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PROVA FINAL DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - OUTUBRO DE 2010.

ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ.

RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

Questão 01 Uma roda gigante tem 10m de raio e possui 12 assentos, igualmente espaçados, e gira no sentido horário.

O assento 1 está na posição mais baixa e sua distância ao solo é de 60 cm. Quando o assento 11 atingir a parte mais baixa, qual a distância, em metros, do assento 1 ao solo? 01) 4,20 02) 4,80 03) 5,00 04) 5,60 05) 5,80 RESOLUÇÃO:

Quando o acento 11 estiver na posição C, o acento 1 estará na posição A. Como o círculo está dividido em 12 partes congruentes, o arco CD mede 60°. Logo o ângulo DÂC mede

30°. No triângulo retângulo ABC, a medida da hipotenusa AC é igual a 10m (medida do raio).

5x2

1

10

x)30 sen(

2

1

AC

BC=⇒=⇒°= .

Então a distância do ponto A ao solo é de 5m + 0,60m = 5,60m RESPOSTA: Alternativa 04.

Questão 02.

Seja f : R → R uma função par e g : R → R, uma função ímpar e bijetora. Considere as afirmativas.

I) A função f não admite inversa.

II) g(g–1 (x)) = x

III) Se (2; –7) ∈ g, então (–2; 7) ∈ g.

IV) Se f(5) = 11, então f(–5) = 11.

V) Se g(7) = 10, então g-1(10) = 7.

O número de afirmativas verdadeiras é:

01) 01 02) 02 03) 03 04) 04 05) 05 RESOLUÇÃO: I) VERDADEIRA. A função f : R → R sendo par não é injetora, ou seja, possui pontos do tipo (a, b) e (c, b), logo não possui inversa.

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II) VERDADEIRA. Sendo g : R → R, uma função ímpar e bijetora, existe g–1: R → R e é válida a relação g(g–1 (x)) = x. III) VERDADEIRA. Se g é uma função ímpar, g(x) = −g(−x).

Por exemplo, sendo g(x) = 2

x7−, tem-se g(2) = 7− , e 7)2(g =− .

IV) VERDADEIRA. A função f : R → R sendo par, )x(f)x(f −= .

Por exemplo, sendo f(x) = x² + 4, tem-se f(−2) = (−2)² + 4 = (2)² + 4 = 8. V) VERDADEIRA. Sendo g : R → R, uma função ímpar e bijetora, existe g–1: R → R e se g(x) = y, então g–1(x) = y. RESPOSTA: Alternativa 05

Questão 03.

Um tanque cilíndrico subterrâneo com 5m de altura e 0,6m de raio contém água até a metade do volume desse tanque. Uma bomba leva toda essa água para um tanque com base na superfície do terreno, tendo a forma de um prisma hexagonal regular com lado da base igual a 1m. Determine, em metros, a altura que o nível da água alcançará neste tanque.

Considerar 3 e 7,13 == π . 01) 0,80 02) 1,06 03) 1,20 04) 1,32 05) 1,41 RESOLUÇÃO:

O volume de água contida no tanque cilíndrico é igual a

V = ( ) ( ) 7,2536,032

1hR

2

1 2 =××=π .

A água dentro do tanque externo forma um prisma hexagonal regular de aresta da base medindo 1m e altura x e volume 2,7m³.

⇒=

×⇒=×

⇒= 7,2x

2

7,137,2x

4

316BhVprisma

06,10588,1x4,5x1,5 ≅=⇒= . RESPOSTA: Alternativa 02

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Questão 04.

(UESB2009)As funções f(x) e g(x), representadas no gráfico, indicam os valores, em reais, cobrados por duas pessoas na digitação de x páginas de trabalhos escolares.

Então, o valor f cobrado pela digitação de 70 páginas é

01) igual ao valor g. 02) R$6,75 mais barato que o valor g. 03) R$8,20 mais barato que o valor g. 04) R$10,50 mais caro que o valor g. 05) R$12,25 mais caro que o valor g.

RESOLUÇÃO: f(x) possui os pontos (0, 0) e (100, 125) no intervalo [0, 100] ⇒ f(x) = 1,25x. g(x) possui os pontos (50, 65) e (100, 95) no intervalo [50, 100] ⇒ equação de g(x) pode ser obtida usando a relação:

( ) 35x5

3)x(g35x

5

3y6530x

5

3y50x

50

3065y)xx(

xx

yyyy 1

12

121 +=⇒+=⇒+−=⇒−=−⇒−

−

−=−

f(70) =1,25 × 70 = 87,50.

g(70) = 77354235705

3=+=+×

50,1000,7750,87)70(g)70(f =−=− .

RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 05.

Seja r a reta de interseção dos planos perpendiculares α e β. È verdade que: 01) Toda reta paralela ao plano α é paralela ao plano β. 02) Toda reta perpendicular ao plano α é paralela ao plano β.

03) Se os pontos A ∈ α e. B ∈ β não pertencem à reta r = α ∩ β, então as retas AB e r não são reversas. 04) Se a reta t é paralela aos planos α e β, então a reta t é paralela à reta r. 05) Todo plano perpendicular a α é paralelo a β.

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RESOLUÇÃO:

01) FALSA.

Na figura ao lado tem-se s // t // α e s ⊥ β.

02) FALSA. Na figura ao lado tem-se s ⊥ t ⊂ α ⇒ s //α; s ⊂ β, logo s não é paralela a β.

03) FALSA.

Pela figura vê-se que A ∈ α e. B ∈ β; A ∉ r e que as retas AB e r são reversas.

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04) VERDADEIRA. A reta t contém uma das arestas do paralelepípedo reto retângulo destacado na figura ao lado. A reta t é paralela aos planos α e β, e a reta t é paralela à reta r que contém a aresta oposta àquela contida na reta t. Logo t // r. 05) FALSA. Na mesma figura destaca-se o plano δ ⊥ α e também δ ⊥ β.

RESPOSTA: Alternativa 04.

Questão 06.

O dono de uma loja combinou com cada um de seus vendedores a seguinte tabela de comissões a partir do total vendido no mês:

Total vendido no mês Comissão R$0,00 R$0,00 R$2.000 R$50 R$5.000 R$200 R$10.000 R$500 R$20.000 R$1.500 Acima de R$20.000 10% sobre o total das vendas

Ele combinou ainda que para valores de venda abaixo de R$20.000 e que não estivessem na tabela acima seria usado o método da interpolação linear para o cálculo da comissão. José e Maria são casados, e ambos vendedores desta loja. No mês passado José vendeu um total de R$4500 e Maria vendeu R$8000. Quanto os dois ganharam juntos de comissão? 01) R$550 02) R$555 03) R$560 04) R$565 05) R$570 RESOLUÇÃO:

José:

R$2.000 R$50 R$5.000 R$200

( ) ⇒−=⇒+−=⇒−=−⇒−

−

−=− 50x

2

1y50100x

20

1y2000x

20

150y)2000x(

20005000

5020050y

y = 1755020

4500=− . ( José ganhou 175 reais)

Maria:

R$5.000 R$200 R$10.000 R$500

( ) ⇒−=⇒+−=⇒−=−⇒−

−

−=− 100x

50

3y200300x

50

3y5000x

50

3200y)5000x(

500010000

200500200y

38010050

80003y =−

×= . (Maria ganhou 380 reais)

José e Maria juntos ganharam de comissão: 175 + 380 = 555 reais. RESPOSTA: Alternativa 02.

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Questão 07.

Um teatro tem 12 filas de cadeiras. O número de cadeiras em cada fila, a partir da segunda fila, é igual a anterior mais duas

cadeiras. Sabendo que o teatro possui 180 cadeiras, determine o número de cadeiras da maior fila.

01) 20 02) 24 03) 26 04)30 05) 32

RESOLUÇÃO:

A sequência, n(F1) = x, n(F2) = x + 2, ........., n(F12) constitui uma PA de 12 termos, com primeiro termo igual a x e razão igual a 2.

Assim, n(F12) = x + 2×(12 – 1) = x + 22.

( )26224)F(n4x48x12180132x12180

2

1222xxS 12n =+=⇒=⇒=⇒=+⇒=

×++=

RESPOSTA: Alternativa 03

ENUNCIADO PARA AS QUESTÕES 08 E 09. A empresa Caribe Holding S.A. fabrica e vende um determinado produto. Sendo Q o número de unidades fabricadas e vendidas e sendo P o preço de venda de cada unidade, sabe-se que o custo de fabricação é dado por C = 2000 + 30Q e a quantidade vendida é dada por Q = 1000 – 10P. Questão 08. Calcule o preço de venda para o qual a receita é máxima.

01) R$35 02) R$45 03) R$50 04) R$55 05)R$65

Preço unitário Valor total da venda de Q produtos Valor do Custo de Q produtos

P V = P ( 1000 – 10P) = 1000P – 10P² C = 2000 + 30(1000 – 10P) = 32000 – 300P

RESOLUÇÃO:

Sendo R = V = 1000P – 10P² ⇒ A receita é máxima para 5020

1000P =

−

−= reais.

RESPOSTA: Alternativa 03. Questão 09. Calcule o preço de venda para o qual o lucro é máximo.

01) R$35 02) R$45 03) R$50 04) R$55 05)R$65

Sendo V = C + L ⇒ L = V – C ⇒ L = 32000P1300P10)P30032000(P10P1000 22 −+−=−−−

O lucro é máximo para 6520

1300P =

−

−= reais.

RESPOSTA: Alternativa 05.

Questão 10.

O sétimo e o décimo termo de uma PG são, respectivamente, iguais a 16 e 128. A soma dos dez primeiros termos dessa PG é, aproximadamente, igual a

01) 25 02) 26 03) 27 04) 28 05) 29

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RESOLUÇÃO:

Numa PG, 2q8qq16128qaaqaa 333710

knkn =⇒=⇒×=⇒×=⇒×= −

( )4

12

12

122S2a162aqaa 8

102

102

16

16

17 −=−

−=⇒=⇒=×⇒×=

−−

RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 11.

Sabendo que a função quadrática f(x) = ax2 + 4x + c admite máximo 5 no ponto de abscissa 1, então 3a + 2c é igual a : 01) 0 02) 2 03) –2 04) 5 05) 6 (NRA) RESOLUÇÃO:

( )3c24c840c8165

8

c)2(4165

a4 e 2a1

a2

4

a2

b=⇒=⇒=+⇒=

−

−−−⇒=

∆−−=⇒=

−=

−

3a + 2c = 066 =+− . RESPOSTA: Alternativa 01. Questão 12.

Dadas as matrizes

−=

12

12A ,

=

24

02B e

=

02

a6C .

Calcule o elemento 22x da matriz X tal que I2

C

3

BAX t

=++

.

Sabe-se que C é uma matriz simétrica e I é a matriz identidade de 2a ordem.

01) 0 02) 1 03) 2 04) 3 05) 4 RESOLUÇÃO:

Se C é uma matriz simétrica,

=

02

26C

⇒

−

−

=⇒=++⇒=++⇒=+

+

03

39

20

42

30

03AXI3

2

C3BAXI6C3B2AX2I

2

C

3

BAX ttt

⇒

−

−−

−

⇒

−

−−

−=⇒

−

−−=⇒

−

−−= −

13

78

2

1

2

14

1

4

1

13

78

4

22

11

X13

78AX

13

78AX 1

X =

−−

42

52

3

4

11

.

RESPOSTA: Alternativa 05

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Questão 13.

O gráfico abaixo representa uma função quadrática f de vértice V. Determine f(12).

01). 8 02) 10 03) 15 04) 20 05) 45 RESOLUÇÃO:

A função tem 7 como uma de suas raízes e o eixo de simetria do seu gráfico é a

reta x = 5, logo a sua outra raíz é 3, porque 3'x' 2

''x75

2

''x x'xv =⇒

+=⇒

+= .

A parábola corta o eixo dos y no ponto (0, 7), então o termo independente da função é 7. Logo, pode-se representar a equação de f(x) como f(x) = a(x – 3) (x – 7) ⇒

f(x) =ax² – 10ax + 21a ⇒ 21a = 7 ⇒ 3

1a = ⇒ 7x

3

10²x

3

1)x(f +−= ⇒

( ) ( ) 15740487123

10144

3

1)12(f =+−=+−= .

RESPOSTA: Alternativa 03.

Questão 14.

O sistema

=

2

b

y

x

a2

31 é indeterminado. Calcule a + b.

01) 3 02) 4 03) 5 04) 6 05) 7

6a06a0a2

31=⇒=−⇒=

; 1b0b220

22

b1=⇒=−⇒=

a + b = 7. RESPOSTA: Alternativa 05. Questão 15. Sendo f(x) = ax2 + 8x + a uma função do 2o grau cuja imagem é o intervalo ]–∞; 6], e, g(x) = –4x + b uma função do 1o grau que passa pelo ponto (0; 16), calcule o valor de 2a + b .

01) 15 02) 14 03) 13 04) 12 05) 10

b = 16; 2a016a6a6a4

a464 22

−=⇒=−−⇒=−

−

2a + b = 12. RESPOSTA: Alternativa 04.

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Questão 16.

Determine o valor de x na equação: 18

824x

432x

211x

=

−−

+

−−

01) −1 02) 1 03) −2 04) 2 05) −3 RESOLUÇÃO:

18

82x

43x

21x

18

824

432

211

82x

43x

21x

18

824x

432x

211x

=

−

−

⇒=

−

−−

+

−

−

⇒=

−−

+

−−

1x18x1818x8x8x6x4x4x24 −=⇒=−⇒=+−++−−

RESPOSTA: Alternativa 01 Questão 17. Qual dentre os seguintes gráficos melhor representa o gráfico da função )1xlog(1y ++−=

01)

02)

03)

04)

05)

RESOLUÇÃO:

⇒=+−=+⇒=+⇒=++−⇒++−= 1)1xlog(ou 1)1xlog(1)1xlog(0)1xlog(1)1xlog(1y

9 ou x 9,0 x 101ou x 101x 1 =−=⇒=+=+ − . Por movimento de gráfico:

RESPOSTA: Alternativa 02.

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Questão 18 Considere a função )]x3([loglog)x(f

2

12 −= .

É verdade que:

01) f é decrescente e seu domínio é 3[ ,] ∞− .

02) f é decrescente e seu domínio é 3[ ,2] .

03) f é crescente e seu domínio é 3[ ,] ∞− .

04) f é crescente e seu domínio é 3[ ,2] .

05) f é crescente e seu domínio é [ 3,] ∞+ .

RESOLUÇÃO: Determinação do domínio:

3[ ,2])f(D2x

3x

1)x3(

3x

2

1)x3(

3x

0)x3(log

0x30

2

1=⇒

>

<⇒

<−

<⇒

<−

<

⇒

>−

>−

Sendo )]x3([loglog)x(f2

12 −= , pode-se considerá-la como f(x) = g(h( )x(llll ), onde g(x) = xlog2 , ,xlog)x(h2

1=

x3)x( −=llll .

Se g(x) = xlog2 é uma função crescente e xlog)x(h2

1= uma função decrescente, então, g(h(x) = )x(loglog2

12 é uma função

decrescente. Se g(h(x) = )x(loglog

2

12 é uma função decrescente e x3)x( −=llll uma função decrescente, então f(x) = g(h( )x(llll ) =

)]x3([loglog2

12 − é uma função crescente.

RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 19

Na figura ABCD é um quadrado de lado 6, M é o ponto médio do lado BC e

as retas DM e AN são perpendiculares. Calcule a abscissa do ponto P de interseção dessas retas. 01) 2 02)3 03) 12/5 04) 16/5 05) 7/2

RESOLUÇÃO:

Sendo M o ponto médio do lado BC , suas coordenadas são (6,3) e as coordenadas do ponto D são (0, 6).

O coeficiente angular da reta MD é a = 2

1

06

63−=

−

− e sua equação é y = 6x

2

1+− .

O coeficiente angular da reta AN é a’=2 ( MD ⊥ AN ) e como passa no ponto A(0, 0), sua equação é y = 2x.

MD ∩ AN = P , então as coordenadas de P constituem a solução do sistema

=⇒

+−=

+−=⇒

=

+−=

5

12x

12xx4

6x2

1x2

x2y

6x2

1y

.

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Ou utilizando os conhecimentos de Geometria plana:

Os triângulos retângulos DCM e ADN possuem os catetos AD e CD congruentes e compreendidos entre dois ângulos congruentes

( MCDNDA e MDCDÂN ≡≡ ), logo eles são congruentes e CM = ND = 3.

No triângulo retângulo DAN: 53369NA =+= .

5

512PA

53

6

6

PA

AN

DA

DA

PA=⇒=⇒=

4,2PE12PE55PE5

512

3

53

PE5

512

DN

NA

PE

PA=⇒=⇒=⇒=⇒=

RESPOSTA: Alternativa 03 Questão 20

O vértice A do triângulo ABC é o centro da circunferência .016y8x4yx 22 =+−−+ O vértice B é o ponto de interseção da

reta y = 2x + 2 com o eixo dos x. O vértice C é o ponto de interseção do gráfico da função )8x(logy2

1 += com o eixo dos y.

Determine a área do triângulo ABC. 01) 4 02)5 03) 10 04) 8 05)6,5

RESOLUÇÃO:

( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=−+−⇒=+−+−+−+−⇒=+−−+ 44y2x0161616y8y44x4x016y8x4yx 222222

O centro da circunferência em questão é A = (2, 4). A interseção da reta y = 2x + 2 com o eixo dos x é o ponto no qual y = 0 ⇒ 2x + 2 = 0 ⇒ x = −1 ⇒ B = (−1, 0). A interseção do gráfico da função )8x(logy

2

1 += com o eixo dos y é o ponto onde x = 0 ⇒

3y2222

1)8(logy 3y3

y

2

1 −=⇒=⇒=

⇒= − ⇒ C = (0, −3).

( ) 5,62

13463

2

1

130

101

142

2

1

1yx

1yx

1yx

2

1S

CC

BB

AA

==++=

−

−==

RESPOSTA: Alternativa 05.