 a 1012. Para medir a intensidade sonora, utilizase apenas o expoente correspondente a cada intensidade. Ele corresponde ao nmero de bis (plural de bel, unidade escolhida em homenagem ao fsico Alexandre Graham Bell). Assim, se ao som fracamente audvel corresponde 0 bel, ao som que produz dor correspondero 12 bis. Como o bel revelouse uma unidade muito grande para distinguir os diversos nveis de som, em situaes prticas costumase usar o decibel, que corresponde dcima parte do bel. A tabela a seguir registra as intensidades sonoras correspondentes a algumas situaes cotidianas.

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Tipo de som Som fracamente audvel Rudo das folhas de uma rvore Sussurro humano Conversa comum Barulho dos carros no trfego pesado Britadeira manual usada na rua Som que produz dor e dano

Intensidade (watt/m2) 1012 1011 1010 106 105 102 1

Nmeros proporcionais 1 10 102 106 107 1010 1012

Medida em bel 0 1 2 6 7 10 12

Medida em decibel 0 10 20 60 70 100 120

Com base nas informaes anteriores, responda s seguintes questes: a) Um som de intensidade de 90 decibis quantas vezes mais forte que um de 80 decibis?

b) Quantos decibis correspondem a uma britadeira defeituosa, que emite som com intensi dade 100% maior do que o normal (tabela)?

c) Qual a frmula que relaciona o nmero n de bis de um som com sua intensidade sonora I?

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d) Qual a frmula que relaciona o nmero n de decibis de um som com sua intensidade sonora I?

PESQUISA INDIVIDUALSe voc reparar em uma calculadora cientfica, identificar a tecla log. Essa tecla utili zada para calcular o valor do logaritmo de qualquer nmero, s que na base 10. Com o conceito de mudana de base e com uma calculadora desse tipo, possvel calcular os loga ritmos em qualquer base. Crie um procedimento para, com o uso da calculadora cientfica, determinar o valor de log 2,5 54. Crie, em folha avulsa, uma lista com 5 logaritmos com bases diferentes de 10 e use o procedimento apresentado para calcular seus valores.

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 3 AS FUNES COM VARIVEL NO EXPOENTE: A EXPONENCIAL E SUA INVERSA, A LOGARTMICA

Leitura e Anlise de Texto Potncias e logaritmos: das tabelas s funes J sabemos que, ao calcular os valores da potncia ax, se tivermos a < 0, algumas po tncias no podero ser calculadas: no podemos, por exemplo, calcular a potncia ( 3) 2, uma vez que no existe um nmero real que seja a raiz quadrada de um nmero negativo. Tambm no interessa muito o caso em que a = 1, uma vez que 1x = 1 para todo x. Portanto, sendo a > 0 e a 1, podemos calcular a potncia ax para todo x real. Isso significa que a funo y = ax, ou seja, f(x) = ax est definida para todo nmero real x, assumindo valores sempre positivos, j que ax > 0 para todo x real. Sabemos ainda que, sempre que aumentamos os valores de x: osvaloresdeax aumentam correspondentemente quando a > 1; osvaloresdeax diminuem correspondentemente quando 0 < a < 1. De modo anlogo, sabemos que a igualdade y = ax equivale a afirmar que x = loga y. Observemos tal fato no grfico da funo exponencial (caso a > 1):y x = loga y1 __

y = ax x

Portanto, a cada nmero positivo y corresponde um nmero real x, que o seu logaritmo na base a. possvel, ento, estabelecer uma correspondncia entre cada nmero positivo e seu logaritmo em uma determinada base a, ou seja, possvel definir uma funo que, a cada nmero positivo, associa seu logaritmo. Essa funo ser chamada de funo logartmica e representada por f(x) = loga x.34

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Observando o nome das variveis: a funo exponencial, x a varivel independente, qual atribumos qualquer n valor real, positivo, nulo ou negativo, e y = ax a varivel dependente do valor de x, que ser, no caso em questo, sempre positiva; a funo logartmica, a varivel independente um nmero positivo y, n que escolhemos livremente, e a varivel dependente o logaritmo x desse nmero, que poder assumir qualquer valor real, positivo, nulo ou negativo. Temos, portanto, a funo logartmica x = loga y. Construindo o grfico de x como funo de y, situando o eixo y na horizontal, como fazemos para a varivel independente, e representando os valores de x na vertical, temos o grfico a seguir (caso a > 1):x y = ax x = loga y y

Naturalmente, se nomearmos a varivel independente de x, como usual, ento a varivel dependente y ser tal que y = loga x, ou seja, a funo logartmica representada por f(x) = loga x. Nessas condies, seu grfico, no caso a > 1, esboado a seguir:y f(x) = loga x a>1

x

Notamos, no caso a > 1, que a funo exponencial f(x) = ax crescente, bem como a correspondente funo logartmica. Representando os dois grficos em um mesmo sistema de coordenadas, obtemos:35

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a>1 y = ax

y

y = loga x x

Analogamente, no caso em que 0 < a < 1, a funo exponencial de base a ser decres cente, assim como a correspondente funo logartmica. Os grficos so representados a seguir:y y=ax

y = loga x

x

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