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CAPITULO 3 SIMULACIN

3.1 INTRODUCCIN

Simulacines el desarrollo de un modelo lgico-matemtico de un sistema, de tal forma quese obtiene una imitacin de la operacin de un proceso de la vida real o de un sistema a travs deltiempo. Sea realizado a mano o en una computadora, la simulacin involucra la generacin de unahistoria artificial de un sistema; la observacin de esta historia mediante la manipulacin experi-mental, nos ayuda a inferir las caractersticas operacionales de tal sistema. En la definicinanterior se citan dos pasos bsicos de una simulacin: a) desarrollo del modelo y 6)experimentacin. El desarrollo del modelo incluye la construccin de ecuaciones lgicasrepresentativas del sistema y la preparacin de un programa computacional. Una vez que se havalidado el modelo del sistema, la segunda fase de un estudio de simulacin entra en escena,experimentar con el modelo para determinar cmo responde el sistema a cambios en los nivelesde algunas variables de entrada.

Los trminos "sistema" y "modelo" tambin son importantes en la definicin descrita. Un sistemaes una coleccin de variables que interactan entre s dentro de ciertos lmites para lograr unobjetivo. El modelo por su parte es una representacin de los objetos del sistema y refleja de

manera sencilla las actividades en las cuales esos objetos se encuentran involucrados. 3.2 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LOS MODELOS DE SIMULACIN Ya que la simulacin es en muchas ocasiones una herramienta apropiada de anlisis, es

preciso considerar las ventajas y desventajas de su utilizacin.

Ventajas 1. Una vez construido, el modelo puede ser modificado de manera rpida con el fin de analizardiferentes polticas o escenarios. 2. Generalmente es ms barato mejorar el sistema va simulacin, qu hacerlo directamente en elsistema real.

3. Es mucho ms sencillo comprender y visualizar los mtodos de simulacin que los mtodospuramente analticos. 4. Los mtodos analticos se desarrollan casi siempre, para sistemas relativamente sencillosdonde suele hacerse un gran nmero de suposiciones o simplificaciones, mientras que con losmodelos de simulacin es posible analizar sistemas de mayor complejidad o con mayor detalle. 5. En algunos casos, la simulacin es el nico medio para lograr una solucin.

Desventajas 1. Los modelos de simulacin en una computadora son costosos y requieren mucho tiempo paradesarrollarse y validarse.

LECTURA 6.3

SIMULACIN Y ANLISIS DEMODELOS ESTOCSTICOSAzarang M., Garcia E.Mc. Graw Hill. Mxico

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2. Se requiere gran cantidad de corridas computacionales para encontrar "soluciones ptimas",lo cual repercute en altos costos.

3. Es difcil aceptar los modelos de simulacin. 4. Los modelos de simulacin no dan soluciones ptimas. 5. La solucin de un modelo de simulacin puede dar al analista un falso sentido de seguridad.

3.3 PROCESO DE DESARROLLO DE UN MODELO DE SIMULACIN ^

La metodologa para la creacin y desarrollo se puede resumir en el diagrama de flujomostrado en la figura 3.1, la cual incluye los siguientes pasos: 1. Definicin del sistema. Cada estudio debe comenzar con una descripcin del problema o delsistema. Si la descripcin es dada por los tomadores de decisiones, el analista debe asegurarse quese encuentre completa. Es decir, que exista una correcta identificacin del objetivo, de lasvariables de decisin, las restricciones, la medida de efectividad y las variables no controlables ysu comportamiento estadstico. 2. Anlisis del sistema.Deben describirse las interacciones lgicas entre las variables dedecisin, de tal suerte que se optimice la medida de efectividad en funcin de las variables nocontrolables, sin olvidar las restricciones del sistema. Con el fin de analizar un sistema, es indispensable definir algunos trminos. El estadode unsistema es el conjunto de variables que definen al sistema en cualquier instante. Un eventorepresenta un acontecimiento instantneo que modifica el estado del sistema. Una actividad representa el tiempo requerido para llevar a cabo una operacin. Una entidad es cualquier objetodentro del sistema, esta entidad puede ser esttica o dinmica, en este ltimo caso se denota comouna transacciny su principal caracterstica es su movimiento a travs de las entidades estticasdel sistema. Las entidades contienen propiedades llamadas atributos que permiten creardiferencias entre ellas. Por ejemplo, si definimos al sistemacomo una celda flexible demanufactura, las transaccionesson los pallets que se mueven a travs del sistema transportando elmaterial dentro de la celda; los atributospueden ser el tipo de pieza en el pallet, el peso de lospallets, etctera; las actividadesson las operaciones de procesamiento y transporte; las entidadesestticas son las mquinas de control numrico o los robots; los eventosson la llegada o salida deun pallet de cada estacin en la celda y, finalmente, las variables de estadoson el nmero depallets esperando en cada estacin o el nmero de estaciones ocupadas. 3. Formulacin del modelo.Consiste en generar un cdigo lgico-matemtico que defina enforma exacta las interacciones entre las variables; debe ser una definicin sencilla pero completadel sistema. Al generar las interacciones es importante tener en cuenta que se va a llevar a cabo atravs del tiempo y que el uso de listaso cadenas de eventosdarn la pauta en el manejo de lasvariables. Una lista es un arreglo en el que se van ordenando las transacciones de acuerdo con lasecuenciacin de eventos en el tiempo. Existen dos tipos de listas, las llamadas de eventos futurosdonde la secuencia depende del tiempo de ocurrencia del evento, y las de eventos actualescuyasecuenciacin depende de la ocurrencia de otro evento. Por ejemplo, el evento fin de proceso dela pieza, depende de la duracin del proceso de esa pieza, por lo que debe acomodarse en la listade eventos futuros; el evento inicio de proceso de la pieza i,depende del evento mquinadisponible, por lo que debe acomodarse en la lista de eventos actuales. 4. Seleccin del lenguaje.De la seleccin del lenguaje depender el tiempo de desarrollo delmodelo de simulacin, es importante utilizar el lenguaje que mejor se adecu a las necesidades desimulacin que se requieran. La seleccin puede ser desde usar un lenguaje general como lo esBASIC, PASCAL o FORTRAN hasta hacer uso de un paquete especficamente desarrollado parasimular sistemas de manufactura como el SIMFACTORY o el STARCEL, pasando por los yaconsolidados GPSS, SLAM, SIMAN, SIMSCRIPT, GASP y DYNAMO. 5. Codificacin del modelo.Consiste en generar las instrucciones o cdigo computacionalnecesario para lograr que el modelo pueda ser ejecutado en algn tipo de computadora. La

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duracin de este proceso est directamente relacionado con la seleccin del lenguaje, por ejemplo,un modelo que pueda ser codificado en GPSS en 20 minutos, podra llevar hasta 5 das enFORTRAN o PASCAL. 6. Validacin del modelo.Es el proceso que tiene como objetivo determinar la habilidad quetiene un modelo para representar la realidad. La validacin se lleva a cabo mediante lacomparacin estadstica entre los resultados del modelo y los resultados reales.

7. Experimentacin.En este paso se determinan las diversas alternativas que pueden serevaluadas, seleccionando las variables de entrada y sus diferentes niveles con la finalidad deoptimizar las variables de respuesta del sistema real. El uso de tcnicas como diseo deexperimentos, superficies de respuesta, Sim-plex EVOP, permiten llevar a cabo esteprocedimiento en forma estructurada.8. Implantacin. Una vez seleccionada la mejor alternativa, es importante llevarla a laprctica; en muchas ocasiones este ltimo paso es el ms difcil ya que se tiene que convencer a laalta direccin y al personal de las ventajas de esta puesta en marcha. Para esto se recomiendallevar a cabo un proceso de animacin que permita visualizar el comportamiento de la variablesen el sistema. Existen en el mercado paquetes computacionales que permiten hacerlo en pocotiempo y van desde los ms especficos como es el STARCELL que se aplica a celdas demanufactura, hasta los muy generales como el PROOF Animationque permite animar sistemassin importar la fuente de donde provenga el cdigo de simulador ya que maneja lascomunicaciones con base en archivos tipo texto. Al implantar hay que tener cuidado con lasdiferencias que pueda haber con respecto a los resultados simulados, ya que estos ltimos seobtienen, si bien de un modelo representativo, a partir de algunas suposiciones. 9. Monitoreo y control.No hay que olvidar que los sistemas son dinmicos y con el transcursodel tiempo es necesario modificar el modelo de simulacin, ante los nuevos cambios del sistemareal, con el fin de llevar a cabo actualizaciones peridicas que permitan que el modelo siga siendouna representacin del sistema.

Figura 3.1

Proceso dedesarrollo de un modelo desimulacin.

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3.4 DIAGRAMA DE RELACIN MODELO-SISTEMA El desarrollo detallado de un modelo de simulacin puede visualizarse mediante un

diagrama de actividades conocido como diagrama de relacin modelo-siste-ma. El diagrama semuestra en la figura 3.2 donde se pueden identificar seis actividades primordiales, algunas de lascuales ya fueron mencionadas. 1. Informacin histrica.Es la bsqueda fsica de la informacin y en el caso de variables

estocsticas, la transformacin a distribuciones de probabilidad. Esta transformacin se realizamediante pruebas de bondad de ajuste como la de Kolmogorov-Smirnov o la de Ji-cuadrada. 2. Generacin de variables aleatorias. Es el modelado matemtico de la informacin real quepresenta variabilidad en su comportamiento. Este modelado se realiza mediante la obtencin denmeros pseudoaleatorios, su validacin estadstica y su posterior transformacin a otro tipo devariables mediante mtodos como la transformada inversa o composicin.

3. Generacin del modelo computacional.Consiste en la creacin de un modelo mediante el usode relaciones matemticas, su representacin en una tabla de eventos y su codificacin en ellenguaje computacional ms adecuado al sistema; en dicho modelo se deben colocar lasrelaciones existentes entre las variables de entrada y las variables de salida. El tiempo dedesarrollo del modelo computacional depender de la magnitud del problema, del grado de detalleque se desee obtener y del lenguaje seleccionado. 4. Ejecucin del modelo. Consiste en el manejo del modelo con el fin de que arroje resultadossimilares a la realidad, tomando en cuenta las condiciones iniciales, el tiempo de estabilizacin delas variables y la ejecucin de varias rplicas. 5. Validacin de resultados.Es la comparacin estadstica entre los resultados obtenidos en elsistema real y los del modelo. Esta validacin puede realizarse a nivel de medias, variancias,forma de las distribuciones, correlacin.

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6. Diseo de experimentos. Una vez que el modelo ha sido validado, es necesarioexperimentar con el fin de optimizar el modelo de simulacin; esto se realiza haciendo cambiosen las variables de entrada del sistema y observando el comportamiento de la variable de salida.En este punto son tiles las tcnicas de diseo de experimentos, ingeniera de calidad, superficiesde respuesta, simplex EVOP.

3.5 GENERACIN DE VARIABLES ALEATORIAS 3.5.1 INTRODUCCIN

Una vez obtenida toda la informacin, es decir, los datos de entrada del sistema real, esnecesario convertirlos en informacin o datos de entrada del modelo de simulacin. Es posibledistinguir dos tipos de informacin: 1. Informacin determinstica.Esta informacin entra directamente al modelo con su valorcorrespondiente en el sistema real. 2. Informacin probabilstica.Es necesario crear modelos de simulacin que imiten elcomportamiento de esas variables. En el captulo 1 se mencionan algunos tipos de variabilidadque pueden existir. De esta forma, al crear un modelo de simulacin debemos ser capaces detomar ese comportamiento y modelarlo. Los nmeros aleatorios son la base en los modelos desimulacin donde hay variables estocsticas, ya que dichos nmeros son la herramienta paragenerar eventos de tipo proba-bilstico. La metodologa consiste en la creacin matemtica deexpresiones sencillas partiendo de lo que se conoce como generacin de nmeros aleatoriosuniformes entreO y 1.

3.5.2 MTODOS DE GENERACIN DE NMEROS PSEUDOALEATORIOS U (O, 1).

Existen un gran nmero de mtodos para generar los nmeros aleatorios entre O y 1. El mtodo autilizar, en s mismo, no tiene importancia; la importancia radica en los nmeros que genera, ya que estosnmeros deben cumplir ciertas caractersticas para que sean vlidos. Dichas caractersticas son: 1. Uniformemente distribuidos.

2. Estadsticamente independientes. 3. Su media debe ser estadsticamente igual a |. 4. Su varianza debe ser estadsticamente igual a . 5. Su periodo o ciclo de vida debe ser largo.

Los mtodos ms usuales son los siguientes:

Mtodos congruenciales

Ejemplo. Generar 5 nmeros con el generador congruencial multiplicativo siguiente con la semilla r 0 =47

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Existen reglas para la seleccin de las constantes, algunas de ellas son: c debe ser un entero impar, no divisible ni por 3 ni por 5. a usualmente puede ser cualquier constante. .Sin embargo, para asegurar buenos resultados, seleccione ade tal forma que (a) mod 8 = 5 para una computadora binaria o (a) mod 200 = 21 para una computadoradecimal. / TI debe ser el nmero entero ms grande que la computadora acepte.

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Una vez que se ha creado o se puede usar un generador es importante verificar si los

nmeros generados poseen las caractersticas mencionadas. La comprobacin de talescaractersticas se realiza mediante ciertas pruebas estadsticas, que son las siguientes: Prueba de medias Consiste en verificar que los nmeros generados tengan una media estadsticamente igual a |, deesta manera, se analiza la siguiente hiptesis:

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Paso 3 Si el valor de x se encuentra entre li^y ls, aceptamos que los nmeros tienen una media estadsticamente igual a | con un nivel de aceptacin 1 - a. Ejemplo. Realice la prueba de medias a los primeros 30 nmeros aleatorios entre O y 1 de ungenerador congruencial mixto, con un nivel de confianza del 95%. Los nmeros generados son

los siguientes: .03991 .10461 .93716 .16894 .98953 .73231 .25593 .34565 .02345 .67347 .10987 .25678 .71890 .61234 .86322 .94134 .99872 .27657 .82345 .12387 .05389 .82474 .59289 .36782 .72484 .48999 .50502 .39528 .36782 .90234

dado que el valor promedio se encuentra entre los lmites, se acepta la hiptesis H Q, es decir, sepuede afirmar que la media de los nmeros es estadsticamente igual a |.

Prueba de variancia Consiste en verificar si los nmeros aleatorios generados tienen una variancia de 0.083, del talforma que la hiptesis queda expresada como:

Paso 1 Calcular la variancia de los n nmeros generados V(x).

Paso 2 Calcular los lmites superior e inferior de aceptacin.

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Paso 3 Si V(x)se encuentra entre los valores de liv y lsv , aceptamos la hiptesis nula y los nmeros aleatorios tienen una variancia estadsticamente igual a ^. Ejemplo. Realice la prueba de variancia a los siguientes 30 nmeros con nivel de confianza del95%.

Prueba de forma Para realizar esta prueba se utiliza la prueba de bondad de ajuste % 2> descrita en el captulo 1.Esta prueba se emplear en el caso especfico de los nmeros aleatorios uniformes entre O y 1,para probar que un conjunto de datos siga esta distribucin. De esta manera la hiptesis propuestase resume como sigue

Ejemplo. Tomando los 30 nmeros del ejemplo anterior, determine con un nivel de confianzadel 95% si pertenecen a una poblacin uniforme. Dividiendo el rango de O a 1 en 10 intervalos y clasificando los 30 nmeros segn su valor y seobtiene la siguiente tabla.

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Intervalo FO 7717 _ 30 FE--

0.0-0.1 3 3 0.1-0.2 4 3 0.2-0.3 3 3 0.3-0.4 4 3 0.4-0.5

1

3 0.5-0.6 2 3

0.6-0.7 2 3 0.7-0.8 3 3 0.8-0.9 3 3 0.9- 1.0 5 3

se obtiene un valor de C = 3.66. Se compara con el valor de tablas x 2 con 10-0 -1 = 9 grados de libertad yun nivel de 5%, que es igual a 16.90, y la comparacin indica que los nmeros generados siguen unadistribucin uniforme entre O y 1. Pruebas de independencia

Las pruebas de independencia consisten en demostrar que los nmeros generados son

estadsticamente independientes entre s, esto es, que no dependen uno de otro. Para esto se propone lasiguiente hiptesis: H 0 : r ~ Independiente H i : r ~ Dependiente

Para realizar esta prueba de hiptesis existen varios mtodos, puede seleccionarse cualquiera de la

siguiente lista: Prueba de poker. Prueba de corridas arriba y abajo. Prueba de corridas arriba y abajo de la media. Prueba de la longitud de las corridas. Prueba de distancia. Prueba de series. Prueba de huecos. Los procedimientos para demostrar la independencia utilizando 3 de ellas son los siguientes:

Prueba de poker HQ : r ~ Independiente H : r i ~ Dependiente Paso 1 Calcular las probabilidades esperadas para un juego de poker con 5 cartas numeradas del O al 9 conremplazo, se tienen 7 eventos o intervalos, con las siguientes probabilidades: Pfc^i P(Pachuca) = 0.3024 P(Un par) = 0.5040 P(Dos pares) =0.1080 P(Una tercia) = 0.0720 P(Full) = 0.0090

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P(Pker) = 0.0045 P(Quintilla) =0.0001

Paso 2 Calcular la frecuencia esperada de cada uno de los eventos (FE) multiplicando la probabilidad de cada evento por el nmero de nmeros aleatorios generados. Paso 3 Para cada nmero aleatorio generado verificar (imaginando que es una mano de poker) si espachuca, un par, dos pares, etctera, tomando los primeros cinco dgitos a la derecha del puntodecimal. Por ejemplo, 0.03408 es un par, 0.44343 es un full, 0.00321 dos pares, etctera. Conesos resultados se generan una tabla de frecuencias de estos eventos. La frecuencia observada decada uno de los eventos se conoce como (FO). Paso 4 Calcular el estadstico C con la ecuacin 3.8 con m -7. Paso 5 Si el valor de C es menor o igual al estadstico de tablas x 2 con 6 grados de libertad y unaprobabilidad de rechazo a, entonces se acepta que los datos son estadsticamente independientesentre s.

Ejemplo. Realice la prueba de poker a los siguientes 30 nmeros con un nivel de confianza del95%. .72484 -.48999 .50502 .39528 .36782 .90234 .71890 .61234 .86322 .94134 .99872 .27657 .34565 .02345 .67347 .10987 .25678 .25593 .82345 .12387 .05389 .82474 .59289 .36782 .03991 .10461 .93716 .16894 .98953 .73231 Agrupando los nmeros de acuerdo con sus dgitos, como si fuera una mano de poker se obtiene

la siguiente tabla de frecuencias: Intervalo FO PE FE = (n * PE) Pachuca 14 0.3024 9.072 Un par 15 0.5040 15.120 Dos pares 1 0.1080 3.240 Una tercia 1 0.0720 2.160 Full 0 0.0090 0.270 Poker 0 0.0045 0.135 Quintilla 0 0.0001 0.003

El clculo de C utilizando de nuevo la ecuacin 3.8, es igual a 4.25 que comparado contra el valor

de tablas %2

con 7-1 = 6 grados de libertad, y con un nivel de 5%, que es igual a 12.59, indica quelos nmeros generados son estadsticamente independientes.

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Prueba de series H Q : r ~ Independiente HI : r ~ Dependiente Paso 7 Crear un histograma de dos dimensiones con m intervalos, clasificando cada pareja de nmerosconsecutivos (r, r + ) dentro de las casillas de dicho histograma de frecuencias. El nmero totalde pares ordenados en cada casilla formar la frecuencia observada: FO. Paso 2 Calcular la frecuencia esperada en cada casilla FE de acuerdo con FE = nm/m donde nm es el nmero total de parejas ordenadas. Paso 3 Calcular el error C, con la ecuacin 3.8. Paso 4 Si el valor de C es menor o igual al estadstico de tablas x 2 con m - I grados de libertad y unaprobabilidad de rechazo a, entonces aceptamos que estadsticamente los nmeros sonindependientes. Ejemplo. Realice la prueba de series a los siguientes 30 nmeros con un nivel de confianza del95%.

.72484 .48999 .50502 .39528 .36782 .90234 .71890 .61234 .86322 .94134 .99872 .27657 .34565 .02345 .67347 .10987 .25678 .25593 .82345 .12387 .05389 .82474 .59289 .36782 .03991 .10461 .93716 .16894 .98953 .73231

Al formar parejas ordenadas se obtiene (.72484, .48999) (.48999, .50502) (.50502, .39528)

(.98953, .73231) La clasificacin en una tabla de frecuencias de dos dimensiones de 4 x 4, (/n =16), queda

Tomando en cuenta que se tienen 29 parejas ordenadas clasificadas uniformemente en 16 casillas,la frecuencia esperada FE en cada una es 1.8125 y al calcular el error con la ecuacin 3.8, paracada una de las 16 celdas o intervalos de la tabla anterior, se tiene

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El valor de la tabla x 2 con un nivel de confianza del 95% y con 15 grados de libertad es igual a25. Si se compara C = 5.75 con este valor, se acepta la independencia de la secuencia de nmeros.

3.5.4 MTODOS DE GENERACIN DE VARIABLES ALEATORIAS

Una vez aceptadas las pruebas de media, variancia, forma e independencia sobre losnmeros aleatorios entre O y 1, se puede hacer uso de esos nmeros para generar variablesaleatorias con otro tipo de distribucin. Existen varios mtodos para generar variables aleatorias: Mtodo de la transformada inversa. Mtodo de convolucin. Mtodo de aceptacin y rechazo. Mtodo directo.

Mtodo de la transformada inversa para distribuciones continuas Este mtodo se utiliza cuando se desea simular variables de tipo continuo como exponencial,Weibull, uniforme general, etctera. El mtodo utiliza la distribucin acumulada F(x)de ladistribucin de probabilidad que se va a simular mediante integracin. Ya que el rango de F(x)seencuentra en el intervalo O a 1, puede generarse un nmero aleatorio ?\ para determinar el valorde la variable aleatoria cuya distribucin acumulada es igual, precisamente, a r. La figura 3.3 muestra en forma grfica la metodologa para una funcin cualquiera f(x)continua:

La dificultad de este mtodo radica en que algunas veces es complicado encontrar la transformada inversa. Distribucin exponencial Se desea simular una variable aleatoria con distribucin exponencial; la funcin de densidad es

La distribucin acumulada de esta funcin de O a un valor x es:

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Igualando la funcin acumulada F(x)al nmero aleatorio r y encontrando la transformada inversa(despejando x) se obtiene:

Distribucin uniforme general (a, b) Se desea simular n meros aleatorios con distribucin uniforme entre a y fe; la funcin de densidad es

La distribucin acumulada de esta funcin de O a un valor x es:

Igualando la acumulada de la funcin F(x)al n mero aleatorio r y encontrando la transformada inversa(despejando x) se obtiene:

Mtodo de la transformada inversa para distribuciones discretas Se utiliza cuando se desea simular variables aleatorias de tipo discreto, como la distribucin Bernoulli,binomial, Poisson, discreta general, etctera. El procedimiento es similar al continuo pero el valor de F(x)se encuentra acumulando las probabilidades de los eventos individale sp(x).Tambin en este caso, F(x)est definida en el intervalo O a 1; se genera un n mero aleatorio r y se determina el valor de la variablealeatoria cuya distribucin acumulada es igual a r. La figura 3.4 muestra en forma grfica el procedimiento anterior para una funcin cualquiera p(x)discreta. La dificultad de este mtodo radica en que no existe una expresin final sencilla, como en el caso de lacontinua.

Figura 3.4 Mtodo grfico de latransformadainversa.Distribucionesdiscretas.