Etapa 1

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Passo 1

Pesquisar sobre velocidade instantânea

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com ∆t→0.

Para estudar os movimentos dos corpos como ocorrem na natureza Newton

desenvolveu a derivada, para calcular a velocidade instantânea de um corpo em certo instante

é necessário usar limite, medindo-se uma variação infinitesimal de espaço em um intervalo

infinitesimal de tempo. A velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade

média reduzindo o intervalo de tempo Δt até torná-lo próximo de zero. À medida que Δt

diminui, a velocidade média se aproxima de um valor-limite, que é a velocidade instantânea.

V=lim∆t→0

∆s∆ t

=dsdt

Da definição de derivada:

V=∆s∆ t= lim

∆t→ 0

S ( t+∆ t )−S(t )∆ t

Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e

explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço),

utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a

função velocidade é a derivada da função espaço.

Em cálculo a velocidade instantânea é o número a que tendem as velocidades médias

quando o intervalo diminui de tamanho, isto é, quando h torna-se cada vez menor. Definimos

então, velocidade instantânea igual o limite, quando h tende a zero, de sa+h-s(a)h.

Isso é escrito de forma mais compacta usando a notação de limite, da seguinte maneira:

1

Seja s(t) a posição no instante t. Então, a velocidade instantânea em t = a é definida

como:

Velocidade instantânea em t=a= limh→0sa+h-s(a)h

Em palavras, a velocidade instantânea de um objeto em um instante t = a, é dada pelo

limite da velocidade média em um intervalo quando esse intervalo diminui em torno de a. As

equações utilizadas tanto em física como em calculo seguem a mesma lógica, sendo que em

física utilizamos a derivada para descrever a posição da partícula dado sua posição em relação

ao seu tempo expressada por dx (t)dt t=t0 em que dx é a denotação da função posição ou

espaço e t a denotação da função tempo.

A velocidade instantânea é portanto definida como o limite da relação entre o espaço

percorrido em um intervalo de tempo, onde este último tende a zero. Quando se considera um

intervalo de tempo que não tende a 0, a velocidade é considerada média. A velocidade

instantânea pode ser entendida como a velocidade de um corpo no exato instante escolhido.

No movimento retilíneo uniforme, a velocidade instantânea coincide com a média em

todos os instantes.

Na Física temos:

x = x0 + v0 t + at2/2

Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do

espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último

algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Função Horária do MUV (Física): S = So + Vo * t + a t2

2 ou

∆s∆ t =Vo + a.t (∆s =

Deslocamento (mede espaço percorrido em função do tempo ∆s);

Exemplo de Aplicação, utilizando a somatória dos últimos algarismos dos RAs dos

membros do grupo como aceleração em m/s²: Somatória 45

S = So + Vo * t + a t2

2

∆s∆ t =Vo + a.t

2

Onde:

So=0

Vo=0

a= 45m¿ s2 (soma dos RAs dos alunos)

ΔS = Deslocamento (mede espaço percorrido em função do tempo);

∆t (subtração do tempo inicial com o tempo final)

Obtemos o seguinte cálculo:

Usaremos a equação da velocidade:

V = V0 + a t

V= 0 + 45t m/s

Equação do movimento

S = S0 + v 0 t + a t2

2

S = 0 + 0 + 45 t 2

2

S = 22,5t² m

Aplicando a derivada:

V = ∆s∆ t => V = (22,5t²) => V = 22,5.2.t => V = 45t

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Passo 2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num

gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5 segundos, diga

que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de

velocidade para o intervalo dado. Calcular a área formada pela função da velocidade,

para o intervalo dado acima.

Intervalo/segungosS = S0 + v 0 t + a t

2

2 S(m) x t(s)

V = V0 + a t V(m/s) x t(s)

0 s S = 0+0+ 45.02/2=0 m V = 0 + 45.0 = 0 m/s

1 s S = 45.12/ 2 = 22,5 m V= 0 + 45.1 = 45 m/s

2 s S = 45.22/2 = 90 m V = 0 + 45.2 = 90 m/s

3 s S = 45.32/2 = 202,5 m V = 45.3 = 135 m/s

4 s S = 45.42/2 = 360 m V = 45.4 = 180 m/s

5 s S = 45.52/2 = 562,5 m V = 45.5= 225 m/s

Gráfico s(m) x t(s) Espaço em função do tempo

s(m)

562,5

360

202,5

90

22,5

0 1 2 3 4 5 t(s)

4

Podemos dizer que, para o movimento uniforme, todo gráfico (s x t) é uma reta

inclinada em relação aos eixos. Então, para o movimento progressivo temos: o espaço

aumenta em função do tempo.

Gráfico V(m/s) x t(s) Velocidade em função do tempo

V(m/s)

225

180

135

90

45

0 1 2 3 4 5 t(s)

Sendo a velocidade constante em qualquer instante e intervalo de tempo, a função

V = f(t) é uma função constante e o gráfico V versus t é uma reta paralela ao eixo do tempo.

Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

A área sob o gráfico é um triângulo. Concluímos, portanto, que a variação de posição

entre o instante 0 e um instante genérico t, é a área do triângulo formado:

A=12 × base × altura =

12 × t × v =

12 × 5 × 225 =

11252

logo A= 562,5 m

Passo 35

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a

aceleração como sendo a derivada da função velocidade. Explicar o significado da

aceleração instantânea a partir da função S (espaço), mostrando que é a aceleração é a

derivada segunda. Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a

partir do conceito de derivada aplicada a sua função espaço e função velocidade.

A aceleração instantânea é uma grandeza física vetorial na qual serve para medir as

alterações de um corpo em movimento, um exemplo prático dessa teoria é comprovada

quando aceleramos ou freamos um carro, fisicamente a aceleração instantânea é o limite da

função velocidade dividida pela variável tempo ou a derivada da função velocidade. Podemos

constatar que a segunda derivada da função horária dos espaços, gera a constante da

aceleração, como será demonstrado logo abaixo:

1ª Função: f(x) = a t2

2 (Deslocamento)

2ª Função: f’(x) = a.t (Velocidade)

3ª Função: f’’(x) = a (Constante da Aceleração)

Usando o exemplo anterior temos:

V = V0 + a t = 0 + 45.t

V= 0 + 45t

V= 45 m/s²

Derivando:

a= 45t 1

a=45.1t 1−1

a= 45 m/s2

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Passo 4

Plotar num gráfico sua função a(m x s²) x t(s) para um intarvalo de 0 a 5

segundos e dizer que tipo de função você tem.

Calcular a área formada pela função aceleração para o intervalo dado acima e

comparar o resultado obtido com o cálculo da variação de velocidade realizado no passo

2, subitem 2.1 e fazer uma análise a respeito.

Gráfico a(m/s²) x t(s)

a(m/s²)

45

0 1 2 3 4 5 t(s)

A área do retângulo é igual a Velocidade Final

Usando a fórmula da área temos:

A = V => V = b.h => V = 5. 45=> V= 225m/s

Função para calcular a aceleração:

a=∆vt => a=

2255 => a= 45m/s2

Comparando o resultado obtido com o cálculo da variação de velocidade, chegamos à

conclusão que a cada segundo que passa o valor da velocidade aumenta 45 m/s.

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ETAPA 2

Passo 1

O que é a Constante de Euler?

Trata-se de um número irracional, conhecido como “e”. Foi atribuída a este número a notação “e”, em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), visto ter sido ele um dos primeiros a estudar as propriedades desse número. Podemos expressar esse número com 40 dígitos decimais, ou seja:

e = 2,718281828459045235360287471352662497757

Euler foi sem dúvidas, o maior responsável pelos métodos de resolução usados hoje nos cursos introdutórios sobre equações diferenciais, e até muitos dos problemas específicos que aparecem em livros de texto de hoje remontam aos grandes tratados que Euler escreveu sobre o Cálculo – Institutiones Calculi Differentialis (1755) e Institutiones Calculi Integralis (1768 – 1770, 3 volumes)”. (Boyer, 1974, p. 333). Foi definida pela primeira vez por Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação “C” para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação “γ” para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subsequentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. A constante de Euler é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

Que pode ser condensada assim:

Em que E(x) é a parte inteira de x.

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A demonstração da existência de tal limite pode ser feita pela aplicação do método da comparação série-integral.As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da função exponencial   para determinados valores de  . Resumidamente a constante de Euler nos mostra o valor do limite quando n tende para o infinito. n ℮=lim→∞ 1+1 n 1+1St

℮=lim→∞ (2) ℮=lim→∞ = 2 ℮=lim→∞ 5 ℮=lim→∞ 1+1 5 ;

Valores de n = 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 100000, 1000000

℮=lim→∞ (1,2) ℮=lim→∞ = 2,48832 ;

Constante ℮ 2 2,48832 2,59374246 2,691588029 2,704813829 2,71556852 2,716923931 2,718010049 2,718145935 2,718268297 1000000 ℮ ≈ 2,718 2,717 2,716 2,705 2,692 2,594 2,488 2 1 5 10 50 100 500 1000 5000 10000 100000 n

Conforme a função tende a +∞, mais ela se aproxima de 2,72.

Conforme tabela abaixo:

℮ = lim (1+1)n

n = ∞ n 1 2

5 2,48832

10 2,59374246

50 2,691588029

100 2,704813829

500 2,715568521

1000 2,716923932

5000 2,71801005

10000 2,718145927

100000 2,718268237

1000000 2,718280469

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Conclusão

É o limite de (1 + 1 / n) n em que n se torna grande.

Quanto maior o número ‘n’, menor a variação de ‘e’.

Passo2

Pesquisar sobre “séries harmônicas” na música, na matemática e na física e sobre somatória infinita de uma PG. Fazer um relatório resumo com as principais informações sobre o assunto de pelo menos 1 página e explicar como a Constante de Euler se relaciona com série harmônica e com uma PG, mostrando as similaridades e as diferenças.

Na música

O ouvido humano consegue distinguir diferentes qualidades de som. As notas de um piano e de uma flauta são um exemplo. Mesmo quando um piano e uma flauta tocam duas notas idênticas, perfeitamente afinadas, ainda assim distinguimos uma da outra. O que diferencia os sons do piano e da flauta é o timbre de cada instrumento, algo que pode ser definido como a impressão sonora ou o “colorido” particular de cada som. Os timbres, por sua vez, resultam da série harmônica, que pode ser explicada como o conjunto de frequências sonoras que soa em simultaneidade com uma nota principal. Quando ouvimos um som, na realidade escutamos também uma série de outras frequências mais agudas que não conseguimos perceber individualmente, apenas como um conjunto sonoro. Essas frequências secundárias se manifestam na forma de timbre em nossos ouvidos. Um corpo em vibração não produz apenas uma única nota (ou frequência), mas sim um conjunto de várias frequências, que são chamadas de harmônicos. A importância que cada harmônico terá para cada nota de cada instrumento musical é o que definirá o timbre.Num texto anterior (“Música das Esferas”) falamos sobre Pitágoras (570 a.C. - 496 a.C.), o matemático grego que descobriu as relações entre o tamanho de uma corda e a altura da nota por ela produzida. Pitágoras observou que uma corda de 120 cm, que emitia a nota dó 1, por exemplo, quando dividida ao meio, produzia a nota dó 2, ou seja, um som oitava acima. Quando a corda de 120 cm era dividida em três partes, sendo tocada uma dessas partes (de 40 cm), obtinha-se a nota sol 2, ou seja, um som uma quinta acima do dó 2. Prosseguindo nas divisões da corda em quatro, cinco, seis partes, e assim por diante, Pitágoras descobriu relações matemáticas lógicas entre o tamanho das cordas e as alturas das notas. Quanto menores as divisões, mais agudos e dissonantes ficavam os sons secundários com relação à nota original. Pitágoras explicava desse modo, na teoria, a série harmônica.Quando a corda de uma harpa é tocada, ela vibra simultaneamente em toda a sua extensão e

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em pequenas partes proporcionais (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc.), como assinalou Pitágoras. Consequentemente, escutamos o som da vibração total da corda e os sons das vibrações secundárias. Ouvimos, portanto, a nota fundamental e sua série harmônica.Na matemática

O termo série harmônica refere-se a uma série infinita. Os estudos realizados por Pitágoras revela que uma corda colocada em vibração não vibra apenas em sua extensão total, mas em seções menores, os ventres, que vibram em frequências mais altas que a fundamental. Pela relação entre os comprimentos das seções e as frequências produzidas por cada uma das subdivisões, pode-se facilmente concluir que a corda soa simultaneamente, na frequência fundamental (F) e em todas as suas frequências múltiplas inteiras.

Em matemática, a série harmônica é a série infinita definida como:

O nome harmônico é devido à semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4. Esta série diverge lentamente. A demonstração (feita originalmente na Idade Média por Nicole d'Oresme) faz-se tendo em conta que a série

é termo a termo maior que ou igual à série

que claramente diverge.

Em física

O termo série harmônica é o conjunto de ondas composto da frequência fundamental e de todos os múltiplos inteiros desta frequência. De forma geral, uma série harmônica é resultado da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos, corpos rotativos e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e

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na análise de espectros eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada.

Somatória Infinita de uma PG

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando   

Sua soma é:

Se   e   então sua soma é mais infinito e se   e   sua soma é menos infinito.

Onde a1 é o primeiro termos e q a razão da P.G. 

Agora, se e a1 > 0 então sua soma é mais infinito { +∞ } e se e a1 < 0, sua soma é menos infinito

{ -∞ }. 

A soma dos termos de uma PG (Progressão Geométrica) infinita é dada pela expressão:

Relação entre constante de Euler com Série Harmônica e com uma P.G.    

A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

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que pode ser condensada assim :

em que E(x) é a parte inteira de x.

A demonstração da existência de um tal limite pode ser feita pela aplicação do método da comparação série-integral. As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da função exponencial   para determinados valores de 

As 100 primeiras decimais dessa constante são:

γ ≈ 0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677

267776646709369470632917467495

Em 1781, Leonhard Euler obteve as 16 primeiras decimais graças ao método de soma de Euler-Mac Laurin. Lorenzo Mascheroni determinou 32 decimais para a sua obra Geometria del compasso, que contribuiu a tornar conhecida a constante.

Passo 3

CRESCIMENTO POPULACIONAL

Thomas Malthus em seu trabalho publicado em 1798 “An Essay on the Principle of Population”, apresentou um modelo para descrever a população presente em um determinado ambiente, em função do tempo. Ele considerou N = N(t) como sendo o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomando as hipóteses que os nascimentos e as mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e sendo a variação do tempo conhecida entre os dois períodos, concluiu a seguinte equação para descrever a população presente em um determinado instante t.

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N(t) = No ∙ er ∙ t

Onde temos:

t = 0, no instante inicial.

r = uma constante que varia com a espécie da população

A utilização desse modelo parte do pressuposto de que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população. Dessa forma, ele serve mais como um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie populacional, do que um modelo que realmente mostra o que ocorre. Com base nas informações acima, considerar uma colônia de vírus em um determinado ambiente. Um analista de um laboratório ao pesquisar essa população, percebe que ela triplica a cada 8 horas. Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas Althus, quantos vírus haverá na colônia após 48 horas em relação à última contagem?

No exercício dado não temos o valor de No, portanto concluímos que: t 0 8

N(t) No 3No

Veja que no instante t = 0 a quantidade é a inicial (não dada), e após 8 horas a quantidade inicial foi triplicada, ou seja, multiplicada por 3.

Não há valor para r, que deve ser calculado:

N(t) = No ∙ er ∙ t

Damos valores a N = 3No e t = 8, e fazemos a conta:

3∙No = No ∙ er ∙ 8

3No / No = e8 ∙ r

3 = e8 ∙ r

8 ∙ r = 3ln

8 ∙ r = 1,0986

r = 1,0986 / 8

r = 0,1373

Agora temos a mesma fórmula, com o valor de r calculado:

N(t) = No ∙ e0, 1373 ∙ t

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Para calcular a quantidade após 48 horas, substituímos t = 48:

N(48) = No ∙ e0, 1373 ∙ 48

N(48) = No ∙ e6,5917

N(48) = 729 ∙ No

Portanto após 48 horas, a quantidade que temos é 729∙ No bactérias.

Com base nas informações acima, considerar uma colônia de vírus em um determinado ambiente. Um analista de um laboratório ao pesquisar essa população, percebe que ela triplica a cada 8 hora. Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas Malthus, quantos vírus haverá na colônia após 48 horas em relação à última contagem?

Nt= No x ert n48= 50xe48x0,137326

No= 50xer8 n48= 50xe6x591673

150= 50xer8 n48= 36449,59

er8= 150/50

er8= 3

Ln er8 = 3

r8 = Ln3

r= Ln3/8

r= 0,137326

Passo 4

Construir uma tabela e plote um gráfico do crescimento populacional em função do tempo, observando o que ocorre a cada 4 horas. Fazer um relatório com todos os dados solicitados nos quatro passos da Etapa 2, para entregar ao seu professor.

4 271,82

8 738,91

12 2008,55

16 5459,81

20 14841,32

24 40342,88

15

28 10966332

32 29809579

36 810308,39

40 2202646,58

44 5987414,17

48 16275479,14

Como no Passo 3 não foi dado o valor para No, no Passo 4 aconteceu o mesmo, porem agora obrigatoriamente vamos precisar de uma quantidade inicial para fazer o gráfico.

Como o exercício trata de uma colônia de bactérias, a quantidade é um número enorme.

Resolvemos utilizar No=1 000 000. Então temos:

No=1.000.000

Para t=0, temos

N0= No

N0=1.000.000

Para t = 4, temos

N4=1.000.000 ∙ e0, 1373∙4

N4=1.000.000 ∙ 1.732.100

N4=1.732.100

Para t=8, temos

N8= 3No

N(8)=3.000.000

Para t = 12, temos

N12=1.000.000 ∙ e0, 1373∙12

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N12=1.000.000 ∙ 5,1962

N(12)=5.196.200

Para t = 16, temos

N16=1 000 000 ∙ e0, 1373∙16

N12 = 1.000.000 ∙ 9

N(12) = 9.000.000

Para t = 20, temos

N20=1.000.000 ∙ e0, 1373∙20

N20 = 1.000 000 ∙ 15,5885

N(20) = 15.588.500

Com valores de N, em milhões de bactérias, em função de 4 horas (t), temos a seguinte tabela:

T (Horas) N(Milhões)

0 1.000.000

4 1.732.100

8 3.000.000

12 5.196.200

16 9.000.000

20 15.588.5 00

Logo temos um gráfico, com N milhões em função de t horas.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS:

PLT – 2010 Cálculo de uma variável / Deborah Hughes-Hallett – 3.ed. 2008.

PLT – 2009 Halliday, David, 1961 – fundamentos de física v.1 : mecânica– LTC, 2006.

www.wikipedia.org

http://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_geom

%C3%A9trica#Soma_dos_infinitos_termos_de_uma_P.G.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Euler-Mascheroni

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