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• Conteúdo:
• Sistemas Fuzzy
• Fuzzifier
• Inferência
• Regras
• Máquina de Inferência
• Defuzzifier
Sistemas fuzzy
• A inferência fuzzy é um paradigma computacional baseado na Teoria de conjuntos fuzzy, regras de inferência “se-então” e raciocínio fuzzy.
• Há diferentes nomes: sistemas fuzzy baseado em regras, modelo fuzzy, memória associativa fuzzy, controle fuzzy e sistema fuzzy.
• O sistema fuzzy é um sistema não-linear, pois, para entradas e saídas crisp, implementa um mapeamento não linear do espaço de entrada ao espaço de saída.
Sistemas fuzzy
• Estrutura:
– A base de regras: as regras são construídas em base ao conhecimento do especialista e/ou extraído de dados históricos.
– A base de dados: formada pelas funções de pertinência que serão usadas nas regras. Essas funções podem ser construídas através de procedimentos experimentais, estatísticos, conceituais, entre outros.
Sistemas fuzzy
• Estrutura:
– A máquina de inferência: encarregada de realizar a inferência, isto é, derivar a conclusão a partir dos dados de entrada e das regras.
Sistemas fuzzy
Base de Regras
Máquina de Inferência
Fuzzifier Defuzzifier Entradas precisas
Saída precisa
Números fuzzy de entrada
Números fuzzy de saída
•Mapeia fuzzy sets em fuzzy sets •Determina como as regras são ativadas
Base de Dados
Base de Dados
Fornecida por especialistas ou extraídas de dados numéricos
Sistemas fuzzy: Fuzzifier
• Mapeia números precisos (crisp) de entrada em números fuzzy através de funções de pertinência que representam conjuntos fuzzy.
• As funções de pertinência podem ser representados por funções do tipo impulso, triangular, trapezoidal, etc.
Sistemas fuzzy: Fuzzifier
A função de pertinência define ao conjunto fuzzy e transforma as entradas precisas (“crisp”) de seu domínio a graus de pertinência de um dado conjunto fuzzy.
Universo de discurso
Entradas precisas 18 30 40 20 28 8 oC 0
1 frio morno quente Etiquetas
graus de pertinência
10
0,4
Temperatura Variável linguística
Sistemas fuzzy: Inferência
• Diagrama de blocos de um sistema de inferência fuzzy. • Regras são expressas como implicações lógicas:
𝑆𝑒 𝑢 é 𝐴 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑣 𝑒 𝑉
• Regras representam a relação entre 𝐴 e 𝑉, cuja função de pertinência é:
𝜇𝐴→𝐵 𝑢, 𝑣 =? ?
Sistemas fuzzy: Regras
• O isomorfismo entre a Álgebra booleana, Teoria dos
Conjuntos e a Lógica proposicional garante que cada teorema em qualquer dessas teoria tenha um teorema equivalente em cada uma das outras duas teorias.
Lógica Teoria de Conjuntos
∧ ∩
∨ ∪
¬
Lógica Álgebra booleana
𝑉 1
𝐹 0
∧ X
∨ +
↔ =
𝑝, 𝑞, 𝑟 … . 𝑎, 𝑏, 𝑐, …
Sistemas fuzzy: Regras
Tautologias importantes
𝑝 → 𝑞 ↔ ¬ 𝑝 ∧ ¬𝑞
𝜇𝑝→𝑞 𝑥, 𝑦 = 1 − 𝜇𝑝∩𝑞 𝑥, 𝑦
𝜇𝑝→𝑞 𝑥, 𝑦 = 1 −mín [𝜇𝑝 𝑥 , 1 − 𝜇𝑞 𝑦 ]
𝜇𝑝→𝑞 𝑥, 𝑦 = 1 − 𝜇𝑝 𝑥 ∙ [1 − 𝜇𝑞 𝑦 ]
𝑝 → 𝑞 ↔ ¬ (¬𝑝) ∨ 𝑞
𝜇𝑝→𝑞 𝑥, 𝑦 = 𝜇𝑝 ∪𝑞 𝑥, 𝑦
𝜇𝑝→𝑞 𝑥, 𝑦 =máx [1 − 𝜇𝑝 𝑥 , 𝜇𝑞 𝑦 ]
𝜇𝑝→𝑞 𝑥, 𝑦 = 𝑚í𝑛[1,1 − 𝜇𝑝 𝑥 + 𝜇𝑞 𝑦 ]
Sistemas fuzzy: Regras
• Modus Ponens Clássico
• Modus Ponens Generalizado
Premissa 1: 𝑥 é 𝐴 Premissa 2: Se 𝑥 é 𝐴 então 𝑦 é 𝐵 Conclusão: 𝑦 é 𝐵
[ 𝑝 ∧ (𝑝 → 𝑞 ] →q
Premissa 1: 𝑥 é 𝐴∗ Premissa 2: Se 𝑥 é 𝐴 então 𝑦 é 𝐵 Conclusão: 𝑦 é 𝐵∗ 𝐴∗ e 𝐵∗não são necessariamente iguais a 𝐴 e 𝐵 respectivamente.
Sistemas fuzzy: Regras Exemplo:
“Se homem é Baixo, então homem não é bom profissional de basquete”
Entrada: homem é abaixo de 1,6m = A* Conclusão: Homem é péssimo profissional = B* • Lógica crisp: a regra somente é disparada se a premissa 1 for
exatamente igual ao antecedente, a resposta é o próprio consequente.
• Lógica fuzzy a regra é disparada desde que exista um grau de similaridade diferente de zero entre a premissa 1 e o antecedente, a resposta é o consequente com um grau de similaridade diferente de zero com o consequente da regra.
A B
Sistemas fuzzy: Regras
Interpretação do Modus Ponens Generalizado
Sistemas fuzzy: Regras
Interpretação do Modus Ponens Generalizado • O Modus Ponens generalizado é uma composição
fuzzy, onde a primeira relação fuzzy é apenas um conjunto fuzzy e a segunda relação é a relação de implicação.
Sistemas fuzzy: Regras
Interpretação do Modus Ponens Generalizado
Sistemas fuzzy: Regras
Exemplo: Suponha que 𝜇𝐴∗ 𝑥 = 1 para 𝑥 = 𝑥′ e 𝜇𝐴∗ 𝑥 = 0 para 𝑥 ≠ 𝑥′ , com 𝑥 ∈ 𝑈.
𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝑠𝑢𝑝
𝑥∈𝐴∗[𝜇𝐴∗ 𝑥 ⋆ 𝜇𝐴→𝐵 𝑥, 𝑦 ]
𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝜇𝐴∗ 𝑥′ ⋆ 𝜇𝐴→𝐵 𝑥′, 𝑦
𝜇𝐵∗ 𝑦 = 1 ⋆ 𝜇𝐴→𝐵 𝑥′, 𝑦
𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝑚í𝑛[1, 𝜇𝐴→𝐵 𝑥′, 𝑦 ]
𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝜇𝐴→𝐵 𝑥′, 𝑦
𝜇𝐵∗ 𝑦 = 1 −𝑚í𝑛[𝜇𝐴 𝑥′), 1 − 𝜇𝐵(𝑦 ]
A operação sup é desnecessária pois, 𝜇𝐴 𝑥 ≠ 0 apenas no ponto 𝑥′.
⋆ usa o operador mín.
usa 𝜇𝑝→𝑞 𝑥, 𝑦
Sistemas fuzzy: Regras
Exemplo (continuação): Interpretação gráfica, tem-se em (a) a função de pertinência do consequente 𝜇𝐵 𝑦 , em (b) 𝜇𝐵 (𝑦) , 𝜇𝐴(𝑥
′) e 𝑚í𝑛[𝜇𝐴 𝑥′ , 1 − 𝜇𝐵 𝑦 ], em (c) o resultado final 𝜇𝐵∗ 𝑦 .
O resultado, mostrado em (c), é inadequado para aplicações em engenharia. O resultado nos diz que dada uma entrada específica 𝑥 = 𝑥′, o resultado de disparar uma regra específica, cujo consequente esta associado com o conjunto fuzzy de suporte finito 𝜇𝐵 𝑦 (a), é um conjunto fuzzy de suporte infinito 𝜇𝐵∗ 𝑦 (c).
Sistemas fuzzy: Regras
Implicações Fuzzy: Mamdani
• Para evitar o resultado inadequado ou perturbador de
𝜇𝐴→𝐵 𝑥, 𝑦 = 1 −𝑚í𝑛[𝜇𝐴 𝑥), 1 − 𝜇𝐵(𝑦 ] Mamdani propõe a Implicação mínima :
𝜇𝐴→𝐵 𝑥, 𝑦 =mín [𝜇𝐴 𝑥 , 𝜇𝐵 𝑦 ]
• Posteriormente, Larsen, propõe a implicação produto:
𝜇𝐴→𝐵 𝑥, 𝑦 = 𝜇𝐴 𝑥 ∙ 𝜇𝐵 𝑦
Sistemas fuzzy: Regras
Exemplo: Suponha que 𝜇𝐴∗ 𝑥 = 1 para 𝑥 = 𝑥′ e 𝜇𝐴∗ 𝑥 = 0 para 𝑥 ≠ 𝑥′ , com 𝑥 ∈ 𝑈.
𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝑠𝑢𝑝
𝑥∈𝐴∗[𝜇𝐴∗ 𝑥 ⋆ 𝜇𝐴→𝐵 𝑥, 𝑦 ]
𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝜇𝐴∗ 𝑥′ ⋆ 𝜇𝐴→𝐵 𝑥′, 𝑦
𝜇𝐵∗ 𝑦 = 1 ⋆ 𝜇𝐴→𝐵 𝑥′, 𝑦
𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝑚í𝑛[1, 𝜇𝐴→𝐵 𝑥′, 𝑦 ]
𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝜇𝐴→𝐵 𝑥′, 𝑦
𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝑚í𝑛[𝜇𝐴 𝑥′), 𝜇𝐵(𝑦 ]
Ou
𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝜇𝐴 𝑥′) ∙ 𝜇𝐵(𝑦
A operação sup é desnecessária pois, μA∗ x ≠ 0 apenas no ponto x′.
⋆ usa o operador mín.
usa implicação mín de Mamdani
usa implicação produto
Sistemas fuzzy: Regras
Exemplo (continuação): Interpretação gráfica, tem-se em (a) a
função de pertinência do consequente𝜇𝐵 𝑦 , em (b) a
implicação mínima: 𝑚í𝑛[𝜇𝐴 𝑥′ , 𝜇𝐵 𝑦 ], em (c) a implicação
produto 𝜇𝐴 𝑥′ ∙ 𝜇𝐵 𝑦 .
Com os métodos da implicação mínima e produto, o domínio
de saída permanece finito.
Sistemas fuzzy: Máquina de Inferência
Inferência Fuzzy de Mamdani
1. Obtenção dos números fuzzy das variáveis de entrada (fuzzifier).
2. Aplicar as regras de avaliação
3. Agregação das regras de saída
4. Obter o número crisp de saída (Defuzzifier)
Sistemas fuzzy: Máquina de Inferência
Exemplo: Mamdani – Passo 1 (Fuzzifier)
Sistemas fuzzy: Máquina de Inferência
Exemplo: Mamdani – Passo 2 (Avaliar regras)
Sistemas fuzzy: Máquina de Inferência
Exemplo: Mamdani – Passo 3 (Agregação)
Sistemas fuzzy: Defuzzifier
• Muitos defuzzifier foram propostos na literatura, não entanto, não há bases científicas para nenhum deles. Assim, defuzzification é um arte mais do que uma ciência.
• Dentre os defuzzier tem-se: Menor do máximo, Média do máximo, Centróide da área, Bissetriz da área, Maior do máximo.
Sistemas fuzzy: Defuzzifier
Sistemas fuzzy: Defuzzifier
• Devido ao interesse de aplicações em engenharia, a escolha de um defuzzifier é sua simplicidade computacional.
• Dentre os defuzzifier o mais popular é o método do centroide (COG)
Forma contínua 𝐶𝑂𝐺 = 𝜇𝐴 𝑥 𝑥𝑑𝑥𝑏𝑎
𝜇𝐴 𝑥 𝑑𝑥𝑏𝑎
Forma discreta 𝐶𝑂𝐺 = 𝜇𝐴 𝑥 𝑥𝑏𝑎
𝜇𝐴 𝑥𝑏𝑎
Sistemas fuzzy: Defuzzifier Exemplo: Mamdani – Passo 4 (defuzzifier)
𝐶𝑂𝐺 =0 + 10 + 20 × 0,1 + 30 + 40 + 50 + 60 × 0,2 + (70 + 80 + 100) × 0,5
0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5
𝐶𝑂𝐺 = 67,4
Sistemas fuzzy: Máquina de Inferência
Inferência Fuzzy de Sugeno
• A inferência de Mamdani requer determinar o COG de uma área em duas dimensões pela integração de uma função contínua, e, esta tarefa não é computacionalmente eficiente.
• Sugeno utiliza a função impulso (singleton) como consequente da regra . A função impulso existe em um único ponto e tem valor unitário. Facilitando o processo do defuzzifier.
Sistemas fuzzy: Máquina de Inferência
Exemplo: Inferência Sugeno – Avaliar regras
Sistemas fuzzy: Máquina de Inferência
Exemplo: Inferência Sugeno – Agregação de regras
Sistemas fuzzy: Máquina de Inferência
Exemplo: Inferência Sugeno – Defuzzifier
𝑍 =𝜇 𝑘1 × 𝑘1 + 𝜇 𝑘2 × 𝑘2+ 𝜇 𝑘3 × 𝑘3
𝜇 𝑘1 + 𝜇 𝑘2 + 𝜇 𝑘3
𝑍 =0,1 × 20 + 0,2 × 50+0,5 × 80
0,1 + 0,2+0,5 = 65
65
Sistema Fuzzy • Exemplo: Controle do tempo de regar usando como entradas a
temperatura e a umidade do solo.
TEMPERATURA
UMIDADE
38 60 100 40 62 % 0
1 seco norma
l
úmido mU
0,1
0,3
38,5%
18 30 40 20 28 8 oC 0
1 frio normal quente mT
0,6
0,3
29,5oC
Base de dados: Funções de pertinência para Temperatura e Umidade. Passo 1: Fuzzifier, transforma números crisp em números fuzzy usando as funções de pertinência
Sistema Fuzzy
Umidade
Seco Normal Úmido
Frio Médio Médio Curto
Normal Médio Médio Curto
Quente Longo Médio Curto
Tem
pe
ratu
ra
Regras do sistema: Fuzzy Associative Memory (FAM) Passo 2: Regras a serem disparadas (ativadas) para avaliação
Exemplo: Continuação
Sistema Fuzzy
• Se T normal (0,3) E U seco (0,3) então R médio (0,3)
• Se T normal (0,3) E U normal (0,1) então R médio (0,1)
• Se T quente (0,6) E U seco (0,3) então R longo (0,3)
• Se T quente (0,6) E U normal (0,1) então R médio (0,1)
Usa o mínimo grau de pertinência no operador E
Usa o máximo grau de pertinência entre dois consequentes iguais
Resposta: R médio com 0,3 e R longo com 0,3.
Passo 2: Continuação Avaliação das Regras
Passo 3: Agregação das Regras
Exemplo: Continuação
Sistema Fuzzy
t = (0,3*6 + 0,3*10) = 8 h
(0,3+0,3)
2 10 6 t (h) 0
1 curto médio longo mt
0,3
Base de dados: Funções de pertinência para Tempo de regar. Passo 4: Fuzzifier, transforma números fuzzy em números crisp usando o Método Sugeno
Exemplo: Continuação
Sistema Fuzzy
Regras
Máquina de Inferência
Fuzzifier Defuzzifier
Entradas crisp
Saída crisp
29,5oC
38,5%
Se T normal (0,3) E U seco (0,3) então R médio (0,3) Se T normal (0,3) E U normal (0,1) então R médio (0,1) Se T quente (0,6) E U seco (0,3) então R longo (0,3) Se T quente (0,6) E U normal (0,1) então R médio (0,1)
8 h
Umidade
S N Ú
Frio Mo M C
Normal Mo M C
Quente L M C Tem
per
atu
ra
(0,3+0,3)
t = (0,3*6 + 0,3*10) = 8 h
Exemplo: Continuação