DESAFIO

O petróleo (do latim petroleum, onde petrus = pedra e oleu =

óleo) é um recurso natural abundante, definido como um

composto de hidrocarboneto, oleoso, inflamável, geralmente

menos denso que a água e que possui uma coloração que variado

incolor até o preto.

Na Antiguidade, era usado para fins medicinais e para

lubrificação. Atribuíam-se ao petróleo propriedades

laxantes,cicatrizantes e anti-sépticas. Atualmente, se configura a

principal fonte de energia do planeta. Além de gerar gasolina,

que serve de combustível para grande parte dos automóveis que

circulam no mundo, vários produtos são derivados do petróleo,

como por exemplo, a parafina, o asfalto, querosene, solventes e

óleo diesel.

O processo de extração do petróleo varia muito, de acordo com a profundidade em que o óleo

se encontra, e pode estar nas primeiras camadas do solo ou até milhares de metros abaixo do

nível do mar.

A empresa Petrofuels tem como principal atividade, a extração de petróleo no Brasil.

Para tanto, de tempo em tempo, são levantadas por geógrafos, agrônomos,

paleontólogos,engenheiros e outros especialistas, regiões que apresentem maior probabilidade

de se encontrar petróleo. Por meio de estudos com aviões sonda, satélites e de pequenos

terremotos artificiais, essas regiões são selecionadas e se confirmada a presença de petróleo,

inicia-se o projeto para extração do mesmo. Recentemente, a empresa Petrofuels descobriu

gigantescas reservas na bacia de Santos.

O desafio geral desta ATPS propõe identificar qual é a quantidade total mensal de óleo

que poderá ser extraído deste poço recém descoberto.

Para tanto, quatorze desafios são propostos. Cada desafio, após ser devidamente

realizado, deverá ser associado a um número (0 a 9). Esses números, quando colocados lado a

lado e na ordem de realização das etapas, fornecerão os algarismos que irão compor a

quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído.

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Objetivo do Desafio

Encontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da Petrofuels, que

poderá ser extraído de um poço de petróleo recém descoberto.

ETAPA 1

Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, a teoria de integrais indefinidas e

definidas, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Você

também irá aprender o conceito de integral como função inversa da derivada.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passo 1

O conceito de integral é mais antigo que a derivada , originalmente a integral de uma função

foi criada para determinar a área de uma figura plana ou volume de um sólido e ao longo do

tempo foi ganhando contribuições de muitos matemáticos como : Newton (1643-1727)e

Leibniz(1646-1716) definiram original e dependente o conceito de integral , mas foi Reiman

(1826-1866) que formulou a definição atual , nos padrões de analises contemporânea,. Depois

dele a teoria da integração foi desenvolvida por Lebesgue (1875-1941),que logo unificou as

noções de contagem e medida, e aplicada por Kolmogov (1903-1987) como fundamento da

teoria axiomática da probabilidade .

Logo surge o Teorema Fundamental de Calculo que possui numa única formula os conceitos

de derivada e integral :

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O cálculo de integrais de funções continuas é reduzido á obtenção de primitivas , ou seja ,

anti-derivadas, objetos das técnicas de integração. Portanto o Teorema de é fundamental por

duas principais razoes : reduz o cálculo de integrais ao cálculo de primitivas ou derivadas e

fundamenta outros conceitos matemáticos além de estar na base de muitas aplicações de

Cálculos nas ciências exatas.

A Integral indefinida de uma função ƒ é o conjunto de todas as primitivas de ƒ.O Teorema

Fundamental do Cálculo aliado ao fato de que as primitivas de uma função diferem por

constantes nos motiva a seguinte notação para integral indefinida: se ∫ é uma primitiva de ƒ,

então a integral indefinida de ƒ é a formula abaixo :

∫ ƒ(χ) dχ = F + C, C Є R

Onde:

∫- é chamado de sinal de integração;

ƒ(χ) – é a função integrando;

dχ – a diferencial que serve para identificar a variável de integração.

C – é a constante de integração.

Em geral interpretamos a integral indefinida como uma anti-derivada.

As definições de “integral definida” e “integral indefinida” são bastante distintas, mas a

notação é bastante similar devido a relação que o teorema de fundamental de cálculo

estabelece entre elas.

Integral definida é o processo de integração realizado entre dois valores da variável de

integração , ou seja , dada uma função ƒ(χ) contínua em um intervalo [a,b] chamamos de

extremos de integração denominamos a integral de definida ƒ(χ) entre os limites a e b como a

diferencias entre F(b) – F(a) onde f é a primitiva da integral e, indica simbolicamente por:

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Passo 2

Desafio A

A alternativa que representa a integral indefinida é a de letra b:

Desafio B

Alternativa correta é a de letra:

(a) C(q)= 10.000+1.000q+25q²

Desafio C

Alternativa correta é a de letra:

(c) 39,76 bilhões de barris de petróleo.

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Desafio D

Alternativa correta é a de letra:

(a) 4,99

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Passo 3

Justificativas encontram-se no passo 2.

Desafio A

Alternativa correta é a B –o número associado é o 3.

Desafio B

Alternativa correta é a A –o número associado é o 0.

Desafio C

Alternativa correta é a C –o número associado é o 1.

Desafio D

Alternativa correta é a A –o número associado é o 9.

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Relatório 1

Desafio A

Alternativa correta é a B –o número associado é o 3.

Foi feita a integral indefinida da seguinte forma :

Desafio B

Raciocínio utilizado:

Dado o custo de C(0)=10.000

Realizamos a Integral de C (q)= 1000+50q na qual resultou C (q)=10.000 1000q+50q.

Alternativa correta é a A –o número associado é o 0.

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Desafio C

Raciocínio utilizado:

Realizamos o cálculo da integral definida utilizando os o intervalo de tempo de 2 a 4 anos,

conforme segue calculo abaixo:

Alternativa correta é a C –o número associado é o 1.

Desafio D

Alternativa correta é a A –o número associado é o 9.

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ETAPA 3

Aula-tema: Cálculo de Área

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, como se dá o cálculo de área,

usando a teoria de integrais para tanto.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passo 1

Como conseqüência direta da definição da integral temos a área sob da curva a ser

integrada e o eixo das abscissas  , seja a função  , considerando que a mesma

pode assumir valores tanto positivos como negativos, o fato de este sinal ser

determinante para o processo de somatórias consecutivas, próprio da integral definida,

devemos considerar no cálculo a possibilidade da diminuição de valores no caso de

haver áreas com valores negativos.

Os valores do seno entre   e   são positivos e entre   e   são negativos.

Isto causa uma situação interessante, uma vez que as áreas entre a curva e o eixo   

dos dois intervalos, quando observadas no plano cartesiano, são idênticas, a área das

duas deveria ser o dobro de uma delas, entretanto a integral calculada no intervalo

entre   e   é nula. Esta é a razão pela qual devemos fazer o módulo das integrais em

cada intervalo de mudança de sinal, para que os valores das áreas nestes intervalos não

se subtraiam, provocando erro no cálculo.

Devemos verificar os intervalos onde a função se torna negativa e inverter o sinal

antes de efetuar a soma de áreas em cada intervalo, assegurando assim o correto valor

do total de unidades quadradas de área, delimitadas pela curva e o eixo  .

Sob diversas situações devemos verificar o comportamento do gráfico, para que

possamos determinar a melhor maneira de calcular a área, no caso de áreas delimitadas

por duas curvas podemos determinar a área de cada curva em relação ao eixo e

verificar o comportamento das curvas no gráfico para determinar a forma de calcular.

Na seção subseqüente veremos como determinar a área delimitada por duas curvas.

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Passo 2

Figura 1

Parte II

Parte III

Parte I Parte I.A Parte I.B

Figura 2

Parte I.A

Por se tratar de um retângulo a área pode ser calculada diretamente pela multiplicação da base

e altura.

Parte I.B

Parte I

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Relatório 3

Para o desenvolvimento da etapa 03 os seguintes passos foram realizados:

1. Desenvolvimento para Figura 1.

Primeiramente dividimos a figura em 03 partes com suas respectivas funções e em seguida

calculamos a área de cada parte a figura:

Parte I Parte II Parte III

Áreas:

Parte I

Parte II

Parte III

Para acharmos a área solicitada precisamos somar as áreas das partes I e II e em seguida

subtrair a área da parte III.

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2. Desenvolvimento para Figura 2.

Ao observamos a figura notamos que se trata de uma figura simétrica, desta forma iremos

calcula inicialmente a área de apenas uma parte, mas para isso essa parte deverá ser dividida

em outras duas com suas respectivas funções.

Parte I Parte I.A Parte I.B

Parte I.A

Por se tratar de um retângulo a área pode ser calculada diretamente pela multiplicação da base

e altura.

Parte I.B

Parte I

Para achamos a área solicitada precisamos multiplicar por 4 a área encontrada de uma das

partes.

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Referencias Bibliográfica:

PLT 178 - Calculo de uma variável III

Editora: LTC – Livros Técnicos e Científicos

Integral definida e indefinida:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/integral/integral.htm

Cálculo de área:

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea

http://www.brasilescola.com/matematica/area-sob-uma-curva.htm

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