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Trabalho Completo ATPS Calculo 3

ATPS Calculo 3Imprimir Trabalho!Cadastre-se - Buscar 155 000+ Trabalhos e Monografias

Categoria: Outras

Enviado por: pamelacaporusso 06 outubro 2013

Palavras: 3272 | Páginas: 14

ETAPA 1

Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, a teoria de integrais indefinidas e definidas, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Você também irá aprender o conceito de integral como função inversa da derivada.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passo 1

O Cálculo Diferencial e Integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente Cálculo, é um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido).

O Cálculo auxilia em vários conceitos e definições na matemática, química, física clássica, física moderna e economia. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em certas áreas da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do cálculo. O cálculo tem inicialmente três "operações-base", ou seja, possui áreas iniciais como o cálculo de limites, o cálculo de derivadas de funções e a integral de diferenciais. Foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes.

A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida como Soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida.

Com o advento do "Teorema Fundamental do Cálculo" estabeleceu-se uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. De acordo com Isaac Barrow, professor de Isaac Newton, esses dois problemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos inversos.

Historicamente, o primeiro método de utilizá-lo era pelas infinitesimais. Estes objetos podem ser tratados como números que são, de alguma forma, "infinitamente pequenos". Na linha numérica, isso seria locais onde não é zero, mas possui "zero" de distância de zero. Nenhum número diferente de zero é um infinitesimal, porque sua distância de zero é positiva. Qualquer múltiplo de um infinitesimal continua sendo um infinitesimal.

Passo 2

Leiam os desafios propostos.

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ∫(a^3/3+3/a^3 +3/a)da

∫▒〖3/a^3 +3/a+a^3/3 da=〗

3∫▒〖1/a^3 da+1/3 ∫▒〖a^3 da〗+3∫▒1/a da=〗

a^4/12+3∫▒〖1/a^3 da+3∫▒1/a da=〗

a^4/12-3/〖2a〗^2 +3∫▒1/a da=

a^4/12-3/〖2a〗^2 +3ln〖(a)〗+C

Alternativa “B”

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal C’(q) = 1000+50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

C´(q) = 1000+50q

∫(1000+50q) dq

25q^2+1000q+С

C(0) = 10.000 (q=0)

1000 *0+25*0²+C=10.000

C =10.000

1000q +25q²+10.000

Alternativa “B”

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por:

C (t) = 16,1*e^0,07t

Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

(a) 56,43 bilhões de barris de petróleo

(b) 48,78 bilhões de barris de petróleo

(c) 39,76 bilhões de barris de petróleo

(d) 26,54 bilhões de barris de petróleo

(e) Nenhuma das alternativas

1990 = instante inicial t = 0

1992 – 1994 = 2 anos = 24 meses

a = 0 e b = 24

f(x)=(∫_a^b▒f(x)dx)/(b-a)

∫_0^24▒(16,1*e^0,07t)/(24-0) dt

= 41,83 bilhões de barris de petróleo.

Alternativa “E”

Desafio D

A área sob a curva y=e^(x/2) de x=-3 a x=2 é dada por:

4,99

3,22

6,88

1,11

2,22

Calculo de área:

A=∫_a^b▒█(f(x)dx=F(a)-F(b) )

∫_(-3)^2▒█(e^(x/2) ) dx=(-3)-(2)=4,99

Alternativa “A”

Passo 3

Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D justificando através dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Desafio A

Escolhemos como resposta a alternativa "b" devido aos cálculos de resolução através da integração dos dados do exercício. Associamos ao nº 3

Desafio B

Chegamos a conclusão que a alternativa correta é a letra "b", após efetuarmos os devidos cálculos. Associamos ao nº 8

Desafio C

Chegamos a conclusão que a alternativa "e" é a correta segundo nossos cálculos , pois, o valor que encontramos não condiz a nenhum valor das outras alternativas anteriores.

Associamos ao nº 0

Desafio D

Segundo nossa análise gráfica do exercício e a realização do cálculo , podemos concluir que a alternativa correta é a letra"a".

Associamos ao nº 9

Passo 4

Os números encontrados são 3,8,0,9

ETAPA 2

Aula-tema: Integração por Substituição. Integração por Partes.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, a técnica de integração por substituição e por partes, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Você também irá aprender a resolver vários tipos de integrais com suas respectivas peculiaridades.


Passo 1

No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte, onde u e v são funções de classe C1 no intervalo , ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b.

A fórmula canônica é dada pela seguinte expressão:

∫_a^b▒〖u(x) v^' (x)dx=[u(x)v(〖x)]〗_a^b 〗-∫_a^b▒〖u^' (x)v(x)dx〗

ou, ainda, de forma mais enxuta:

∫▒〖udv=uv-∫▒vdu〗

Nesta seção, estudaremos o método da integração por substituição, este método consiste em transformar algumas integrais em integrais mais simples através da substituição de certas funções por uma variável auxiliar, imagine o seguinte problema:

Calcule: ∫▒〖(3x-〖2)〗^8 dx〗

Note que ainda não sabemos como resolver esta integral, mas, não seria muito interessante se tivéssemos uma expressão do tipo ? E o que faremos a seguir:

Fazendo a substituição z = 3x –2, e derivando implicitamente temos: dz = 3 dx dx =

E substituindo na integral original teremos:

= = = , substituindo z por 3x –2 , temos:

=

Exemplo:

Calcule: :

A pergunta que surge agora é a seguinte: qual função iremos substituir por z? A resposta, é que iremos substituir por z a função cuja derivada esta multiplicando a outra função da integral, portanto, neste problema, faremos a seguinte substituição:

z = x2 –5x+6 dz = (2x – 5) dx, substituindo na integral teremos:

= , e substituindo z por (x2 –5x+6) temos:

=

Passo 2

Considerem as seguintes igualdades:

(I) ∫▒〖(3-t).(t^2 〗-6〖t)〗^4 dt= (-(t^2-6〖t)〗^(5 ))/10+C

(II) ∫_0^5▒〖t/√(t+4) dt=4,67〗

Podemos afirmar que:

(I) e (II) são verdadeiras

(I) é falsa e (II) é verdadeira

(I) é verdadeira e (II) é falsa

(I) e (II) são falsas

(I)

∫▒〖(3-t).(t^2-6〖t)〗^4 dt=〗

-t^10/10+3t^9-36t^8+216t^7-648t^6+〖3888 t〗^5/5=

-1/10(t^2-6〖t)〗^5+C

(II)

∫_0^5▒〖t/√(t+4) dx=5t/√(t+4)〗

5t/2-〖5t〗^2/16+〖15t〗^3/256-〖25t〗^4/2048+(175t^5)/65536+0(t^6 )=4,6666

Passo 3

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos

cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio:

Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (b).

Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (d).

De acordo com os resultados das integrais a alternativa correta é a letra “A” I e II são verdadeiras, Associamos ao número 4.

Passo 4

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de

Relatório 2 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

Resposta: Os números encontrados foram 3,8,0,9,4

ETAPA 3

Aula tema: Cálculo de Área.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, como se dá o cálculo de área, usando a teoria de integrais para tanto.


Passo 1

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de cálculo de área, usando teoria de integrais para isso. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração na resolução de exercícios que envolvam área obtida por duas ou mais curvas.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das desta forma de calcular área gerada por duas ou mais curvas e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Passo 2

Leiam o desafio abaixo:

Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As áreas de S1 e S2 são,

respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.

Podemos afirmar que:

(a) (I) e (II) são verdadeiras

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa

(d) (I) e (II) são falsas

Encontramos a área da região S1 = {x,y / x,y Є R} delimitada pelas curva abaixo

Escrevamos as equações y = ax+b

Pontos (1,1) e (0,0): 1 = a1+b

0 = a0+b b = 0

Assim: 1 = a+b, se b = 0

A + 0 = 1 a = 1

y = x (equação 1)

Pontos (2,½) e (0,0) : ½ = a2 + b

1 = 4ª + 2b b = 0

Assim: 4ª = 1 a = ¼

y = ¼x (equação 2)

A área S1 será, então, dada por: S=∫_0^1▒(x-¼x)dx + ∫_1^2▒〖(1/x〗-¼x)dx

Resolvendo separadamente

∫_0^1▒(x-¼x)dx = ∫_0^1▒〖((4x-x))/x dx〗 = ∫_0^1▒〖¾x dx〗 = ¾∫_0^1▒xdx = ¾(x^2/2)|_0^1 = ¾( 1^2/2-0)

= ¾. ½ = 0,375

∫_1^2▒1/x-¼x)dx = ∫_1^2▒1/x dx- ∫_1^2▒〖¼x〗 = lnx |_1^2 - ¼ ∫_1^2▒xdx =

=[ln2 – ln1] - ¼ [x^2/2 〖]|〗_1^2

= 0,6931 - ¼[2^2/2-1^2/2]

=0,6931 - ¼[2-½]

=06931 – 0,375

= 0,318

Portanto: S1 = 0,375 + 0,318 = 0,693

Assim a alternativa é verdadeira.

Encontremos a área na região S2= {x, y / x, y Є R} delimitada pelas curvas abaixo.

A1 = ∫_(-4)^4▒〖f´(x)dx〗 = ∫_(-4)^4▒4/x dx

A1 = 4∫_(-4)^4▒dx/x Não converge, podemos ver claramente pelo gráfico ao lado.

Em x = 0, a função diverge.

O mesmo ocorre para f_2 (x) = (-4)/x.

Assim:

A2 = ∫_(-4)^4▒〖(-4)/x dx 〗 não converge

Como as duas integrais não convergem não se consegue determinar a área S2.

Portanto a alternativa é falsa.

Passo 3

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos

cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio:





Passo 4



1. Os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. A sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

ETAPA 4

Aula-tema: Volume de Sólido de Revolução.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, como se dá o cálculo do volume de um sólido de revolução, usando a teoria de integrais para tanto.


Passo 1

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de cálculo do

volume de um sólido de revolução. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e

em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas

de integração no cálculo de volume.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das desta forma de calcular o

volume de um sólido de revolução e elaborem um texto dissertativo, contendo as

principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa

será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Passo 2

Considerem os seguintes desafios:

Desafio A

A área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da curva

dada por

Está correta essa afirmação?

Seja ƒ continua em [a,b], e seja R a região delimitada pelo gráfico ƒ no eixo x e pelas retas verticais (x = a) e (x = b). O volume V do solido em revolução gerado pela revolução em R em torno do seu eixo é:

V=lim ∑π[ƒ(wk)]^2. ∆x_k = ∫_a^b▒〖π[ƒ(x)]^2 〗 dx

||p|| 0

Assim temos:

ƒ(x) = y = 4√x , x_1 = ¼ , x_2 , = 4 , r : eixo –x (ou y = 0)

V=∫_¼^4▒〖π(4√(x )〗 )^2dx = π ∫_¼^4▒〖16 (x)dx〗 = 16π∫_¼^4▒xdx

V=16π[x^2/2 |_¼^4] = 16π[(4^2/2)-(¼^2/2)] = 16π [8-0,03125]

V= 127,5π u.a.

A alternativa esta errada, pois 2π/3 (128√2-17√17 > 127,5π

Considere um sólido S obtido pela rotação, em torno do eixo x, da região delimitada entre o gráfico da função ƒ e o eixo x no0 intervalo [a, b], sendo ƒ (x) ≥ 0 neste intervalo e ƒ possuindo uma derivada contínua. A área da superfície de S será dada por:

A = ∫_a^b▒〖2π ƒ (x) √(1+[ ƒ´(x)]^2 )〗

Calculando a derivada de ƒ (x)

ƒ (x) = 4 √x = 4 (x)^½

ƒ´ (x) = 4.½ (x^(-½))

ƒ (x) = 2/√x

Calculando a integral:

A = ∫▒〖(4√x〗) √(1+(2/√x) ) dx = ∫▒√x (√(1+ 4/x) ) dx =

A = ∫▒√x (√(1 ) + √(4/x) dx = ∫▒√x (1 + 2√(1/x) ) dx =

A = ∫▒〖(2 1/√x 〗 √x + √x )dx = ∫▒〖(√(x dx)〗 + 2√(1/x) √x dx )

Substituindo:

u = √x

du = ½√x

A = 4 ∫▒〖u du〗 + ∫▒√x dx = 4 ∫▒〖u du 〗+ 2⁄3 x^(3/2) = 2u^2 + 2⁄3 x^(3/2) + C

A = 2x + 2⁄3 x^(3/2) + C

A = 2⁄3 x (√x + 3) + C

Substituindo os limites de integração temos:

A = 2π [2⁄3 x (√x +3) ]|_¼^4

A = 4π/3 [x (√x + 3)]|_¼^4

A = 4π/3 {[4 (√(4+3) )] – [¼ (√(¼) + 3)]}

A = 4π/3 [4 (5) – [¼ (( 7)⁄2 )]}

A = 4π/3 {20 - 7⁄8 }

A = 153/6π

Portanto a alternativa é falsa.

Desafio B

Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta y = 2 ,

da região R delimitada pelos gráficos das equações: y = sen x , y = (senx)3 de x = 0 até x = π/2 ?

Seja ƒ [a ,b] R uma função contínua tal que ƒ (x) ≥0, xЄ[a,b] e R a região limitada pelo gráfico de ƒ , pelas retas x = a e x = b e y = l. considere o solido de revolução S obtido girando a região ao redor da reta y = l. então, o volume V (S) do solido é:

V (S) = π∫_a^b▒〖(ƒ(x)- l)^2 〗dx

Assim, façamos separadamente:

V_1(s) = π∫_0▒/2 (〖sen〗^3(x)-2)^2 dx, calculemos a integral imprópria

V_1(s) = π∫▒〖(sen〗^6 x- 4〖sen〗^3+4)dx

V_1(s) = π∫▒〖4dx+ 〗 π∫▒〖(sen〗^6 xdx - 4π∫▒〖sen〗^3 xdx

Utilizando a formula da redução:

〖sen〗^mxdx = + (-cos x .〖sen〗^(m-1) x)/m + (m+1 )/m ∫▒〖sen〗^(m+2 ) xdx, onde m = 3

V_1(s) = 4⁄(3 )π〖 sen〗^2x cos x, π∫▒4dx + π∫▒〖sen〗^6 xdx - 8⁄3 π ∫▒〖sen x dx〗

V_1(s) = 8⁄3 π cos x + 4⁄(3 )π〖 sen〗^2x cos x + π∫▒4dx + π∫▒〖sen〗^6 xdx

Utilizando a formula de redução novamente para m = 6

V_1(s) = 8⁄3 π cos x+ 4⁄(3 )π〖 sen〗^2x cos x - 1⁄6 π 〖sen〗^5x cos x + π∫▒4dx + 5⁄6 π ∫▒〖sen〗^4 xdx

V_1(s) = 8⁄3 π cos x - 1⁄6 π 〖sen〗^2x cos x - 5⁄24 π〖sen〗^3cos x + 4⁄(3 )π〖 sen〗^2x cos x+ π∫▒4dx +

5⁄8 π ∫▒〖sen〗^2 xdx

Onde:

〖sen〗^(2 )(x) = ½ - ½ cos (2x)

V_1(s) = 8⁄3 π cos x - 1⁄6 π 〖sen〗^5x cos x - 5⁄24 π〖sen〗^3cos x + 4⁄(3 )π〖 sen〗^2x cos x+ π∫▒4dx +

5⁄8 π∫▒〖(½-½cos〖2(x))dx〗〗

V_1(s) = 8⁄3 π cos x - 1⁄6 π 〖sen〗^5x cos x - 5⁄24 π〖sen〗^3cos x + 4⁄(3 )π〖 sen〗^2x cos x+5⁄8 π ∫▒½dx+ π∫▒4dx-5⁄16 π∫▒cos(2x)dx

Façamos

u = 2x

du = 2dx

V_1(s) = -5⁄32 π∫▒cos〖u du〗 +8⁄3 π cos x- 1⁄6 π 〖sen〗^5x cos x -( 5)⁄24 π〖sen〗^3cos x +

4⁄(3 )π〖 sen〗^2x cos x + π∫▒4dx+5⁄8 π ∫▒½dx

V_1(s) = -5⁄32 π sen u +8⁄3 π cos x + π∫▒4dx +( 5)⁄8 π ∫▒½dx - 1⁄6 π 〖sen〗^5x cos x –

( 5)⁄24 π〖sen〗^3cos x + 4⁄(3 )π〖 sen〗^2x cos x

V_1(s) = -5⁄32 π sen u+ 5πx/16 + 8⁄3 π cos x + π∫▒4dx - 1⁄6 π 〖sen〗^5x cos x –

( 5)⁄24 π〖sen〗^3cos x + 4⁄(3 )π〖 sen〗^2x cos x

V_1(s) = -5⁄32 π sen u+ 69πx/16 + 8⁄3 π cos x - 1⁄6 π 〖sen〗^5x cos x –

( 5)⁄24 π〖sen〗^3cos x + 4⁄(3 )π〖 sen〗^2x cos x + C

V_1(s) = 69πx/16 -5⁄32 π sen (2x) + 8⁄3 π cos x - 1⁄6 π 〖sen〗^5x cos x –

( 5)⁄24 π〖sen〗^3cos x + 4⁄(3 )π〖 sen〗^2x cos x + C

Substituindo os limites de integração x = 0 e x = π/2:

V_1(s) = 1/96π (207π – 256)

V_1(s) ≈ 12, 9038

Agora façamos V_2(s) = π∫_0^(π/2)▒〖(sen x-2)^2 〗dx, começamos pela integral imprópria.

V_2(s) = π∫▒〖(〖sen〗^2 〗x – 4 sen x + 4 ) dx

V_2(s) = π∫▒〖(〖sen〗^2 〗xdx – 4∫▒〖sen x dx 〗+ ∫▒〖4 dx〗

V_2(s) = π[∫▒〖(½ - ½ cos (2x))〗dx - 4∫▒〖sen x dx 〗+ 4∫▒〖 dx〗]

V_2(s) = π[∫▒1/2dx - ∫▒1/2 cos (2x)dx - 4∫▒〖sen x dx 〗+ 4∫▒〖 dx〗]

u = 2x

d u = 2 dx

V_2(s) = π[½∫▒〖dx- ½〗 ∫▒cos〖 u 〗 du/2 - 4∫▒〖sen x dx 〗+ 4∫▒〖 dx〗]

V_2(s) = π[½∫▒〖dx-¼〗 sen u - 4∫▒〖sen x dx 〗+ 4∫▒〖 dx〗]

V_2(s) = π[½∫▒〖dx-¼〗 sen (2x) + 4 cos x + 4x]

V_2(s) = π[9⁄2 π - ¼ sen (2x) + 4 cos x

Substituindo os limites de integração:

V_2(s) = {π(9π/4 - 4 )}

V_2(s) = 9,6402

Então o volume do solido será dado por:

V (s) = V_1 - V_2

V (s) = 12,9038 – 9,6402

V (s) = 3,26

Alternativa A

Passo 3

Resolvam o desafio A, julgando a afirmação apresentada como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados.

Marquem a resposta correta do desafio B, justificando por meio dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:

Associem o número 4, se a resposta estiver certa.

Associem o número 9, se a resposta estiver errada.

Para o desafio B:





Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (e).

Passo 4



1. Os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. A sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

3. Colocar na ordem de realização dos desafios, os números encontrados indicando por

meio da sequência montada, os milhões de metros cúbicos que poderão ser extraídos do novo poço de petróleo recém descoberto pela empresa Petrofuels.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo

Acesso em: 15 de setembro de 2012.

Disponível em: http://www.mtm.ufsc.br/~taneja/MATREDE/Math4/Math4.html


Disponível em: http://www.matematiques.com.br/download.php?tabela=documentos&id=392


Trabalho Completo Calculo3

Calculo3Imprimir Trabalho!Cadastre-se - Buscar 155 000+ Trabalhos e Monografias

Categoria: Outras

Enviado por: duda3333 30 março 2013


Índice:

Introdução .................................................................................................................. 4

objetivo ...................................................................................................................... 5

Historia dos surgimentos das integrais .................................................................... 6

Passo 2, desafio A,B e C.............................................................................................. 7

Desafio D, Passo 3 e Passo 4....................................................................................... 8

Etapa 2 Passo 2 e Passo 3 ........................................................................................... 9

Conclusão e referência................................................................................................ 10

Introdução

O atps mostra o inicio da história da integral e seus principais autores .

A integral foi um calculo descoberto para o uso de calculo de área exato .E o atps mostra esses cálculos usados na pratica da vida real, e em alguns desafios que nos treinam para compreendermos a matéria . dentro de todos os desafios os cálculos de cada passo nos dão um numero que equivale as respostas dadas dos desafios , esses números ao final Dara m a resposta do desafio do atps .

Objetivos

Aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos instrumentais a engenharia.

Projetar e conduzir experimentos e interpretar resultados.

Identificar, formular e resolver problemas de engenharia.

Realizar desafios para melhor compreender a matéria calculo III.

Historia dos surgimentos das integrais

Foi desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independetes.

O cálculo diferencial integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente cálculo, é um ramo da matemática desenvolvido a partir da álgebra e da geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variações de grandezas (como inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), em que há movimento ou crescimento e que forças variáveis agem produzindo aceleração.

O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas.

Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física.

Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje.

O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.

Newton aperfeiçoou-se nos resultados da tangente e quadratura dos primeiros dois terços do século XVII. Ele afirmava em termos físicos quais eram os dois problemas mais básicos de cálculo: Dado o comprimento do espaço continuamente, isto é, em todo instante de tempo, encontrar a velocidade do movimento, isto é, a derivada em qualquer tempo dado; 2) Dada a velocidade de movimento continuamente, encontrar o comprimento do espaço, isto é, a integral ou a antiderivada, descrita em qualquer tempo proposto.

Mas no lugar de derivadas, Newton empregou flúxions de variáveis, denominados, por exemplo, de x, e em vez de antiderivadas, usou o que ele chamou de fluentes. A partir de Gregory Newton adotou-se a idéia de que a área entre uma curva y e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x. De fato, Newton pensou na área como sendo realmente gerada pelo movimento da reta vertical t = x. Assim, o flúxion da área era simplesmente yx. Então, a técnica de Newton para encontrar tais quadraturas era encontrar o fluente de y, equivalente a encontrar nossas antiderivadas.

As idéias de Leibniz sobre integrais, derivadas e cálculo em geral foram desenvolvidas a partir de analogias com somas e diferenças. Por exemplo, para o teorema fundamental do cálculo, se fosse dada uma sequência finita de números tais como: y,0,1,8,27,64,125 e 216, com diferenças y:1,7,19,37,61 e 89, ele notou que a soma das diferenças, y= (1-0)+

(8-1)+(27-8)+......(216-125), alternavam-se em torno da diferença entre o primeiro e o último valor de y, 216-0. Já para Leibniz, uma curva era um polígono feito de um número infinito de lados, cada um com comprimento”infinitesimal”.

O conceito de integral é mais antigo que o de derivada. Enquanto este surgiu no

século XVII, à idéia de integral, como área de uma figura plana ou volume de um sólido, surge e alcança um razoável desenvolvimento com Arquimedes (285-212a.C.) na

antiguidade. Naquela época, entretanto, a matemática era muito geométrica, não havia

simbologia desenvolvida, portanto, faltavam recursos para o natural desabrochar de um

“calculo integral” sistematizado.

Passo 2

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:∫▒(a^3/3 □(+3/a^3 ) □(+3/a)) ?

∫▒(a^3/3) =a^4/12

∫▒(3/a^3 ) =(-3)/(2a^2 )

∫▒〖(3/a)=3 lna 〗

Resposta (b) : F(a)= a^4/12-3/(2a^2 )+3lnaDesafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de

U$ 10.000 e um custo marginal de C¢(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é aprofundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000 , a alternativa que expressa C(q) , o custo total para se perfurar q pés, é:

∫▒〖1000+50q dx=1000+25q^2 〗

Resposta (a) C(q) = 10.000+1.000q+25q^2

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu

exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para

C(t) é dado por: t C t e 0,07 =16,1× . Qual das alternativas abaixo responde corretamente

a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

C(t)= e^0,07t.16,1 c(t) C(t)= e^0,07t.16,1

C1= e^0,07.2.16,1 c1= e^0,07.4.16,1

C1= 18,52 bilhões c1= 21,30 bilhões

Para 1992 para 1994

18,52 bilhões + 21,30 bilhões = 39,76 bilhões

Resposta (c).

Desafio D

A área sob a curva y=e^(x/2) de x=-3a x= 2 é dada por :

:

32ex2dx

u=x2

du= ddxx.2-x.ddx222=24dx=

du=12dx=

2du=dx

-32eu2.du=

2-32eudu=2.ex22-3=2.e22-2.e-32=5,43-0,44=4,99

Resposta (a)

Passo 3

Para o desafio A:

Para o desafio A obtimos a resposta da alternativa (b) que tem associação com o numero 3 ... para realização dos cálculos temos como referencia os exercícios em aula e.

Para o desafio B:

Para esse desafio obtimos a alternativa (a) que associasse com o numero 0 ... para fazer o calculo tivemos que rever calculo 2 .Para o desafio c :

Para esse desafio obtimos a alternativa (c) que associasse ao numero 1...

Para a realização dos cálculos usamos a diferença de anos dado pelo problema.

Passo 4

Para o desafio D:

Para esse desafio obtimos a alternativa (a) que associasse a o numero 9 ....para realizaçao do calculo usamos a regra da substituição .

A sequencia de números encontrados é de 3019 , esse resultado é a quantidade de petróleo que pode ser extraído mensalmente ... que resulta nos desfios feitos na primeira etapa .

ETAPA – 2

Passo 2


I) ∫▒〖(3.-t)〗 . (t^2 -6t)^4 dt =(-(t^2-6t)^5+c)/10 +c II) ∫_0^5▒t/√(t+4)dt=4,67

Qual alternativa está correta:

∫▒〖(3.-t)〗 . (t^2 -6t)^4 dt

w = t² - 6t w4- dw2

dw = 2t – 6 dt -12 w4 dw

dw = 2(t – 3) dt →→→ -12 ∙ w55+ C

-dw2=t-3dt t2-6t5+c/10

∫_0^5▒t/√(t+4)dt=4,67

05t dtt+4

2 t-2 ∙43 ∙ 12 t+4

2t-83= t+4

2 ∙5-83= 5+4 2 ∙0-83= 0+4

-2 • 3 →→→ - 163 ∙2

-6 -323= -10,67

-6+10,67=4,67

A resposta é a alternativa (a)

Passo 3

Temos como resposta do passo 3 o numero 4 .. usamos o método de substituição.

Conclusão

Os cálculos feitos nessas etapas do atps , faz com que entendemos e aprendemos melhor como funciona um calculo de integral .. usando algumas regras, como de substituição .

E nos ajudou a compreender a importância do manuseio das técnicas da integração . feitas em todas as etapas.

Referencias

https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral

Plt matemática aplicada.

E aprendizado em sala de aula.

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Categoria: Tecnologia

Enviado por: marceloabe 25 setembro 2013


Etapa 1

Passo 2

Leiam os desafios propostos:

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ∫▒〖(a^3/3+3/a^3 +3/a)〗 da ?

R: ∫▒〖1/3.a³+3a^(-3)+3/a〗

1/3.a^4/4+(3a^(-2))/(-2)+ 3 ln|a|+ C

a^4/12-3/(2a^2 )+ 3 ln|a|+ C

Alternativa: B

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C'(q) = 1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para perfurar q pés, é:

C'(q) = ∫▒〖1000+50q dx=1000q+(50q^2)/2〗

=1000q+25q^2

C(q)= 10.000+1000q+25q^2

Alternativa: A

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t), é dado por: é dado por: C(t)=16,1.e^(0,07.t). Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

C(t)=16,1.e^(0,07.t)

∫_2^4▒〖16,1 .e^(0,07.t) 〗

16,1.∫_2^4▒e^(0,07.t)

U=0,07.t

du/dx=0,07

dx=du/0,07

16,1/0,07.∫_2^4▒〖eû.du〗

16,1/0,07.eû

16,1/0,07.e^(0,07.t)

304,31-264,56=39,75

Alternativa: C

Desafio D

A área sob a curva y=e^(x/2) de x = -3 a x= 2 é dada por:

U= x/2

du/dx=1/2

dx=2du

∫_(-3)^2▒〖eû .2du〗

2.eû

2.e^(x/2) x de 2 a-3

5,43 - 0,44 = 4,99

Alternativa: A

Sequência: 3, 0, 1, 9

Etapa 2

Passo 2


I) ∫▒〖(3-t).(t^2-6t)^4 dt=(-(t^2-6t)^5+C)/10〗

I) U=t²-6t

du=2t-6 dt

du= -2t.(-t+3).dt

du/2=(3-t).dt

∫▒〖(t^2-6t)^4.(3-t).dt 〗

∫▒〖u^4.du/(-2)=u^5/5.-1/2〗

-u^5/10=(-(t^2-6t)^5+C)/10

II)∫_0^5▒(t.dt)/√(t+4)

U = t+4

T = u – 4

du = dt

∫_0^5▒〖(u-4.du)/√u = ∫_0^5▒〖(u.du)/√u- ∫_0^5▒(4.du)/√u〗〗

∫_0^5▒〖u/√u.√u/√u .du- ∫_0^5▒〖4/√u.√u/√u.du〗〗

∫_0^5▒〖((u.√u))/u.du- ∫_0^5▒〖(4.√u)/u.du〗〗

∫_0^5▒〖√u .du -4.∫_0^5▒〖√u/u.du〗〗

2/3.u.√u-8√u

2/3.(t+4).√(t+4)-8.√(t+4)

((2/3).9.3-8.3)-((2/3).4.2-8.2)

(54/3-24/1)-(16/3-16/1)

((54-72)/3)-((16-48)/3)

(-18/3)-(-32/3)

-18/3+32/3=14/3 ≅ 4,67

Alternativa: A (I) e (II) são verdadeiras.

Sequência: 4

Referências

STEWART, James. Cálculo, volume II, 4ª edição, São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2002.

HUGHES-HALLETT, Deborah. Cálculo de uma Variável. 1ª ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2009

trabalho completo atps calculo 3

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