MATEMÁTICA DISCRETA PARA

ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃOProfa. Kathya Collazos Linares

O PROBLEMA DAS 3 CASAS

� É possível conectar os 3 serviços às 3 casas sem haver cruzamento de tubulação?

água luz telefone

A teoria dos grafos mostra que não é possível

PLANARIDADE

� Grafos planares: Grafo que pode ser desenhado no plano sem cruzamentos, isto é, duas arestas somente se encontram nos vértices onde são incidentes

u

y v

x w

GRAFOS PLANARES

� Três representações gráficas distintas para um K4

� K4 é um grafo planar pois admite pelo menos uma representação num plano sem que haja cruzamento de arestas (representação planar)

GRAFOS PLANARES

� Nem todos os grafos são planares

K3,3 e K5 são não planares

PLANARIDADE

� Todo subgrafo de um grafo planar é planar

� Todo grafo que tem um subgrafo não planar é não planar

� Todo grafo que contém o K3,3 ou K5

como subgrafos, é não planar

PLANARIDADE

� Definição: Sejam � = (�, �) um grafo e�, ∈ � tal que �, ∈ � . Diz-se que�� = (��, ��) é um grafo obtido de � por adiçãode um vértice de grau 2 se

�� = � ∪ � e�� = � �, ⋃ �, � , �,

Exemplo: O grafo F é um grafo obtido do grafo H pela inclusão do vértice x

H F

a

b

a

x b

PLANARIDADE

� Definição: Sejam � = (�, �) um grafo e�, , � ∈ � tais que���� � = 2, �, � , , � ∈� mas �, ∉ �. Diz-se que �� = (��, ��) é umgrafo obtido de � por remoção de um vérticede grau 2 se

�� = �\ � e�� = �\ �, � , �, ⋃ �,

Exemplo: O grafo H é um grafo obtido do grafo F pela remoção do vértice x e inclusão da aresta {a,b}

F H

a

b

a

x b

*Leia-se o símbolo ‘\’ como ‘sem’

PLANARIDADE

As duas definições anteriores são fundamentaispara a definição a seguir:� Definição: Dois grafos dizem-se homeomorfos

se um deles puder ser obtido do outro poradição ou remoção de vértices de grau 2.

Exemplo: Os grafos A e B são homeomorfos.

Os grafos B e C não são homeomorfos

A B C

� Os grafos G e H são homeomorfos, pois eles podem ser obtidos um do outro pela inserção ou remoção de vértices de grau 2 em suas arestas (tal operação é chamada de subdivisão elementar)

G H

PLANARIDADE

PLANARIDADE

O conceito de grafo homeomorfo é utilizado para a definição do teorema de Kuratowski:

Teorema de Kuratowski

“Um grafo é planar se e somente se não

contém nenhum subgrafo homeomorfo a

K3,3 ou K5 ”

PLANARIDADE

� Se G é um grafo planar, a representação planar de G divide o plano em regiões.

8 regiões 4 regiões

r4 é a região externa

r1 r2

r3 r5

r6r7r8

r4 r1

r2 r3

r4

PLANARIDADE

A fórmula de Euler

Seja G um grafo simples planar conectado com e

arestas e v vértices. Seja r o número de regiões narepresentação planar de G. Então:

r = e – v + 2