INTRODUO O trabalho a seguir tem a funo de mostrar as diversas utilizaes da matemtica financeira em atividades comuns de nossas vidas, abordando temas como Amortizaes de Emprstimos, que so utilizados em financiamentos de casas, ou em um emprstimo bancrio; Pagamentos antecipados e postecipados, onde aprendemos a calcular valores atuais de prestaes, ou recalculamos uma prestao em uma outra data. A seguir veremos conceitos e exemplos pedidos na ATPS de Matemtica Financeira, feita sob a orientao do professor, com a ajuda do PLT de Matemtica Financeira.

ETAPA 02 Aula-temas: Sequncia de pagamentos.Passo 1 - Sequncia Uniforme de CapitaisSequncia Uniforme de Capitais um conjunto de pagamentos ou recebimentos de valor nuncupativo igual, sendo encontrados ordenados em perodos de tempo contnuo, atravs de um fluxo de caixa. Se a ordem tiver o objetivo a formao do capital, ele ser o montante da srie; mas se acontecer o inverso, isto , se seu objetivo for o abatimento ou desconto de um capital, este por si, ser o valor atual da srie.Sequncia Uniforme de Termos Postecipados So aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este mtodo chamado tambm de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada. constitudo por uma taxa (i), por um prazo (n) e pelo valor de um pagamento, pagamentos ou recebimentos tambm so chamados de prestao, exercido pela sigla (PMT), com eles consegue-se calcular o valor presente (PV) de uma ordem de pagamentos postecipados por intermdio da frmula:

Tendo o valor da taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) de uma ordem de pagamentos postecipada, possvel realizar o clculo do montante das prestaes (PMT), com a frmula:

Se tiver a taxa (i), um valor futuro (FV) e a prestao (PMT) em uma srie uniforme de pagamentos postecipada, feito o clculo do nmero de pagamentos ou o prazo (n), atravs da frmula:

Se dado uma taxa (i),um prazo (n) e o valor do pagamento ou prestao (PMT) de uma srie uniforme de pagamentos postecipados, possvel fazer o clculo do valor futuro (FV), por intermdio da frmula:

Exemplo:1) Estabelecido o valor de um financiamento a ser quitado atravs de seis pagamentos mensais de R$ 7.000,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberao dos recursos, sendo de 4,1% a.m. a taxa contratual de juros.PV = 7.000 x [(1+0,041)6-1 / (1+0,041)6 x 0,041]PV = 7.000 x [1,272636-1 / 1,272636 x 0,041]PV = 7.000 x [0,272636 / 0,052178]PV = 7.000 x 5,225114PV = R$ 36.575,802) Um televisor vendido vista por R$ 1.800,00. Qual deve ser o valor da prestao na venda em quatro prestaes mensais iguais sem entrada, se o custo financeiro do lojista de 3% a. m.?PMT = 1.800 x [(1+0,03)4 x 0,03) / (1+0,03)4 1]PMT = 1.800 x [(1,03)4 x 0,03 / (1,03)4 - 1]PMT = 1.800 x [1,125509 x 0,03 / 1,125509 1]PMT = 1.800 x [0,033765 / 0,125509]PMT = 1.800 x 0,269024PMT = R$ 484,243) Uma pessoa realiza depsitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de poupana; considerando uma taxa de 0,5% ao ms, em um prazo de dezoito anos, qual ser o valor acumulado aps este perodo?FV = 100 x [(1+0,005)216 1 / 0,005]FV = 100 x [(1,005)216 1 / 0,005]FV = 100 x [2,936765 1 / 0,005]FV = 100 x [1,936765 / 0,005]FV = 100 x 387,353FV = R$ 38.735,30Sequncia Uniforme de Termos AntecipadosAs sries uniformes de pagamentos antecipados so aquelas que o primeiro pagamento acontece na data zero. Este sistema identificado tambm como sistema de pagamento com entrada (1+n).Se tivermos a taxa (i), um prazo (n) e o valor da prestao (PMT),o clculo do valor presente (PV) ser determinado. Utilizando a frmula:

Com a taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) possvel encontrar o valor dos pagamentos ou recebimentos (PMT) de uma srie de pagamento antecipado, por meio da frmula:

Sendo informados uma taxa (i), a prestao (PMT)eovalor presente(PV) ser possvel calcular o prazo (n) emuma sriede pagamento antecipada atravs daseguinte frmula:Utilizando uma taxa (i), a prestao (PMT) e o prazo (n),possvel calcular o valor futuro (FV) emuma srie uniformedepagamento antecipada atravsda frmula:Exemplos:1)Determinar o valor, vista, de uma srie de 5 prestaes (ttulos) de R$ 10.000,00, vencveis mensalmente, sendo a primeira no ato da compra, sabendo que a taxa de 3% a.m.PV = 10.000 x [(1+0,03)5 1 / (1+0,03)5-1 x 0,03]PV = 10.000 x [(1,03)5 1 / (1,03)4 x 0,03]PV = 10.000 x [0,159274 / 0,033765]PV = 10.000 x 4,717133PV = R$ 47.171,332)Qual o montante que um poupador acumula em 12 meses, se ele aplicar R$ 1.500,00, taxa de 4,5%a.m., ao final de cada ms?FV = 150 x [(1+0,045)12 1 / 0,045] x (1 + 0,045)FV = 150 x [(1,045)12 1 / 0,045] x (1,045)FV = 150 x [0,695881 / 0,045] x (1,045)FV = 150 x 15,464032 x 1,045FV = R$ 2.423,99

Passo 2Caso A Marcelo adora assistir bons filmes e quer comprar uma TV HD 3D para ver seus ttulos prediletos em casa, como se estivesse numa sala de cinema. Ele sabe exatamente as caractersticas do aparelho que deseja comprar, porque j pesquisou na internet e em algumas lojas de sua cidade. Na maior parte das lojas, a TV cobiada est anunciada por R$4.800,00. No passado, Marcelo compraria em doze parcelas sem juros de R$ 400,00 no carto de crdito por impulso e sem o cuidado de um planejamento financeiro necessrio antes de qualquer compra. Hoje, com sua conscincia financeira evoluda, traou um plano de investimento: durante 12 meses, aplicar R$350,00 mensais na caderneta de poupana. Como a aplicao render juros de R$120,00 acumulados nesses dozes meses, ao fim de um ano, Marcelo ter juntado R$4.320,00. Passado o perodo de 12 meses e fazendo uma nova pesquisa em diversas lojas, ele encontra o aparelho que deseja a ltima pea (mas na caixa e com nota fiscal), com desconto de 10% para pagamento vista em relao ao valor orado inicialmente. Com o planejamento financeiro, Marcelo conseguiu multiplicar seu dinheiro. Com o valor exato desse dinheiro extra que Marcelo salvou no oramento, ele conseguiu comprar tambm um novo aparelho de DVD/Blu-ray juntamente a TV para complementar seu cinema em casa. De acordo com a compra de Marcelo, classifique como verdadeira ou falsa as seguintes informaes: I O aparelho de DVD/Blu-ray custou R$600,00; R: A informao acima falsa pois a TV que Marcelo comprou custava, anteriormente, R$4800,00. Aps a aplicao que o mesmo efetuou, conseguiu-se acumular a quantia de R$4320,00. A diferena entre os dois valores , justamente, o valor que foi economizado, e pde-se utilizar o mesmo na compra do aparelho de DVD/Blu-ray, cujo valor foi de R$480,00, e no R$600,00, como foi informado acima.

II A taxa mdia da poupana nestes doze meses em que Marcelo aplicou seu dinheiro foi de 0,5107% ao ms.R:FV = 350 (1,005107) - 1 0,005107FV = 4320,00

A afirmao acima verdadeira, pois com a taxa mdia de 0,5107% a.m., aplicada durante 12 meses, resulta em R$4320,00.

Caso B A quantia de R$30.000,00 foi emprestada por Ana, a sua irm Clara, para ser liquidada em doze parcelas mensais iguais e consecutivas. Sabe-se que a taxa de juros compostos que ambas combinaram de 2,8% ao ms. A respeito deste emprstimo, tem-se: I Se Clara optar pelo vencimento da primeira prestao aps um ms da concesso do crdito, qual ser o valor da prestao? R:PV = $30.000,00 i = 2,8% a.m. n = 12 m

O valor da prestao ser de R$2.977,99.

II Clara, optando pelo vencimento da primeira prestao no mesmo dia em que se der a concesso do crdito, qual ser o valor da prestao? R:

O valor da prestao ser de R$2.896,88.

III Caso Clara opte vencimento da primeira prestao aps quatro meses da concesso do crdito, qual ser o valor da prestao?R: 30.000 PV |---------------|-----|-------------------------------------------------------|0 3 4 15

Data 3

O valor da prestao ser de R$3.235,21.

ETAPA 04 Aula-temas: Amortizao de emprstimos.Passo 1 - Amortizao de emprstimos SAC E PRICEAmortizao de emprstimos seria a liquidao de um valor emprestado, seja em um financiamento ou um emprstimo de qualquer natureza, tendo diferentes possibilidades para a liquidao do mesmo. A diferena de cada sistema de amortizao est apresentada na forma diferente do clculo de juros ou at mesmo da parcela a ser liquidada, onde a parcela formada por juros + amortizao.Dentre os principais sistemas de amortizao, temos o Sistema PRICE e o Sistema de Amortizao Constante (SAC), que veremos a seguir.

SISTEMA DE AMORTIZAO CONSTANTE SAC

No Sistema de Amortizao Constante, mais conhecido como SAC, a amortizao a mesma durante o perodo de pagamento, como o prprio nome j diz. O valor da amortizao calculado na diviso entre o saldo devedor inicial e o nmero de parcelas a serem pagas. Os juros so calculados sobre o saldo devedor, tornando-se decrescentes durante o financiamento, e a soma da amortizao com os juros, forma a prestao de cada perodo.Vejamos um exemplo de emprstimo feito a partir do Sistema SAC:

1) Joaquim efetua um emprstimo de R$ 10 000,00 para ser pago pelo sistema SAC em 5 parcelas mensais. Sendo a taxa de juros de 4% ao ms, construa a planilha.

$10.000,00 i = 0,04 n = 5

Amortizao: A = 10.0005 A = 2.000

Saldo DevedorSD1 = SD0 ASD1 = 10.000 2.000SD1 = 8.000...JurosJ1 = SD0 i J1 = 10.000 0,04J1 = 400...PMT1 = A1 + J1PMT1 = 2.000 + 400PMT1 = 2.400

SISTEMA PRICENo Sistema PRICE de amortizao, vemos algo bastante diferente do Sistema SAC de amortizao. No sistema anterior a amortizao a mesma durante todo o perodo de financiamento. J no Sistema PRICE, as prestaes so iguais, e so calculadas a partir da frmula

Vejamos um exemplo de emprstimo feito a partir do Sistema PRICE:1) Joaquim efetua um emprstimo de R$ 10 000,00 para ser pago pelo sistema PRICE em 5 parcelas mensais. Sendo a taxa de juros de 4% ao ms, construa a planilha.

$10.000,00 i = 0,04 n = 5

No Sistema PRICE, preciso efetuar, primeiramente, o clculo das parcelas (PMT), para que o resto seja calculado tambm. A frmula do clculo do PMT a seguinte:

PMT = PV PMT = 10.000 PMT = 2.246,27

JurosJ1 = SD0 iJ1 = 10.000 0,04J1 = 400...AmortizaoA1 = PMT1 J1A1 = 2.246,27 400A1 = 1.846,27...Saldo DevedorSD1 = SD0 A1SD1 = 10.000 1846,27SD1 = 8.153,73...

Passo 2Retornar ao Caso B da Etapa 2 para a realizao deste passo. Ler os desafios propostos:Caso AMonte a planilha de amortizao considerando que Ana tivesse acertado com a irm, que o sistema de amortizao das parcelas se daria pelo SAC.

Qual seria o valor da 10 prestao? E o saldo devedor atualizado para o prximo perodo?R: O valor da 10 prestao seria de R$2710,00. E o saldo devedor atualizado para o prximo perodo seria de R$5000,00.

Caso BMonte a planilha de amortizao considerando que Ana tivesse acertado com a irm, que o sistema de amortizao das parcelas se daria pelo sistema PRICE.

PMT = PV PMT = 30.000 PMT = 2.977,99

Qual seria o valor da amortizao para o 7 perodo?R: O valor da amortizao para o 7 perodo seria de R$2523,27.

CONCLUSO

No incio da atividade, nos deparamos com um desafio proposto pelo mesmo, onde deveramos fazer diversos clculos, totalmente aplicveis nossa rotina, para que pudssemos saber escolher, dentre vrias situaes, a que melhor se adequaria ao bolso de cada um. Ou seja, saberamos escolher se, no caso de um emprstimo a ser efetuado, o melhor financiamento seria a partir do sistema PRICE ou do sistema SAC. Com um melhor, e at mesmo novo conhecimento a cerca dos planos de amortizao, melhores escolhas sero feitas, mesmo que, a partir dessa atividade, ainda no podemos concluir quais dos dois sistemas so melhores. Cada um deles pode nos trazer bons ou ruins resultados, dependendo do prazo de pagamento escolhido, ou da quantia a ser emprestada, e etc. Assim como tambm sabemos que capitais no podem ser somados se no esto na mesma data, da vem os clculos postecipados e antecipados, onde podemos adiantar ou adiar uma quantia a ser paga ou recebida, da mesma forma que podemos recalcular valores e diminuir ou aumentar as parcelas. certo de que, a partir desses entendimentos, a vida financeira de cada um pode ser melhorada, pois as informaes passam a ser vistas de uma melhor forma e ainda mais clara.

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

Matemtica Financeira com HP 12c e Excel/ Cristiano Marchi Gimenes. So Paulo: Person Prentice Hall, 2006. NO, Marcos. SAC: Sistema de Amortizaes Constantes. Disponvel em: Acesso em 11, 2013. NO, Marcos. Financiamentos utilizando a tabela PRICE. Disponvel em: Acesso em 11, 2013. Disponvel em: Acesso em 11, 2013. Apostila de Matemtica Financeira - 2012. Disponvel em: Acesso em 11, 2013. Tabela Price. Disponvel em: Acesso em 11, 2013.17

Plan1nSDAjPMT0R$ 10,000.00---1R$ 8,000.00R$ 2,000.00R$ 400.00R$ 2,400.002R$ 6,000.00R$ 2,000.00R$ 320.00R$ 2,320.003R$ 4,000.00R$ 2,000.00R$ 240.00R$ 2,240.004R$ 2,000.00R$ 2,000.00R$ 160.00R$ 2,160.0050.0R$ 2,000.00R$ 80.00R$ 2,080.00-R$ 10,000.00R$ 1,200.00R$ 11,200.00

Plan1nSDAJPMT0R$ 10,000.00---1R$ 8,153.73R$ 1,846.27R$ 400.00R$ 2,246.272R$ 6,233.61R$ 1,920.12R$ 326.15R$ 2,246.273R$ 4,236.68R$ 1,996.93R$ 249.34R$ 2,246.274R$ 2,159.88R$ 2,076.80R$ 169.47R$ 2,246.275R$ 0.01R$ 2,159.87R$ 86.40R$ 2,246.27-R$ 9,999.99R$ 1,231.36R$ 11,231.35

Plan1nSDAJPMT0R$ 30,000.00---1R$ 27,500.00R$ 2,500.00R$ 840.00R$ 3,340.002R$ 25,000.00R$ 2,500.00R$ 770.00R$ 3,270.003R$ 22,500.00R$ 2,500.00R$ 700.00R$ 3,200.004R$ 20,000.00R$ 2,500.00R$ 630.00R$ 3,130.005R$ 17,500.00R$ 2,500.00R$ 560.00R$ 3,060.006R$ 15,000.00R$ 2,500.00R$ 490.00R$ 2,990.007R$ 12,500.00R$ 2,500.00R$ 420.00R$ 2,920.008R$ 10,000.00R$ 2,500.00R$ 350.00R$ 2,850.009R$ 7,500.00R$ 2,500.00R$ 280.00R$ 2,780.0010R$ 5,000.00R$ 2,500.00R$ 210.00R$ 2,710.0011R$ 2,500.00R$ 2,500.00R$ 140.00R$ 2,640.00120.0R$ 2,500.00R$ 70.00R$ 2,570.00-R$ 30,000.00R$ 5,460.00R$ 35,460.00

Plan2

Plan1nSDAJPMT0R$ 30,000.00---1R$ 27,862.01R$ 2,137.99R$ 840.00R$ 2,977.992R$ 25,664.16R$ 2,197.85R$ 780.14R$ 2,977.993R$ 23,404.77R$ 2,259.39R$ 718.60R$ 2,977.994R$ 21,082.11R$ 2,322.66R$ 655.33R$ 2,977.995R$ 18,694.42R$ 2,387.69R$ 590.30R$ 2,977.996R$ 16,239.87R$ 2,454.55R$ 523.44R$ 2,977.997R$ 13,716.60R$ 2,523.27R$ 454.72R$ 2,977.998R$ 11,122.68R$ 2,593.92R$ 384.07R$ 2,977.999R$ 8,456.13R$ 2,666.55R$ 311.44R$ 2,977.9910R$ 5,714.91R$ 2,741.22R$ 236.77R$ 2,977.9911R$ 2,896.94R$ 2,817.97R$ 160.02R$ 2,977.9912R$ 0.06R$ 2,896.88R$ 81.11R$ 2,977.99