ETAPA 1

Situação-problema 1: O valor da conta de água é dado por uma tarifa fixa, mais uma parte que varia de acordo com o volume, em metros cúbicos utilizados, caso exceda o volume considerado na tarifa fixa. O valor da tarifa fixa é de R$ 13,00 e a cada metro cúbico excedente acrescenta R$1,90 no valor da conta.

PASSO 1 – Faça a leitura do capítulo 1 – seção 1.1 do PLT e demonstre através da situação problema 1 o conceito de função linear. Escreva a equação para o custo total de água, em reais, de uma residência em função da quantidade de água utilizada, em metros cúbicos e interprete os resultados.

Função Linear:

Uma função é linear se seu coeficiente angular, ou taxa de variação, é a mesma em todos os pontos. A taxa de variação de uma função que não é linear pode variar de ponto a ponto.

Y= Ax + B

Y= F(x) = b + mx

Y= F (t)

Considerando os seguintes volumes: 1 m³, 2 m³, 3 m³, 4 m³, 5 m³, 6 m³, 7 m³, 8 m³, 9 m³ e 10m³, teremos:

Y = f(t)

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 1 + 13 Y = R$ 14,90

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 2 + 13 Y = R$ 16,80

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 3 + 13 Y = R$ 18,70

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 4 + 13 Y = R$ 20,60

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 5 + 13 Y = R$ 22,50

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 6 + 13 Y = R$ 24,40

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 7 + 13 Y = R$ 26,30

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 8 + 13 Y = R$ 28,20

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 . 9 + 13 Y = R$ 30,10

Y = 1,9 . t + 13 Y = 1,9 .10 + 13 Y = R$ 32,00

PASSO 2– Demonstre que o coeficiente angular de uma função linear y=f(t) pode ser calculado a partir de valores da função em dois pontos, descrita no Passo 1.

m = F (x2) – F (x1)

x2 - x1

Para a função de dois pontos 1m³ e 3m³:

m = F (x2) – F (x1) => m = F (22,50) – F (14,90) = 7,6 = 1,90

x2 - x1 5 - 1 4

Para a função de dois pontos 1m³ e 6m³:

m = F (x2) – F (x1) => m = F (32,00) – F (14,90) = 17,10 = 1,90

x2 - x1 10 - 1 9

Para a função de dois pontos 3m³ e 6m³:

m = F (x2) – F (x1) => m = F (32,00) – F (22,50) =9,50 = 1,90

x2 - x1 10 - 5 5

PASSO 3 – Utilizando o software Microsoft® Excel, construa o gráfico da função referente a situação-problema 1 e identifique se a função é crescente ou decrescente.

A função referente à situação problema 1 é crescente, conforme gráfico abaixo:

ETAPA 2

Situação-problema 2: Se a temperatura do planeta continuar subindo no ritmo atual e os países não tomarem medidas com a mesma velocidade para auxiliar o problema do aquecimento global, poderão ocorrer várias epidemias por microorganismos. Os modelos matemáticos têm mostrado como as alterações climáticas podem aumentar a distribuição de doenças transmitidas por microorganismos. O número da população de microorganismos pode ser representado matematicamente por uma equação exponencial. Considere a seguinte situação fictícia: em uma cultura de microorganismos, existem inicialmente 2.000 microorganismos presentes e estimativas mostram que, aumentando em 1ºC a temperatura em relação a temperatura anterior, o número de microorganismos passa a ser três vezes maior.

PASSO 1– Faça a leitura do capítulo 1 – seção 1.2 do PLT e elabore um texto explicando a utilização da função exponencial.

Função Exponencial:

Toda relação de dependência, onde uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Veja a seguir:

y = 2x

y = 3x + 4

y = 0,5x

y = 4x

f: R R tal que y = ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações onde a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e microorganismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

A função f é chamada função exponencial se f(x) = bx onde b é uma constante positiva e x um número real. Neste caso, x é chamado expoente e b a base.

A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a notação:

f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

PASSO 2– Considere a situação-problema 2 e obtenha a equação exponencial que relaciona o número de microorganismos em função da temperatura.

Considerando P(função exponencial de t com base a se P=Po . at), Po(condição inicial quando t=0),e a(valor segundo o qual P muda quando t aumenta de 1), teremos:

P = Quantidade total de uma cultura de microorganismos;

Po = Quantidade inicial;

a = Fator de crescimento desta cultura;

t = Número de ºC aumentado.

Teremos a seguinte equação:

P = Po . at => P = 2000 . (3)t

Passo 3 – Utilizando o software Microsoft® Excel, construa o gráfico da função referente à cultura de microorganismos e identifique se há crescimento ou decaimento exponencial. Defina meiavida e tempo de duplicação. Dê exemplos.

Adotando os seguintes aumentos de temperatura:1°C, 2ºC, 3ºC, 4ºC e 5ºC,teremos:

P = 2000 . (3)1 P = 2000 . 3 P = 6000

P = 2000 . (3)2 P = 2000 . 9 P = 18000

P = 2000 . (3)3 P = 2000 . 27 P = 54000

P = 2000 . (3)4 P = 2000 . 81 P = 162000

P = 2000 . (3)5 P = 2000 . 243 P = 486000

P = 2000 . (3)6- P = 2000 . 729 P = 1458000

Note no gráfico abaixo que houve um crescimento na cultura de microorganismos:

Meia - Vida:

A meia-vida é a quantidade de tempo característica de um decaimento exponencial. Se a quantidade que decai possui um valor no início do processo, na meia-vida a quantidade terá metade deste valor.

Exemplo:

Se tomarmos hoje (2010) um elemento A de massa 100 kg, sendo seu período de meia vida de 80 anos, terá sua massa igual a 50 kg no ano de 2090! Ou seja, daqui a oitenta anos. No ano de 2170 sua massa será de 25 kg e assim por diante.

Tempo de Duplicação:

O Tempo de Duplicação é a quantidade de tempo de um aumento exponencial. Se a quantidade que aumenta possui um valor no inicio do processo, no Tempo de Duplicação a quantidade terá o dobro deste valor.

Exemplo:

Se tomarmos hoje (2010) um elemento A de massa 100 kg, sendo seu Tempo de Duplicação de 80 anos, terá sua massa igual a 200 kg no ano de 2090! Ou seja, daqui a oitenta anos. No ano de 2170 sua massa será de 400 kg e assim por diante.

ETAPA 3

PASSO 1 – Faça a leitura do capítulo 1 – seção 1.4 do PLT e elabore um texto explicando a utilização dos logaritmos.

Aplicação dos Logaritmos:

Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, com Física, Química, Medicina, Geografia entre outras. Veja o exemplo abaixo para entender a utilização das técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão:

Exemplo 1:

Uma pessoa aplicou a importância de R$500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3.500,00?

Resolução:

As técnicas de logaritmos são imprescindíveis para a determinação do tempo e juros compostos.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C* (1 + i)t. De acordo com a situação problema, temos:

M (montante) = 3500

C (capital) = 500

i (taxa) = 3,5% = 0,035 t = ?

M = C*(1 + i)t

3500 = 500*(1+0,035)t => 3500/500 = 1,035t => 1,035t = 7

Aplicando logaritmo

log 1,035t = log 7

t* log 1,035 = log 7

t* 0,0149 = 0,8451

t = 0,8451/0,0149

t = 56,7

O montante de R$3.500,00 será originado após 56 meses de aplicação.

Passo 2 – Desenhe o gráfico de uma função logaritma do tipo Log(x) e LN(x). Qual a diferença entre esses dois logaritmos? Escolha um exemplo para ilustrar a sua resposta.

(Falta gráfico)

Ambas as funções crescem lentamente a medida que aumenta o eixo x e tendem ao infinito. A intersecção de ambas é x=1. Em ambas as funções, a resultante será a mesma. Exemplo:

t = log (7) = 0,845 = 2,807

log (2) 0,301

t = ln (7) = 1,946 = 2,807

ln (2) 0,693

ETAPA 4

PASSO 1-Leia o capítulo 1 – seção 1.7 e o capítulo 2 – seções 2.1 e 2.2 do PLT, pesquise e elabore umtexto explorando o conceito de limites, suas propriedades, continuidade de funções e limites no infinito.

CONCEITO DE LIMITES

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma

função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim

como o comportamento de uma seqüência de números reais, à medida que o índice (da

seqüência) vai crescendo, e “E” tende para infinito. Os limites são usados no cálculo

diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a

continuidade de funções. O conceito de limite é formalmente definido da seguinte

forma: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo a (exceto

possivelmente a) e seja A um número real.

A expressão  significa que qualquer que seja existe um tal que para todo x, satisfazendo , vale . ou, usando a notação simbólica: Dito de maneira mais formal, um limite A é dado da seguinte maneira, segunda a idéia originalmente formulada por Cauchy:

Limite é o conceito mais fundamental do calculo; de fato, limite é o que distingue, no

nível mais básico, o calculo de álgebra, geometria e o resto da matemática.

Portanto, em termos do desenvolvimento ordenado e lógico do calculo, limites devem

vir primeiro. Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o

comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um

determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à

medida que o índice (da sequência) vai crescendo, tende para infinito.

Limites nos apresentam um grande paradoxo. Todos os conceitos principais do cálculo -

derivadas, continuidade, integral, convergência/divergência - são definidos em termos

de limites. Limite é o conceito mais fundamental do Cálculo; de fato, limite é o que

distingue, no nível mais básico, o cálculo de álgebra, geometria e o resto da matemática.

Portanto, em termos do desenvolvimento ordenado e lógico do cálculo, limites devem

vir primeiro.

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma seqüência de números reais, à medida que o índice (da seqüência) vai crescendo, e “E” tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções. O conceito de limite é formalmente definido da seguinte

forma: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo a (exceto possivelmente a) e seja A um número real.

A expressão  significa que qualquer que seja existe um tal que para todo x, satisfazendo , vale . ou, usando a notação simbólica: Dito de maneira mais formal, um limite A é dado da seguinte maneira, segunda a idéia originalmente formulada por Cauchy:

PROPRIEDADES DOS LIMITES

Muitas funções do cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos,

quocientes e potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser

usadas para simplificar as funções mais elaboradas. Em todas as situações abaixo,

consideraremos x a.

1. Se f(x)=C onde C é constante, então Lim f(x) = Lim C = C;

2. Se k e b são constantes e f(x) = kx+b, então Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b;

3. Se f e g são duas funções, k uma constante, A e B números reais e além disso

Lim f(x)=A e Lim g(x)=B, então:

a. Lim(f ± g)(x) = [Lim f(x)] ± [Lim g(x)] = A ± B

b. Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·B

c. Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·A

d. Lim(f)n(x) = (Lim f(x))n = An

e. Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B, se B é não nulo.

f. Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A)

4. Se acontecer uma das situações abaixo:

a. Lim f(x) = 0

b. Lim f(x)>0 e n é um número natural

c. Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar

Então

PODEMOS ESTABELACER AS SEGUINTES PROPRIEDADES OPERATÓRIAS PARA OS LIMITES:

Propriedade 1 – Limite da soma (subtração) de duas ou mais funções - Será a soma dos limites de cada função.

Propriedade 2 - Limite do produto de duas ou mais funções - Será o produto dos limites de cada função.

Propriedade 3 – Limite do quociente - Será quociente entre os limites de cada função.

 Propriedade 4 - Limite do produto de uma constante por uma função - Será o produto da constante pelo limite da função. Seja uma constante.

Propriedade 5 - Limite da potência - Será a potência do limite.

Propriedade 6 - Limite da raiz - Será a raiz do limite.

Propriedade 7 - Limite do logaritmo de uma função - Será o logaritmo do limite da função.

OBSERVAÇOES SOBRE AS PROPRIEDADES:

1-As propriedades que valem para duas funções valem também para um número finito

de funções;

2-As propriedades 3-a, 3-b e 3-e estabelecem que se existem os limites das parcelas,

então, existirá o limite da operação, mas a recíproca deste fato não é verdadeira, pois o

limite de uma operação pode existir sem que existam os limites das parcelas.

Teorema do anulamento: Se f é uma função limitada e g é uma função tal que Lim

g(x)=0, quando x a, então: Lim f(x)·g(x) = 0. Este resultado é útil para podermos

obter cálculos com limites.

Teorema do Confronto (regra do sanduiche): Se valem as desigualdades f(x)<g(x)<h(x)

para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto talvez em x=a e se Lim f(x) = L

= Lim h(x) então: Lim g(x) = L

Exemplo: Se para x próximo de 0, vale a relação de desigualdades:

cos(x) < sen(x)/x < 1 então, quando x 0: 1 = Lim cos(x) < Lim sen(x)/x < Lim 1 = 1

Observações: Todas as propriedades vistas para o cálculo de limites são válidas também

para limites laterais e para limites no infinito. Quando, no cálculo do limite de uma

função, aparecer uma das sete formas, que são denominadas expressões indeterminadas,

nada se poderá

concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de cada caso.

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes

condições são satisfeitas:

 

Propriedade das Funções contínuas

Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:

 f(x) g(x) é contínua em a;

f(x) . g(x) é contínua em a;

é contínua em a .

Um conceito fundamental no Cálculo, no que diz respeito ao estudo de

funções, é o de continuidade de uma função num ponto de seu domínio.

 

O conceito de continuidade de uma função em um ponto de seu domínio pode ser

colocado na forma de uma definição precisa:

Definição: f é contínua num ponto a de seu domínio quando . Quando f é

contínua em cada ponto de seu domínio, dizemos que f é contínua.

Observamos que para questionarmos se uma dada função é contínua em determinado

ponto, precisamos tomar o cuidado de verificar se esse ponto pertence ao domínio da

função. Se tal ponto não está no domínio, a função não é contínua nesse ponto. Assim,

é uma função contínua em todos os pontos de seu domínio ,

porém não é contínua no conjunto R, pois não é contínua em x=0, uma vez que não está

definida nesse ponto. Uma propriedade importante relaciona a continuidade de uma

função num ponto de seu domínio com a derivabilidade dessa função, ou seja, com a

existência de reta tangente ao gráfico nesse mesmo ponto. Se f é derivável num ponto x0

de seu domínio, então f é contínua em x0. Dessa forma, a existência de reta tangente ao

gráfico de uma função num ponto de seu domínio acarreta necessariamente na

continuidade da função nesse ponto.

Obs.: A recíproca desse Teorema é falsa.

Para verificar esse fato, basta exibir um contra-exemplo:

·. Essa função é evidentemente contínua em todo seu domínio, em particular,

em x=0. Entretanto, não é derivável na origem.

LIMITES NO INFINITO

Limite no infinito significa um valor elevado para x quando queremos saber o quanto esse número ficaria perto do valor L ou seja, a expressão x (x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real. , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero. , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero. , ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito. , ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y tende para menos infinito

IDÉIA INTUITIVA DE LIMITE

Observaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para

fixar idéias, consideremos a função f:R-{1} R definida por:

f(x)=

x²-1

x-1

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais simples:

f(x) = x + 1. Ao analisarmos o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto

x=1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta função se

aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x se aproximam de x=1,

tanto por valores de x<1 (à esquerda de 1) como por valores x>1 (à direita de 1).

Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f,

para valores x à esquerda e à direita de x=1.

Pela esquerda de x=1

x 00,

5

0,

8

0,

9

0,9

9

0,99

91

f(x) 11,

5

1,

8

1,

9

1,9

9

1,99

92

Pela direita de x=1

x 2 1,5 1,2 1,1 1,01 1,001 1

f(x

)3 2,5 2,2 2,1 2,01 2,001 2

Neste caso, dizemos L=2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que

denotaremos por: Limx 1 f(x) = 2. Este resultado pode ser visto através da análise

gráfica de f, cujo esboço vemos na figura abaixo:

PASSO 2

Pesquise o uso de limites em outras áreas, como por exemplo, em Física para o cálculo davelocidade instantânea, e elabore um texto.

LIMITES EM OUTRAS ÁREAS

Limites são fáceis de serem colocados em fundações rigorosas e, por esse motivo, são a abordagem padrão para os todos os tipos de cálculos.

Limite não é utilizado apenas em matemática, e sim, em diversas outras áreas, como por exemplo, na Física. Temos como exemplo, o cálculo da velocidade instantânea. Para fazermos este cálculo, precisamos conhecer a posição y do objeto em cada instante x, e precisamos conhecer a função y = f(x). Munidos deste conhecimento, a velocidade em cada instante x é o valor para o qual se aproxima a velocidade média entre os instantes x e x + Δx (i.e. Δf/Δx ), quando o intervalo de tempo Δx se aproxima de 0, ou seja o limite do quociente anterior. A este tipo de limites chamamos derivada.

Podemos ver que a velocidade média se vai aproximando do declive da reta tangente no ponto x, pois a reta secante, que une os pontos f(x) e f(x + Δx), tende para a reta tangente quando Δx se aproxima de 0. No caso geral em que a variável y não é necessariamente a posição e a variável x não é necessariamente o tempo, chamamos derivada de f no ponto x à velocidade no ponto x, ou seja, o declive da reta tangente.

Veja o exemplo abaixo:

Qual seria o limite da velocidade média de um corpo qualquer quando o intervalo de tempo do seu movimento tender à zero?

Considerando-se que:

velocidade média = vm = ΔS / Δt;

a função horária do espaço: S(t) = So + Vo.t + (1/2)a.t²

e o deslocamento: ΔS = S - So = S(t + Δt) - S(t)

O cálculo do limite é:

lim vm =Δt→0

lim ΔS / Δt =

Δt→0

lim [S(t + Δt) - S(t)] / Δt =Δt→0

lim {So + Vo(t + Δt) + (1/2)a.(t + Δt)² - [So + Vo.t + (1/2)a.t²]} / Δt =

Δt→0

lim [Vo.Δt + (1/2)a.(t² + Δt² + 2tΔt) - (1/2)a.t²] / Δt =

Δt→0

lim [Vo.Δt + (1/2)a.(Δt² + 2tΔt)] / Δt =

Δt→0

lim Δt.[Vo + (1/2)a.(Δt + 2t)] / Δt =

Δt→0

lim Vo + (1/2)a.(Δt + 2t) =

Δt→0

Vo + a.t

O limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tender a zero é a velocidade instantânea do corpo.