Universidade Anhanguera - Uniderp

Pólo Presencial de Faxinal do Soturno – RS

Curso de Administração

Matemática Financeira

Alunos:

Adilson Stefanello RA 407539

Carine BressaFantinel RA 423251

ClesioHorbach RA 418064

Giovani Garlet RA 430840

Natana de David RA 425231

Atividades Práticas Supervisionadas

Prof: Leonardo Takamasa Otsuka

Tutor: Cassiana Navarreti Néris

Faxinal do Soturno, 31 de outubro de 2014

INTRODUÇÃO

A matemática financeira tem por finalidade estudar as várias formas de evolução do valor

do dinheiro no tempo. A partir dela podemos gerar análise e comparações que nos permitam

definir as melhores alternativas para a aplicação ou obtenção de recursos financeiros. Esses

problemas podem ser exemplificados como juros, inflação, investimentos e outras questões que

estão presentes no dia a dia de empresários, banqueiros e outros profissionais.

Essa área, ao contrário do que muitos pensam, tem utilidade para pessoas que não

necessariamente com números. Na hora de uma compra, calcular qual das lojas tem um valor de

juros que seja mais em conta é um artificio da matemática financeira. Essa ATPS tem como

objetivo de reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, pensar estrategicamente,

introduzir modificações no processo produtivo, atuar preventivamente, transferir e generalizar

conhecimentos, e exercer, em diferentes graus de complexidade, o processo da tomada de

decisão. Matemática financeira, de modo geral, é o ramo da matemática que estuda o

comportamento do dinheiro ao longo do tempo. A forma como os recursos estão sendo ou serão

empregados, de maneira a maximizar o resultado, é uma das aplicações fundamentais da

Matemática Financeira. Com as ferramentas adequadas pode-se também comparar alternativas,

optando por aquela que mais benefícios nos trarão, ou menos prejuízo acarretará.

Etapa 1:

Conceitos fundamentais de matemática financeira - regime de capitalização simples e

composta:

A Matemática Financeira é o campo indispensável para a compreensão e operações nos

mercado financeiro e de capitais, sua atuação na administração financeira com baixo tempo e

custo de decisão, possibilita, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro ao longo do tempo,

determinando o valor das remunerações relativas ao seu tempo. No mercado financeiro o valor

monetário é o denominador comum de medida para agregar valor a bens e serviços e até a própria

moeda como um meio de acúmulo deste valor constituindo assim a riqueza ou capital. As

principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira são: o capital, a taxa de

juros e o tempo. O Capital corresponde a todo acúmulo de valores monetários em um

determinado período de tempo, constituído a partir da riqueza. Para tanto, a incidência de Juros,

trata-se da remuneração de um capital (c), aplicado a uma taxa (i), durante um determinado

período (n), portanto, é dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. A existência de Juros

decorre de vários fatores, como pela inflação, decorrente da diminuição do poder aquisitivo da

moeda num determinado período de tempo, assim como devido a riscos ou possíveis riscos de

investimento e tendências consumistas com empréstimos a terceiros. Se a taxa de juros incidir

sobre o capital inicial, dizemos que temos um sistema de capitalização simples, ou seja, Juros

simples e quando a taxa de juros incidir sobre o capital atualizado com os juros do período,

dizemos que temos um sistema de capitalização composta, denominada Juros compostos.

Regime de capitalização Simples: o valor da taxa de juros corre apenas do valor do capital

inicial que é definido pelo valor presente sendo um crescimento linear.

Regime de Capitalização Composta: é considerado juros sobre os juros, pois o valor inicial é

corrigido de período por período, ou seja, os juros de cada período serão calculados pelo

montante do período anterior. Por isso o valor do montante final do juro simples é menor do que

de juros compostos.

HP-12C:

A HP 12C é uma poderosa ferramenta programável utilizada na realização de cálculos

financeiros, a disposição de todos os interessados em agregar valores aos seus conhecimentos

visando enfrentar a competitividade interna ou externa a que estão sujeitos no dia-a-dia.

Sabemos que seu poder de precisão está diretamente vinculado ao usuário da máquina, pois para

manuseá-la é necessário o conhecimento sobre as fórmulas e seu passo a passo.

CASO A

I - O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de R$ 19.968,17

(Errada)

Vestido / Terno / Sapato

Período = 12 meses

Parcela = R$ 256,25

Montante = R$ 3.075,00 (12 x R$ 256,25)

Buffet

Período = 1 mês

Entrada = 25% = R$ 2.646,50

Restante da Divida: 75% = R$ 7.939,50

Montante = R$ 10.586,00

Empréstimo do Amigo

Montante = R$ 10.000,00

Empréstimo Banco

Capital = R$ 6.893,17

Juros = 7,81% = 0.0781 am 0,781 am / 30 = 0,0026 ad

Período = 10 dias

Juros = R$ 179,22

Conta:

Montante = R$ 6.893,17 . 0,0026 ad . 10

Juros = R$ 179,22

Montante = R$ 7.072,39

Vestido/Terno/Sapato = R$ 3.075,00 +

Buffet = R$ 2.646,50 +

Empréstimo Amigo = R$10.000,00 +

Empréstimo Banco = R$ 7.072,39 +

_________________

R$ 22.793,89

II-A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi

de 2, 3342% ao mês. (Certa)

Período = 10 meses

Montante = R$ 10.000,00

Montante = Capital . (1+ 0,0233)n

10.000,00 = Capital . ( 1,0233)10

10.000,00 = Capital . 1,259

10.000,00 / 1,259 = Capital 

7.942,81 = Capital

Juros = 10.000,00 – 7.942,81 = 2.057,19

III-O juro do cheque especial cobrado pelo banco dentro de 10 dias, referente ao valor

emprestado de R$ 6.893,17, foi de R$ 358,91. (Errada)

Capital = R$ 6.893,17

Percentual Juros = 7,81% = 0.0781 am % 30

Período = 10 dias

Juros = R$ 179,22

Conta:

M = R$ 6.893,17 . 0,0026 . 10

Juros = R$ 179,22

Montante = R$ 7.072,39

CASO B:

Marcelo e Ana pagariam mais juros se, ao invés de utilizar o cheque especial

disponibilizado pelo banco no pagamento de R$6.893,17, o casal tivesse optado emprestar

de seu amigo, a mesma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao mês, pelo

mesmo período de 10 dias de utilização.

RESPOSTA:

Montante = Capital

Juros = 7,81% am = 0,0781 am = 0,0026 ad

Período = 10 dias

Conta:

M = R$ 6.893,17 . (1+0,0026)10

M = R$ 6.893,17 . 1,0263

M = R$ 7.074,74

Amigo # Banco = R$ 2,35

R$ 7.074,75 – R$ 7.072,39 = R$ 2,35

Para o desafio do Caso A:

Associar o número 3, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: errada, certa e errada.

Para o desafio do Caso B:

Associar o número 1, se a afirmação estiver errada.

Etapa 2

Conceitos de séries de pagamentos uniformes - postecipados e antecipados:

Séries periódicas uniformes ou rendas certas é o nome que se dá aos pagamentos

sucessivos tanto em nível de financiamentos (Amortização) quanto de investimentos

(Capitalização). As séries uniformes de pagamento postecipados são aqueles em que o primeiro

pagamento ocorre no momento, este sistema é também chamado de sistema de pagamento ou

recebimento sem entrada. Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestação,

representada pela sigla “PMT”.

POSTECIPADAS: são aquelas cujo pagamento ocorre no fim do período. É a sistemática

normalmente adotada pelo mercado. Ex: Pagamento da fatura do cartão de crédito. As séries

uniformes de pagamentos antecipadas são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data

focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também chamado de sistema de pagamento

com entrada. (BRANCO, 2002).

ANTECIPADAS: são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no início do período.

Exemplo: Compra em uma loja para pagamento em 4 prestações mensais, iguais, sendo uma de

entrada.

Cálculos para os desafios do caso A e B:

CASO A

I-O aparelho de DVD/Blu-ray custou R$600,00. (Errada)

A TV orçada inicialmente era de R$ 4.800,00 (12 x 400,00 sem juros), com o desconto

10% = R$4.320,00 á vista, que é justamente o dinheiro que ele fez as aplicações (12 x 350,00 =

R$4.200,00 + Juros da aplicação 120,00 = R$4.320,00). O dinheiro que ele salvou do orçamento

foi de R$ 480,00. Portanto o valor do DVD foi de R$ 480,00 e não de R$ 600,00.

II-A taxa média da poupança nestes doze meses em que Marcelo aplicou seu dinheiro foi de

0,5107% ao mês. (Errada)

Usando á formula de Depósitos Periódicos e Iguais, conseguimos chegar ao resultado que

o juros mensais da caderneta de poupança não foi de 0,5107%.

S=T/i . (1+i)n /i -1/i

Onde:

S= Valor acumulado

T= valor depósito mensal

i = taxa juros

n = número de depósitos

Temos:

S = 350 (1+0,005107)12 – 1

S= 350 . 1,0630/ 0,005107 -1 / 0,005107 = 350 . 0,630 / 0,005107

S= 350 . 12,336009

S= R$ 4.317,60

CASO B

I- Se Clara optar pelo vencimento da primeira prestação após um mês da concessão do

crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.977,99. (Certa).

PV= 30.000,00

n= 12

i= 2,8%a.m.

Resolução pela calculadora HP 12C

f CLX 30000 CHS PV 0 FV 12 n 2,8 i PMT = 2.977,99

II- Clara, optando pelo vencimento da primeira prestação no mesmo dia em que se der a

concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.896,88. (Certa)

PV= 30.000,00

n= 12

i= 2,8%a.m.

Resolução pela calculadora HP 12C

f CLX g 7 30000 PV 0 FV 12 n 2,8 i PMT = 2.896,88

III- Caso Clara opte vencimento da primeira prestação após quatro meses da concessão do

crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$3.253,21. (Errada)

PV= 30000

i= 2,8 = 0,028

n= 12

c=4

PMT= PV.(1+i) c-1.i

(1+i)-n

PMT = 30000 (1+0,028)4-1 . 0,028

1-(1+0,028) -12

PMT = 30000 (1,028)3 . 0,028

1-(1,028) -12

PMT = 30000. 1,0864 . 0,028

1 – 0,7179

PMT = 912,5760 = 2.234,93

0,2821

Para o desafio do caso A:

Associar o número 2, se as afirmações I e II estiverem respectivamente: errada e errada.

Para o desafio do caso B:

Associar o número 9, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: certa, certa e errada.

Etapa 3

3-Conceitos de taxa a juros compostos:

Os juros compostos são aqueles em que o juro do período é incorporado ao capital inicial

(principal), constituindo um novo capital a cada período para o cálculo de novos juros. Como dito

anteriormente no início deste relatório, é o conhecido sistema de “juros sobre juros” ou ainda

“juros capitalizados” (juros que se transformam em capital). Esse tipo de capitalização é muito

vantajoso, sendo bastante utilizada pelo atual sistema financeiro. No regime de juros compostos,

os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos

seguintes. Nesse caso, o valor da dívida é sempre corrigida e a taxa de juros é calculada sobre

esse valor. A fórmula de juros compostos pode ser escrita da seguinte maneira:

Onde:

Valor Futuro

Valor Presente

Taxa de juros

Número de períodos

Para o caso mais geral, quando o juro é capitalizado mais de que uma vez por ano, a fórmula é

Onde:

Futuro Valor

Valor Presente

taxa de juro anual nominal

número de vezes que o juro é capitalizado por ano

número de anos

Taxa de juros continuamente composta

O regime de juros compostos também pode ser expresso através da taxa de juros

continuamente composta. Apesar de ter o mesmo funcionamento do regime de juros compostos, a

taxa de juros continuamente composta apresenta uma fórmula de cálculo diferente. A fórmula da

taxa de juros continuamente composta pode ser escrita da seguinte maneira:

Onde:

Valor Futuro

Valor Presente

Taxa de juros continuamente composta

Número de períodos

Número de Euler, que é equivalente a 2,718281828459...

O valor da taxa de juros , que é continuamente composta, possui significado diferente do valor

da taxa de juros , usada na primeira fórmula. Porém, como ambas são usadas no regime de juros

compostos, existe uma fórmula para fazer a "tradução" de uma taxa para outra:

ou, invertendo os termos,

Diferente da taxa de juros composta, a taxa de juros continuamente composta pode ser

somada. Por exemplo, se a taxa de juros continuamente composta de janeiro é 3% e a de fevereiro

é 4%, a taxa desse bimestre é 7% (esse cálculo não pode ser feito com taxas que não são

continuamente compostas). Devido a essa propriedade, elas podem ser usadas para facilitar a

interpretação e o tratamento de bases de dados, além de possibilitar que alguns tipos de modelos

estatísticos sejam aplicados.Apesar dessas vantagens, o uso da taxa continuamente composta está

concentrado na área acadêmica e no mercado de capitais. Devido à dificuldade de interpretação e

cálculo, essa taxa não é usada para divulgar empréstimos bancários ou alternativas de

investimento para o público geral.

Cálculos dos desafios A e B:

Caso A

I-Ataxa média diária de remuneração é de 0,02987%%. (certa)

6481,76 = 4280,87 . (1+ i ) ̂ 1389

(1,51)̂ 1389 = 1+ i

1.0002987 – 1= i

0,0002987 = i

i = 0,02987%

II-A taxa média mensal de remuneração é de 1,2311%. (errada)

6481,76 = 4280,87 (1+i) 30

(1,51)^30 = 1+i

1,01383 – 1 = i

I = 1,3831%

III-A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizada

mensalmente, é de 11,3509%. (certa)

i= (1+0,1080)12 - 1

12

i= (1+0,0090)12 – 1

i= 1,1135 – 1 = 0,1135 * 100 = 11,3509%

Caso B

Nos últimos dez anos, o salário de Ana aumentou 25,78%, enquanto a inflação, nesse

mesmo período, foi de aproximadamente 121,03%. A perda real do valor do salario de Ana

foi de -43,0937%. (certa)

Resposta:

(1 +in) = (1+n) * (1+j)

Onde: in = taxa de juro nominal

j = taxa de inflação do período

n = taxa real de juros

(1 +in) = (1+n) * (1+j)

(1+0,2578) = (1+ n) * (1+ 1,2103)

1,2578 = (1+n) * (2,2103)

1,2578/2,2103 = 1+ n

1 + n = 0,5690063023

n = 0,5690063023 – 1

n = - 0,430937*100

n = - 47,0937%

Para o desafio do caso A:

Associar o número 5, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: certa, errada e certa.

Para o desafio do caso B:

Associar o número 0, se a afirmação estiver certa.

Etapa 4:

Conceito de amortização de empréstimos:

Consistem nas diferentes possibilidades de pagamento de financiamentos ou empréstimos,

sendo desenvolvidos, basicamente, para o estabelecimento de formas de amortizações de

operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos e

reembolsos periódicos de principal e juros. A diferença entre os diversos sistemas de amortização

está na sistemática do calculo dos juros e amortização do principal, onde qualquer sistema de

amortização a prestação e composta de juros mais amortização.Os principais sistemas utilizados

no mercado podem ser divididos em três tipos: Sistema de Amortização Constante – SAC, as

amortizações são uniformes e o pagamento de juros decai como tempo, prestações são

decrescentes.Ex.: Sistema Financeiro de Habitação. No Sistema de Amortização Francês também

denominado Tabela Price, as prestações são constantes e as séries são sempre uniformes. Ex.:

Amplamente utilizado no Brasil: CDC, vendas a prazo divulgadas pelas grandes redes de varejo.

No Sistema de Amortização Americano – SAA, os juros são pagos periodicamente, sendo o

principal quitado apenas no final da prestação. Ex.: Títulos da dívida pública, debêntures, etc.

Cálculos dos desafios propostos do caso A e B:

CASO A

SE Ana tivesse acertado com a irmã que o sistema de amortização das parcelas se

daria pelo SAC (Sistema de Amortização Constante), o valor d 10ª prestação seria de R$

2.780,00, e o saldo devedor atualizado para o próximo período seria de R$5.000,00. (errada)

SAC. A cada mês, a parcela corresponde à amortização acrescida dos juros aplicados sobre o

saldo devedor.

Parcela amortização juros sobre o saldo devedor

Amortização 30.000/12 2500 juros 2,8% a.m.

SISTEMA DE AMORTIZAÇAO CONSTANTE (SAC)

N

°

PRESTAÇA

O JUROS

AMORTIZAÇ

AO

SALDO

DEVEDOR

0       R$ 30.000,00

1 R$ 2.500,00 R$ 840,00 R$ 3.340,00 R$ 27.500,00

2 R$ 2.500,00 R$ 770,00 R$ 3.270,00 R$ 25.000,00

3 R$ 2.500,00 R$ 700,00 R$ 3.200,00 R$ 22.500,00

4 R$ 2.500,00 R$ 630,00 R$ 3.130,00 R$ 20.000,00

5 R$ 2.500,00 R$ 560,00 R$ 3.060,00 R$ 17.500,00

6 R$ 2.500,00 R$ 490,00 R$ 2.990,00 R$ 15.000,00

7 R$ 2.500,00 R$ 420,00 R$ 2.920,00 R$ 12.500,00

8 R$ 2.500,00 R$ 350,00 R$ 2.850,00 R$ 10.000,00

9 R$ 2.500,00 R$ 280,00 R$ 2.780,00 R$ 7.500,00

1

0 R$ 2.500,00 R$ 210,00 R$ 2.710,00 R$ 5.000,00

1

1 R$ 2.500,00 R$ 140,00 R$ 2.640,00 R$ 2.500,00

1

2 R$ 2.500,00 R$ 70,00 R$ 2.570,00 R$ -

O valor da 10ª prestação seria de R$ 2.780,00 e o saldo devedor atualizado para o próximo

período seria de R$5.000,00.

CASO B

Se Ana tivesse acertado com a irmã que o sistema de amortização das parcelas se

daria pelo sistema PRICE (Sistema Frances de Amortização), o valor da amortização para

o 7° período seria de R$2.780,00, o saldo devedor atualizado para o próximo período seria

de R$2.322,66, e o valor do juro correspondente ao próximo período seria de R$718,60.

(errada)

Os juros são calculados sempre sobre o saldo devedor

Amortização é igual à prestação subtraindo-se os juros: A R – J

A 2.977,99 – 840 2.137,99

SISTEMA FRANCES (PRICE)

N

°

PRESTAÇA

O JUROS

AMORTIZAÇ

AO

SALDO

DEVEDOR

0 R$ 30.000,00

1 R$ 2.977,99 R$ 840,00 R$ 2.137,99 R$ 27.862,01

2 R$ 2.977,99 R$ 780,14 R$ 2.197,85 R$ 25.664,16

3 R$ 2.977,99 R$ 718,60 R$ 2.259,39 R$ 23.404,76

4 R$ 2.977,99 R$ 655,33 R$ 2.322,66 R$ 21.082,11

5 R$ 2.977,99 R$ 590,30 R$ 2.387,69 R$ 18.694,41

6 R$ 2.977,99 R$ 523,44 R$ 2.454,55 R$ 16.239,87

7 R$ 2.977,99 R$ 454,72 R$ 2.523,27 R$ 13.716,59

8 R$ 2.977,99 R$ 384,06 R$ 2.593,93 R$ 11.122,67

9 R$ 2.977,99 R$ 311,43 R$ 2.666,56 R$ 8.456,11

1

0 R$ 2.977,99 R$ 236,77 R$ 2.741,22 R$ 5.714,90

1

1 R$ 2.977,99 R$ 160,02 R$ 2.817,97 R$ 2.896,92

1

2 R$ 2.977,99 R$ 81,11 R$ 2.896,88 R$ -

Para o desafio do caso A:

Associar o número 3, se a afirmação estiver errada.

Para o desafio do caso B:

Associar o número 1, se a afirmação estiver errada.

CONSIDERAÇÕES FINAIS:

De forma simplificada, pode-se dizer que a Matemática Financeira, é o ramo da

Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no tempo, a mesma busca ainda,

quantificar as transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta a variável tempo,

ou seja, o valor monetário no tempo. As principais variáveis envolvidas no processo de

quantificação financeira são: a taxa de juros, o capital e o tempo. Quando a taxa de juros incide

no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, diz-se que há um sistema de capitalização

simples (Juros simples). Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado com os juros do

período (montante), diz-se que há um sistema de capitalização composta (Juros compostos). Para

finalizar, ressaltam-se os Sistemas de Amortização, que são utilizados pra liquidar dívidas de

forma que, as partes envolvidas tenham poder satisfatório sobre as ações integradas na

negociação. As etapas e passos mostrados nesta atps não concluem este assunto que é amplo,

entretanto é um bom começo para iniciar um aprimoramento da matemática financeira, da

calculadora financeira (HP-12c) e a planilha excel que será de suma importância para a

continuidade do estudos durante o curso. Também como já foi visto, a matemática financeira

garante, de fato, a obtenção de resultados mais seguros em diversas áreas nas quais é aplicada.

Como o ambiente empresarial é caracterizado pela variabilidade e imprecisão dos fatores

necessários para a apuração de seus custos, se torna interessante o auxílio da matemática

financeira a fim de se causar a diminuição dessas incertezas e, assim, obter decisões mais

coerentes. Como explicitado, representar os custos através da matemática financeira torna a

solução mais exata, e permite que sejam conhecidos o melhor e o pior resultado, acarretando no

conhecimento do risco que corre uma empresa. Essa informação é considerada vantajosa, visto

que permite que o gestor empresarial tome decisões com uma maior segurança. Esta atps pode ser

vista, então, como um incentivo para uma série de estudos futuros envolvendo tópicos mais

avançados da matemática financeira, uma vez que foram apresentados apenas algumas etapas e

passos de seus conceitos.

O objetivo do desafio era encontrar o valor que foi gasto por Marcelo e Ana para que a vida

de seu filho seja bem assistida, do nascimento até o término da faculdade.

Depois de ter realizado todas as etapas e os cálculos propostos, achamos o seguinte valor:

R$312.950,31.

Referências Bibliográficas:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Juro

Acesso: 22/10/2013, 22h25min

http://pt.wikipedia.org/wiki/HP_12C

Acesso: 31/10/2013, 20h30min

http://www.tutorexecutivo.com/2011/08/hp-12c-caracteristicas-e-grande-duvida.html

Acesso: 31/10/2013, 20h50min

GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com 12HP e Excel. São Paulo: Pearson

Education, 2013.