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Acettattos de apoiio s Ace a os de apo o s aullas Teriico--prttiicas de au as Ter co pr cas de Opttiimiizao Liinear Op m zao L near

Estes acetatos destinam-se exclusivamente a apoiar as aulas tericoprticas da disciplina de Optimizao Linear, so baseados nos livros e sebenta constantes da bibliografia da disciplina, nomeadamente: Elementos de apoio s aulas de Programao Matemtica", "Enunciados de Exerccios de Programao Matemtica", Ruy A. Costa "Programao Linear", Guerreiro, Magalhes & Ramalhete, Mc Graw Hill.

e no dispensam a consulta dos mesmos.

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Probllema gerall de Programao Matemtiica Prob ema gera de Programao Matemt ca

Maximizar (ou minimizar) F (x1, x2, ...xn) sujeito a: f1 (x1, x2, ...xn) ; ; = b1 f2 (x1, x2, ...xn) ; ; = b2 . fm (x1, x2, ...xn) ; ; = bm Se a funo objectivo F e as restries f1, f2,..., fm forem funes lineares em relao s variveis no negativas x1, x2, ...xn estamos perante um caso particular do problema anterior - um problema de Programao Linear

Max (ou Min) F = c1 x1 + c2 x2 + ... + cN xN Sujeito a : a11 x1 + a12 x2 + + a1N xN ; ; = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2N xN ; ; = b2 ... ... aM1 x1 + aM2 x2 + + aMN xN ; ; = bM As variveis devem ser no negativas (xi 0), no positivas (xi 0) ou ainda variveis livres (xi ). O conjunto dos n-uplos ( v1, v2, ... , vn) associado s variveis (x1, x2, ... ,xn) que verificam todas as restries e a condio de no negatividade designa-se por Espao de Solues Admissveis.

Acetatos de Optimizao Linear

Ceclia Rodrigues

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Formulao de problemas de Programao LinearExemplo F01: Um jovem empresrio est a pensar montar uma empresa de transporte de passageiros, para a sua pequena cidade. Para tal ter de adquirir autocarros de tipo A e B, com lotaes, respectivamente, de 30 e 40 passageiros.

Tipo de autocarro A B

Preo (u.m.) 15 000 25 000

Lotao 30 40

Dispe de uma verba de 150 000 u.m. para adquirir os veculos e a frota adquirida dever garantir uma lotao de, pelo menos, 200 passageiros. Alm disto, deve ser adquirido, pelo menos, um veculo de tipo B. Pretende minimizar o custo total de aquisio dos autocarros.

a) Formule o problema com um modelo de Programao Linear adequado b) Resolva o problema, recorrendo ao mtodo grfico. Qual o objectivo? minimizar o custo total de aquisio dos autocarros Que decises devero ser tomadas? quantos veculos comprar de tipo A e de tipo B Que recursos / condicionalismos existem? dispe de uma verba de 150 000 u.m. para adquirir os veculos; a frota adquirida dever garantir uma lotao de, pelo menos, 200 passageiros; deve ser adquirido, pelo menos, um veculo de tipo B

Definio das variveis xA - n de autocarros a adquirir do tipo A xB - n de autocarros a adquirir do tipo B

Acetatos de Optimizao Linear

Ceclia Rodrigues

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a) Min F = 15 000 xA + 25 000 xB (u.m.) s.a. 15 000 xA + 25 000 xB 150 000 u.m. 30 xA + 40 xB 200 xB 1 xA, xB 0 e inteiros b) Resoluo grfica restrio financeira restrio de lotao mnima restrio de aquisio mnima domnio das variveis Funo Objectivo

No caso de duas variveis: funo objectivo corresponde uma famlia de rectas todas com o mesmo declive, neste caso, -3/5; a cada restrio corresponde uma regio do plano delimitada por uma recta; a no negatividade das variveis reduz-nos ao 1 quadrante; o conjunto dos pontos que respeitam simultaneamente as restries e a condio de no negatividade e integralidade designa-se por Espao de Solues Admissveis.

-0.6

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Acetatos de Optimizao Linear

Ceclia Rodrigues

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Interpretao Grfica

Num problema de programao Linear, a Funo Objectivo representa um hiperplano. Cada restrio representa tambm um hiperplano. Um hiperplano um conjunto convexo e, a interseco de conjuntos convexos tambm um conjunto convexo. Logo, o Espao de Solues Admissveis de um problema de Programao Linear um conjunto convexo. Como todas as restries so lineares, em termos geomtricos, o Espao de Solues Admissveis um Politopo Convexo.

Prova-se que o mximo/mnimo de uma funo linear sobre um politopo convexo corresponde a, pelo menos, um vrtice do politopo.

Forma Standard e Forma Cannica

Um problema de Programao Linear diz-se na Forma Standard se se pretender maximizar a funo objectivo, todas as restries estiverem na forma de igualdade e todas as variveis forem no negativas (xi 0). Se se pretender maximizar a funo objectivo, sendo todas as restries do tipo e todas as variveis no negativas (xi 0), o problema de Programao Linear diz-se na Forma Cannica.Acetatos de Optimizao Linear Ceclia Rodrigues

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Utilizao de variveis binrias na formulao de problemas de Programao Linear Mista

Por vezes no possvel formular um problema de Programao Linear apenas com variveis no negativas. Neste caso, comum utilizar-se variveis binrias - que tomam apenas os valores 0 e 1 - conduzindo a um modelo de Programao Linear Mista, dado que se utilizam variveis no negativas e binrias. Lote mnimo Esta situao ocorre normalmente quando, ou no se produz um determinado artigo, ou ento produz-se, pelo menos, um determinado valor - o lote mnimo. Admita-se, por exemplo que o lote mnimo de 20. Isto significa que, ou se produz 0 unidades de um artigo, ou ento tem de se produzir, pelo menos 20. Seja x a varivel que representa o n de unidades do artigo a produzir. Pretende-se representar a condio x = 0 ou x 20. Seja z uma varivel binria, isto , z {0, 1} e M um valor numrico positivo muito elevado (relativamente aos outros coeficientes intervenientes no problema). A condio x = 0 ou x 20 pode representar-se pela conjuno das condies: x 20.z x M.z z {0, 1} x0 se z = 0, ento x 0 e x 0, isto , x = 0 se z = 1, ento x 20 e x M, isto , x 20. Note-se que, como M um valor muito grande, em termos prticos, x M nada restringe.Acetatos de Optimizao Linear Ceclia Rodrigues

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Custo de arranque de produo Por vezes a funo objectivo de um problema de Programao Linear pode exprimir-se como: Min F = c1.x1 + c2.x2 +...+ cn.xn, ou seja, cada parcela Pi = ci.xi. Se a funo F representar o custo mensal, de produo de determinadas peas, natural que, para se iniciar a produo seja necessrio despender um custo fixo de arranque (que no depende do n de peas a produzir). Relativamente parcela i, se ki e ci representarem, respectivamente, o custo fixo e o custo unitrio, ter-se-: Pi = 0, se xi = 0 , ou alternativamente, Pi = ki + ci.xi, se xi > 0. Esta condio pode representar-se pela conjuno das condies: Min F = ... + ki.z + ci.xi + ... xi M.z zi {0, 1} xi 0

se zi = 0, ento xi 0 e xi 0, isto , xi = 0 Min F = ... + ki.0+ ci.0 + ... = 0, ou seja Pi = 0 se zi = 1, ento xi M e xi 0, isto , xi 0, ou seja, Min F = ... + ki.1 + ci.xi + ... , ou seja Pi = ki + ci.xi. Recorde-se que, como M um valor muito grande, em termos prticos, xi M nada restringe, da que, xi M e xi 0 equivale a xi 0.

Acetatos de Optimizao Linear

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Varivel que toma valores num dado conjunto discreto Em muitas situaes reais, uma varivel s pode tomar valores num determinado conjunto discreto. Admita-se que X { x1, x2, ..., xk}. Esta situao pode modelar-se com a conjuno das seguintes condies:

X = z1.x1 + z2.x2 + ... + zk.xk

z1 + z2 + ... + zk = 1 z1, z2 , ... , zk {0, 1}

De notar que a conjuno das duas ltimas condies obriga a que uma, e s uma, das variveis z1, z2 , ... , zk tome o valor 1, tomando as restantes variveis o valor 0. De um modo geral, se zi = 1, ento X = xi ( i = 1, 2, ..., k).

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Funo objectivo com seces lineares de diferentes inclinaes Considere-se a situao em que a funo objectivo de um problema de Programao Linear do tipo: F = ... + ki + ci.xi + ... , em que, Pi = ki + ci.xi.

Pretende-se agora representar a situao em que a parcela Pi seja representada por troos lineares de diferentes inclinaes. Exemplo F02: Considere-se a seguinte seco Pi da funo objectivo de um problema de P.L.:

Pi

0

5

12

20

xi

y1

y2

y3

Admita-se que uma fbrica vende determinado produto em funo da quantidade adquirida. Assim, o custo por unidade, ser: 1.0 u.m se a quantidade adquirida for menor ou igual a 5 unidades; 0.5 u.m para as 7 unidades seguintes (alm das 5); 0.7 u.m. para as 8 unidades seguintes (alm das 12). Vamos admitir que a varivel xi se exprime como a soma de trs variveis no negativas xi = y1 + y2 + y3, em que: y1 a varivel correspondente ao intervalo [0, 5] y2 a varivel correspondente ao intervalo [5, 12] y3 a varivel correspondente ao intervalo [12, 20] Este exemplo pode modelar-se com a introduo de duas variveis binrias z1 e z2 e conjugando as seguintes condies:

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Pi = 1.0. y1 + 0.5. y2 + 0.7 y3 xi = y1 + y2 + y3 5.z1 y1 5 7.z2 y2 7.z1 0 y3 8.z2 z1, z2 {0,1}

Pi = 1.0. y1 + 0.5. y2 + 0.7 y3 xi = y1 + y2 + y3 se z1 = z2 = 0, ento 0 y1 5 0 y2 0 y2 = 0 0 y3 0 y3 = 0 Pi = 1.0 y1 se z1 = 1, z2 = 0, ento 5 y1 5 y1 = 5 0 y2 7 0 y3 0 y3 = 0 Pi = 1.0 x 5 + 0.5 y2 se z1 = z2 = 1, ento 5 y1 5 y1 = 5 7 y2 7 y2 = 7 0 y3 8 Pi = 1.0 x 5 + 0.5 x 7 + 0.7 y3

Acetatos de Optimizao Linear

Ceclia Rodrigues

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Activao de uma entre duas restries (disjuno) Admita-se que se pretende cumprir, pelo menos uma, de entre duas restries de um problema de Programao Linear. Exemplo F03: Considere-se, por exemplo ou ou 3.x1 + 2.x2 18 x1 + 4.x2 16

Se somarmos ao segundo membro de uma restrio de "" um valor positivo muito elevado, M, estamos, em termos prticos a "anular" a restrio. Por exemplo 3.x1 + 2.x2 18 + M , nada restringe em termos prticos, j que por m