CENTRO UNIVERSITÁRIO ANHANGUERA

UNIDADADE CAMPO LIMPO

Aime Nunes Moraes

Antonio Janio Vieira de Moraes

Carlos Eduardo S O Silva

Fabio Nascimento de Souza

Rodrigo da Silva Prates

Rodrigo Nabarros de Sousa

Rodrigo Victor Machado

Valnei Rodrigues de Paulo

ATIVIDADE PEDAGÓGICA SUPERVISIONADA

PROFESSOR ME. FÁBIO SIMIAO

Email: fsimiao@yahoo.com.br, fsimiao@yahoo.com.br

ENGENHARIA: CALCULO NUMÉRICO

SÃO PAULO – 2º/2013

CENTRO UNIVERSITARIO ANHANGUERA

UNIDADE CAMPO LIMPO

Aime Nunes MoraesEngenharia mecânica

7476693322

Antonio Janio Vieira de MoraesEngenharia Civil

7086554562

Carlos Eduardo S O SilvaEngenharia de Produção

7476691483

Fabio Nascimento de SouzaEngenharia Elétrica

7251601195

Rodrigo da Silva PratesEngenharia Civil

7084554227

Rodrigo Nabarros de SousaEngenharia Civil

7366560471

Rodrigo Victor MachadoEngenharia Elétrica

7474685701

Valnei Rodrigues de PauloEngenharia Mecânica

7093566535

SÃO PAULO – 2º/2013

SUMÁRIO

1 RESUMO 04

2 INTRODUÇÃO 05

3 ETAPA 1: Conceito e princípios gerais do calculo numérico 07

4 Elaboração do texto dissertativo 07

5 Gráficos - interpretação geométrica da dependência e independência linear 09

6 Sequência de números 11

7 ETAPA 2: Sistema de numeração e erro 12

RESUMO

A natureza é extremamente complexa. Para tentar entendê-la, criam-se modelos que

seguem leis mais simples do que a rica realidade, dando resultados aproximados.

Essas leis, que procuram simular a natureza, são, em geral expressas matematicamente. As

formulações matemáticas, embora simplificações do que se passa na realidade, ainda assim, com

frequência, são muito complexas para serem resolvidas analiticamente.

É comum a lei física ser expressa por uma equação diferencial cuja solução exata não é

possível de ser obtida. Mesmo um cálculo de raiz, aparentemente simples, pode exigir operações que

transcendam as contas elementares. Uma integral definida, nem muito complexa em sua

formulação, pode não ser analiticamente resolvida.

Os Cálculos numéricos buscam soluções aproximadas para essas formulações.

Além disso, nos problemas reais, os dados com que se trabalha são medidas e, como tais,

não são exatos. Uma medida física não é um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das

medidas. Dessa forma trabalha-se, sempre, com a figura do erro, inerente à própria medição.

Os métodos aproximados, como indica o nome, estão buscando uma aproximação do que

seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos de se trabalhar com a figura da

aproximação, do erro, do desvio.

INTRODUÇÃO

O presente trabalho tem como objetivo desenvolver atividades que possam colaborar

com a formação, assim desenvolveu-se o que foi solicitado, conforme segue:

O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num

conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com a cor escura ou não. Quando um

leitor óptico, também chamado de scanners, passa sobre essas barras, a leitura de uma barra

clara é convertida no número 0 (zero) e a de uma barra escura, no número 1.

Observar na figura ao lado, um exemplo

simplificado de um código em um

sistema de código linear com 31 barras.

Se o leitor óptico for passado da

esquerda para a direita irá ler:

0101000110101001110101000110101.

Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler:

1010110001010111001010110001010.

Marcos é proprietário da empresa de importação chamada “Vendomundo”. Anos atrás,

visando mais eficiência na localização dos contêineres e diminuição dos erros gerados por

interferência humana, Marcos contratou os serviços de uma empresa com expertise no

desenvolvimento de soluções inteligentes para logística portuária e recintos alfandegados.

Os códigos de barras lineares, bidimensionais e outras tecnologias, como GPS

(Sistema de Posicionamento Global, em português), passaram a ser utilizados pela

importadora desde então, como uma das formas de localização de produtos, unidades

logísticas, registro de contêineres, documentos, serviços e cargas. Essa tecnologia, sem

dúvida, trouxe automação para a maioria dos processos, gerando eficiência, maior controle e

confiabilidade para a empresa.

No sistema de código de barras linear, para organizar o processo de leitura óptica de

cada código, deve-se levar em consideração que alguns deles podem ter leitura da esquerda

para a direita igual à da direita para a esquerda. Para exemplificar, apresentamos o código:

01001000111100010010. Temos aqui um exemplo de um código de barras linear palíndromo.

Curiosamente, a listagem de um novo lote de contêineres da empresa de Marcos,

recentemente desembarcado no porto de Santos, associava um código linear palíndromo a um

dos contêineres.

O desafio proposto neste caderno de atividades é: “descubra o código linear

palíndromo com 34 barras” que chamou a atenção de Marcos pela sua excentricidade. Para

tanto, sete desafios são propostos. Cada desafio, após ser devidamente realizado, deverá ser

associado a um número: 0 ou 1. Esses números, quando colocados lado a lado e na ordem de

realização das etapas, fornecerão os dezessete primeiros algarismos (da esquerda para a

direita) que irão compor o código de barras linear palíndromo que foi associado a um dos

contêineres recentemente desembarcado no porto de Santo pela importadora “Vendomundo”.

Encontrar o código de barras linear palíndromo que chamou a atenção do proprietário

da importadora “Vendomundo”, quando checou a listagem dos contêineres desembarcados no

porto de Santos em um determinado dia.

ETAPA 1: CONCEITO E PRINCÍPIOS GERAIS DO CALCULO NUMÉRICO

Esta etapa é importante para que você fixe, de forma prática, os conceitos básicos de álgebra

linear que irão servir de suporte para a compreensão dos métodos numéricos trabalhados pelo

professor da disciplina em cada aula tema da disciplina de Cálculo Numérico.

Passo 1 (Equipe)

Fazer as atividades apresentadas a seguir.

1. Ler atentamente o capítulo do livro-texto (FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª

ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007. Obs. Na falta do livro, pesquisar em outros

documentos) que descreve os conceitos e princípios gerais de cálculo numérico. Pesquisar

também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre

escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da álgebra linear em cálculo numérico.

2. Elaborar um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a

pesquisa realizada no passo 1. Esta pesquisa será imprescindível para a compreensão e

realização dos próximos passos.

O Cálculo numérico é um ramo da matemática que estuda algoritmos que convergem

para resultados de problemas matemáticos, resultados estes cuja validade é demonstrada por

teoremas convencionais. Um método numérico apresenta uma sucessão que converge para o

valor exato. Cada termo dessa sucessão é uma aproximação, que é possível calcular com um

número finito de operações elementares. É objetivo da análise numérica encontrar sucessões

que aproximem os valores exatos com um número mínimo de operações elementares.

O cálculo numérico compreende:

• A análise dos processos que resolvem problemas matemáticos por meio de operações

aritméticas;

• O desenvolvimento de uma sequência de operações aritméticas que levem as respostas

numéricas desejadas;

• O uso de computadores para obtenção das respostas numéricas, o que implica em escrever

o método numérico como um programa de computador.

Espera-se que, com isso, obter respostas confiáveis para problemas matemáticos.

Podemos dividir a Matemática em duas partes, o caçulo numérico e o cálculo

algébrico. O cálculo numérico envolve as operações da adição, subtração, multiplicação,

divisão, potenciação e radiciação, envolvendo os números reais. O cálculo algébrico está

diretamente ligado a expressões algébricas, envolvendo equações, inequações e sistemas de

equações. Nele, todos os fundamentos fixados no cálculo numérico são utilizados.

Função do Cálculo Numérico na Engenharia:

Buscar solucionar problemas técnicos através de métodos numéricos (modelo matemático)

Passos para a resolução de problemas:

1. Problema

2. Modelagem

3. Refinamento

4. Resultado de Ciências Afins

5. Mensuração

6. Escolha de Métodos

7. Escolha de Parâmetros

8. Trincamento de Iterações

9. Resultado Numérico

Fluxograma para solução numérica:

1. Problema

2. Levantamento de Dados

3. Construção do Modelo Matemático

4. Escolha do Método Numérico

5. Implementação Computacional

6. Análise dos Resultados

7. Verificação

3. Fazer o download do Software Geogebra. Este software servirá de apoio para a resolução

dealguns desafios desta etapa. Para maiores informações, visitar a página:

GEOGEBRA, disponível em:

https://docs.google.com/a/aedu.com/file/d/0B30OueqS8kbtUVRaaVBrSDNTc

Vk/edit?usp=sharing Acesso em: 02 abr. 2013.

Passo 2 (Equipe)

Ler os desafios propostos:

1. Desafio A

Nos gráficos a seguir, é apresentada uma interpretação geométrica da dependência e

independência linear de dois e três vetores no R³ :

LD – Dependência Linear LI – Independência Linear

LD – Dependência Linear

De acordo com os gráficos anteriores, afirma-se:

I – os vetores V1 e V2 apresentados no gráfico (a) são LI (linearmente independentes);

R: Falso = 1

II – os vetores V1, V2 e V3 apresentados no gráfico (b) são LI;

R: Verdadeiro = 1

III – os vetores V1, V2 e V3 apresentados no gráfico (c) são LD (linearmente dependentes);

R: Verdadeiro = 1

2. Desafio B

Dados os vetores u = (4, 7, -1) e v = (3, 10, 11), podemos afirmar que u e v são linearmente

independentes.

R: São LI, pois 4/3 ≠ 7/10 ≠ -1/11, pois não há relação entre eles.

Verdadeiro = 0

3. Desafio C

w=2 w−3w2

w=2 (3 ,−3,4 )−3 (−1,2,0 )

w=(6 ,−6,8 )−(−3,6,0)

w=8

w=(9 ,−12,8)

Verdadeiro = 1

Passo 3 (Equipe)

Resolver os desafios apresentados no desafio A, desafio B e desafio C, julgando as afirmações

apresentadas como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser

devidamente registrados.

DESAFIO A:

111

DESAFIO B:

0

DESAFIO C:

1

1. Desafio A:

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.

Associar o número 1, se a afirmação II estiver certa.

Associar o número 0, se a afirmação II estiver errada.

Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa.

Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada.

2. Desafio B:

Associar o número 0, se a afirmação estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação estiver errada.

3. Desafio C:

Associar o número 1, se a afirmação estiver certa.

Associar o número 0, se a afirmação estiver errada.

Passo 4 (Equipe)

Entregar ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de Relatório:

1 – Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico, com as seguintes informações

organizadas:

1. o texto criado à partir da pesquisa realizada no passo 1;

2. os cálculos realizados para a solução do passo 3 (imprimir arquivo gerado pelo software,

caso este tenha sido utilizado na resolução de algum desafio da etapa 1);

3. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

Sequência de Números

11101

ETAPA 2: SISTEMA DE NUMERAÇÃO E ERROS

Esta etapa é importante para que você entenda, de forma prática, o fato de que o conjunto dos

números representáveis em qualquer máquina é finito, isto é, não é possível representar em

uma máquina todos os números de um dado intervalo [a, b].

Passo 1 (Equipe)

1. Ler atentamente o capítulo do livro-texto (FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª

ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007) que descreve os conceitos de análise de

arredondamento em ponto flutuante. Pesquisar também em: livros didáticos do Ensino

Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e

utilização da teoria de erros. Sugestão de leitura do material complementar:

CULMINATO. José Alberto. Cálculo Numérico. Disponível em:

<https://docs.google.com/a/aedu.com/file/d/0B30OueqS8kbtS29QeTNNbG

9YdjA/edit?usp=sharing>. Acesso em: 19 abr. 2013.

2. Observar os dois casos apresentados abaixo:

(a) Caso A

Uma professora de matemática da 1ª série do ensino médio pediu a três alunos da classe que

calculassem a área de uma circunferência de raio igual a 120 metros. Os seguintes valores

foram obtidos, respectivamente, pelos alunos João, Pedro e Maria: 45.216m² ; 45.239,04m² e

45.238,9342176m²

(b) Caso B

3. Considerar os casos A e B apresentados anteriormente e respondam:

Por que foram encontrados três valores diferentes para o caso (A), considerando que

não houve erro algum por parte dos alunos na utilização da fórmula da área de uma

circunferência e nem na substituição do valor do raio, na mesma?

R: Por que foram usados métodos diferentes de arredondamento para π:

João utilizou o truncamento, deixando apenas duas casas depois da virgula (3,14).

Pedro arredondou somando 1 ao anterior que antecede o numero maior ou igual ao

número 5 (3,1416).

Maria utilizou o numero inteiro (3,141592654).

Quando comparados, vemos uma diferença nos valores obtidos nos cálculos dos

somatórios utilizando cada uma das ferramentas. A que se deve essa diferença

apresentada no caso B?

R: As diferenças podem ter ocorrido em função da forma de arredondamento, da forma como

os números são armazenados ou da quantidade de casas decimais que foi utilizada para

realização de cada calculo.

Passo 2 (Equipe)

Ler o desafio proposto:

Numa máquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tem base 10; 5 dígitos na

mantissa e expoente no intervalo [6, 6], pode se afirmar que:

Respostas:

I – Está incorreta, pois a primeira regra para notação científica (m ×10e) é que o número m

que é denominado mantissima seja maior ou igual a 1 e menor ou igual a 9.

Neste caso a mantissima é 0 e a calculadora aceita até 5 dígitos, então:

O menor número seria: 1 ×10−4=0,0001 (5 dígitos na mantissima)

O maior número seria : 9 ×104=99999 (5 dígitos na mantissima)

II -

Passo 3 (Equipe)

Resolver o desafio apresentado no passo 2, julgando as afirmações apresentadas como certa

ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados para

posteriormente serem apresentados ao professor da disciplina.

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.

Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.

Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa.

Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada.

Passo 4 (Equipe)

Entregar ao professor, para cumprimento dessa etapa, um relatório com o nome de Relatório 2

– Sistemas de Numeração e Erros, com as seguintes informações organizadas:

1. as justificativas para as diferenças encontradas nos casos A e B, do passo 1;

2. os cálculos realizados para a solução do passo 3;

3. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

ETAPA 3: SOLUÇÃO NUMÉRICA DE SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

Esta etapa é importante para que você fixe, de forma prática, conceitos introdutórios de sistemas lineares, tais como: a caracterização matemática de um sistema linear; a notação matricial de um sistema linear; classificação de um sistema quanto à solução – compatível ou não compatível.

Passo 1

1. Ler atentamente os capítulos do livro-texto (FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007) que descrevem os conceitos introdutórios de sistemas lineares. Pesquisar também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização de sistemas lineares na Engenharia da Computação.

2. Apresentar um caso real de aplicação de sistemas lineares.

3. Utilizar o Software Geogebra como uma ferramenta de apoio para a resolução dos desafios propostos no próximo passo. Para download do software, acessar o link:

Geogebra. Disponível em:<https://docs.google.com/a/aedu.com/file/d/0B30OueqS8kbtUVRaaVBrSDNTcVk/edit?usp=sharing>. Acesso em: 02 abr. 2013

Passo 2 (Equipe)

Ler o desafio proposto:Considerar um circuito elétrico representado por:

A respeito do sistema linear gerado pelo circuito elétrico, podemos afirmar:

Passo 3 (Equipe)

Resolver o desafio proposto no passo 2, julgando as afirmações apresentadas como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados e apresentados ao professor ao final desta etapa.Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa.Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada.

Passo 4 (Equipe)Entregar ao professor, como cumprimento dessa etapa, um relatório com o nome de Relatório 3 – Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares – parte 1, com as seguintes informações organizadas:1. o texto criado à partir da pesquisa realizada no passo 1;2. os cálculos realizados para a solução do passo 3 (imprimir arquivo gerado pelo software,caso este tenha sido usado na resolução do desafio proposto);3. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

ETAPA 4: SOLUÇÃO NUMÉRICA DE SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

Esta etapa é importante para que você fixe, de forma prática, métodos numéricos para resolver problemas de sistemas de equações lineares utilizando o Método Exato da Decomposição LU e o Método Exato de Eliminação de Gauss.

Passo 1 (Aluno)

1. Ler atentamente os capítulos do livro-texto (FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007) que descrevem os conceitos de solução de sistemas lineares: método direto (exato) e método interativo. Pesquisar também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização de cada um dos métodos de solução de sistemas lineares.

2. Apresentar casos reais de aplicações dos dois métodos de solução de sistemas de equações lineares: método exato e método interativo.

3. Fazer o download do Software VCN_5p1. Este software servirá de apoio para a resolução do desafio apresentado nesta etapa. Para download do software, acessar o link:

VCN_5P1. Disponível em:<https://docs.google.com/file/d/0BzbowUl2pexdUVVSTThDeHZwWHM/edit?usp=sharing>. Acesso em: 09 abr. 2013.

Sobre a decomposição LU, podemos afirmar que:

2. Desafio BConsiderar os sistemas:

Utilizando a eliminação de Gauss e aritmética de ponto flutuante com três algarismos significativos com arredondamento, podemos afirmar que:

Passo 3 (Equipe)Resolver os desafios apresentados no passo 2, julgando as afirmações apresentadas como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados e apresentados ao professor quando esta etapa for concluída.

Para o desafio A:Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.

Para o desafio B:Associar o número 1, se a afirmação I estiver certa.Associar o número 0, se a afirmação I estiver errada.Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.Associar o número 0, se a afirmação III estiver certa.Associar o número 1, se a afirmação III estiver errada.Associar o número 1, se a afirmação IV estiver certa.Associar o número 0, se a afirmação IV estiver errada.Passo 4 (Equipe)Entregar ao professor, como cumprimento dessa etapa, um relatório com o nome de Relatório 4 - Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares – parte 2, com as seguintes informações organizadas:

1. O texto criado a partir da pesquisa realizada no passo 1.

2. Os cálculos realizados utilizando o software de cálculo numérico VCN_5p1 para a solução do passo 3 (imprimir arquivo gerado pelo software).

3. Apresentar o código de barras linear palíndromo completo, já com os últimos dezessete algarismos devidamente colocados. Lembrar que o código de barras linear é palíndromo e o cumprimento correto de todas as etapas, fornecerão apenas os dezessetes primeiros algarismos do código. Os demais números deverão ser logicamente deduzidos pela própria definição de um número palíndromo.

BIBLIOGRAFIA

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade. 2ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012. PLT 622.

FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007.