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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Pato Branco

ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO

Prova Parcial 1: Matemática Discreta para Computação – 2016-1

Aluno(a):_______________________________________________________________ Data: 11/04/2016

1. (1p) Considere 𝐿(𝑥, 𝑦) como a proposição “𝑥 ama 𝑦” em que o domínio para 𝑥 e 𝑦 são todas as pessoas do

mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo:

a) Há alguém a quem Lídia não ama.

b) Há alguém que não ama ninguém além dele próprio.

2. (0,5p) Use regras de inferência para mostrar que as hipóteses: “Se não chove ou não tem neblina, então a

competição de vela acontecerá e a apresentação de salvamento continuará. Se a competição de vela é

mantida, então o troféu será conquistado. O troféu não foi conquistado”. Implicam em: “Choveu”.

3. (0,5p) Determine se cada um dos argumentos abaixo é correto ou incorreto e explique o porquê:

a) Todos os papagaios gostam de frutas. Meu passarinho de estimação não é um papagaio. Por isso, meu

passarinho de estimação não gosta de frutas.

b) Todos os que comem granola todo dia são saudáveis. Linda não é saudável. Por isso, Linda não come

granola todos os dias.

4. (1,5p) Mostre que se 𝑛 é um número inteiro e 𝑛3 + 5 é ímpar então 𝑛é par usando:

a) Uma demonstração por contraposição

b) Uma demonstração por contradição

5. (0,5p) Seja 𝐴 o conjunto de estudantes que mora a um quilómetro de distancia da faculdade e 𝐵, o conjunto

dos estudantes que vão a pé para as aulas. Descreva quais são os estudantes em cada conjunto abaixo:

a) 𝐴 − 𝐵 b) 𝐴 ∪ 𝐵

6. (1p) De um exemplo de uma função dos Naturais para os Naturais que é:

a) Injetora, mas não Sobrejetora. b) Nem Injetora nem Sobrejetora.

7. (0,5p) Qual é a condição com respeito ao Domínio e a Imagem que devem cumprir duas funções para poder

encontrar a função composta 𝑓𝑜𝑔 e 𝑔𝑜𝑓? Coloque um exemplo.

8. (1,5p) Determine se cada um dos conjuntos abaixo é contável ou incontável. Para aqueles que forem

contáveis, exiba uma bijeção entre o conjunto dos números naturais e o conjunto:

a) O conjunto de todos os números racionais positivos que não podem ser escritos com denominadores

menores que 4.

b) O conjunto dos números reais que não tenha 0 em sua representação decimal.

9. (1p) O somatório de uma sequencia pode ser representado pela notação ao lado: ∑ 𝑎𝑗

𝑛

𝑗=𝑚

Explique o que significa cada termo deste somatório e utilize-o para representar a soma da sequência:

1 +1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + .......

10. (2p) Indução Matemática é usada para demonstrar proposições que afirmam que𝑃(𝑛) é verdadeira para

todos os números inteiros positivos 𝑛 em que 𝑃(𝑛) é uma função proposicional. Uma demonstração por

indução matemática tem passos:

1) Passo base: Mostramos que a propriedade é verdadeira para o primeiro elemento da sequencia, isto é,

𝑃(1) é verdadeira.

2) Hipótese de indução: Afirmamos que 𝑃(𝑘), a propriedade para algum inteiro 𝑘 é verdadeira.

3) Passo de Indução: Devemos provar que a propriedade é válida para o inteiro seguinte (𝑘 + 1), ou seja,

𝑃(𝑘) → 𝑃(𝑘 + 1).

Use este procedimento é prove que 22𝑛 − 1 é divisível por 3 sempre que , 𝑛 for um número inteiro positivo

Dica: todo número inteiro divisível por 3 pode ser representado por 3𝑚, com 𝑚 ∈ ℤ.




Aluno(a):_______________________________________________________________ Data: 23/05/2016

1. (1p) Quantas funções injetoras são possíveis a partir de um conjunto com cinco (5) elementos para os

conjuntos com os seguintes números de elementos?

a) 4 b) 5 c) 6

2. (2p) Se �� ≤ 5, quantas soluções possíveis para há para a equação: �� + �� + �� + �� + � + � = 29

3. (1p) Qual é o número de estudantes necessário em uma sala de matemática discreta para se ter certeza de

que pelo menos seis receberão a mesma nota, se são possíveis cinco notas A, B, C, D e F?

4. (2p) Use a definição de coeficientes binomiais e mostre que n

k

n2≤

para todos os inteiros positivos� e

todos os inteiros �, com 0 ≤ � ≤ �.

5. (1,5p) Determine se a relação � no conjunto de todos os números reais é reflexiva, simétrica, anti-simétrica

e transitiva, em que ��, �� se e somente se:

a) � + � = 0 b)� = ±� d) �� ≥0

6. (1,5p) Quantos elementos não nulos a matriz que representa a relação R em � = �1,2,3,…100�, que

consiste nos primeiros 100 inteiros positivos, tem se R for:

a) � = �� , !�| ≥ !� b) � = �� , !�| ≠ !��

7. (1p) Responda brevemente:

a. O que representa R-1

em fecho de relações?

b. O que significa a união de R, R2, R

3,.....R

n em fecho de relações ?

c. Para que servem e qual a diferença entre o Algoritmo 1 e o Algoritmo de Warshall? Exemplifique.

( ) ( )!!

,rn

nP rn −

= para 1≥n e nr ≤≤1 ( )!!

!),(

rnr

nC rn −

=

( ) !, nP nn = ( )( )

( )!1!

!1 ,1 −

−+=−+

nr

rnC rrn

rn 1

1+

−m

n

( ) jjnn

j

nyx

j

nyx −

=∑

=+

0




Aluno(a):_______________________________________________________________ Data: 24/06/2016

1. (1p) Definição: Uma relação de equivalência sobre um conjunto A é uma relação R sobre A

que é reflexiva sobre A, simétrica e transitiva.

a) Para determinar as propriedades das Relações é necessário saber sobre qual conjunto está definido?

Justifique sua resposta.

b) Porque a definição indica “reflexiva sobre A”?

c) Precisa a relação ser simétrica sobre A?

2. (3p) Para os itens (a) e (b) determine se as relações são de equivalência

a) Seja o conjunto A o conjunto de todas as retas do plano, e seja R a relação (X,Y) se e somente se,

X=Y ou X Y =.

b) Seja o conjunto dos inteiros e a relação {( ) ( ) }

3. (0,5p) Utilize a forma da definição da questão 1 e defina:

a) Relação de Ordem Parcial

b) Relação de ordem total

Dica: elementos comparáveis de uma relação

4. (1,5p) Para quais valores de n estes grafos serão bipartidos? JUSTIFIQUE

.

a) Kn b) Cn c) Wn

5. (2p) Determine se os grafos U e da Figura 1 são isomorfos. Justifique apresentando a função de vértice e de aresta:

( ) ( ) ( ) ( )

Ou forneça um argumento rigoroso para provar que não existe isomorfismo.

Figura 1

6. (1p) Teorema de Kuratowski disse que “Um grafo é planar se e somente se não contém nenhum subgrafo

homeomorfo a K3,3 ou K5 O que é homeomorfismo? Coloque um exemplo.

7. (1p) Na figura 2 apresenta-se um grafo dirigido. Use os critérios para determinar se um grafo tem um circuito Euleriano e responda: a) Como deverão ser os graus de entrada e

saída para o grafo dirigido ter circuito Euleriano ou trajeto Euleriano?

b) Use os critérios elencados no item (a) e verifique se o grafo tem circuito ou trajeto Euleriano.

Figura 2

U V



Prova Substitutiva: Matemática Discreta para Computação – 2016-1

1. (1p) Quantas sequencias de oito letras do alfabeto da língua portuguesa são possíveis: a) Que comecem e terminem com a letra X, se as letras puderem ser repetidas? b) Que comecem com as letras BO (nesta ordem), se as letras não puderem ser repetidas?

2. (1p) Mostre que se há 30 estudantes em uma sala, então pelo menos dois têm sobrenomes que começam com a mesma letra.

3. (1,5p) Qual o coeficiente de 99101yx no desenvolvimento de 200

32 yx ?

4. (1,5p) Há quantas soluções possíveis para a equação:

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 = 21 Em que 𝑥𝑖, com 𝑖 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 é um número inteiro não negativo, tal que 𝑥1 = 3.

5. Relações a) (1p) Defina as propriedades reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva. b) (2p) Determine se a relação ação 𝑅 no conjunto de todas as pessoas é reflexiva, simétrica, antissimétrica

e/ou transitiva, em que (𝑎, 𝑏) 𝜖 𝑅 se e somente se: i. 𝑎 é mais alto que 𝑏 ii. 𝑎 e 𝑏 nasceram no mesmo dia

6. Fechos de Relações

a) (1p) Defina Fechos: reflexivo, simétrico e transitivo. b) (1p) Seja a relação 𝑅 sobre 𝐴 = {1, 2, 3,4} dada por 𝑅 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3)(2,4), (3,4)}. Encontre

os fechos reflexivo, simétrico e transitivo (use o Algoritmo 1 para encontrar o fecho transitivo).

r -permutações de n objetos distintos com repetição: 𝑛𝑟

r-permutações de n objetos distintos sem repetição: 𝑃𝑛,𝑟 =𝑛!

(𝑛−𝑟)! , 𝑛 ≥ 1 e 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛

Quando 𝑟 = 𝑛, a permutação de n objetos distintos: 𝑃𝑛,𝑛 = 𝑛!

Permutações distintas de n objetos dos quais 𝑛1 são iguais entre si, 𝑛2 𝑠ão iguais entre si, e assim por diante até 𝑛𝑘

iguais entre si: 𝑛!

𝑛1!𝑛2!…..𝑛𝑘!

r-combinações de um conjunto com n elementos: 𝐶𝑛,𝑟 =𝑛!

𝑟!(𝑛−𝑟)! , 𝑛 ∈ ℤ+ e 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛

r-combinações com repetição: 𝐶(𝑛+𝑟−1,𝑟) =(𝑛+𝑟−1)!

𝑟!(𝑛−1)!

Principio da casa dos pombos: ⌊𝑛−1

𝑚⌋ + 1

Binômio de Newton: (𝑥 + 𝑦)𝑛 =jjn

n

j

yxj

n

0

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