Universidade de Brasília

IE - Instituto de Ciências Exatas

Departamento de Estatística

Pesquisa Operacional 1

Professora: Maria Amélia

Alunos: Erique Pereira Neto - 11/0011058

Geiziane Silva de Oliveira – 11/0012160

Trabalho de P.O.1

1.1. Um fazendeiro tem 500 hectares de terra e deseja determinar a área

de plantio alocada para as seguintes três culturas: trigo, milho e soja.

Man-days (mão-de-obra), custo de preparação e o lucro por hectare

de cada cultura estão resumidos na tabela abaixo.

Cultura Man-days Custo de preparação $ Lucro $

Trigo 6 100 60

Milho 8 150 100

Soja 10 120 80

Sabe-se que o número máximo de man-days disponíveis são 5000 e que

o fazendeiro tem $60 000 para preparação.

Modelando o Problema de Programação Linear:

Variáveis de Decisão:

Xi = quantidade de hectares alocados para o plantio da cultura i,

com i=1,2,3, onde 1 = trigo, 2 = milho, 3 = soja.

Função Objetivo:

O fazendeiro deseja alocar uma quantidade de hectares para o

plantio de cada cultura de maneira a maximizar o seu lucro. Logo

o objetivo do fazendeiro é maximizar o lucro.

Restrições:

O fazendeiro tem recursos limitados, ele tem à sua disposição 500

hectares de terra, $60 000 para a preparação do plantio e possui

5000 man-days disponíveis. Essas são as restrições de recursos do

P.L.

Logo, o P.L. associado a este problema é:

P.L : Max Z = 60X1+100X2+80X3

S.a 6X1 + 8X2 +10X3 ≤ 5000 (man-days)

100X1+150X2+120X3 ≤ 60.000 (preparação)

X1 + X2 + X3 ≤ 500 (terra)

X1, X2, X3 ≥ 0

Agora, olhando do ponto de vista de uma pessoa que queira comprar a

fazenda, o objetivo dela seria minimizar o valor pago pelos recursos do

fazendeiro. Então temos que o problema Dual será:

D: Min ɸ = 5000λ1+60000λ2+500λ3

S.a 6λ1 + 100λ2 + λ3 ≥ 60 ( I )

8λ1 + 150λ2 + λ3 ≥ 100 ( II )

10λ1 + 120λ2 + λ3 ≥ 80 ( III )

λ1, λ2, λ3 ≥ 0

Em que λi = valor pago por cada unidade do recurso i, i = 1,2,3, onde

1 = man-days, 2 = dinheiro para a preparação e 3 = hectares de terra.

A interpretação da restrição ( I ) seria que o valor pago pelos recursos

usados na plantação de trigo tem que ser pelo menos o lucro que o

fazendeiro obtém com a plantação dessa cultura, senão a venda não seria

vantajoso para o mesmo. A interpretação para as restrições ( II ) e ( III ) é

a mesma só que para as culturas de milho e soja, respectivamente.

1.2. Colocando o P.L na forma padrão:

Max Z = 60X1+100X2+80X3

S.a 6X1 + 8X2 +10X3 +X4+0X5+0X6 ≤ 5000 (man-days)

100X1+150X2+120X3+0X4+X5+0X6 ≤ 60.000 (preparação)

X1 + X2 + X3+0X4+0X5+X6 ≤ 500 (terra)

X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0

O tablô inicial é:

X1 X2 X3 X4 X5 X6 RHS

Z 60 100 80 0 0 0

X4 6 8 10 1 0 0 5000

X5 100 150 120 0 1 0 60000

X6 1 1 1 0 0 1 500

O tablô ótimo é:

X1 X2 X3 X4 X5 X6 RHS

Z 6,667 0 0 0 0,667 0 40000

X4 0,667 0 3,6 1 -0,053 0 1800

X5 0,667 1 0,8 0 0,0067 0 400

X6 0,333 0 0,2 0 -0,007 1 100

Análise de sensibilidade para o parâmetro “b”.

Escolhe-se b3=500, somando se ∆ temos b3’=500+∆. Temos de determinar

o valor de ∆ pra o qual a solução continua na otimalidade.

XB = (X4, X2, X6)

XN = (X1, X5, X3) = (0, 0, 0)

b3 =

Para garantir a otimalidade devemos ter

Logo, =

═>

Assim, para qualquer a solução permanece ótima, ou seja, se

diminuirmos a quantidade de hectares de terra para a plantação de soja, a

solução continua ótima. Só para efeito de constatação, fazendo ,

temos b3’= 420

=

Análise de sensibilidade para o parâmetro “c”.

Pegando uma variável não-básica no tablô ótimo, encontrar um valor de e

verificar até que ponto a solução permanece ótima.

Começando por ═>

.

Logo devemos ter ═> .

Como é variável não-básica, a solução permanece ótima para qualquer

.

Supondo

═>

, o que não altera a solução ótima, o valor de continua 40 000.

Analisando o parâmetro “C” para variáveis básicas, alteram-se todos os

custos relativos e o valor de Z.

XB = (X2, X4, X6)

CB = (C2, C4, C6) = (100,0,0)

Tomando C2 = 100 e fazendo , então o novo valor de

=

═> ═>

═>

=CB

═>

=CB

═> .

Para satisfazer as três desigualdades e garantir a otimalidade pegamos

,

min .

O novo valor de e o valor de passa a ser

. A solução continua ótima e aumenta.

Mudando um coeficiente de uma variável não-básica, por exemplo

Portanto, se a quantidade de man-days for aumentada de 6 para 9 na

cultivação do trigo, a solução ainda continuaria ótima.