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Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Disciplina: CÁLCULO III Professor: TADEU MARTINS Alunos Nome: ANA CLÁUDIA QUEIROZ RA: 3270584050 Nome: CELINA AMBRÓSIO DA SILVA RA: 3290585482 Nome: JEAN PHELLIPE NIGRO DE CAMARGO RA: 3240551079 Nome: LAUANY C. BAETA RIBERO RA: 3290572196 Nome: LEANDRO PERES FERREIRA RA: 3284577545 Nome: SANDRA CARINA DA SILVA RA: 3233547998 ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS 1

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Page 1: ATPS Calculo III (1º).doc

Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

Disciplina: CÁLCULO III

Professor: TADEU MARTINSAlunosNome: ANA CLÁUDIA QUEIROZ RA: 3270584050Nome: CELINA AMBRÓSIO DA SILVA RA: 3290585482Nome: JEAN PHELLIPE NIGRO DE CAMARGO RA: 3240551079Nome: LAUANY C. BAETA RIBERO RA: 3290572196Nome: LEANDRO PERES FERREIRA RA: 3284577545Nome:SANDRA CARINA DA SILVA RA: 3233547998

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

Ribeirão Preto, 01 de Outubro de 2012.

1

Page 2: ATPS Calculo III (1º).doc

ÍNDICEPG

Etapa 1 Integral Definida / Integral Indefinida 03

Passo 1 História e Surgimento da Integral 03

Passo 2 Desafio A 05

Passo 2 Desafio B 06

Passo 2 Desafio C 07

Passo 2 Desafio D 08

Passo 3 09

Passo 4 10

Etapa 2 Integração por Substituição. Integração por Partes 11

Passo 1 Surgimento das Técnicas de Integração 11

Passo 2 14

Passo 3 15

Passo 4 15

2

Page 3: ATPS Calculo III (1º).doc

Etapa 1

Passo 1

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais

indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros didáticos, na

Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização

da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um

texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa

realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização

dos próximos passos.

História e Surgimento da Integral:

Juntamente com Gauss e Newton, Arquimedes cientista e matemático grego, foi

considerado como um dos três grandes nomes da história.

Começou a calcular a área pelo “método de exaustão”, consiste na inscrição de sucessão

de polígonos regulares no circulo conforme aumenta os números de lados dos polígonos

dentro do circulo aproxima-se cada vez mais da área exata do circulo. Esse “método de

exaustão” era um procedimento muito complicado, Issac Newton e Leibniz descobriram

método geral de obtenção de áreas que utilizasse a noção de limites.

Figura 1 – Preenchimento da área pelo modo de Exaustão

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Page 4: ATPS Calculo III (1º).doc

Integral Indefinida: Todo e qualquer tipo de integral serve para calcular área de

um gráfico, usa-se muito em gráficos de curvas onde dificulta o calculo da área. O

processo de encontrar antiderivadas é denominado antiderivação,

antidiferenciação ou ainda integração.

Utilizando Métodos dos Retângulos para encontrar Áreas

Dividi-se o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais em cada um deles constrói um

retângulo que se estende no eixo x até algum ponto da curva y=f(x), onde para cada n, a

área total dos retângulos pode ser vista como aproximação da área exata sob a curva

acima do intervalo [a,b]. Quando maior o numero de n, aproximasse para calculo da

área exata de um limite.(figura xx).Assim,se A denota a área exata sob a curva e An,

denota a aproximação de A usando n retângulos, então :

A= lim An

n->+∞

Figura 2 – Preenchimento da Área pelo método de Retângulos

3. Façam o download do Software Geogebra. Este software servirá de apoio para a resolução de alguns desafios desta etapa. Para maiores informações, visitar as páginas:

GeoGebra. Disponível em: <http://www.geogebra.org/cms/pt_BR>. Acesso em:22 abr. 2012.• Curso de GeoGebra. Disponível em:<http://www.youtube.com/playlist?list=PL8884F539CF7C4DE3>. Acesso em: 22 abr. 2012.

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Page 5: ATPS Calculo III (1º).doc

Passo 2

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de :

RESPOSTA CORRETA: Alternativa (b)

(a) F(a)=12

(b) F(a) =

(c) F(a) =

(d) F(a) =

(e) F(a) =

5

Page 6: ATPS Calculo III (1º).doc

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de

U$ 10.000 e um custo marginal de C¢(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a

profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000 , a alternativa que expressa C(q) , o

custo total para se perfurar q pés, é:

C’(q) = 1000 + 50q

C(0) = 10000

= +

1000q + 50 + C = 1000q + 25 + C

=10000 + 1000q + 25

RESPOSTA CORRETA: Alternativa (a)

(a) C(q) =10.000 +1.000q + 25

(b) C(q) =10.000 + 25q +1.000

(c) C(q) =10.000

(d) C(q) =10.000 + 25

(e) C(q) 10.000q

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Page 7: ATPS Calculo III (1º).doc

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu

exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o

número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é

dado por: C(t) = 16,1. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a

quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

=

U = 0,07t du = 0,07dt

16,1 . = . du

230. + C = 230 + C

+ C

= 230 - 230 = 304.319 – 264.562 = 39,76

RESPOSTA CORRETA: Alternativa (c)

(a) 56,43 bilhões de barris de petróleo

(b) 48,78 bilhões de barris de petróleo

(c) 39,76 bilhões de barris de petróleo

(d) 26,54 bilhões de barris de petróleo

(e) Nenhuma das alternativas

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Page 8: ATPS Calculo III (1º).doc

Desafio D

A área sob a curva y = de x = -3 a x = 2

dx

U = du = xdx 2du = xdx

dx = 2xdx

2du =

= 2 + C = 2 + C

= 2 - 2

= 5,436 – 0,446 = 4,99

RESPOSTA CORRETA: Alternativa (a)

a) 4,99 (b) 3,22 (c) 6,88 (d) 1,11 (e) 2,22

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Page 9: ATPS Calculo III (1º).doc

Passo 3

Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos

realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (b).

Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).

Associem o número 7, se a resposta correta for a alternativa (e).

Para o desafio B:

Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (b).

Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (d).

Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (e).

Para o desafio C:

Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (b).

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 9, se a resposta correta for a alternativa (d).

Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (e).

Para o desafio D:

Associem o número 9, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (b).

Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (d).

Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (e).

Ao associar as letras das alternativas corretas conforme as respostas dos exercícios

referente ao Passo 2 juntamente com os números dados, obteremos a seguinte

seqüência: 3019

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Page 10: ATPS Calculo III (1º).doc

Passo 4

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de

Relatório 1 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

10

Page 11: ATPS Calculo III (1º).doc

Etapa 2

Passo 1

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integração

por partes e por substituição. Pesquisem também em: livros didáticos do Ensino

Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo

e utilização das técnicas de integração por partes e por substituição.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das técnicas de integração

trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais

informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será

Imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Integral por parte:

Se existe uma primitiva G para a função g, isto é: G'(x)=g(x), então:

 f(x)G'(x) dx = f(x)G(x) -  f'(x)G(x) dx

Pela derivada do produto de duas funções, segue que:

(f(x)G(x))' = f'(x)G(x)+f(x)G'(x) = f'(x)G(x)+f(x)g(x)

e integrando os membros desta última igualdade, obteremos:

 (f(x) G(x))' dx =   [f'(x)G(x) + f(x)g(x)] dx

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Page 12: ATPS Calculo III (1º).doc

isto é,

f(x)G(x) =   [f'(x)G(x) + f(x)g(x)] dx

assim,

f(x)G(x) =   f'(x)G(x) dx +  f(x)g(x) dx

donde segue o resultado.

Exemplo: Para calcular  x.ln(x)dx, tomamos g(x)=x e f(x)=ln(x). Assim, uma primitiva para g=g(x) é a função G(x)=x²/2 e f'(x)=1/x e a fórmula de integração por partes, nos informa que:

 f(x)g(x)dx = f(x)G(x) - f'(x)G(x)dx

Substituindo as funções acima definidas, teremos:

x.ln(x)dx = ln(x).x²/2 - (1/x).xdx

Logo,

x.ln(x)dx = ½ x² ln(x) - x + C

A constante só foi colocada no final para não atrapalhar os cálculos intermediários.

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Page 13: ATPS Calculo III (1º).doc

Integral por substituição

Este tipo de integral funciona como a regra da cadeia para integrais de funções. Para obter a integral da forma:

 f(u(x)) u'(x) dx

substituímos u=u(x) na integral acima e calculamos a integral

 f(u) du

Exemplos: Para cada integral substituímos a variável indicada.

1. u=x²+3x.

(x²+3x)(2x+3)dx= udu=u²/2+C=(x²+3x)²/2+C

2. u=x²+1.

5x/(x²+1)dx=(5/2) 2x/(x²+1)dx=(5/2) du/u=(5/2)ln(u)+C=(5/2)ln(x²+1)+C

3. u=x+1.

x/(x+1)dx= (u-1)/u du= du- du/u=u-ln(u)+C=x+1-ln(x+1)+C

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Page 14: ATPS Calculo III (1º).doc

Passo 2

Considerem as seguintes igualdades:

I) = II)

U= du= 2t -6 =

= =

= =

Podemos afirmar que:

(a) (I) e (II) são verdadeiras

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa

(d) (I) e (II) são falsas

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Page 15: ATPS Calculo III (1º).doc

Passo 3

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos.

Cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio:

Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (b).

Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (d).

Ao associar a letra da alternativa correta conforme a resposta do exercício referente ao

Passo2 juntamente com os números dados, obteremos a seguinte resposta: 4

Passo 4

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de

Relatório 2 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

Conclusão do Desafio

Referente às respostas obtidas com os desafios desenvolvidos, podemos concluir que a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém descoberto é de 30194.

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